2015高考数学（理）（第六章 数列）一轮复习题 7页

常考题型强化练——数列 A组　专项基础训练 ‎(时间：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1．设等差数列{an}前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　)‎ A．6 B．‎7 ‎ C．8 D．9‎ 答案　A 解析　设该数列的公差为d，‎ 则a4＋a6＝‎2a1＋8d＝2×(－11)＋8d＝－6，‎ 解得d＝2，‎ ‎∴Sn＝－11n＋×2‎ ‎＝n2－12n＝(n－6)2－36，‎ ‎∴当n＝6时，取最小值．‎ ‎2．已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝‎2a1，且a4与‎2a7的等差中项为，则S5等于 (　　)‎ A．35 B．‎33 ‎ C．31 D．29‎ 答案　C 解析　设数列{an}的公比为q，则由等比数列的性质知，‎ a2·a3＝a1·a4＝‎2a1，即a4＝2.‎ 由a4与‎2a7的等差中项为知，‎ a4＋‎2a7＝2×，‎ ‎∴a7＝＝.‎ ‎∴q3＝＝，即q＝，‎ ‎∴a4＝a1q3＝a1×＝2，‎ ‎∴a1＝16，∴S5＝＝31.‎ ‎3．已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足2an－a1＝S1·Sn(a1≠0，n∈N＋)，则a7等于(　　)‎ A．16 B．‎32 ‎ C．64 D．128‎ 答案　C 解析　令n＝1，则a1＝1，当n＝2时，‎2a2－1＝S2＝1＋a2，‎ 解得a2＝2，当n≥2时，由2an－1＝Sn，‎ 得2an－1－1＝Sn－1，两式相减，‎ 解得2an－2an－1＝an，即an＝2an－1，‎ 于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，‎ 因此an＝2n－1.故a7＝26＝64.‎ ‎4．已知等差数列{an}的公差d＝－2，a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99的值是 (　　)‎ A．－78 B．－‎82 ‎ C．－148 D．－182‎ 答案　B 解析　∵a3＋a6＋a9＋…＋a99‎ ‎＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)‎ ‎＝a1＋a4＋a7＋…＋a97＋2d×33‎ ‎＝50＋66×(－2)‎ ‎＝－82.‎ ‎5．设等差数列{an}的前n项和是Sn，若－am0，且Sm＋1<0 B．Sm<0，且Sm＋1>0‎ C．Sm>0，且Sm＋1>0 D．Sm<0，且Sm＋1<0‎ 答案　A 解析　－am0，Sm＋1＝·(m＋1)<0.‎ 二、填空题 ‎6．若数列{an}满足－＝d(n∈N＋，d为常数)，则称数列{an}为调和数列，已知数列为调和数列且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝________.‎ 答案　20‎ 解析　由题意知，若{an}为调和数列，则为等差数列，‎ ‎∴由为调和数列，可得数列{xn}为等差数列，‎ 由等差数列的性质知，‎ x5＋x16＝x1＋x20＝x2＋x19＝…＝x10＋x11＝＝20.‎ ‎7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－an，则数列{an}的通项公式an＝__________.‎ 答案　2－n－1‎ 解析　由于Sn＝2n－an，所以Sn＋1＝2(n＋1)－an＋1，后式减去前式，得Sn＋1－Sn＝2－an＋1＋an，即an＋1＝an＋1，变形为an＋1－2＝(an－2)，则数列{an－2}是以a1－2为首项，为公比的等比数列．又a1＝2－a1，即a1＝1.‎ 则an－2＝(－1)n－1，所以an＝2－n－1.‎ ‎8．已知等比数列中，各项都是正数，且a1，a3,‎2a2成等差数列，则的值为_____．‎ 答案　3＋2 解析　设等比数列{an}的公比为q，‎ ‎∵a1，a3,‎2a2成等差数列，∴a3＝a1＋‎2a2.‎ ‎∴a1q2＝a1＋‎2a1q.∴q2－2q－1＝0.∴q＝1±.‎ ‎∵各项都是正数，∴q＞0.∴q＝1＋.‎ ‎∴＝q2＝(1＋)2＝3＋2.‎ 三、解答题 ‎9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N＋，a3＝5，S10＝100.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝2an＋2n，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解　(1)设等差数列{an}的公差为d，‎ 由题意，得解得 所以an＝2n－1.‎ ‎(2)因为bn＝2an＋2n＝×4n＋2n，‎ 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn ‎＝(4＋42＋…＋4n)＋2(1＋2＋…＋n)‎ ‎＝＋n2＋n＝×4n＋n2＋n－.‎ ‎10．已知等差数列{an}的前三项为a－1,4,‎2a，记前n项和为Sn.‎ ‎(1)设Sk＝2 550，求a和k的值；‎ ‎(2)设bn＝，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值．‎ 解　(1)由已知得a1＝a－1，a2＝4，a3＝‎2a，‎ 又a1＋a3＝‎2a2，‎ ‎∴(a－1)＋‎2a＝8，即a＝3.‎ ‎∴a1＝2，公差d＝a2－a1＝2.‎ 由Sk＝ka1＋d，‎ 得2k＋×2＝2 550，‎ 即k2＋k－2 550＝0，解得k＝50或k＝－51(舍去)．‎ ‎∴a＝3，k＝50.‎ ‎(2)由Sn＝na1＋d，‎ 得Sn＝2n＋×2＝n2＋n.‎ ‎∴bn＝＝n＋1.‎ ‎∴{bn}是等差数列．‎ 则b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝(3＋1)＋(7＋1)＋(11＋1)＋…＋(4n－1＋1)＝.‎ ‎∴b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝2n2＋2n.‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：25分钟)‎ ‎1．已知数列{an}是首项为a1＝4的等比数列，且‎4a1，a5，－‎2a3成等差数列，则其公比q等于 (　　)‎ A．1 B．－‎1 ‎ C．1或－1 D. 答案　C 解析　依题意，有‎2a5＝‎4a1－‎2a3，‎ 即‎2a1q4＝‎4a1－‎2a1q2，‎ 整理得q4＋q2－2＝0，解得q2＝1(q2＝－2舍去)，‎ 所以q＝1或q＝－1.‎ ‎2．在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2,4依次成等差数列，而1，y1，y2,8依次成等比数列，则△OP1P2的面积是 (　　)‎ A．1 B．‎2 ‎ C．3 D．4‎ 答案　A 解析　由等差、等比数列的性质，‎ 可求得x1＝2，x2＝3，y1＝2，y2＝4，‎ ‎∴P1(2,2)，P2(3,4)．∴S△OP1P2＝1.‎ ‎3．已知数列{an}满足：a1＝1，an＝ n＝2,3,4，…，设bn＝a2n－1＋1，n＝1,2,3，…，则数列{bn}的通项公式是________．‎ 答案　bn＝2n 解析　由题意，得对于任意的正整数n，bn＝a2n－1＋1，‎ ‎∴bn＋1＝a2n＋1，‎ 又a2n＋1＝(‎2a＋1)＋1＝2(a2n－1＋1)＝2bn，‎ ‎∴bn＋1＝2bn，‎ 又b1＝a1＋1＝2，∴{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，‎ ‎∴bn＝2n.‎ ‎4．某音乐酒吧的霓虹灯是用，，三个不同音符组成的一个含n＋1(n∈N＋)个音符的音符串，要求由音符开始，相邻两个音符不能相同．例如n＝1时，排出的音符串是，；n＝2时，排出的音符串是，，，；…….记这种含n＋1个音符的所有音符串中，排在最后一个的音符仍是的音符串的个数为an.故a1＝0，a2＝2.则 ‎(1)a4＝________；‎ ‎(2)an＝________.‎ 答案　(1)6　(2) 解析　由题意知，a1＝0，a2＝2＝21－a1，a3＝2＝22－a2，a4＝6＝23－a3，a5＝10＝24－a4，‎ 所以an＝2n－1－an－1，‎ 所以an－1＝2n－2－an－2，两式相减得an－an－2＝2n－2.‎ 当n为奇数时，利用累加法得an－a1＝21＋23＋…＋2n－2＝，所以an＝.‎ 当n为偶数时，利用累加法得an－a2＝22＋24＋…＋2n－2＝，所以an＝.‎ 综上所述，an＝.‎ ‎5．已知数列{an}的前n项和Sn与通项an满足Sn＝－an.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设f(x)＝log3x，bn＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(an)，Tn＝＋＋…＋，求T2 012；‎ ‎(3)若cn＝an·f(an)，求{cn}的前n项和Un.‎ 解　(1)当n＝1时，a1＝，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，‎ 又Sn＝－an，‎ 所以an＝an－1，‎ 即数列{an}是首项为，公比为的等比数列，‎ 故an＝n.‎ ‎(2)由已知可得f(an)＝log3n＝－n，‎ 则bn＝－1－2－3－…－n＝－，‎ 故＝－2，‎ 又Tn＝－2 ‎＝－2，‎ 所以T2 012＝－.‎ ‎(3)由题意得cn＝(－n)·n，‎ 故Un＝c1＋c2＋…＋cn ‎＝－，‎ 则Un＝－，‎ 两式相减可得 Un＝－ ‎＝－＋n·n＋1‎ ‎＝－＋·n＋n·n＋1，‎ 则Un＝－＋·n＋n·n＋1.‎