高考考余弦定理证明 3页

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  • 2021-05-14 发布

高考考余弦定理证明

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‎ 从高考考余弦定理证明谈起 ‎ ‎【题1】 叙述并证明勾股定理(1979年全国卷,四题).‎ ‎【说明】 这道大题,在总分为110分的考卷上,理科占6分,文科占9分.理科的评分标准是:(1)叙述勾股定理(2分);(2)证明勾股定理(4分).‎ ‎【题2】 (1980·理科四题(满分8分))写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明 ‎【插话】 对这道题目,人们虽然不感到新鲜,但有一个期待,期待着标准答案中有“新鲜东西”出现.后来一看,非常“失望”,该题对余弦定理的证明,依赖的仍然是勾股定理. 【题3】(2010年四川)‎ ‎(文)(19)(本小题满分12分)w_w w. k#s5_u.c o(Ⅰ)1证明两角和的余弦公式;‎ ‎2由推导两角和的正弦公式.‎ ‎(Ⅱ)已知,求 解:(1)①如图,在执教坐标系xOy内做单位圆O,并作出角α、β与-β,使角α的始边为Ox,交⊙O于点P1,终边交⊙O于P2;角β的始边为OP2,终边交⊙O于P3;角-β的始边为OP1,终边交⊙O于P4. ‎ 则P1(1,0),P2(cosα,sinα)‎ P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β))‎ 由P1P3=P2P4及两点间的距离公式,得 ‎[cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2‎ 展开并整理得:2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)‎ ‎∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.…②由①易得cos(-α)=sinα,sin(-α)=cosα sin(α+β)=cos[-(α+β)]=cos[(-α)+(-β)]‎ ‎=cos(-α)cos(-β)-sin(-α)sin(-β)‎ ‎=sinαcosβ+cosαsinβ……………………………………6分 ‎(2)∵α∈(π,),cosα=-‎ ‎∴sinα=-‎ ‎∵β∈(,π),tanβ=-‎ ‎∴cosβ=-,sinβ=‎ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ ‎=(-)×(-)-(-)×w_w w. k#s5_u.c o*‎ ‎=‎ ‎(理)(19)(本小题满分12分)‎ ‎(Ⅰ)1证明两角和的余弦公式;‎ ‎ 2由推导两角和的正弦公式.‎ ‎(Ⅱ)已知△ABC的面积,且,求cosC.‎ 解:(1)①如图,在执教坐标系xOy内做单位圆O,并作出角α、β与-β,使角α的始边为Ox,交⊙O于点P1,终边交⊙O于P2;角β的始边为OP2,终边交⊙O于P3;角-β的始边为OP1,终边交⊙O于P4. ‎ 则P1(1,0),P2(cosα,sinα)P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)) w_w w. k#s5_‎ u.c o*m由P1P3=P2P4及两点间的距离公式,得 ‎[cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2‎ 展开并整理得:2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)‎ ‎∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.……………………4分 ‎②由①易得cos(-α)=sinα,sin(-α)=cosα sin(α+β)=cos[-(α+β)]=cos[(-α)+(-β)]‎ ‎=cos(-α)cos(-β)-sin(-α)sin(-β)‎ ‎=sinαcosβ+cosαsinβ……………………………………6分 ‎(2)由题意,设△ABC的角B、C的对边分别为b、c 则S=bcsinA=‎ ‎=bccosA=3>0w_w w. k#s5_u.c o*m ‎∴A∈(0, ),cosA=3sinA 又sin2A+cos2A=1,∴sinA=,cosA=‎ 由题意,cosB=,得sinB=‎ ‎∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=w_w w. k#s5_u.c o*m 故cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-…………………………12分 ‎【题4】(2011年陕西)‎