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  • 2021-05-14 发布

2015年北京高考数学理科试题及答案

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绝密★启封并使用完毕前 ‎2015年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理)(北京卷)‎ 本试卷共5页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第一部分(选择题 共40分)‎ 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.复数 A. B. C. D.‎ ‎2.若,满足则的最大值为 A.0 B.1 C. D.2‎ ‎3.执行如图所示的程序框图,输出的结果为 A. B. C. D.‎ ‎4.设,是两个不同的平面,是直线且.“”是“”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是 A. B. C. D.5‎ ‎6.设是等差数列. 下列结论中正确的是 A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 ‎7.如图,函数的图象为折线,则不等式的解集是 A. B.‎ C. D.‎ ‎8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述 了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确 的是 A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油 D.某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 第二部分(非选择题 共110分)‎ 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎9.在的展开式中,的系数为 .(用数字作答)‎ ‎10.已知双曲线的一条渐近线为,则 .‎ ‎11.在极坐标系中,点到直线的距离为 .‎ ‎12.在中,,,,则 .‎ ‎13.在中,点,满足,.若,则 ; .‎ ‎14.设函数 ‎①若,则的最小值为 ;②若恰有2个零点,则实数的取值范围是 .‎ 三、解答题(共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)‎ ‎15.(本小题13分)已知函数.‎ ‎(Ⅰ) 求的最小正周期;‎ ‎(Ⅱ) 求在区间上的最小值.‎ ‎16.(本小题13分),两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:‎ 组:10,11,12,13,14,15,16‎ 组:12,13,15,16,17,14,‎ 假设所有病人的康复时间互相独立,从,两组随机各选1人,组选出的人记为甲,组选出的人记为乙.‎ ‎(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率;‎ ‎(Ⅱ) 如果,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;‎ ‎(Ⅲ) 当为何值时,,两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)‎ ‎17.(本小题14分)如图,在四棱锥中,为等边三角形,平面平面,,,,,为的中点.‎ ‎(Ⅰ) 求证:;‎ ‎(Ⅱ) 求二面角的余弦值;‎ ‎(Ⅲ) 若平面,求的值.‎ ‎18.(本小题13分)已知函数.‎ ‎ (Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)求证:当时,;‎ ‎(Ⅲ)设实数使得对恒成立,求的最大值.‎ ‎19.(本小题14分)已知椭圆:的离心率为,点和点都在椭圆上,直线交轴于点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程,并求点的坐标(用,表示);‎ ‎(Ⅱ)设为原点,点与点关于轴对称,直线交轴于点.问:轴上是否存在点,使得?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎20.(本小题13分)已知数列满足:,,且.‎ 记集合.‎ ‎(Ⅰ)若,写出集合的所有元素;‎ ‎(Ⅱ)若集合存在一个元素是3的倍数,证明:的所有元素都是3的倍数;‎ ‎(Ⅲ)求集合的元素个数的最大值.‎ ‎2015年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理)(北京卷)参考答案 一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)‎ ‎(1)A (2)D (3)B (4)B (5)C (6)C (7)C (8)D 二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)‎ ‎(9)40 (10) (11)1 (12)1 (13) ‎ ‎ (14) ‎ 三、解答题(共6小题,共80分)‎ ‎15. 解:(Ⅰ) ‎ ‎ 所以的最小正周期 ‎(Ⅱ) , ‎ ‎ 当,即时,取得极小值。‎ ‎ , ‎ ‎ 所以在的最小值 ‎16. 解:(Ⅰ) 设甲的康复时间不少于14天记为事件A ‎ ‎ 所以甲的康复时间不少于14天的概率为 ‎(Ⅱ) 因为,假设乙康复的时间为12天,则符合题意的甲有13天、14天、15天、16天,共4人。‎ 若乙的康复时间为13天,则符合题意的甲有14天、15天、16天,共3人。‎ 若乙的康复时间为14天,则符合题意的甲有15天、16天,共2人。‎ 若乙的康复时间为15天,则符合题意的甲有16天,共1人。‎ 当乙的康复时间为其它值时,由于甲的康复时间为16天,均不符合题意。‎ 所以符合题意的甲、乙选择法师共计4+3+2+1=10种 ‎ 而所有甲、乙组合情况共种 因为所有情况都是等可能的,所以甲的康复时间比乙的康复时间长的概率 ‎ (Ⅲ) 或 ‎17. (Ⅰ) 证明:是等边三角形,为的中点。‎ ‎ 又平面平面,‎ ‎ 平面平面 平面 ‎ 平面 又平面 ‎ ‎ ‎ (Ⅱ) 取得中点,连接 ‎ 如图分别以为轴建立空间直角坐标系 ‎ ‎ ‎ 易见平面的法向量为 ‎ 设平面的法向量为 ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ 因为二面角为钝角,所以它的余弦值为.‎ ‎(Ⅲ) 由(Ⅰ)知 平面 ‎ ‎ 若平面 , 仅需 ‎ 由(Ⅱ)得 , ‎ ‎ ,‎ ‎ , 解得(舍)或.‎ ‎18.解:‎ ‎ (Ⅰ) ‎ ‎ ‎ ‎ 所以切线方程为.‎ ‎(Ⅱ)原命题 ‎ ‎ 设 ‎ ‎ ‎ 当时,, ‎ ‎ 函数在上单调递增。‎ ‎ , 因此 ‎ ‎(Ⅲ) ‎ ‎ ‎ ‎ 所以当 函数在上单调递增,‎ ‎ ‎ ‎ 当时,令 解得 x ‎0‎ 减 极小值 增 ‎ 显然不成立。‎ ‎ 综上可知:的最大值为2.‎ ‎19.解:(Ⅰ)由题知: 解得 ‎ 所求的椭圆的方程为.‎ ‎ ‎ ‎ 直线的方程为 ‎ 直线与轴交于 ‎ 令 ,则 ‎ ‎(Ⅱ)‎ ‎ 直线的方程为, 直线与轴交于 ‎ 令 , 则, ‎ ‎ 设 ‎ , ‎ ‎ , ‎ ‎ , ‎ ‎ 又在椭圆上, ‎ ‎ ‎ ‎ 在轴存在点 使。‎ ‎20. 解:(Ⅰ) ‎ ‎(Ⅱ)因为集合存在一个元素是3的倍数,所以不妨设是3的倍数。‎ ‎ 由 ‎ 当时,都是3的倍数。‎ ‎ 如果,则集合的所有元素都是3的倍数。‎ ‎ 如果,因为或, 所以是3的倍数, 于是是3的倍数。‎ ‎ 类似可得,都是3的倍数。‎ 综上,若集合存在一个元素是3的倍数,则的所有元素都是3的倍数。‎ ‎(Ⅲ)若,由,‎ 可归纳证明, ‎ ‎ 因为是正整数,由, 所以是2的倍数。‎ ‎ 从而当时,时4的倍数。‎ ‎ 如果是3的倍数,由(Ⅱ)知对所有正整数,是3的倍数。‎ ‎ 因此当时,.这时的元素个数不超过5.‎ ‎ 如果不是3的倍数,由(Ⅱ)知对所有正整数,不是3的倍数。‎ 因此当时,这时的元素个数不超过8.‎ ‎ 当时,由8个元素。‎ ‎ 综上可知:集合的元素个数的最大值为8.‎ 法二:‎