人教版高考数学专题复习三角函数 14页

高考数学专题复习：三角函数 备考要点：‎ 三角函数是中学数学的主体内容,是高考的重点,也是高考的热点,其考点主要包括:同角三角关系式及诱导公式,三角函数的图象和性质,三角函数的化简求值,三角形中的三角函数,三角函数的最值及综合应用。一般设计一道或两道客观题,一道解答题,约占总分的13%,即20分左右.多数是中、低档题.‎ 一、经典呈现 主要题型剖析：‎ 题型一、三角函数的图象与性质 此类题型在高考中主要考察三角公式中的和（差）角公式、倍角公式的应用，三角函数的单调性、周期性、对称轴、对称中心、最值、图象的变换也是常考的内容，考题一般属中低档题，熟记并灵活运用相关公式和性质是解决此题型的指导思想。‎ 例1、（2009年山东17）设函数.‎ (1) 求函数的最大值和最小正周期.‎ (2) 设为的三个内角，若，，且为非钝角，求 分析：本题主要考察三角函数中两角和差公式、二倍角公式、三角函数的性质及三角形中的三角关系。‎ 解析：（1）‎ ‎=‎ 所以函数的最大值为,最小正周期. ‎ ‎（2）==－,所以,因为为非钝角,所以,所以,所以==.‎ 点评：本题要先运用三角恒等变换将其化一，即化为“一个角的一种三角函数”的形式，即形如的形式.此类题型，也是高考三角函数解答题的常见题型 例2．（2010年山东17）已知函数其图象过点.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的最大值和最小值.‎ 分析：本题主要考查综合运用三角函数公式、三角函数的性质、三角函数的图象，进行运算、变形、转换和求解的能力.‎ 解析：把点的坐标代入函数的解析式，解方程即可求出的值；先把化为的形式，然后根据图象变换知识求出函数的解析式，即可求它在区间上的最小值.解答过程如下：‎ ‎（Ⅰ）把点的坐标代入，得，整理得.‎ 因为，所以，所以，所以.‎ ‎（Ⅱ）依题意可得：‎ ‎，‎ 所以.‎ 当时，，所以，所以.‎ 所以函数在区间上的最小值是，最大值是.‎ 点评：本题中的函数是一个关于的齐次函数，研究这个函数的性质，要先运用三角恒等变换将其化一，即化为“一个角的一种三角函数”的形式，即形如的形式.此类题型，也是高考三角函数解答题的常见题型.求解时，要借助函数图象.‎ 题型二：三角恒等变换与解三角形 三角变换与解三角形这两个知识块往往是结合在一起出现在高考试题中的，一般是先进行三角变换，后解三角形，题型往往是解答题，难度中等。当然，也经常出现独立的考察三角变换和解三角形的试题。‎ 例3（2010年山东15）在中，角所对的边分别为若，,,则角的大小为 .‎ ‎【答案】‎ 分析：本题主要考查三角恒等变换和解三角形知识.‎ 解析：对进行三角恒等变换后，可以求出角，根据已知条件，易知用正弦定理可求角.解答过程如下：‎ 由，可得，所以，所以，所以，所以.‎ 在中，由正弦定理可得，又因为，所以.‎ 点评：求角时，还可以运用添加辅助角公式，但不如上述方法简捷.运用正弦定理求角时，运用边长关系确定角唯一是求解的关键.‎ 易错警示：本题的易错点是忽视边的大小，从而得出角的值为或.‎ 例4（2011年山东17 ） 在中，内角的对边分别为，已知，‎ ‎（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的面积。‎ 分析：应把题设中的边角关系式通过正弦定理转换为角角关系式才可找到求三角代数式的值的目的，由已知求及后可求。‎ 解析：（Ⅰ）在中，由及正弦定理可得 ‎，‎ 即 则 ‎，而，则，‎ 即。‎ 另解1：在中，由可得 由余弦定理可得，‎ 整理可得，由正弦定理可得。‎ 另解2：利用教材习题结论解题，在中有结论 ‎.‎ 由可得 即，则，‎ 由正弦定理可得。‎ ‎（Ⅱ）由及可得 则，，‎ ‎，即。‎ 点评：在解三角形的题型中，常遇到的是边角关系式，解决的手段就是把边角关系式转换为角与角的关系式，或转换为边与边的关系式。‎ 题型三：三角函数与其它知识的联系 三角函数与集合、不等式、函数、方程、概率等知识相联系，解决问题时常用思想方法主要是数形结合、化归思想与分类讨论。‎ 例5（2009年山东11）在区间上随机取一个数，的值介于到之间的概率为( ).‎ ‎. . . . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 分析:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x的取值范围,得到函数值的范围,再由长度型几何概型求得.‎ ‎【解析】:在区间 上随机取一个数,即时,要使的值介于到之间,需使或，区间长度为，由几何概型知的值介于到之间的概率为.故选. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 答案:‎ x y x y x y x y O O O O 例6（2011年山东10）函数的图象大致是 ‎【答案】‎ ‎【解析】因为,所以令,得,此时原函数是增函数;令,得,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选正确.考查函数的导数的性质，函数图象等，中档题。‎ 二．2012年命题方向：‎ 例1.将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象向右平移个单位后得到函数的图象，则函数的图象 ‎.关于点对称 .关于点对称 ‎ ‎ .关于直线对称 .关于直线对称 分析：主要考察三角函数图象的平移和伸缩变换，和图象的形状和位置特征，如对称中心是图象与轴的交点，对称轴经过图象的最高或最低点。‎ 解析：伸缩、平移后得到 答案：‎ 例2.已知，则的值是 ‎.-　　　　. .- .‎ 分析：本题围绕“角”做文章，寻找角与角的联系、特殊角与特殊角的转换、角的分解、角的合并等，在化简过程起着十分重要的作用。‎ 解析：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 答案：‎ 例3．若，其中，函数 ‎ （1）若图象相邻两条对称轴间的距离不小于，求的取值范围．‎ ‎ （2）若的最小正周期为，且当时，的最小值是，求的解析式．‎ 分析：考察向量和三角的结合、三角函数式的恒等变形、的图象和性质（值域、单调性、周期性）‎ 解析：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的最小值是 ‎ ‎ ‎ ‎ 例4.在中，角、、的对边分别为、、.已知，，且 ‎，‎ ‎(1) 求角的大小； （2）求的面积.‎ 分析：三角变换与解三角形这两个只知识经常结合在一起，一般是先进行三角变换，本题正确的运用二倍角公式化简为含角的方程，然后利用正弦定理、余弦定理解决。‎ 解析：（1）∵‎ ‎ 由得 ‎∴ ‎ 整理，得 ‎ 解得： ‎ ‎ ‎ ‎（2）解：由余弦定理得：，即 ‎∴‎ 由条件得 ‎∴ ‎ 三、模拟演练 ‎1．在中，若，则的形状为 （ ）‎ ‎．等腰三角形 ．等边三角形 ．等腰直角三角形 .直角三角形 ‎2．在锐角中，“”是“”成立的 （ ）‎ ‎ ．充分不必要条件 ．必要不充分条件 ‎ ．充要条件 ．既不充分也不必要条件 ‎3. 已知，则的最小正周期和一个单调增区间分别为（ ）‎ ‎. . . .‎ ‎4.函数的最小值和最大值分别为（ ）‎ ‎. －3，1 . －2，‎2 ‎ . －3， . －2，‎ ‎5.已知函数的图象如图所示，，则=( )‎ ‎. . . . ‎ ‎6．函数的图象是 （ ）‎ ‎7．在中，角、、所对的边分别是若，‎ 且，则角的值为 (　　)‎ ‎． ． ． ．‎ ‎8．已知函数其中为实数，若对恒成立，且则的单调递增区间是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎9.已知为的三个内角的对边，向量，．若，且，则角 ．‎ ‎10.在海岛上有一座海拔千米的山，山顶上有一个观察站，上午时，测得一轮船在岛的北偏东，俯角的处，到时分又测得该船在岛的北偏西，俯角的处，则轮船航行速度是________千米/小时．‎ ‎11.已知,，，则 ‎ 的值是________．‎ ‎12.已知均为锐角，且则________.‎ ‎13.在中，角所对的边分别为.若,则______.‎ ‎14.已知中角所对的边分别为若的面积为,且,则的最小值为 ． ‎ ‎15. 在中，所对的边分别为，且满足 ‎（I）求的值；‎ ‎（II）求的值。‎ ‎16.已知函数 ‎ 求的单调递增区间；‎ 若对一切均成立，求实数的取值范围．‎ ‎17、设函数．‎ ‎（1）求的最小正周期． ‎ ‎（2）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值．‎ ‎　 18.已知的角所对的边分别是，设向量，‎ 若，求证：为等腰三角形； ‎ 若，边长，角，求的面积 .‎ ‎19.已知：函数的周期为，且当时，函数的最小值为．‎ ‎ （1）求函数的表达式；‎ ‎ （2）在中，若且求的值 ‎20.已知的坐标分别为.‎ ‎（Ⅰ）若，且，求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值。‎ 模拟演练答案：‎ 选择题答案：‎ 填空题答案： ‎ ‎15.解：‎ 又 即 原式=‎ ‎16. 解：．‎ 由，解得．‎ 所以，的递增区间为． ‎ 由，得对一切均成立． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎17.解：（1）‎ ‎ ‎ ‎ 故的最小正周期为 ‎ （2） 在的图象上任取一点，它关于的对称点.‎ ‎　　由题设条件，点在的图象上，从而 ‎ ‎ ‎ ‎　　　　　　　　　 ‎ ‎ 当时，，因此在区间上的最大值为 ‎　　　 ‎ ‎18.证明：‎ 即，其中是三角形外接圆半径， ‎ 为等腰三角形 由题意可知即 由余弦定理可知， ‎ 即 ‎（舍去） ） ‎ ‎19.解：（1） ‎ ‎ 依题意函数的周期为， ‎ ‎ 即 ‎ ‎ ‎ ‎ 的最小值为, ‎ ‎ 即 ‎ ‎ （2）‎ ‎ 而 ‎ ‎ 在中，‎ ‎ 解得 ‎ ‎ ‎ ‎20.解、（Ⅰ）由已知得：‎ 则 因为 ‎ ‎（Ⅱ）由题意得：‎ ‎ 平方得 ‎