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- 2021-05-14 发布
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2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)
参考答案与试题解析
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)(2017•新课标Ⅱ)=( )
A.1+2i B.1﹣2i C.2+i D.2﹣i
【解答】解:===2﹣i,
故选 D.
2.(5分)(2017•新课标Ⅱ)设集合A={1,2,4},B={x|x2﹣4x+m=0}.若A∩B={1},则B=( )
A.{1,﹣3} B.{1,0} C.{1,3} D.{1,5}
【解答】解:集合A={1,2,4},B={x|x2﹣4x+m=0}.
若A∩B={1},则1∈A且1∈B,
可得1﹣4+m=0,解得m=3,
即有B={x|x2﹣4x+3=0}={1,3}.
故选:C.
3.(5分)(2017•新课标Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )
A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏
【解答】解:设这个塔顶层有a盏灯,
∵宝塔一共有七层,每层悬挂的红灯数是上一层的2倍,
∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列,
又总共有灯381盏,
∴381==127a,解得a=3,
则这个塔顶层有3盏灯,
故选B.
4.(5分)(2017•新课标Ⅱ)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )
A.90π B.63π C.42π D.36π
【解答】解:由三视图可得,直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半,
V=π•32×10﹣•π•32×6=63π,
故选:B.
5.(5分)(2017•新课标Ⅱ)设x,y满足约束条件,则z=2x+y的最小值是( )
A.﹣15 B.﹣9 C.1 D.9
【解答】解:x、y满足约束条件的可行域如图:
z=2x+y 经过可行域的A时,目标函数取得最小值,
由解得A(﹣6,﹣3),
则z=2x+y 的最小值是:﹣15.
故选:A.
6.(5分)(2017•新课标Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种
【解答】解:4项工作分成3组,可得:=6,
安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,
可得:6×=36种.
故选:D.
7.(5分)(2017•新课标Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( )
A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩
【解答】解:四人所知只有自己看到,老师所说及最后甲说话,
甲不知自己的成绩
→乙丙必有一优一良,(若为两优,甲会知道自己的成绩;若是两良,甲也会知道自己的成绩)
→乙看到了丙的成绩,知自己的成绩
→丁看到甲、丁中也为一优一良,丁知自己的成绩,
故选:D.
8.(5分)(2017•新课标Ⅱ)执行如图的程序框图,如果输入的a=﹣1,则输出的S=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解答】解:执行程序框图,有S=0,k=1,a=﹣1,代入循环,
第一次满足循环,S=﹣1,a=1,k=2;
满足条件,第二次满足循环,S=1,a=﹣1,k=3;
满足条件,第三次满足循环,S=﹣2,a=1,k=4;
满足条件,第四次满足循环,S=2,a=﹣1,k=5;
满足条件,第五次满足循环,S=﹣3,a=1,k=6;
满足条件,第六次满足循环,S=3,a=﹣1,k=7;
7≤6不成立,退出循环输出,S=3;
故选:B.
9.(5分)(2017•新课标Ⅱ)若双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x﹣2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为( )
A.2 B. C. D.
【解答】解:双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线不妨为:bx+ay=0,
圆(x﹣2)2+y2=4的圆心(2,0),半径为:2,
双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x﹣2)2+y2=4所截得的弦长为2,
可得圆心到直线的距离为:=,
解得:,可得e2=4,即e=2.
故选:A.
10.(5分)(2017•新课标Ⅱ)已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【解答】解:如图所示,设M、N、P分别为AB,BB1和B1C1的中点,
则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角
(因异面直线所成角为(0,]),
可知MN=AB1=,
NP=BC1=;
作BC中点Q,则△PQM为直角三角形;
∵PQ=1,MQ=AC,
△ABC中,由余弦定理得
AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC
=4+1﹣2×2×1×(﹣)
=7,
∴AC=,
∴MQ=;
在△MQP中,MP==;
在△PMN中,由余弦定理得
cos∠MNP===﹣;
又异面直线所成角的范围是(0,],
∴AB1与BC1所成角的余弦值为.
11.(5分)(2017•新课标Ⅱ)若x=﹣2是函数f(x)=(x2+ax﹣1)ex﹣1的极值点,则f(x)的极小值为( )
A.﹣1 B.﹣2e﹣3 C.5e﹣3 D.1
【解答】解:函数f(x)=(x2+ax﹣1)ex﹣1,
可得f′(x)=(2x+a)ex﹣1+(x2+ax﹣1)ex﹣1,
x=﹣2是函数f(x)=(x2+ax﹣1)ex﹣1的极值点,
可得:﹣4+a+(3﹣2a)=0.
解得a=﹣1.
可得f′(x)=(2x﹣1)ex﹣1+(x2﹣x﹣1)ex﹣1,
=(x2+x﹣2)ex﹣1,函数的极值点为:x=﹣2,x=1,
当x<﹣2或x>1时,f′(x)>0函数是增函数,x∈(﹣2,1)时,函数是减函数,
x=1时,函数取得极小值:f(1)=(12﹣1﹣1)e1﹣1=﹣1.
故选:A.
12.(5分)(2017•新课标Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则•(+)的最小值是( )
A.﹣2 B.﹣ C.﹣ D.﹣1
【解答】解:建立如图所示的坐标系,以BC中点为坐标原点,
则A(0,),B(﹣1,0),C(1,0),
设P(x,y),则=(﹣x,﹣y),=(﹣1﹣x,﹣y),=(1﹣x,﹣y),
则•(+)=2x2﹣2y+2y2=2[x2+(y﹣)2﹣]
∴当x=0,y=时,取得最小值2×(﹣)=﹣,
故选:B
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(5分)(2017•新课标Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则DX= 1.96 .
【解答】解:由题意可知,该事件满足独立重复试验,是一个二项分布模型,其中,p=0.02,n=100,
则DX=npq=np(1﹣p)=100×0.02×0.98=1.96.
故答案为:1.96.
14.(5分)(2017•新课标Ⅱ)函数f(x)=sin2x+cosx﹣(x∈[0,])的最大值是 1 .
【解答】解:f(x)=sin2x+cosx﹣=1﹣cos2x+cosx﹣,
令cosx=t且t∈[0,1],
则f(t)=﹣t2+t+=﹣(t﹣)2+1,
当t=时,f(t)max=1,
即f(x)的最大值为1,
故答案为:1
15.(5分)(2017•新课标Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则 = .
【解答】解:等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,S4=2(a2+a3)=10,
可得a2=2,数列的首项为1,公差为1,
Sn=,=,
则 =2[1﹣++…+]=2(1﹣)=.
故答案为:.
16.(5分)(2017•新课标Ⅱ)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|= 6 .
【解答】解:抛物线C:y2
=8x的焦点F(2,0),M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,
可知M的横坐标为:1,则M的纵坐标为:,
|FN|=2|FM|=2=6.
故答案为:6.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必做题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.
17.(12分)(2017•新课标Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.
(1)求cosB;
(2)若a+c=6,△ABC面积为2,求b.
【解答】解:(1)sin(A+C)=8sin2,
∴sinB=4(1﹣cosB),
∵sin2B+cos2B=1,
∴16(1﹣cosB)2+cos2B=1,
∴(17cosB﹣15)(cosB﹣1)=0,
∴cosB=;
(2)由(1)可知sinB=,
∵S△ABC=ac•sinB=2,
∴ac=,
∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××
=a2+c2﹣15=(a+c)2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4,
∴b=2.
18.(12分)(2017•新课标Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如图:
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:
箱产量<50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).
附:
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
K
3.841
6.635
10.828
K2=.
【解答】解:(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”,C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”,
由P(A)=P(BC)=P(B)P(C),
则旧养殖法的箱产量低于50kg:(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62,
故P(B)的估计值0.62,
新养殖法的箱产量不低于50kg:(0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66,
故P(C)的估计值为,
则事件A的概率估计值为P(A)=P(B)P(C)=0.62×0.66=0.4092;
∴A发生的概率为0.4092;
(2)2×2列联表:
箱产量<50kg
箱产量≥50kg
总计
旧养殖法
62
38
100
新养殖法
34
66
100
总计
96
104
200
则K2=≈15.705,
由15.705>6.635,
∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;
(3)由题意可知:方法一:=5×(37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.068+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008),
=5×10.47,
=52.35(kg).
新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35(kg)
方法二:由新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50kg的直方图的面积:
(0.004+0.020+0.044)×5=0.034,
箱产量低于55kg的直方图面积为:
(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5,
故新养殖法产量的中位数的估计值为:50+≈52.35(kg),
新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35(kg).
19.(12分)(2017•新课标Ⅱ)如图,四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.
(1)证明:直线CE∥平面PAB;
(2)点M在棱PC 上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M﹣AB﹣D的余弦值.
【解答】(1)证明:取PA的中点F,连接EF,BF,因为E是PD的中点,
所以EFAD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,∴BC∥AD,
∴BCEF是平行四边形,可得CE∥BF,BF⊂平面PAB,CF⊄平面PAB,
∴直线CE∥平面PAB;
(2)解:四棱锥P﹣ABCD中,
侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,
∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.
取AD的中点O,M在底面ABCD上的射影N在OC上,设AD=2,则AB=BC=1,OP=,
∴∠PCO=60°,直线BM与底面ABCD所成角为45°,
可得:BN=MN,CN=MN,BC=1,
可得:1+BN2=BN2,BN=,MN=,
作NQ⊥AB于Q,连接MQ,
所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角,MQ=
=,
二面角M﹣AB﹣D的余弦值为:=.
20.(12分)(2017•新课标Ⅱ)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M做x轴的垂线,垂足为N,点P满足=.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设点Q在直线x=﹣3上,且•=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
【解答】解:(1)设M(x0,y0),由题意可得N(x0,0),
设P(x,y),由点P满足=.
可得(x﹣x0,y)=(0,y0),
可得x﹣x0=0,y=y0,
即有x0=x,y0=,
代入椭圆方程+y2=1,可得+=1,
即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2;
(2)证明:设Q(﹣3,m),P(cosα,sinα),(0≤α<2π),
•=1,可得(cosα,sinα)•(﹣3﹣cosα,m﹣sinα)=1,
即为﹣3cosα﹣2cos2α+msinα﹣2sin2α=1,
解得m=,
即有Q(﹣3,),
椭圆+y2=1的左焦点F(﹣1,0),
由kOQ=﹣,
kPF=,
由kOQ•kPF=﹣1,
可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
21.(12分)(2017•新课标Ⅱ)已知函数f(x)=ax2﹣ax﹣xlnx,且f(x)≥0.
(1)求a;
(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e﹣2<f(x0)<2﹣2.
【解答】(1)解:因为f(x)=ax2﹣ax﹣xlnx=x(ax﹣a﹣lnx)(x>0),
则f(x)≥0等价于h(x)=ax﹣a﹣lnx≥0,
因为h′(x)=a﹣,且当0<x<时h′(x)<0、当x>时h′(x)>0,
所以h(x)min=h(),
又因为h(1)=a﹣a﹣ln1=0,
所以=1,解得a=1;
(2)证明:由(1)可知f(x)=x2﹣x﹣xlnx,f′(x)=2x﹣2﹣lnx,
令f′(x)=0,可得2x﹣2﹣lnx=0,记t(x)=2x﹣2﹣lnx,则t′(x)=2﹣,
令t′(x)=0,解得:x=,
所以t(x)在区间(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,
所以t(x)min=t()=ln2﹣1<0,从而t(x)=0有解,即f′(x)=0存在两根x0,x2,
且不妨设f′(x)在(0,x0)上为正、在(x0,x2)上为负、在(x2,+∞)上为正,
所以f(x)必存在唯一极大值点x0,且2x0﹣2﹣lnx0=0,
所以f(x0)=﹣x0﹣x0lnx0=﹣x0+2x0﹣2=x0﹣,
由x0<可知f(x0)<(x0﹣)max=﹣+=;
由f′()<0可知x0<<,
所以f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,)上单调递减,
所以f(x0)>f()=;
综上所述,f(x)存在唯一的极大值点x0,且e﹣2<f(x0)<2﹣2.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程](
22.(10分)(2017•新课标Ⅱ)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.
(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|•|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为(2,),点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.
【解答】解:(1)曲线C1的直角坐标方程为:x=4,
设P(x,y),M(4,y0),则,∴y0=,
∵|OM||OP|=16,
∴=16,
即(x2+y2)(1+)=16,
∴x4+2x2y2+y4=16x2,即(x2+y2)2=16x2,
两边开方得:x2+y2=4x,
整理得:(x﹣2)2+y2=4(x≠0),
∴点P的轨迹C2的直角坐标方程:(x﹣2)2+y2=4(x≠0).
(2)点A的直角坐标为A(1,),显然点A在曲线C2上,|OA|=2,
∴曲线C2的圆心(2,0)到弦OA的距离d==,
∴△AOB的最大面积S=|OA|•(2+)=2+.
[选修4-5:不等式选讲]
23.(2017•新课标Ⅱ)已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明:
(1)(a+b)(a5+b5)≥4;
(2)a+b≤2.
【解答】证明:(1)由柯西不等式得:(a+b)(a5+b5)≥(+)2=(a3+b3)2≥4,
当且仅当=,即a=b=1时取等号,
(2)∵a3+b3=2,
∴(a+b)(a2﹣ab+b2)=2,
∴(a+b)[(a+b)2﹣3ab]=2,
∴(a+b)3﹣3ab(a+b)=2,
∴=ab,
由均值不等式可得:=ab≤()2,
∴(a+b)3﹣2≤,
∴(a+b)3≤2,
∴a+b≤2,当且仅当a=b=1时等号成立.
参与本试卷答题和审题的老师有:caoqz;双曲线;海燕;whgcn;qiss;742048;maths;sxs123;cst;zhczcb(排名不分先后)
菁优网
2017年6月12日