2008年(全国卷II)(含答案)高考理科数学 16页

‎2008年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）‎ 数学(理)试题 一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)‎ ‎1．设集合，（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设且，若复数是实数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．函数的图像关于（ ）‎ A．轴对称 B． 直线对称 ‎ C． 坐标原点对称 D． 直线对称 ‎4．若，则（ ）‎ A．<< B．<< C． << D． <<‎ ‎5．设变量满足约束条件：，则的最小值（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．的展开式中的系数是（ ）‎ A． B． C．3 D．4 ‎ ‎8．若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（ ）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎9．设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）‎ A．3 B．2 C． D．‎ ‎12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）‎ A．1 B． C． D．2‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．‎ ‎13．设向量，若向量与向量共线，则 ．‎ ‎14．设曲线在点处的切线与直线垂直，则 ．‎ ‎15．已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点．设，则与的比值等于 ．‎ ‎16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：‎ 充要条件① ；‎ 充要条件② ．‎ ‎（写出你认为正确的两个充要条件）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 在中，，． ‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）设的面积，求的长．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为．‎ ‎（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率；‎ ‎（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，正四棱柱中，，点在上且．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ A B C D E A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小．‎ ‎ ‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 设数列的前项和为．已知，，．‎ ‎（Ⅰ）设，求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的取值范围．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．‎ ‎（Ⅰ）若，求的值；‎ ‎（Ⅱ）求四边形面积的最大值．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 设函数．‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．‎ ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）‎ 数学(理)试题 答案解析:‎ 一、选择题 ‎1．答案：B  ‎ 解析:依题M={-2,-1,0,1},N={-1,0,1,2,3},从而M∩N={-1,0,1},故选B.‎ ‎2．答案：A  ‎ 解析: (a+bi)3=a3+3a2·bi+3a(bi)2+(bi)3‎ ‎=a3+3a2bi-3ab2-b3i ‎=(a3-3ab2)+(3a2b-b3)i为实数 3a2b-b3=0,‎ 又∵b≠0,∴3a2-b2=0.‎ ‎∴b2=3a2.选A.‎ 3． 答案：C 解析:∵f(x)=f(-x),∴f(x)= -x是奇函数.‎ ‎∴f(x)的图象关于坐标原点对称.‎ ‎4．答案：C  ‎ 解析:a=lnx,b=2lnx=lnx2,c=ln3x.‎ ‎∵x∈(e-1,1),∴x＞x2.‎ 故a＞b,排除A、B.‎ ‎∵e-1＜x＜1,∴-1＜lnx＜ln1=0.‎ ‎∴lnx＜ln3x.‎ ‎∴a＜c.‎ 故b＜a＜c,选C.‎ ‎5．答案：D  ‎ 解析:作出可行域.‎ 令z=0,则l0:x-3y=0,平移l0在点M(-2,2)处z取到最小,最小值为-8.‎ ‎6．答案：D  ‎ 解析:排除法即可.P=1-=1-.‎ ‎7．答案：B  ‎ 解析:化简原式=［(1-)4(1+)4］·(1-)2‎ ‎=［(1-)(1+)］4·(1-)2‎ ‎=(1-x)4·(1-)2‎ ‎=(1-4x+6x2-4x3+x4)(1-2+x).‎ 故系数为1-4=-3,选B.‎ ‎8．答案：B  ‎ 解析:依题可知|MN|=|sina-cosa|‎ ‎=|sin(a-)|,‎ 故|MN|max=.‎ ‎9．答案：B  ‎ 解析:依题可知离心率e=‎ ‎=‎ ‎=,‎ ‎∵a＞1,∴0＜＜1.‎ ‎∴(+1)2∈(1,4).‎ ‎∴e∈(2,5).‎ ‎10．答案：C  ‎ 解析:作图.‎ 连结EO,则所求角为∠AEO或其补角.(∵EO∥SD)‎ 设侧棱长为a,则OE=SD=a,‎ AO=a,AE=a.‎ 由余弦定理得cos∠AEO==.‎ ‎11．答案：A ‎ 解析:依题设底边所在直线斜率为k,则底边方程为l:y=kx,‎ l1:x+y-2=0,k1=-1,‎ l2:x-7y-4=0,k2=.‎ 由等腰三角形特征有:直线l到l1所成角的正切与直线l2到l所成角的正切相等,‎ 从而,‎ 得k=3,故选A.‎ ‎12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）‎ A．1 B． C． D．2‎ 答案：C  ‎ 解析:依题意有示意图 截面示意图为 其中AH为公共弦长的一半,OA为球半径,‎ ‎∴OH=.故选C.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．‎ ‎13．答案：2  ‎ 解析:λa+b=λ(1,2)+(2,3)=(λ+2,2λ+3),‎ ‎∵λa+b与c共线,‎ ‎∴(λ+2)·(-7)-(2λ+3)·(-4)=0.‎ 解出λ=2.‎ ‎14．答案：2  ‎ 解析:y=eax,y′=eax·a,y′|x=0=ea·0·a=a.‎ 又x+2y+1=0的斜率为-,‎ ‎∴由题意a·(-)=-1.∴a=2.‎ ‎15．答案：  ‎ 解析:lAB:y-0=x-1,即y=x-1,‎ 联立 xa=3+2,xb=3-2,‎ ‎∴=3+2.‎ ‎16．解析：两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．‎ 注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．解：（Ⅰ）由，得，‎ 由，得．‎ 所以． 5分 ‎（Ⅱ）由得 ‎，‎ 由（Ⅰ）知，‎ 故 ， 8分 又 ，‎ 故 ，．‎ 所以 ． 10分 ‎18．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的10 000人中出险的人数为，‎ 则．‎ ‎（Ⅰ）记表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅当， 2分 ‎，‎ 又，‎ 故． 5分 ‎（Ⅱ）该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和．‎ 支出 ，‎ 盈利 ，‎ 盈利的期望为 ， 9分 由知，，‎ ‎．‎ ‎（元）．‎ 故每位投保人应交纳的最低保费为15元． 12分 ‎19．解法一：依题设知，．‎ ‎（Ⅰ）连结交于点，则．‎ 由三垂线定理知，． 3分 A B C D E A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ F H G 在平面内，连结交于点，‎ 由于，‎ 故，，‎ 与互余．‎ 于是．‎ 与平面内两条相交直线都垂直，‎ 所以平面． 6分 ‎（Ⅱ）作，垂足为，连结．由三垂线定理知，‎ 故是二面角的平面角． 8分 ‎，‎ ‎，．‎ ‎，．‎ 又，．‎ ‎．‎ A B C D E A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ y x z 所以二面角的大小为． 12分 ‎ 解法二：‎ 以为坐标原点，射线为轴的正半轴，‎ 建立如图所示直角坐标系．‎ 依题设，．‎ ‎，‎ ‎． 3分 ‎（Ⅰ）因为，，‎ 故，．‎ 又，‎ 所以平面． 6分 ‎（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则 ‎，．‎ 故，．‎ 令，则，，． 9分 等于二面角的平面角，‎ ‎．‎ 所以二面角的大小为． 12分 ‎20．解：（Ⅰ）依题意，，即，‎ 由此得． 4分 因此，所求通项公式为 ‎，．① 6分 ‎（Ⅱ）由①知，，‎ 于是，当时，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，‎ ‎．‎ 又．‎ 综上，所求的的取值范围是． 12分 ‎21．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为，‎ 直线的方程分别为，． 2分 如图，设，其中，‎ D F B y x A O E 且满足方程，‎ 故．①‎ 由知，得；‎ 由在上知，得．‎ 所以，‎ 化简得，‎ 解得或． 6分 ‎（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，‎ ‎． 9分 又，所以四边形的面积为 ‎，‎ 当，即当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分 解法二：由题设，，．‎ 设，，由①得，，‎ 故四边形的面积为 ‎ 9分 ‎，‎ 当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分 ‎22．解：（Ⅰ）． 2分 当（）时，，即；‎ 当（）时，，即．‎ 因此在每一个区间（）是增函数，‎ 在每一个区间（）是减函数． 6分 ‎（Ⅱ）令，则 ‎．‎ 故当时，．‎ 又，所以当时，，即． 9分 当时，令，则．‎ 故当时，．‎ 因此在上单调增加．‎ 故当时，，‎ 即．‎ 于是，当时，．‎ 当时，有．‎ 因此，的取值范围是． 12分