高考数学一轮复习极限数列的极限数学归纳法 5页

第92-93课时：第十二章 极限——数列的极限、数学归纳法 一知识要点 （一） 数列的极限 ‎1.定义：对于无穷数列{an}，若存在一个常数A，无论预选指定多么小的正数，都能在数列中找到一项aN，使得当n>N时，|an-A|<恒成立，则称常数A为数列{an}的极限，记作.‎ ‎2.运算法则：若、存在，则有 ‎；‎ ‎3.两种基本类型的极限：<1> S=‎ ‎<2>设、分别是关于n的一元多项式，次数分别是p、q，最高次项系数分别为、且,则 ‎4.无穷递缩等比数列的所有项和公式： （|q|<1）‎ 无穷数列{an}的所有项和： （当存在时） ‎ ‎（二）数学归纳法 数学归纳法是证明与自然数n有关命题的一种常用方法，其证题步骤为：‎ ‎①验证命题对于第一个自然数 成立。‎ ‎②假设命题对n=k(k≥)时成立,证明n=k+1时命题也成立.‎ 则由①②,对于一切n≥的自然数,命题都成立。‎ 二、例题（数学的极限）‎ 例1.（1）=;‎ ‎2）．数列{an}和{bn}都是公差不为0的等差数列，且=3,则=‎ ‎（3.）(a>1)=;‎ ‎（4）．=;‎ ‎（5）.=;‎ ‎（6）．等比数列{an}的公比为q=─1/3,则=;‎ 例2．将无限循环小数；1.32化为分数.‎ 例3．已知,求实数a,b的值;‎ 例4．数列{an},{bn}满足(2an+bn)=1, (an─2bn)=1,试判断数列{an},{bn}的极限是否存在，说明理由并求(anbn)的值.‎ 例5．设首项为a，公差为d的等差数列前n项的和为An ,又首项为a,公比为r的等比数列前n项和为Gn ,其中a≠0,|r|<1.令Sn=G1+G2+…+Gn,若有=a,求r的值.‎ 例6．设首项为1，公比为q(q>0)的等比数列的前n项之和为Sn,又设Tn=,求.‎ 例7．{an}的相邻两项an,an+1是方程x2─cnx+=0的两根，又a1=2,求无穷等比c1,c2,…cn,…的各项和.‎ 例8．在半径为R的圆内作内接正方形，在这个正方形内作内切圆，又在圆内作内接正方形，如此无限次地作下去，试分别求所有圆的面积总和与所有正方形的面积总和。‎ rn rn+1‎ an 例9．如图，B1，B2，…，Bn,…顺次为曲线y=1/x(x>0)上的点，A1，A2，…，An…顺次为ox轴上的点，且三角形OB‎1A1，三角形A1B‎2A2，三角形An─1BnAn为等腰三角形（其中Ð Bn为直角),如果An的坐标为(xn,0).‎ ‎(1)求出An的横坐标的表达式;‎ An─1‎ A1‎ A2‎ An Bn B3‎ B2‎ B1‎ y x O ‎(2)求.‎ 二．例题（数学归纳法）‎ 例1．用数学归纳法证明2n>n2(n∈N,n³5),则第一步应验证n=;‎ 例2．用数学归纳法证明,第一步验证不等式成立；‎ 例3.是否存在常数a,b,c,使得等式1·22＋2·32＋……＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)对一切自然数n成立？并证明你的结论.(89年)‎ 例4.已知数列{an}=,记Sn=a1+a2+a3+…+an,用数学归纳法证明Sn=(n+1)an-n.‎ 例5．证明：> (n∈N,n³2)‎ 例6．证明：xn─nan─1x+(n─1)an能被(x─a)2整除(a≠0).‎ 例7.在1与2之间插入个正数，使这个数成等比数列；又在1与2之间插入个正数使这个数成等差数列．记．‎ ‎（Ⅰ）求数列和的通项；（Ⅱ）当时，比较与的大小，并证明你的结论．‎ 例8．若数列{an}满足对任意的n有：Sn=,试问该数列是怎样的数列？并证明你的结论.‎ 例9．已知数列是等差数列，。‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）设数列的通项（其中，且），记是数列的前n项和。试比较与的大小，并证明你的结论。‎ 练习（数列的极限）‎ 1. 已知{an}是等比数列,如果a1＋a2＋a3＝18,a2＋a3＋a4＝－9,Sn＝a1＋a2＋……＋an,那么的值等于( )(89年)‎ ‎(A)8 (B)16 (C)32 (D)48‎ 2. 的值等于( )(91年)‎ ‎(A)0 (B)1 (C)2 (D)3‎ ‎3.在等比数列{an}中,a1＞1,且前n项和Sn满足,那么a1的取值范围是( )(98年)‎ ‎(A)(1,＋∞)(B)(1,4)(C)(1,2)(D)(1,)‎ ‎7.)等于 ( )‎ ‎ (A)0 (B)¥ (C) (D)5‎ ‎8．等于：（A）16（B）8（C）4 （D）2‎ ‎9． 已知各项均为正数的等比数列{an}的首项a1=1,公比为q,前n项和为Sn,=1,则公比q的取值范围是：‎ ‎（A）.q≥1（B）.01‎ ‎10.的值为 ( )‎ ‎(A)0 (B)1 (C)2 (D)不存在 ‎11.已知{an}是公差不为0的等差数列，Sn是{an}的前n项和，那么等于___.‎ ‎12.已知等差数列{an}的公差d＞0，首项a1＞0，S＝______.(93年)‎ ‎13.如果存在，且，则＝________‎ ‎14.＝____________.(86年)‎ ‎15.＝____________.(87年)‎ ‎16.已知等比数列{an}的公比q＞1，a1＝b(b≠0)，则＝___.‎ ‎17．求= （a>0);‎ ‎18．数列,,,…的前n项和及各项和S=.‎ ‎19..=.‎ ‎20.已知数列a1,a2,……an,……的前项和Sn与an的关系是Sn＝－ban＋1－,其中b是与n无关的常数,且b≠－1；‎ Ⅰ.求an和an＋1的关系式;‎ Ⅱ.写出用n和b表示an的表达式;‎ Ⅲ.当0＜b＜1时,求极限Sn.(87年)‎ ‎21．在边长为a的正方形ABCD中内依次作内接正方形AiBiCiDi(i=1,2,3,…),使内接 正方形与相邻前一个正方形的一边夹角为a,求所有正方形的面积之和.‎ a ‎ ‎22．已知直线L：x─ny=0(n∈N),圆M：(x+1)2+(y+1)2=1,抛物线φ:y=(x─1)2,又L与M 交于点A、B，L与φ交于点C、D，求.‎ ‎23.设a (n＝1,2,3……),b (n＝1,2,3……),‎ 用极限定义证明.(85年)‎ 练习（数学归纳法）‎ ‎1．由归纳原理分别探求：‎ ‎(1)凸n边形的内角和f(n)=;‎ ‎(2)凸n边形的对角线条数f(n)=;‎ ‎(3)平面内n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n个圆分平面区域数f(n)=.‎ ‎2．平面上有n条直线，且任何两条不平行，任何三条不过同一点，该n条直线把平面分成f(n) 个区域，则f(n+1)=f(n)+.‎ ‎3．当n为正奇数时，求证xn+yn被x+y整除，当第二步假设n=2k─1时命题为真，进而需验证n=，命题为真。‎ ‎4．用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n´1´2´3´…(2n─1)(n∈N),从“k到k+‎1”‎左端应增乘的代数式为.‎ ‎5.用数学归纳法证明：an+1+(a+1)2n -1可以被a2+a+1整除(n∈N).‎ ‎6．若ai>0(i=1,2,3,…,n),且a1+a2+…+an=1,证明：a12+a22+…+an2³. (n³2,n∈N)‎ ‎7．已知An=(1+lgx)n,Bn=1+nlgx+lg2x,其中n∈N,n³3,,试比较 AN与Bn的大小.‎ ‎8．数列{an}中，.‎ ‎9.试证：不论正数a,b,c是等差数列还是等比数列，当n>1,n∈N且a,b,c互不相等时，‎ 都有an+cn>2bn.(n∈N).‎ ‎10.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=n2an (n∈N),‎ (1) 试求出S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式；‎ (2) 证明你的猜想，并求出an的表达式。‎ ‎11．已知{an}满足：(n─1)an+1=(n+1)(an─1),a2=6,bn=n+an(nÎN).(1)求出bn的通项公式，‎ ‎(2)是否存在非零常数p、q使数列{}成等差数列？若存在，试求出q、q的关系，若不存在，说明理由.‎