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- 2021-05-14 发布
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中档大题规范练——直线与圆
1.已知圆O:x2+y2=4和点M(1,a).
(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切,求实数a的值,并求出切线方程.
(2)若a=,过点M的圆的两条弦AC,BD互相垂直,求AC+BD的最大值.
解 (1)由条件知点M在圆O上,
所以1+a2=4,则a=±.
当a=时,点M为(1,),kOM=,k切=-,
此时切线方程为y-=-(x-1).
即x+y-4=0,
当a=-时,点M为(1,-),kOM=-,k切=.
此时切线方程为y+=(x-1).即x-y-4=0.
所以所求的切线方程为x+y-4=0或x-y-4=0.
(2)设O到直线AC,BD的距离分别为d1,d2(d1,d2≥0),
则d+d=OM2=3.
又有AC=2,BD=2,
所以AC+BD=2+2.
则(AC+BD)2=4×(4-d+4-d+2·)
=4×[5+2]
=4×(5+2).
因为2d1d2≤d+d=3,所以dd≤,
当且仅当d1=d2=时取等号,所以≤,
所以(AC+BD)2≤4×(5+2×)=40.
所以AC+BD≤2,
即AC+BD的最大值为2.
2.已知圆C:(x+1)2+y2=8.
(1)设点Q(x,y)是圆C上一点,求x+y的取值范围;
(2)在直线x+y-7=0上找一点P(m,n),使得过该点所作圆C的切线段最短.
解 (1)设x+y=t,因为Q(x,y)是圆上的任意一点,所以该直线与圆相交或相切,
即≤2,解得-5≤t≤3,
即x+y的取值范围是[-5,3].
(2)因为圆心C到直线x+y-7=0的距离
d==4>2=r,
所以直线与圆相离,因为切线、圆心与切点的连线、切线上的点与圆心的连线,组成一直角三角形且半径为定值;所以只有当过圆心向直线x+y-7=0作垂线,过其垂足作的切线段最短,其垂足即为所求.
设过圆心作直线x+y-7=0的垂线为x-y+c=0.
又因为该线过圆心(-1,0),
所以-1-0+c=0,即c=1,
而x+y-7=0与x-y+1=0的交点为(3,4),
即点P坐标为(3,4).
3.已知点P(0,5)及圆C:x2+y2+4x-12y+24=0.
(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4,求l的方程;
(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.
解 (1)如图所示,AB=4,将圆C方程化为标准方程为(x+2)2+(y-6)2=16,
∴圆C的圆心坐标为(-2,6),半径r=4,设D是线段AB的中点,则CD⊥AB,
又AD=2,AC=4.
在Rt△ACD中,可得CD=2.
设所求直线l的斜率为k,则直线l的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0.
由点C到直线l的距离公式:=2,
得k=.
故直线l的方程为3x-4y+20=0.
又直线l的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为x=0.
∴所求直线l的方程为x=0或3x-4y+20=0.
(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x,y),
则CD⊥PD,即·=0,
∴(x+2,y-6)·(x,y-5)=0,
化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0.
4.a为何值时,(1)直线l1:x+2ay-1=0与直线l2:(3a-1)x-ay-1=0平行?
(2)直线l3:2x+ay=2与直线l4:ax+2y=1垂直?
解 (1)①当a=0时,两直线的斜率不存在,
直线l1:x-1=0,直线l2:x+1=0,此时,l1∥l2.
②当a≠0时,l1:y=-x+,
l2:y=x-,
直线l1的斜率为k1=-,
直线l2的斜率为k2=,
要使两直线平行,必须
解得a=.
综合①②可得当a=0或a=时,两直线平行.
(2)方法一 ①当a=0时,直线l3的斜率不存在,
直线l3:x-1=0,直线l4:y-=0,此时,l3⊥l4.
②当a≠0时,直线l3:y=-x+与直线l4:y=-x+,直线l3的斜率为k3=-,直线l4的斜率为k4=-,要使两直线垂直,必须k3·k4=-1,
即-·=-1,不存在实数a使得方程成立.
综合①②可得当a=0时,两直线垂直.
方法二 要使直线l3:2x+ay=2和直线l4:ax+2y=1垂直,根据两直线垂直的充要条件,必须A1A2+B1B2=0,即2a+2a=0,解得a=0,所以,当a=0时,两直线垂直.
5.已知圆C的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0,一定点为A(1,2),且过定点A(1,2)作圆的切线有两条,求a的取值范围.
解 将圆C的方程配方有(x+)2+(y+1)2=,
∴>0,①
∴圆心C的坐标为(-,-1),半径r=.
当点A在圆外时,过点A可作圆的两条切线,
∴AC>r,
即 >,
化简得a2+a+9>0.②
由①②得-r,此时不满足直线与圆相交,故舍去,
∴圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
(3)解 点B(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点B′(-4,-2),
则PB+PQ=PB′+PQ≥B′Q,
又B′到圆上点Q的最短距离为
B′C-r=-
=3-=2.
所以PB+PQ的最小值为2,直线B′C的方程为y=x,则直线B′C与直线x+y+2=0的交点P的坐标为(-,-).