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- 2021-05-14 发布
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2016年上海市嘉定区高考一模试卷数学文
一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对4分,否则一律得零分.
1.= .
解析:分式的分子分母同时除以n2,利用极限的性质能求出结果.
==.
答案:.
2.设集合A={x|x2-2x>0,x∈R},B={x|≤0,x∈R},则A∩B= .
解析:集合A={x|x2-2x>0,x∈R}={x|x<0或x>2,x∈R},
B={x|≤0 , x∈R}={x|-1≤x<1,x∈R},
∴A∩B={x|-1≤x<0,x∈R}(或[-1,0)).
答案:{x|-1≤x<0,x∈R}(或[-1,0))
3.若函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的反函数的图象过点(3,-1),则a= .
解析:∵函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的反函数的图象过点(3,-1),
∴3=a-1,解得a=.
答案:
4.已知一组数据6,7,8,9,m的平均数是8,则这组数据的方差是 .
解析:∵一组数据6,7,8,9,m的平均数是8,
∴(6+7+8+9+m)=8,解得m=10,
∴这组数据的方差S2=[(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2]=2.
答案:2
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为棱A1B1的中点,则异面直线AM与B1C所成的角的大小为 (结果用反三角函数值表示).
解析:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,
设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2,
则A(2,0,0),M(2,1,2),B1(2,2,2),C(0,2,0),
=(0,1,2),=(-2,0,2),
设异面直线AM与B1C所成的角为θ,.
∴θ=arccos.∴异面直线AM与B1C所成的角为arccos.
答案:arccos.
6.若圆锥的底面周长为2π,侧面积也为2π,则该圆锥的体积为 .
解析:∵圆锥的底面周长为2π,∴圆锥的底面半径r=1,设圆锥母线为l,则πrl=2π,∴l=2,
∴圆锥的高h==.∴圆锥的体积V=πr2h=.
答案:.
7.已知=0,则sin2α= .
解析:∵=0,∴sinα-2cosα=0,
∴sin2α+cos2α=5cos2α=1,解得cosα=±,
当cosα=-时,sinα=2cosα=-,∴sin2α=2sinαcosα=2×(-)×(-)=,
当cosα=时,sinα=2cosα=,∴sin2α=2sinαcosα=2××=,
故sin2α=.
答案:.
8.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的S值是 .
解析:模拟执行程序,可得k=1,S=0
满足条件k≤2015,S=,k=2.
满足条件k≤2015,S=+,k=3.
…
满足条件k≤2015,S=++…+,k=2015.
满足条件k≤2015,S=++…++,k=2016.
不满足条件k≤2015,退出循环,输出S的值.
由于S=++…++=1-+-+-…+-=1-=.
答案:.
9.过点P(1,2)的直线与圆x2+y2=4相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则实数a的值为
.
解析:当a=0时,直线ax-y+1=0,即直线y=1,根据所求直线与该直线垂直,且过点P(1,2),
故有所求的直线为x=1,此时,不满足所求直线与圆x2+y2=4相切,故a≠0.
故要求的直线的斜率为,要求的直线的方程为 y-2=(x-1),即 x-ay+2a-1=0.
再根据圆心O到x-ay+2a-1=0的距离等于半径2,可得=2,求得a=-.
答案:-.
10.从3名男同学,2名女同学中任选2人参加知识竞赛,则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是 .
解析:从3名男同学,2名女同学中任选2人参加知识竞赛,
基本事件总数n==10,
选到的2名同学中至少有1名男同学的对立事件是选到两名女同学,
∴选到的2名同学中至少有1名男同学的概率:p=.
答案:.
11.设=(k,12),=(4 ,5),=(10,k),则k= 时,点A,B,C共线.
解析:∵=(k,12),=(4,5),=(10,k),
∴=(4-k,-7),=(6,k-5);
又与共线,∴(4-k)(k-5)-(-7)×6=0,
即k2-9k-22=0,解得k=-2或k=11;∴当k=-2或11时,点A,B,C共线.
答案:-2或11.
12.已知n=80,则n= .
解析:因为=(1+2)n=80+1=81,所以3n=81,∴n=4.
答案:4
13.设数列{an}满足a1=2,an+1=1-,记数列前n项的积为Pn,则P2016的值为 .
解析:∵1=2,an+1=1-,∴a2=,a3=-1,a4=2,…,
∴an+3=an.a1a2a3=-1.∴数列前2016项的积P2016=(-1)672=1.
答案:1.
14.对于函数y=f(x),若存在定义域D内某个区间[a,b],使得y=f(x)在[a,b]上的值域也为[a,b],则称函数y=f(x)在定义域D上封闭,如果函数f(x)=在R上封闭,则b-a= .
解析:∵f(x)==设0≤x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=>0,故f(x)在[0,+∞)上是
单调递减函数,又∵f(x)=,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.
所以f(x)在R上是单调递减函数,
而x∈[0,+∞)时,f(x)值域为(-4,0],x∈(-∞.0)时,f(x)值域为(0,4)
要使得y=f(x)在[a,b]上的值域也为[a,b],则a<0<b,
由得得∴b-a=6.
答案:6
二.选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且仅有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,每题选对得5分,否则一律得零分.
15.“函数y=sin(x+φ)为偶函数”是“φ=”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:若φ=时,y=sin(x+φ)=cosx 为偶函数;
若y=sin(x+φ)为偶函数,则φ=+kπ,k∈Z;
∴“函数y=sin(x+φ)为偶函数”是“φ=”的必要不充分条件.
答案:B.
16.下列四个命题:
①任意两条直线都可以确定一个平面;
②若两个平面有3个不同的公共点,则这两个平面重合;
③直线a,b,c,若a与b共面,b与c共面,则a与c共面;
④若直线l上有一点在平面α外,则l在平面α外.
其中错误命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:在①中,两条异面直线不能确定一个平面,故①错误;
在②中,若两个平面有3个不共线的公共点,则这两个平面重合,
若两个平面有3个共线的公共点,则这两个平面相交,故②错误;
在③中,直线a,b,c,若a与b共面,b与c共面,则a与c不一定共面,
如四面体S-ABC中,SA与AB共面,AB与BC共面,但SA与BC异面,故③错误;
在④中,若直线l上有一点在平面α外,则由直线与平面的位置关系得l在平面α外,故④正确.
答案:C
17.若椭圆x2+my2=1的焦距为2,则m的值是( )
A.
B.1
C.2
D.4
解析:∵椭圆x2+my2=1的焦距为2,∴=2,解得m=.
故选:A
18.已知等比数列{an}中,各项都是正数,且3a1,a3,2a2成等差数列,则等于( )
A.6
B.7
C.8
D.9
解析:∵3a1,a3,2a2成等差数列,∴a3=3a1+2a2,
∴q2-2q-3=0,∴q=3,q=-1(舍去).∴ =q2=32=9.
故选:D
三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.如图①,有一个长方体形状的敞口玻璃容器,底面是边长为20cm的正方形,高为30cm,内有20cm深的溶液.现将此容器倾斜一定角度α(图②),且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上(图①、②均为容器的纵截面).
(1)要使倾斜后容器内的溶液不会溢出,角α的最大值是多少;
(2)现需要倒出不少于3000cm3的溶液,当α=60°时,能实现要求吗?请说明理由.
解析:(1)根据题意画出图形,结合图形,过C作CF∥BP,交AD所在直线于F,且点F在线段AD上,用tanα表示出DF、AF,求出容器内溶液的体积,列出不等式求出溶液不会溢出时α的最大值;
(2)当α=60°时,过C作CF∥BP,交AB所在直线于F,则点F在线段AB上,溶液纵截面为Rt△CBF,由此能求出倒出的溶液量,即可得出结论.
答案:(1)根据题意,画出图形,如图所示,
过C作CF∥BP,交AD所在直线于F,
在Rt△CDF中,∠FCD=α,CD=20cm,DF=20tanα,
且点F在线段AD上,AF=30-20tanα,
此时容器内能容纳的溶液量为:
S梯形ABCF·20=·20=(30-20tanα+30)·20·10=2000(6-2tanα)(cm3);
而容器中原有溶液量为20×20×20=8000(cm3),
令2000(6-2tanα)≥8000,解得tanα≤1,所以α≤45°,
即α的最大角为45°时,溶液不会溢出;
(2)如图所示,当α=60°时,
过C作CF∥BP,交AB所在直线于F,
在Rt△CBF中,BC=30cm,∠BCF=30°,BF=10cm,
∴点F在线段AB上,故溶液纵截面为Rt△CBF,
∵S△ABF=BC·BF=150cm2,
容器内溶液量为150×20=300cm3,
倒出的溶液量为(8000-3000)cm3<3000cm3.∴不能实现要求.
20.已知x∈R,设=(2cosx , sinx+cosx),=(sinx ,sinx-cosx),记函数f(x)=·.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)设△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(C)=2,c=,a+b=3,求△ABC的面积S.
解析:(1)利用数量积运算性质、倍角公式与和差公式可得f(x),再利用三角函数的图象与性质即可得出;
(2)利用三角函数求值、余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出.
答案:(1)∵f(x)=·=2sinxcosx+sin2x-cos2x=sin2x-cos2x=2sin(2x-).
∴f(x)的最小正周期是T=π.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得函数f(x)的单调递增区间是[kπ- , kπ+](k∈Z).
(2)由f(C)=2,得sin(2C-)=1,
∵0<C<π,所以-<2C-<,∴2C-=,C=.
在△ABC中,由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,
得3=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即ab=2,
∴△ABC的面积S=absinC=×2×=.
21.设函数f(x)=k·ax-a-x(a>0且a≠1)是奇函数.
(1)求常数k的值;
(2)设a>1,试判断函数y=f(x)在R上的单调性,并解关于x的不等式f(x2)+f(2x-1)<0.
解析:(1)可看出f(x)的定义域为R,而f(x)又是奇函数,从而有f(0)=0,这样可求出k=1;
(2)f(x)=ax-a-x,根据单调性的定义,设任意的x1,x2∈R,且x1<x2,然后作差,通分,提取公因式,便可说明f(x1)<f(x2),这便得出f(x)在R上单调递增,从而根据f(x)为奇函数和增函数便可由原不等式得到x2<1-2x,解该不等式便可得出原不等式的解集.
答案:(1)函数f(x)的定义域为R,f(x)是奇函数;∴f(0)=k-1=0;∴k=1;
(2)由(1),f(x)=ax-a-x,设x1,x2∈R,且x1<x2,则:
f(x1)-f(x2)=;
∵a>1,x1<x2;ax1-ax2<0,又1+1ax1+x2>0;∴f(x1)-f(x2)<0;
即f(x1)<f(x2);∴函数f(x)在R上是单调递增函数;
由f(x2)+f(2x-1)<0,得f(x2)<-f(2x-1);
即f(x2)<f(1-2x);f(x)在R上单调递增;
∴x2<1-2x,即x2+2x-1<0;解得-1-<x<-1+;∴原不等式的解为(-1-,-1+).
22.已知抛物线x2=2py,准线方程为y+1=0,直线l过定点T(0,t)(t>0)且与抛物线交于A、B两点,O为坐标原点.
(1)求抛物线的方程;
(2)·是否为定值,若是,求出这个定值;若不是,请说明理由;
(3)当t=1时,设=λ·,记|AB|=f(λ),求f(λ)的解析式.
解析:(1)根据准线方程便可得到-=-1,从而可以求出p,这便得到抛物线方程为x2=4y;
(2)可设A(x1,y1),B(x2,y2),可得到直线l方程y=kx+t,联立抛物线方程并消去y得到x2-4kx-4t=0,从而得到这样即可得到·=t2-4t,根据题意知t为定值,即得出·为定值,定值为t2-4t;
(3)可得到T(0,1),可设B(x0,),根据条件=λ便可得到A(-λx0,1+λ-λ·),而根据点A在抛物线x2=4y上便可得到x02=,而T又是抛物线的焦点,从而有f(λ)=|AB|=yA+yB+2,带入A,B的纵坐标及x02=便可得出f(λ)的解析式.
答案:(1)由题意,-=-1,p=2;
∴抛物线方程为x2=4y;
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l:y=kx+t,则:
由得,x2-4kx-4t=0;∴
∴y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=-4k2t+4k2t+t2=t2;
∴·=x1x2+y1y2=t2-4t;
因为点T(0,t)是定点,所以t是定值,所以·是定值,此定值为t2-4t;
(3)T(0,1),设B(x0,x024),则:
=(x0,),=λ=(λx0 ,λ·-λ),故A(-λx0 ,1+λ-λ·);
因为点A在抛物线x2=4y上,所以λ2x02=4(1+λ-λ·),得x02=;
又T为抛物线的焦点,故f(λ)=|AB|=yA+yB+2=(1+λ-λ·)++2=λ++2;
即f(λ)=λ++2(λ>0).
23.设复数zn=xn+i·yn,其中xnyn∈R,n∈N*,i为虚数单位,zn+1=(1+i)·zn,z1=3+4i,复数zn在复平面上对应的点为Zn.
(1)求复数z2,z3,z4的值;
(2)证明:当n=4k+1(k∈N*)时,∥;
(3)求数列{xn·yn}的前100项之和.
解析:(1)利用zn+1=(1+i)·zn,z1=3+4i,即可得出;
(2)由已知zn+1=(1+i)·zn,得zn=(1+i)n-1·z1,当n=4k+1时,(1+i)n-1=(-4)k,即可证明.
(3)由zn+4=(1+i)4zn=-4zn,可得xn+4=-4xn,yn+4=-4yn,xn+4yn+4=16xnyn,即可得出.
答案:(1)∵zn+1=(1+i)·zn,z1=3+4i,
∴z2=(1+i)(3+4i)=-1+7i,z3=-8+6i,z4=-14-2i.
(2)由已知zn+1=(1+i)·zn,得zn=(1+i)n-1·z1,
当n=4k+1时,(1+i)n-1=(1+i)4k=(-4)k,
令λ=(-4)k,则zn=λ·z1,
即则存在非零实数λ=(-4)k(k∈N*),使得=λ.
∴当n=4k+1(k∈N*)时,∥.
(3)∵zn+4=(1+i)4zn=-4zn,
故xn+4=-4xn,yn+4=-4yn,
∴xn+4yn+4=16xnyn,
又x1y1=12,x2y2=-7,x3y3=-48,x4y4=28,
∴x1y1+x2y2+x3y3+…+x100y100=(x1y1+x2y2+x3y3+x4y4)+(x5y5+x6y6+x7y7+x8y8)+…+(x97y97+x98y98+x99y99+x100y100)=(12-7-48+28)·=1-2100,
∴数列{xnyn}的前100项之和为1-2100.