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- 2021-05-14 发布
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高考数学分类复习之不等式
（一）不等式的概念和性质
一：基础训练：
1：已知a>︱b︱,b<0,那么a，b，-a，-b的大小关系 。
2：如果a>b，e>f,c>0,求证：f-acbc2(2):若ac2>bc2，则a〉b（3）：若a〉b，则c-2a〉c-2b.问：以上那些命题是正确的？对不正确的命题，添加什么条件之后变成正确命题？
二、知识点讲解
1．不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式．
说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥、≤、≠．（2）不等式研究的范围是R．
2．判断两个实数大小的充要条件
对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是：
3．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：a>b，c>d，是同向不等式
异向不等式：两个不等号方向相反的不等式例如：a>b，cb，那么bb．(对称性)
即：a>bbb
性质2：如果a>b，且b>c，那么a>c．(传递性)
即a>b，b>ca>c
性质3：如果a>b，那么a+c>b+c．
即a>ba+c>b+c
性质4：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．(相加法则)
即a>b， c>d a+c>b+d．
性质5：如果a>b,c>0,那么ac〉bc; ：如果a>b,c<0,那么acb >0，且c>d>0，那么ac>bd．(相乘法则)
推论2 若
推论3 若
三、范例讲解
例1比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小
例2已知x≠0，比较（x2＋1）2与x4＋x2＋1的大小
＋
例3已知a>b>0，m>0，试比较与的大小
例4 已知x>y，且y≠0，比较与1的大小
例 5已知a>b，cb-d．(相减法则)
四、巩固练习
1判断下列命题的真假，并说明理由：
(1)如果a＞b，那么a－c＞b－c： 。
(2)如果a＞b，那么＞： 。
2．给出四个条件，b>0>a, 0>a>b, a>0>b,a>b>0,能推出成立的是
3．语句“a不大于b”可表示为 。
4．4〈a<5,10b,则acbc2,则a>b; aab>b2;若c>a>b>0,则；若a>b,，则,其中真命题的个数为（ ）A．2 B.3 C.4 D.5
7.已知，求的取值范围。
8．若a>b>c,且a+b+c=0,下列不等式恒成立的是（ ）
A．ac>bc B.ab>ac C.a|b|>c|b| D.a2>b2>c2
（二）均值不等式
一：基础训练：
1：已知a,b,c,d都是正数，求证：(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
2:已知：x+y=3，求2x+2y的最小值.
3：求函数y=x(1-2x),(00，且xy=2,则x+y2,当且仅当x=y=时取“=”
（2）如果和x+y=S（和是定值S）,那么当x=y时，积xy （积有最大值）
一正：函数式中各项必须都是正数;
二定：函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；
三相等：等号成立条件必须存在
三、范例讲解
例1已知x、y都是正数，求证： ≥2；
例2.已知道00,求函数y=x+的值域
7．求函数y=x+（x）的值域。
8．已知a、b、c都是正数，求证（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc
9．已知x>0,y>0, 且求x+y的最小值.
10．求函数y=的最小值.
11.如图,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其它各面用钢筋网围成:（1）现有可围36m长网的材料,每间虎笼的长、宽如何设计可使每间虎笼面积最大？（2）若每间虎笼面积为24m2,则每间虎笼的长、宽各为多少时，所使用的钢筋网材料最省？
（三）不等式的解法
一：基础训练：
1：解下列不等式：
2:已知不等式ax2-3x+6>0的解集为{x∣x<1或x>b}
（1）：求a,b
（2）：解不等式ax2-(a+b)x+b<0
3：设：集合A={x∣0≤x<2},集合B={x∣x2-2x-3<0},求集合A∩B ？
二：知识点讲解：
1、 一元一次不等式ax>b解的讨论：（axb形式的不等式：当a>0时解集为或{x|x>}
当a<0时解集为或{x|x<}当a=0且b<0时解集为R
2、一元二次不等式的解法
定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的不等式叫一元二次不等式。
特点：一元二次不等式的解法中常会把一元二次不等式所对应的二次函数和一元二次方程联系起来。
对于所有形式的一元二次不等式，我们总可化为ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0(a>0)两形式之一，记△=b2－4ac观察下图，写出不等式的解集：
△=b2－4ac
△>0
△=0
△<0
二次函数y=ax2+bx+c 的图象 (a>0)
ax2+bx+c=0的根
x=
ax2+bx+c>0的解集
ax2+bx+c<0的解集
（1）一元二次不等式（x－x1）（x－x2）>0
∵一元二次方程（x－x1）（x－x2）=0的根是x1,x2，设x10的解集为：｛x|x x2｝
又不等式（x－x1）（x－x2）<0的解集为：｛x|x1< x< x2｝
三、范题讲解
（1）解不等式（2－x）（3+x）<0
解：不等式化为：（x－2）（3+x）>0
∴不等式的解集为：｛x|x>2或x<－3｝
小结 ：一元一次不等式和一元二次不等式的解法是解各类不等式的基础,要予以高度重视尤其把握好解一元二次不等式的解题步骤:一是将二次项系数变为正的;二是确定不等式对应方程根的情况(由判别式来确定);三是结合图象(二次函数图象)写出不等式的解集
四、巩固练习
1．解不等式
(1):-40，不等式56x2+ax－a2<0的解集是。
6：已知同时满足两个不等式x2-4x+3<0和x2-7x+10<0的x也满足不等式x2-ax+2(a-3)<0,求实数a的取值范围.
7:政府收购某种农产品的原价格是100元/担，其中征税标准为每100元征10元（叫税率为10个百分点，即10%），计划收购a万担，为了减轻农民负担，现决定将税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点，要使此项税收在税率调整后不低于原计划的83.2%，试确定x的范围。
（四）线性规划
一：基础训练
1：画出2x+y-10<0的平面区域
2: 画出(x+2y+1)(x-y+4)<0的平面区域
3、在直角坐标系中，满足不等式x2－y2≥0的点（x, y）的集合的阴影部分是： （ ）
4: 用不等式可表示为由直线x+y+2=0,x+2y+1=0和2x+y+1=0所围成的三角形区域（不含边界）。
5、若x≥0，y≥0, 且x+y≤1，则z=x－y的最大值是： （ ）
A、－1 B、1 C、2 D、－2
6、用三条直线x+2y=2,2x+y=2，x－y=3围成一个三角形，则三角形内部区域（不包括边界）用不等式组 表示。
7、已知，则z=2x+y的最大值是 。
二、知识点讲解
在现实生活和数学中，我们会遇到各种各样的不等关系，需要用不同的数学模型来刻画和研究它们，我们知道二元一次方程表示直线，那么二元一次不等式（组）又表示什么呢？
1:一般地: 二元一次不等式Ax+By+C>0在直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有的点组成平面区域(半平面)不含边界.
Ax+By+C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界线
2:对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点（x,y）,使得Ax+By+C的值的符号相同,也就是说位于同一半平面的点,其坐标适合同一个不等式Ax+By+C>0,而位于另一半平面的点,其坐标适合另一个不等式Ax+By+C<0.
3:二元一次不等式组的定义：把几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。
4:二元一次不等式组表示平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
5:确定二元一次不等式表示的区域的步骤：
（1）：在平面直角坐标系中作出Ax+By+C=0,
（2）：在直线的一侧任取一点P（x0,y0）,特殊地：当C≠0时，常取原点作为特殊点。（3）：将P（x0,y0）代入Ax+By+C求值，
（4）若A x0+B y0
+C>0,则包含此点P的半平面区域为不等式Ax+By+C>0所表示的平面区域,不包含此点P的半平面区域为不等式Ax+By+C<0所表示的平面区域.
注意: Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,区域包括边界线,所以将边界线画成实线.
6:基本概念:
线性约束条件:由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式组,是对x和y的约束条件.
目标函数:关于x,y的解析式.如z=3x+5y;z=x2+y2;
线性目标函数: 关于x,y的一次解析式。可行解:满足线性约束条件的解(x,y)可行域:所有可行解组成的集合
最优解:使目标函数达到最大值或最小值的可行解
7:解决线性规划问题的方法和步骤:
(1)方法
图解法:借助直线与平面区域有交点时,直线在Y轴的截距的最大值或最小值求解.
(2)步骤：
设出未知数;列出约束条件,确定目标函数;
作出可行域;作平行线,使平行线与平面区域有交点;
求出最优解,并作答.
三：范例讲解
1．画出不等式2x－3y+6>0所表示的平面区域。
2．画出下列不等式组所表示的平面区域：
3．投资生产A产品时，每生产一百吨需要资金200万元，需要场地200m2，可获利润300万元，投资生产B产品时，每生产一百米需要资金300万元，场地100m2，可获得利润200万元，现某单位可使用资金1400万元，场地900m2，问：应该怎样组合投资，可使获利最大？
四：巩固练习
1、在约束条件：x+2y≤5，2x+y≤4，x≥0，y≥0下，x=3x+4y的最大值是 （ ）
A、9 B、10 C、11 D、12
2、设R为平面上以A（4，1），B（－1，－6），C（－3，2）为顶点的三角形区域（包括边界），则z=4x－3y的最大值与最小值分别为： （ ）
A、最大值14，最小值－18 B、最大值－14，最小值－18
C、最大值18，最小值14 D、最大值18，最小值－14
3、若0≤x≤1, －1≤y≤2，则z=x+4y的最小值是 。
4、若x≥0, y≥0,2x+3y≤100，2x+y≤60，则z=6x+4y的最大值是 。
5：求不等式∣x-2∣+∣y-2∣≤2所表示的平面区域的面积
6：设R为平面上以A（4，1），B（-1，-6），C（-3，2）三点为顶点的三角形区域（包括三角形内部及边界），试求当（x,y）在R上变动时，4x-3y的最大值和最小值。
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