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- 2021-05-14 发布
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2008年上海高考数学试卷
一 填空(4’×11)
1.不等式的解集是 .
【答案】
【解析】由.
2.若集合A={x|x≤2}、B={x|x≥a}满足A∩B={2},则实数a= .
【答案】
【解析】由.
3.若复数z满足z=i(2-z)(i是虚数单位),则z= .
【答案】
【解析】由.
4.若函数f(x)的反函数为f -1(x)=x2(x>0),则f(4)= .
【答案】
【解析】令.
5.若向量、满足||=1,||=2,且与的夹角为,则|+|= .
【答案】
【解析】
.
6.函数f(x)=sin x +sin(+x)的最大值是 .
【答案】
【解析】由.
7.在平面直角坐标系中,从六个点:A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个,这三点能构成三角形的概率是 (结果用分数表示).
【答案】
【解析】已知六个无共线的点生成三角形总数为:;可构成三角形的个数为:,所以所求概率为:;
8.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足f(x)>0的x的取值范围是 .
【答案】
【解析】由f(x)为奇函数得:
9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总体的中位数为10.5,若要使该总体的方差最小,则a、b的取值分别是 .
【答案】
【解析】根据总体方差的定义知,只需且必须时,总体方差最小;
10.某海域内有一孤岛,岛四周的海平面(视为平面)上有一浅水区(含边界),其边界是长轴长为2a,短轴长为2b的椭圆,已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2,且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上,现有船只经过该海域(船只的大小忽略不计),在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2,那么船只已进入该浅水区的判别条件是 .
【答案】
【解析】依题意,
;
11.方程x2+x-1=0的解可视为函数y=x+的图像与函数y=的图像交点的横坐标,若x4+ax-4=0的各个实根x1,x2,…,xk (k≤4)所对应的点(xi ,)(i=1,2,…,k)均在直线y=x的同侧,则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】方程的根显然,原方程等价于,原方程的实根是曲线与曲线的交点的横坐标;而曲线是由曲线向上或向下平移个单位而得到的。若交点(xi ,)(i=1,2,…,k)均在直线y=x的同侧,因直线y=x与交点为:;所以结合图象可得:
;
二 选择(4’×4)
12.组合数C(n>r≥1,n、r∈Z)恒等于( )
A.C B.(n+1)(r+1)C C.nr C D.C
【答案】
【解析】由.
13. 给定空间中的直线l及平面a,条件“直线l与平面a内无数条直线都垂直”是“直线l与平面a垂直”的( )条件
A.充要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.既非充分又非必要
【答案】
【解析】直线与平面a内的无数条平行直线垂直,但该直线未必与平面a垂直,
即充分性不成立;
14. 若数列{an}是首项为1,公比为的无穷等比数列,且{an}各项的和为a,则a的值
是( ) A.1 B.2 C. D.
【答案】
【解析】由.
15.如图,在平面直角坐标系中,是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成区域(含边界),A、B、C、D是该圆的四等分点,若点P(x,y)、P’(x’,y’)满足x≤x’ 且y≥y’,则称P优于P’,如果中的点Q满足:不存在中的其它点优于Q,那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧( )
A. B. C. D.
x
y
O
· B
A
C
·
·
D ·
【答案】
【解析】依题意,在点Q组成的集合中任取一点,过
该点分别作平行于两坐标轴的直线,构成的
左上方区域(权且称为“第二象限”)与点
Q组成的集合无公共元素,这样点Q组成的
集合才为所求. 检验得:D.
三. 解答题(本大题满分90分)
A
E
B1
D1
D
C1
A1
B
C
16.(12’)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,
E是BC1的中点,求直线DE与平面ABCD所成角的
F
大小(结果用反三角函数表示)
【解析】
过作,交于,连接.
平面,
是直线与平面所成的角. ……4分
由题意,得.
. ……8分
, . ……10分
A
O
D
B
C
故直线与平面所成角的大小是. ……12分
17.(13’)如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°
的扇形AOB,小区的两个出入口设置在点A及点C
处,且小区里有一条平行于BO的小路CD,已知某
人从C沿CD走到D用了10分钟,从D沿DA走到A
A
O
D
B
C
用了6分钟,若此人步行的速度为每分钟50米,
求该扇形的半径OA的长(精确到1米)
【解析】
[解法一] 设该扇形的半径为米,连接. ……2分
由题意,得 (米),(米),
……4分
在△中, ……6分
即, ……9分
解得 (米)
答:该扇形的半径的长约为445米. ……13分
A
O
D
B
C
H
[解法二] 连接,作,交于, ……2分
由题意,得(米),
(米), ……4分
在△中,
.
(米). ……6分
. ……9分
在直角△中,(米),,
(米).
答:该扇形的半径的长约为445米. ……13分
18.(6’+9’)已知双曲线,为上的任意点。
(1)求证:点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数;
(2)设点的坐标为,求的最小值;
【解析】
(1)设是双曲线上任意一点,
该双曲的两条渐近线方程分别是和. ……2分
点到两条渐近线的距离分别是和, ……4分
它们的乘积是.
点到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数. ……6分
(2)设的坐标为,则
……8分
……11分
, ……13分
当时,的最小值为,
即的最小值为. ……15分
19.(8’+8’)已知函数f(x)=2x-
⑴ 若f(x)=2,求x的值
⑵ 若2t f(2t)+m f(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围
【解析】
(1)当时,;当时, ……2分
由条件可知,即
解得 ……6分
……8分
(2)当时, ……10分
即,, ……13分
,
故的取值范围是 ……16分
20.(3’+5’+8’)设P(a,b)(b≠0)是平面直角坐标系xOy中的点,l是经过原点与点(1,b)的直线,记Q是直线l与抛物线x2=2py(p≠0)的异于原点的交点
⑴ 若a=1,b=2,p=2,求点Q的坐标
⑵ 若点P(a,b)(ab≠0)在椭圆+y2=1上,p=,
求证:点Q落在双曲线4x2-4y2=1上
⑶ 若动点P(a,b)满足ab≠0,p=,若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上,试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上,并说明理由
【解析】
(1)当时,
解方程组 得 即点的坐标为 ……3分
(2)【证明】由方程组 得
即点的坐标为 ……5分
时椭圆上的点,即 ,
因此点落在双曲线上 ……8分
(3)设所在的抛物线方程为 ……10分
将代入方程,得,即 ……12分
当时,,此时点的轨迹落在抛物线上;
当时, ,此时点的轨迹落在圆上;
当时,,此时点的轨迹落在椭圆上;
当时,此时点的轨迹落在双曲线上; ……16分
21.(3’+7’+8’)已知以a1为首项的数列{an}满足:an+1=
⑴ 当a1=1,c=1,d=3时,求数列{an}的通项公式
⑵ 当0<a1<1,c=1,d=3时,试用a1表示数列{an}的前100项的和S100
⑶ 当0<a1<(m是正整数),c=,d≥3m时,求证:数列a2-,a3m+2-,a6m+2-,a9m+2-成等比数列当且仅当d=3m
【解析】
(1)由题意得 ……3分
(2) 当时,
,,,,,
,,,……6分
……10分
(3)当时,
, ;
, ;
,
,, ,
综上所述,当时,数列,,,
是公比为的等比数列 ……13分
当时,,
……15分
由于,,
故数列不是等比数列
所以,数列成等比数列
当且仅当 ……18分