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- 2021-05-14 发布
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1989年全国高考数学(文科 )试题及其解析
考生注意:本试题共三道大题(24个小题),满分120分.
一.选择题(本题满分36分,共12个小题,每小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内。每一个小题选对得3分,不选或选错一律得0分。)
1.如果I={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},其中I是全集,那么等于 ( )
(A) (B){d} (C){a,c} (D){b,e}
2.与函数y=x有相同图象的一个函数是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
3.如果圆锥的底面半径为,高为2,那么它的侧面积是 ( )
(A) (B) (C) (D)
4.已知是等比数列,如果且
的值等于 ( )
(A)8 (B)16 (C)32 (D)48
5.如果那么的值等于( )
(A)-2 (B)-1 (C)0 (D)2
6.如果的值等于 ( )
(A) (B) (C) (D)
7.直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是 ( )
(A)3x-2y+2=0 (B)2x+3y+7=0 (C)3x-2y-12=0 (D)2x+3y+8=0
8.已知球的两个平行截面的面积分别为5和8,它们位于球心的同一侧,且相距为1,
那么这个球的半径是 ( )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)5
9.由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中偶数共有 ( )
(A)60个 (B)48个 (C)36个 (D)24个
10.如果双曲线上一点P到它的右焦点的距离是8,那么点P到它的右准线的
距离是 ( )
(A)10 (B) (C) (D)
11.如果最小值是 ( )
(A) (B) (C)-1 (D)
12.已知如果那么 ( )
(A)在区间(-2,0)上是增函数 (B)在区间(0,2)上是增函数
(C)在区间(-1,0)上是减函数 (D)在区间(0,1)上是减函数
二.填空题(本题满分24分,共6个小题,每一个小题满分4分。只要求直接写出结果.)
13.给定三点A(1,0),B(-1,0),C(1,2),那么通过点A并且与直线BC垂直的直线方程_________________
14.不等式的解集是_________________
15.函数的反函数的定义域是__________
16.已知A和B是两个命题,如果A是B的充分条件,那么B是A的_______条件;
的______条件。
17.已知那么x的取值范围是______
18.如图,P是二面角α—AB—β棱AB上的一点,分别在α,β上引射线PM,PN,
如果∠BPM=∠BPN=450,∠MPN=600,那么二面
角α—AB—β的大小是____________
三.解答题(本题满分60分,共6个小题.)
19.(本小题满分8分)
设复数,求z的模和辐角的主值。
20.(本小题满分8分)
证明:
21.(本小题满分10分)
如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=5,AD=4,AA1=3,AB⊥AD,∠A1AB=∠A1AD=
(Ⅰ)求证:顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上;
(Ⅱ)求这个平行六面体的体积。
22.(本小题满分10分)
用数学归纳法证明
23.(本小题满分12分)
已知试求使方程有解的k的取值范围。
24.(本小题满分12分)
给定椭圆方程,求与这个椭圆有公共焦点的双曲线,使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大,并求相应的四边形的顶点坐标。
参考答案及其解析
一、本题考查基本概念和基本运算.
(1)A (2)D (3)C (4)B (5)A (6)C
(7)D (8)B (9)B (10)D (11)D (12)C
二、本题考查基本概念和基本运算,只需要写出结果.
(13)x+y-1=0
(14)
(15) (-1,1)
(16) 必要,必要(注:仅答对一个结果的,只给2分)
(17) (3,4)
(18) 900
三、解答题.
(19) 本题主要考查:复数模与辐角的主值的概念及复数运算等变形的能力.
解:
∴复数z的模为32,的模和辐角的主值为
(20)本题主要考查:运用三角公式进行恒等变形的能力.
证:
(21)本题主要考查:线面关系,三垂线定理以及空间想象能力.
(Ⅰ)证:连结A1O,则A1O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M,作ON⊥AD交AD于N,连结A1M,A1N
由三垂线定理得A1M⊥AB,A1N⊥AD∵∠A1AM=∠A1AN,
∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA∴A1M= A1N∴OM=ON。
∴点O在∠BAD的平分线上
(Ⅱ)∵AM=AA1∴AO=AM
又在职Rt△AOA1中,A1O2=AA12-AO2=
∴A1O=∴平行六面体的体积V=
(22)本题主要考查:综合运用数学归纳法解决问题的能力.
证:当n=1时,左边=-14,右边=-1·2·7=-14,等式成立
假设当n=k时等式成立,即有
那么 当n=k+1时,
这就是说,当n=k+1时等式也成立。
根据以上论证可知等式对任何都成立。
(23)本题主要考查:对数函数的性质以及解不等式的能力.
解:由对数函数的性质可知,原方程的解x应满足
当(1),(2)同时成立时,(3)显然成立,因此只需解
由(1)得
当k=0时,由a>0知(4)无解,因而原方程无解。
当k≠0时,(4)的解是
把(5)代入(2),得
解得:
综合得,当k在集合内取值时,原方程有解。
(24)本题主要考查:椭圆和双曲线的方程以及灵活应用有关知识解决问题的能力.
解:设所求双曲线的方程是
由题设知
由方程组
解得交点的坐标满足
由椭圆和双曲线关于坐标轴的对称性知,以它们的交点为顶点的四边形是长方形,其面积
因为S与同时达到最大值,
所以当时达到最大值2ab
这时
因此,满足题设的双曲线方程是
相应的四边形顶点坐标是