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- 2021-05-14 发布
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【参数方程和普通方程的互化】
例1 求曲线(为参数)与曲线(为参数)的交点.
解:把代入
得:两式平方相加可得
∴ (舍去)
于是即所求二曲线的交点是(.-).
说明:在求由参数方程所确定的两曲线的交点时.最好由参数方程组求解.如果化为普通方程求交点时要注意等价性.如该例若化为普通方程求解时要注意点(-.)是增解.
例2化直线的普通方程为参数方程(其中倾斜角满足且)
解法一:因..故
∴
设。取为参数.则得所求参数方程
解法二:如图.()为直线上的定点.为直线上的动点.因动点M与的数量一一对应(当M在的向上方向或正右方时.;当M在的下方或正左方时.;当M与重合时.).故取为参数.
过点M作y轴的平行线.过点作轴的平行线.两直线相交于点Q(如图).则有
∴
即为所求的参数方程。
说明:①在解法二中.不必限定..即不必限定..由此可知.无论中任意值时.所得方程都是经过().倾斜角为的直线的参数方程.可称它是直线参数方程的“点角式”或“标准式”.
②要充分理解解法二所示的参数的几何意义.这对解决某些问题较为方便.
③如果取为参数.则得直线参数方程
一般地.直线的参数方程的一般形式是
(.为参数)
但只有当且仅当.且时.这个一般式才是标准式.参数才具有上述的几何意义.
例3 求椭圆的参数方程.
分析一:把与对比.不难发现.可设.也可设
解法一:设(为参数).则
∴
故
因此.所得参数方程是
(Ⅰ)或 (Ⅱ)
由于曲线(Ⅱ)上的点(.).就是曲线(Ⅰ)上的点(.).所以曲线(Ⅱ)上的点都是曲线(Ⅰ)上的点.
显然.椭圆的参数方程是
分析二:借助于椭圆的辅助圆.可明确椭圆参数方程中的几何意义.
解法二:以原点O为圆心.为半径作圆.如图.设以轴正半轴为始边.以动半径OA为终边的变角为.过点A作轴于N.交椭圆于M.取为参数.则点M()的横坐标(以下同解法一).
由解法二知.参数是点M所对应的圆半径OA的转角.而不是OM的转角.因而称为椭圆的离角.(如果以O为圆心.为半径作圆.过M作.交圆于B.由可知也是半径OB的转角).
例4 用圆上任一点的半径与x轴正方向的夹角为参数.把圆化为参数方程。
分析:由圆的性质及三角函数的定义可把圆上任意一点化为的参数形式。
解:如图所示.圆方程化为.设圆与x轴正半轴交于A.为圆上任一点.过P作轴于B.OP与x轴正半轴所成角为..则:
又中.
∴
∴此圆的参数方程为
例5 设(为参数)把普通方程化为以为参数的参数方程。
解:把代入原方程.得.
解得
∴参数方程为 (为参数)
∵与表示的是同一曲线.所以它们是等价的.可以省略一个。
∴所求参数方程
例6 化双曲线为参数方程。
解:设.代入为.得
∴的参数方程为(为参数.)
这是同学中较为常见的解法.这种解法是错误的.那么错在哪里呢?请你找出来。
错误在于.双曲线上x的取值范围是不等于零的一切实数.错解中得到的参数方程中x的取值范围仅仅.故错解中得到的参数方程只表示双曲线上一部分.不符合普通方程与参数方程的等价性要求.普通方程化为参数方程时关键是选择适当的参数.注意使所得参数方程与原普通方程中变量x、y的允许值范围要保持一致。
下面给出正确解法:设.代入得。
∴的参数方程为:(为参数.)
例7 化参数方程
(为参数)为普通方程。
分析一:用代入消元法.从已知方程中解出参数.代入后消去参数。
解法一:∵
∴ 即
将它代入(1).并化简得
()
分析二:用整体消参法。注意表达式的分母相同.而分子的平方和恰为原来相同的分母。
解法二:得
又∵ ∴
于是得所求普通方程为
即
分析三:因为.所以。从表达式可联想万能公式。于是可用三角变换.然后利用三角公式再消参。
解法三:∵.
∴ 可令(.)
又∵
于是得
得
即
∵.()
∴()
即.∴
∴普通方程是()
说明:解法一是用代入法消参.解法二是整体消参法.解法三是运用万能公式.三角变换消参.三种解法中都应注意的限制条件.使参数方程化为普通方程时保持等价性。
例8将下列参数方程(其中.为参数)化为普通方程。
(1) (2) (3)
解:(1)∵
∴ ()为所求。
(2)由.得()
将它代入.并化简得()
另解:∵
并整理得
()
(3)∵
且
∴所求普通方程为
说明:(1)小题是用三角公式变形后用代入法消参.(2)是用代入(消元)法消参变形后整体消参.(3)小题是通过代数变换法消参。但都应特别注意等价性。
例9 对于方程(a.b为常数)
(1)当t为常数.为参数时.方程表示何种曲线;
(2)当t为参数.为常数时.方程表示何种曲线
解:(1)当t为常数.原方程可变形为
两式平方相加得
即
这是以(a.b)为圆心.为半径的圆。
(2)当为常数时.
由第一式得代入第二式得
即
这是过点(a.b).斜率为的一条直线
小结:同一参数方程.由于参数不同.所表示的曲线也不同.消去参数化为普通方程后.曲线的类型也就显现出来。
例10 已知直线过点P(2.0).斜率为。直线和抛物线相交于A、B两点.线段AB的中点为M。求:
(1)线段PM的长;
(2)M点的坐标;
(3)线段AB的长
解:如图。
(1)由直线过点P(2.0).斜率为。设其倾斜角为.则有
可得直线的标准参数方程为:
(其中为参数)
设直线上两点A、B分别对应参数、.
由方程组:
消去可得:
有 .
由M为AB的中点.
∴
(2)设M点对应参数为.则有
∴ M点坐标为:
∴M点坐标为(.)
(3)由
分别代入.
可得
点拨:利用直线的标准参数方程中参数的几何含义.在解决诸如直线上的两点距离、某两点的中点以及与此相关的一些问题时.显得很方便和简捷。
例11 已知椭圆上的一个点P().求的最值。
解:设椭圆的参数方程为:
(为参数.)
∴
.(其中)
∵
∴
即的最大值是.最小值是-。
点拨:这个题虽然很简单.但它说明了一个道理:曲线的参数方程不仅表示了曲线.同时也表示了曲线上的点的坐标.当曲线的参数方程表示曲线上的点的坐标时.实际上起到了消元的作用.即用一个参数表示了 、.因此.在求某些几何量的最值时.参数方程可以起到一元化即消元的作用.
例12 过点M(2.1)作曲线(为参数)的弦AB.若M为AB的三等分点.求AB直线方程。
解:设AB的方程为(t为参数).将x.y代入曲线(为参数)即.
整理、化简得.
①
②
∵点M在AB的内部 ∴
∴。
将①、②代入上式有。
解得.
则AB的方程为
小结:本题是首先设出过定点的参数方程.然后和椭圆方程联立.再利用韦达定理及直线参数方程中t的意义.求得斜率.用点斜式写出直线方程。
例13 圆O内一定点A.过A任作两互相垂直的弦.求证这两弦长的平方和为定值。
证明:以圆心O为原点.OA所在的直线为x轴建立直角坐标系.
设圆的方程.过定点互相垂直的两弦PQ、RS的方程分别为即
分别代入圆方程.得.其二根为、.
.其二根为、.故有
∴两弦平方和为定值
小结:涉及圆的弦长问题.可利用直线参数方程来解。
例14 已知是抛物线的一动弦.O为原点。当恒为直角时.如图求弦的中点P的轨迹方程。
分析 点P是的中点.点P的坐标与.的坐标..、相关.如果选取..、作为参数.则要列出...、有关的五个方程.最后消去参数..、就可以得到P点的轨迹方程。
解 设P().(.).(.)
∵P是的中点
∴①
②
∵.在抛物上
∴③
④
又∵恒为直角.即
∴⑤
由③×④:
∴
由③+④:
∴
把①、②式代入得:
∴ P点的轨迹方程是
说明 此题的解法是利用参数求点的轨迹方程.参数的个数可以是一个.也可以是几个.所列出的参数与点的坐标之间的方程的个数要比参数个数多一个.最后消去参数.得出轨迹方程.解决这类问题的关键是如何选取参数.此题还有一种选取参数的方法.
设直线的斜率为.根据
则的方程是.
的方程是。
由解得
由解得
设.根据P是的中点
∴(1)
(2)
由
把(1)代入:
∴P点的轨迹方程是:
宁可累死在路上,也不能闲死在家里!宁可去碰壁,也不能面壁。是狼就要练好牙,是羊就要练好腿。什么是奋斗?奋斗就是每天很难,可一年一年却越来越容易。不奋斗就是每天都很容易,可一年一年越来越难。能干的人,不在情绪上计较,只在做事上认真;无能的人!不在做事上认真,只在情绪上计较。拼一个春夏秋冬!赢一个无悔人生!早安!—————献给所有努力的人.