高考专题放缩法 8页

高考专题—放缩法 缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。‎ 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．‎ 一．先求和后放缩 例1．正数数列的前项的和，满足，试求：‎ ‎（1）数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项的和为，求证：‎ 解：（1）由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以 ‎（2），所以 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．‎ 二．先放缩再求和 ‎1．放缩后成等差数列，再求和 例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.‎ ‎(1) 求证：；‎ ‎(2) 求证：‎ 解：（1）在条件中，令，得， ，又由条件有，上述两式相减，注意到得 ‎ ∴ ‎ 所以， ， ‎ 所以 ‎（2）因为，所以，所以 ‎；‎ ‎2．放缩后成等比数列，再求和 例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：；‎ ‎（2）等比数列{an}中，，前n项的和为An，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{bn}前n项的和为Bn，证明：Bn＜．‎ 解：（1）当n为奇数时，an≥a，于是，． ‎ ‎ 当n为偶数时，a－1≥1，且an≥a2，于是 ‎． ‎ ‎（2）∵，，，∴公比． ‎ ‎∴． ． ‎ ‎∴． ‎ ‎3．放缩后为差比数列，再求和 例4．已知数列满足：，．求证：‎ 证明：因为，所以与同号，又因为，所以，‎ 即，即．所以数列为递增数列，所以，‎ 即，累加得：．‎ 令，所以，两式相减得：‎ ‎，所以，所以，‎ 故得．‎ ‎4．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列321的逆序数．‎ ‎（1）求a4、a5，并写出an的表达式；‎ ‎（2）令，证明，n=1,2,….‎ 解（1）由已知得，.‎ ‎（2）因为，‎ 所以.‎ 又因为，‎ 所以 ‎　　　　　　　　　　　　　 =.‎ ‎ 综上，.‎ 注：常用放缩的结论：（1）‎ ‎（2）．‎ 练习1已知数列{a}满足：a=1且.‎ （1） 求数列{a}的通项公式；‎ （2） 设mN，mn2，证明（a+）（m-n+1）‎ ‎ 分析：这是06年河北省高中数学竞赛的一道解答题（1）大家都知道数列的递推公式往往比通项公式还重要.这就引导我们要重视数列的递推公式 由已知有a=,学生对形如, A，B是常数）形式的一次线性递推关系的数列通过构造新数列求通项公式的方法已不陌生，本题中的递推关系显然不是此类型.那么我们能否也可通过待定系数法构造新数列呢?‎ 不妨设即与比较系数得c=1.即 又,故{}是首项为公比为的等比数列，‎ 故 (2) 这一问是数列、二项式定理及不等式证明的综合问题.综合性较强.‎ 即证，当m=n时显然成立。易验证当且仅当m=n=2时，等号成立。‎ 设下面先研究其单调性。当>n时，‎ 即数列{}是递减数列.因为n2，故只须证即证。事实上，故上不等式成立。综上，原不等式成立。‎ ‎2设数列{}满足 （1） 求{}的通项公式；‎ （2） 若 求证：数列{}的前n项和 分析：（1）此时我们不妨设 即与已知条件式比较系数得 又是首项为2，公比为2的等比数列。.‎ （3） 由（1）知. 当时,‎ 当n=1时，=1也适合上式，所以，故 方法一：，(这步难度较大,也较关键,后一式缩至常数不易想到.必须要有执果索因的分析才可推测出.)‎ ‎ ‎ ‎.‎ 方法二 :在数列中,简单尝试的方法也相当重要.很多学生做此题时想用裂项相消法但是发现此种处理达不到目的.但是当n3时,我们看:‎ 易验证当n=1，2时 . 综上 下面我们再举一个数列中利用放缩法证明不等式的问题.‎ ‎3已知正项数列{}满足 （1） 判断数列{}的单调性；‎ （2） 求证：‎ 分析：（1），即 ‎ 故数列{}为递增数列.‎ ‎(2) 不妨先证 再证：原解答中放缩技巧太强，下面给出另一种证法 ‎.‎ 当时，‎ ‎.‎ 易验证当n=1时,上式也成立.‎ 综上,故有成立.‎ ‎4求证：‎ 证明：‎ 此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。‎ ‎5已知求证：‎ 证明：‎ ‎6 已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2an +(-1)n,n≥1．‎ ‎（Ⅰ）写出求数列{an}的前3项a1,a2,a3；‎ ‎（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）证明：对任意的整数m>4，有.‎ 解；数列{}的通项公式为：.‎ ‎⑶由已知得：‎ ‎.‎ 故( m>4).‎