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  • 2021-05-14 发布

上海高考数学理科试卷详解

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‎2008年上海高考数学试卷 一 填空(‎4’‎×11)‎ ‎1.不等式的解集是            .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由. ‎ ‎2.若集合A={x|x≤2}、B={x|x≥a}满足A∩B={2},则实数a=         .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由.‎ ‎3.若复数z满足z=i(2-z)(i是虚数单位),则z=         .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由.‎ ‎4.若函数f(x)的反函数为f -1(x)=x2(x>0),则f(4)=        .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令.‎ ‎5.若向量、满足||=1,||=2,且与的夹角为,则|+|=       .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎.‎ ‎6.函数f(x)=sin x +sin(+x)的最大值是         .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由.‎ ‎7.在平面直角坐标系中,从六个点:A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个,这三点能构成三角形的概率是     (结果用分数表示).‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】已知六个无共线的点生成三角形总数为:;可构成三角形的个数为:,所以所求概率为:;‎ ‎8.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足f(x)>0的x的取值范围是              .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由f(x)为奇函数得:‎ ‎    ‎ ‎9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总体的中位数为10.5,若要使该总体的方差最小,则a、b的取值分别是           .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据总体方差的定义知,只需且必须时,总体方差最小;‎ ‎10.某海域内有一孤岛,岛四周的海平面(视为平面)上有一浅水区(含边界),其边界是长轴长为‎2a,短轴长为2b的椭圆,已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2,且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上,现有船只经过该海域(船只的大小忽略不计),在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2,那么船只已进入该浅水区的判别条件是         .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意, ‎ ‎;‎ ‎11.方程x2+x-1=0的解可视为函数y=x+的图像与函数y=的图像交点的横坐标,若x4+ax-4=0的各个实根x1,x2,…,xk (k≤4)所对应的点(xi ,)(i=1,2,…,k)均在直线y=x的同侧,则实数a的取值范围是               .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】方程的根显然,原方程等价于,原方程的实根是曲线与曲线的交点的横坐标;而曲线是由曲线向上或向下平移个单位而得到的。若交点(xi ,)(i=1,2,…,k)均在直线y=x的同侧,因直线y=x与交点为:;所以结合图象可得:‎ ‎  ;‎ 二 选择(‎4’‎×4)‎ ‎12.组合数C(n>r≥1,n、r∈Z)恒等于( )‎ ‎     A.C   B.(n+1)(r+1)C C.nr C D.C ‎【答案】‎ ‎【解析】由. ‎ ‎13. 给定空间中的直线l及平面a,条件“直线l与平面a内无数条直线都垂直”是“直线l与平面a垂直”的( )条件 A.充要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.既非充分又非必要 ‎【答案】‎ ‎【解析】直线与平面a内的无数条平行直线垂直,但该直线未必与平面a垂直,‎ 即充分性不成立; ‎ ‎14. 若数列{an}是首项为1,公比为的无穷等比数列,且{an}各项的和为a,则a的值 是( )   A.1 B.‎2 C. D. ‎【答案】‎ ‎【解析】由. ‎ ‎15.如图,在平面直角坐标系中,是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成区域(含边界),A、B、C、D是该圆的四等分点,若点P(x,y)、P’(x’,y’)满足x≤x’ 且y≥y’,则称P优于P’,如果中的点Q满足:不存在中的其它点优于Q,那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧( )‎ ‎    A. B. C. D. ‎ x y O ‎· B A C ‎·‎ ‎·‎ D ·‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意,在点Q组成的集合中任取一点,过 该点分别作平行于两坐标轴的直线,构成的 左上方区域(权且称为“第二象限”)与点 Q组成的集合无公共元素,这样点Q组成的 集合才为所求. 检验得:D.  ‎ 三. 解答题(本大题满分90分)‎ A E B1‎ D1‎ D C1‎ A1‎ B C ‎16.(‎12’‎)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,‎ E是BC1的中点,求直线DE与平面ABCD所成角的 F 大小(结果用反三角函数表示)‎ ‎【解析】‎ 过作,交于,连接.‎ ‎ 平面,‎ 是直线与平面所成的角. ……4分 由题意,得.‎ ‎ . ……8分 ‎ , . ……10分 A O D B C 故直线与平面所成角的大小是. ……12分 ‎17.(‎13’‎)如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°‎ 的扇形AOB,小区的两个出入口设置在点A及点C 处,且小区里有一条平行于BO的小路CD,已知某 人从C沿CD走到D用了10分钟,从D沿DA走到A A O D B C 用了6分钟,若此人步行的速度为每分钟‎50米,‎ 求该扇形的半径OA的长(精确到‎1米)‎ ‎【解析】‎ ‎[解法一] 设该扇形的半径为米,连接. ……2分 由题意,得 (米),(米),‎ ‎  ……4分 在△中, ……6分 即, ……9分 解得 (米)‎ 答:该扇形的半径的长约为‎445米.        ……13分 A O D B C H ‎[解法二] 连接,作,交于,   ……2分 由题意,得(米),‎ ‎(米), ……4分 在△中,‎ ‎ .‎ ‎(米). ……6分 ‎.   ……9分 在直角△中,(米),,‎ ‎ (米).‎ 答:该扇形的半径的长约为‎445米. ……13分 ‎18.(‎6’‎+‎9’‎)已知双曲线,为上的任意点。‎ ‎(1)求证:点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数;‎ ‎(2)设点的坐标为,求的最小值;‎ ‎【解析】‎ ‎(1)设是双曲线上任意一点,‎ 该双曲的两条渐近线方程分别是和. ……2分 点到两条渐近线的距离分别是和, ……4分 它们的乘积是.‎ 点到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数. ……6分 ‎(2)设的坐标为,则 ‎ ……8分 ‎ ……11分 ‎ , ……13分 ‎ 当时,的最小值为,‎ 即的最小值为. ……15分 ‎19.(‎8’‎+‎8’‎)已知函数f(x)=2x- ‎⑴ 若f(x)=2,求x的值 ‎⑵ 若2t f(2t)+m f(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围 ‎【解析】‎ ‎(1)当时,;当时,   ……2分 由条件可知,即 解得                       ……6分 ‎                 ……8分 ‎(2)当时,       ……10分 即,,   ……13分 ‎,‎ 故的取值范围是 ……16分 ‎20.(‎3’‎+‎5’‎+‎8’‎)设P(a,b)(b≠0)是平面直角坐标系xOy中的点,l是经过原点与点(1,b)的直线,记Q是直线l与抛物线x2=2py(p≠0)的异于原点的交点 ‎⑴ 若a=1,b=2,p=2,求点Q的坐标 ‎⑵ 若点P(a,b)(ab≠0)在椭圆+y2=1上,p=,‎ 求证:点Q落在双曲线4x2-4y2=1上 ‎⑶ 若动点P(a,b)满足ab≠0,p=,若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上,试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上,并说明理由 ‎【解析】‎ ‎(1)当时,‎ 解方程组 得 即点的坐标为 ……3分 ‎(2)【证明】由方程组 得 ‎ ‎ 即点的坐标为 ……5分 时椭圆上的点,即 ,‎ 因此点落在双曲线上 ……8分 ‎(3)设所在的抛物线方程为 ……10分 将代入方程,得,即 ……12分 当时,,此时点的轨迹落在抛物线上;‎ 当时, ,此时点的轨迹落在圆上;‎ 当时,,此时点的轨迹落在椭圆上;‎ 当时,此时点的轨迹落在双曲线上; ……16分 ‎21.(‎3’‎+‎7’‎+‎8’‎)已知以a1为首项的数列{an}满足:an+1= ‎⑴ 当a1=1,c=1,d=3时,求数列{an}的通项公式 ‎⑵ 当0<a1<1,c=1,d=3时,试用a1表示数列{an}的前100项的和S100‎ ‎⑶ 当0<a1<(m是正整数),c=,d≥‎3m时,求证:数列a2-,a‎3m+2-,a‎6m+2-,a‎9m+2-成等比数列当且仅当d=‎‎3m ‎【解析】‎ ‎(1)由题意得 ……3分 ‎(2) 当时,‎ ‎ ,,,,,‎ ‎,,,……6分 ‎ ……10分 ‎ (3)当时,‎ ‎ , ;‎ ‎, ;‎ ‎,‎ ‎,, ,‎ 综上所述,当时,数列,,,‎ 是公比为的等比数列 ……13分 当时,,‎ ‎ ……15分 由于,,‎ 故数列不是等比数列 所以,数列成等比数列 当且仅当 ……18分