高考数学常考题型的总结必修五 21页

高考数学常考题型的总结（必修五）‎ 对高三理科来说，必修五是高考的必考内容，它不仅要考查基础知识点，而且还要考查解题方法和解题思路的问题。同学们在复习过程中，一定要明白什么是重要，什么是难点，什么是常考知识点。对重难点要了如指掌，能做到有的放矢。同学们不仅要掌握课本上的知识点，更重要的要对知识点理解的有深度，对经典题型或高考常考题型掌握到相当熟练的程度。人们常说，只有你多于一桶水的能力，在考试过程中才能发挥出一桶水的水平来，否则，基本不可能考出相对理想的成绩来。‎ 必修五主要包括三大部分内容：解三角形、数列、不等式。高考具体要考查那些内容呢？这是我们师生共同研究的问题。虽然高考题不能面面俱到，但是我们在复习的时候，一定要不留死角，对常考题型的知识点和方法能倒背如流。下面具体对必修五常考的型作一分解：‎ 解三角形 ‎ 解三角形是高考的必考知识点，每年都有考题，一般考查分数为5-12分。考查的时候，可能是选择题、填空题，或解答题，有时单独考查，有时会与三角函数，平面向量等知识点进行综合考查，难度一般不是很大，如果出解答题，一般是第17题，属于拿分题。‎ 知识点：正弦定理、余弦定理和三角形的面积的公式。‎ 正弦定理：（为的外接圆半径）‎ 余弦定理：，，‎ ‎（变形后），，‎ 三角形的面积的公式：。‎ 知识点分解：‎ ‎（1）两边一角，求另外两角一边，可以用正弦定理，也可以用余弦定理，特别注意两种三角形的情况。‎ ‎（2）两角一边，求另外一角和两边，肯定是正弦定理。‎ ‎（3）等式两边都有边或通过转化等式两边都有边，用正弦定理。‎ ‎（4）知道三边的关系用余弦定理。‎ ‎（5）求三角形的面积，或和向量结合用向量的余弦公式。‎ ‎（6）正余弦定理与其他知识的综合。‎ 必须具备的知识点：三角函数的定义、同角三角函数、诱导公式和三角恒等变换。‎ 可能综合的知识点：三角函数以及正余弦定理的模块内部综合；和与数列的综合、与平面向量的综合、以及与基本不等式的综合。‎ 解三角形常考的题型有：‎ 考点一 正弦定理的应用 例：在中，，则 答案：‎ 知识点：正弦定理和三角同角关系 思路：（方法不唯一）利用正弦定理先求出，然后利用同角三角函数的关系可求出。‎ 考点二 余弦定理的应用 ‎ 例：在ABC中，已知，，，求的值 答案：‎ 知识点：余弦定理 思路：直接利用余弦定理，即可求出的值。‎ 考点三 正、余弦定理的混合应用 例：设的内角所对边的长分别为。若，则则角_____.‎ 答案：‎ 知识点：正余弦定理 思路：（方法不唯一）先通过正弦定理求出三边的关系，然后再用余弦定理求角。‎ 考点四 三角形的面积问题 例：在中，角所对应的边分别为，若，且求的值 答案：‎ 知识点：三角形的面积 思路：先求出，然后由三角形面积公式即可。‎ 考点五 最值问题 例：在中，，则的最大值为 答案：‎ 知识点：正弦定理和三角恒等变换 思路：（方法不唯一）先利用正弦定理，然后利用恒等变换，转化为正弦函数，求正弦函数的值域问题。‎ 考点六 三角形形状的判断 例：已知中，，判断三角形的形状 答案：等腰三角形或直角三角形 知识点：正弦定理和二倍角公式 思路：先由正弦定理化解，然后利用二倍角公式讨论即可。‎ 考点七 三角形个数的判断 例：在中，角所对应的边分别为，若，且求的值 答案：1或2‎ 知识点：正余弦定理 思路：分类讨论或两种情况。‎ 考点八 基本不等式在解三角形上的应用 例：在中，角所对应的边分别为，若，求的面积的最大值。 ‎ 答案：‎ 知识点：三角形面积公式、余弦定理和基本不等式 思路：先利用三角形面积公式，然后用余弦定理，最后基本不等式求最值。‎ 例：设的内角所对的边长分别为，且，求的最大值。‎ 答案：‎ 知识点：正弦定理、正切差公式和基本不等式 思路：先通过正弦定理，得到，然后正切差公式，最后应用基本不等式。‎ 考点九 平面向量在解三角形上的应用 例：在中，的面积，求 答案：‎ 知识点：三角形面积公式和平面向量中的余弦公式 思路：先利用三角形面积公式，然后平面向量中的余弦公式即可。‎ 例：在中，边所对的角为，向量，且向量与的夹角是。 ‎ 求角的大小 答案：‎ 知识点：向量中的坐标运算和余弦公式 思路：先利用向量的坐标运算和余弦公式转化，然后求解。‎ 考点十 数列在解三角形上的应用 例：设的内角所对的边长分别为，若依次成等比数列，角的取值范围.‎ 答案：‎ 知识点：余弦定理、等比数列和基本不等式 思路：先用等比数列，然后余弦定理，最后用基本不等式求最值。‎ 考点十一 解三角形的实际应用 例：如图，都在同一个与水平面垂直的平面内，为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面处测得点和点的仰角分别为 ‎，，于水面处测得点和点的仰角均为，。试探究图中间距离与另外哪两点间距离相等，然后求的距离（计算结果精确到，，） ‎ 答案：0.33km 知识点：正弦定理和三角形的相关知识 思路：先通过三角形的相关知识进行转化，然后利用正弦定理就可以求出长度。 ‎ 考点十二 解三角形的综合题型 例：已知分别为三个内角的对边，‎ （1） 求 （2）若，的面积为；求。‎ 答案：(1) (2)‎ 知识点：正余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换和诱导公式 思路：（1）先通过正弦定理和诱导公式转化，转化完之后，利用三角恒等变换求出。‎ ‎ （2）利用角，再通过余弦定理，就可以求出的值。‎ 数列 ‎ 数列是高考的必考知识点，每年都有考题，一般考查分数为10-17分。考查的时候，可能是选择题、填空题，或解答题，有时单独考查，有时会与不等式，函数等知识点进行综合考查。以前考题比较难一些，现在多数比较简单，但是常用的方法还是比较经典的。‎ 知识点：数列的递推公式，数列的求通项公式，数列的求和，等差数列和等比数列 知识点分解：‎ ‎（1）递推公式：建立前项和和的关系。‎ ‎（2）等差数列的通项公式、公式、性质、等差中项以及前项和等问题。‎ ‎（3）等比数列的通项公式、公式、性质、等比中项以及前项和等问题。‎ ‎（4）数列求通项公式的几种方法。‎ ‎（5）数列求和的几种方法。‎ ‎（6）数列的综合问题 必须具备的知识点：函数、导数、不等式，平面向量、三角函数等相关知识。‎ 可能综合的知识点：数列的内部综合、与三角函数的综合、与导数的综合、以及与不等式的综合。‎ 数列的常见题型：‎ 考点一 和的关系 例：数列的前项和为 已知，求的值，以及数列的表达式。‎ 答案：，‎ 知识点：递推公式 思路：已知项数，求具体值；未知项数，求表达式。‎ 考点二 等差数列 ‎1等差数列的公差和通项公式 ‎，（等差数列的通项公式，知三求一；如果已知，那么求的是数列的通项公式）‎ ‎（等差数列通项公式的变形公式）‎ 例：已知等差数列中，,求数列的公差以及数列的通项公式；‎ 答案：，‎ 知识点：等差的公差和通项公式 思路：利用数列的通项公式先求出公差，然后求数列的通项公式。‎ ‎2 等差数列的性质 ‎（都是正整数），，（都是正整数），，是和的等差中项。‎ 例：已知等差数列中，,求以及的值 答案：，‎ 知识点：等差数列的性质 思路：等差数列的性质和等差中项可得到。‎ ‎3 等差数列的求和 ‎（知三求一，如果已知，那么求的是的表达式），‎ ‎（为奇数）或。‎ 例：设等差数列的前项和为，若，则的值 答案：63‎ 知识点：等差数列的求和 思路：（方法不唯一）通过等差数列前项和为，先求出和，然后再利用等差数列前项和，求。‎ ‎4 等差数列求和中的最值问题 类似于二次函数，当时，有最小值；当时，有最大值。‎ 例：设等差数列{}的前n项和为，已知，求中的最大值 答案：49.‎ 知识点：等差数列的和或二次函数的知识 思路：先利用等差数列的前项和表达式，然后利用二次函数的知识求最大值。‎ 例：设等差数列{}的前n项和为，已知，求中的最小值 答案：-36‎ 知识点：等差数列的和或二次函数的知识 思路：先利用等差数列的前项和表达式，然后利用二次函数的知识求最小值 ‎5 等差数列的证明 ‎（等差数列的定义表达式）‎ 例：设数列的前n项和为，，求证：是等差数列。‎ 答案：首项为1，公差也为1的等差数列 知识点：对数函数的知识和等差数列 思路：先求出，然后利用等差数列的定义表达式，证明等差数列。‎ ‎6已知等差数列{}中，求数列{}前n项和。‎ 答案：或 知识点：解方程和等差数列的和 思路：先利用等差数列的知识求出首项和公差，然后再求前n项和 考点三 等比数列 ‎1 等比数列的公比和通项公式 ‎（等比数列的通项公式，知三求一；如果已知，那么求的是数列的通项公式）‎ ‎（等比数列通项公式的变形公式）‎ 例：已知等比数列中，，求等比数列的公比和数列的通项公式；‎ 答案：，‎ 知识点：等比数列的公比和通项公式 思路：利用等比数列的通项公式即可求出。‎ ‎2等比数列的性质 ‎（都是正整数），，（都是正整数），，是和的等比中项。‎ 例：设等比数列{}，已知，求值 答案：‎ 知识点：等比中项 思路：利用等比中项即可。‎ 例：设等比数列{}，已知，求值 答案：216‎ 知识点：等比数列的性质 思路：利用等比的性质即可。‎ ‎3等比数列求和 ‎（用错位相减法推导）‎ 例：设等比数列的公比，前项和为，则 答案：15‎ 知识点：等比数列的求和 思路：利用等比数列的求和和通项公式即可。‎ ‎4 等比数列的证明 ‎（等比数列的定义表达式）‎ 例：在数列中，，，设，证明：数列是等比数列。‎ 答案：数列是公比2，首项-2的等比数列 知识点：等比数列的定义 思路：先化解，再利用等比数列的定义来证明。‎ ‎5 等比数列的综合 例：设为数列的前项和，，，其中是常数，若对于任意的，，，成等比数列，求的值。‎ 答案：或 知识点：等比数列的等比中项和递推公式 思路：先通过递推公式化解，然后再利用等比数列的等比中项，即可求出。‎ 考点四 等差和等比数列的综合问题 例：已知实数列是等比数列,其中成等差数列，求数列的通项公式。‎ 答案：‎ 知识点：等比数列的通项公式和等差中项 思路：先利用等比数列的知识，然后再利用等差数列的等差中项，即可求出。‎ 例：等比数列中，已知，若分别为等差数列的第3项和第5项，求数列的通项公式及前项和。‎ 答案：‎ 知识点：等比数列的通项公式和等差的通项公式 思路：通过等比数列的知识来转化为等差数列，即可。‎ 考点五 求数列的通项公式 ‎1 观察法、等差数列和等比数列的通项公式（上述已有）‎ ‎2 累加法 形式为：，利用累加法求通项，‎ 例：已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 答案：‎ 知识点：累加法求数列的通项公式 思路：由得则，即可。‎ ‎3 累乘法 形式为：，利用累乘法求数列通项，。‎ 答案：‎ 知识点：累加法求数列的通项公式 思路：由条件知，，即可。‎ ‎4 待定系数法 （1） ‎（其中p，q均为常数，），把原递推公式转化为：，其中，再转化为等比数列求通项公式。‎ （2） ‎（其中均为常数，）。 （或,其中均为常数）等式两边同除以得，，若，再利用上述的方法，转化为等比数列的形式，利用等比数列通项公式；若，将转化为等差数列的形式，再利用等差数列求通项公式。‎ 例：已知数列中，，，求.‎ 答案：‎ 知识点：待定系数法求数列的通项公式 思路：设递推公式可以转化为，然后利用等比数列求通项公式。‎ 例：已知数列中，,，求。‎ 答案：‎ 知识点：待定系数法求数列的通项公式 思路：（方法不唯一）根据，两边除以得：，令，转化成上面例题的形式，然后再利用上面例题的方法求解。‎ ‎5 配凑法（构造法）：建立等差数列或等比数列的形式 例：已知数列满足求数列的通项公式；‎ 答案：‎ 知识点：构造成等比数列 思路：（方法不唯一，还可以利用特征根的方法求解）构造等比数列，或利用特征根的方法，求出两根，，然后利用等比数列的知识求解。‎ ‎6 递推法 ‎ ‎，解决既有又有的问题。‎ 例：设数列的前项和为 已知，求数列的通项公式。‎ 答案：‎ 知识点：利用递推公式，再利用等比数列的通项公式 思路：先利用递推公式化解，然后等比数列求通项公式。‎ ‎7 不动点法、换元法，数学归纳法等求通项公式（内蒙古高考现在已经不是重要的方法了）‎ 考点六 数列求和 ‎1 公式法、等差数列和等比数列求和（略）‎ ‎2 裂项相消法 裂项相消的常见形式：，，‎ ‎。‎ 例：已知数列满足求数列的求和。‎ 答案：‎ 知识点：利用裂项相消求数列的和 思路：利用求和即可。‎ 例：已知数列满足：，求数列的求和 答案：‎ 知识点：分母有理化，利用裂项相消求数列的和 思路：进行分母有理化得，，然后裂项相消求和。‎ ‎3 错位相减法：（课本上推导等比数列求和公式的方法）由等差数列和等比数列构成的新数列，用错位相减。‎ 例：已知数列满足：，求数列的求和 答案：‎ 知识点：错位相减法求和 思路：错位相减法求和。‎ 例：设数列满足，，设，求数列的前项和。‎ 答案：‎ 知识点：错位相减法求和 思路：错位相减法求和。‎ ‎4 分组求和法（将新数列分成已学过的数列，然后求和）‎ 例：设数列的前n项和为，且，求的表达式 答案：‎ 知识点：利用等差数列和等比数列求和 思路：根据数列的特点，等差数列和等比数列的求和公式可以得到。‎ ‎5 相加求和法、数学归纳法求和（内蒙古高考现在已经不是重要的方法了）‎ 考点七 数列中的不等式问题 例：设数列的前项和为．已知，，，若，，求的取值范围。‎ 答案：‎ 知识点：递推公式，构造法求的通项公式，数列的单调性。‎ 思路：通过递推公式，构造法求的通项公式，再利用数列的单调性求的取值范围。‎ 考点八 数列中的放缩法 例：已知数列，满足，证明 答案：如下 知识点：发缩放证明数列中的不等式 思路：由构造法求的通项公式，然后利用放缩法，转化为等比数列求和，最后证明不等式。‎ 考点九 数列中的不等式问题（最值问题，是正整数）‎ 例：已知等差数列的前项和为，若，则的最小值为 答案：-49‎ 知识点：等差数列的求和，导数 思路：通过等差数列的知识求出，然后再通过导数求出。‎ 不等式 ‎ 不等式是高考的重要知识点，但是它会和其他知识融合在一起考查，有时是一道小题，有时会和其他知识综合在一起以大题的形式出现，分数范围为（5-10分）。现在线性规划，几乎每年必考，虽然不是很难，但是大家一定要掌握好，不等式小题一般不会很难，综合题重点主要是汇入其他知识点进行，对数是取值范围或值域问题。‎ 知识点：不等关系、解不等式、不等数组的线性规划和基本不等式。‎ 不等关系：‎ ‎1.不等关系与不等式 比差法：。问题的关键是判定差的符号（正，负，零），方法通常是配方或因式分解。‎ ‎2.不等式的性质 基本性质有： ‎ ‎（1）（对称性） （2)(传递性) ( 3) ‎ ‎(4)时，； 时，。‎ 运算性质有：‎ ‎(1) (2) (3)‎ ‎(4) (5) (6).‎ ‎3 基本不等式 ‎(同号，当且仅当时成立等号)；‎ ‎（同号，等号成立）；（当且仅当时成立等号)。‎ ‎(当且仅当时成立等号)。‎ 必须具备的知识点：函数、导数、三角函数、数列等相关知识。‎ 可能综合的知识点：不等式的内部综合、与三角函数的综合、与导数的综合、以及与数列的综合。‎ 不等式的常见题型：‎ 考点一 解一元二次不等式 解一元二次不等式一般与二次函数和一元二次方程结合起来研究 ‎（讨论的情况）‎ ‎ ‎ 两不等实根 两相等实根 无实根 ‎（讨论的情况，只需将不等式两边同乘以-1，改变不等式方向加以研究）‎ ‎1 最基本的一元二次不等式（略）‎ ‎2 含参数的一元二次不等式（需要分类讨论）‎ 例：解不等式（）‎ 答案：当或时，解集为；当时，解集为；‎ 知识点：解含参数的一元二次不等式 思路：用分类讨论法解一元二次不等式。‎ ‎3 高次不等式(数轴标根法，已不再是高考的重点)‎ ‎4 分式不等式 （1） ‎（）.‎ （2） ‎（剩下的同上）注意，如果已经确定，即有。‎ ‎5 单绝对值不等式 （1） ‎；（2）‎ ‎6 双绝对值不等式 可分解为：当时，；‚当时，；ƒ当时，。具体解根据实际情况即可。注意：；含参数的双绝对值需要先确定参数的范围再分类讨论，或根据实际情况看是哪一类问题具体确定；含参数的双绝对值不等式恒成立问题，会涉及到最值问题，需要根据函数的单调性求取值。‎ 例：已知函数，求不等式的解集。‎ 答案：‎ 知识点：双绝对值不等式 思路：分类讨论解双绝对值不等式。‎ 例：函数，若的解集包含，求的取值范围。‎ 答案：‎ 知识点：双绝对值不等式中含参数的问题 思路：由给出的解集，可去双绝对值，然后确定的取值范围。‎ 例：关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是 答案：‎ 知识点：双绝对值不等式中含参数的问题 思路：（方法不唯一）分类讨论可以解出不等式的取值范围，然后求出的最大值。‎ 考点二 不等式的证明 常用的方法：做差法，分析法，综合法，放缩法，数学归纳法。‎ 柯西不等式：‎ 例：已知，求证 答案：如下 知识点：柯西不等式 思路：由，然后构造柯西不等式。‎ 例：已知，求证。‎ 答案：如下 知识点：绝对值不等式，作差法 思路：作差，讨论的正负。‎ 例：若，求证 答案：如下 知识点：绝对值不等式，不等式的性质 思路：通过解绝对值不等式，和不等式的性质即可。‎ 考点三 不等式组的线性规划 不等式组的线性规划的解题思路是：所取的点是否在约束的范围内。‎ ‎1 最大值和最小值 例：设变量满足约束条件则目标函数的最大值和最小值分别为 答案：3，-11‎ 知识点：不等式组的线性规划（最大值和最小值）‎ 思路：三条直线的交点（构成三角形区域）代入目标函数中，即一个最大值和一个最小值。‎ ‎2 最值范围 例：设满足约束条件：；则的取值范围为 答案：‎ 知识点：不等式组的线性规划 思路：画图，找出区域，求出的交点代入目标函数中，即一个最大值和一个最小值。‎ ‎3面积问题 例：不等式组表示的平面区域的面积为 答案：1‎ 知识点：不等式组的线性规划 思路：找出三角形区域，然后用三角形面积公式求面积。‎ ‎4目标函数中含参数 例：已知满足以下约束条件，使取得最小值的最优解有无数个，则的值为 答案：1‎ 知识点：不等式组的线性规划 思路：找出可行域，做目标函数的平行线，即可。‎ ‎5 求非线性目标函数的最值 例：已知x、y满足以下约束条件　，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是 答案：13，　‎ 知识点：不等式组的线性规划 思路：找出可行域，求出三个交点的坐标代入目标函数中，即可。‎ ‎6 约束条件中含函数的最值范围 例：已知＞0， 满足约束条件， 若的最小值是1，则＝‎ 答案：‎ 知识点：不等式组的线性规划 思路：找出可行域，求出三个交点的坐标代入目标函数中，即可。‎ ‎7 比值问题 例：已知变量满足约束条件，则 的取值范围是（ ）。‎ 答案：‎ 知识点：不等式组的线性规划 思路：找出可行域，求出三个交点的坐标代入目标函数中，即可。‎ ‎8 双边约束条件 例：若变量满足约束条件，则的最小值是。‎ 答案：-6‎ 知识点：不等式组的线性规划 思路：找出可行域，是平行四边形区域，求出四个交点的坐标代入目标函数中，即可。‎ 考点四 基本不等式 ‎1 直接法 例：求函数的最小值 答案：2‎ 知识点：基本不等式 思路：直接用基本不等式。‎ ‎2 构造法 例：已知，求函数的最大值 答案：1‎ 知识点：基本不等式 思路：上述表达式可转化为，，应用基本不等式。‎ 例：求的最小值 答案：5‎ 知识点：基本不等式 思路：上式转化为：，然后用基本不等式。‎ ‎3 换元法 例：求函数的值域。‎ 答案：‎ 知识点：基本不等式 思路：令，则，应用基本不等式（函数的单调性）。‎ ‎4 “1”的活用 例：已知则的最小值是 答案：‎ 知识点：基本不等式 思路：可根据进行转化，然后利用基本不等式。‎ ‎5 的应用 例：若实数满足，则的最大值是 答案：‎ 知识点：基本不等式 思路：上式可转化为：，即可。‎ ‎6 基本不等式的证明 例：设均为正数，且，证明：。‎ 答案：如下 知识点：基本不等式 思路：利用即可。‎ 考点五 不等式的综合问题 例：函数的值域是 答案：‎ 知识点：函数的值域，基本不等式 思路：需要先对函数两边平方，然后构造基本不等式，最后用基本不等式。‎ 例：不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为 答案：‎ 知识点：恒成立问题，解不等式 思路：先求双绝对值的最大值，然后解实数的取值范围。‎ 例：设满足约束条件若目标函数的最大值为12，则的最小值为 答案：‎ 知识点：线性规划，基本不等式 思路：先画可行域，然后确定最大值，最后用基本不等式求最小值。‎ 例：已知函数的图像在点处的切线方程为。‎ （1） 用表示出，；‎ （2） 若在上恒成立，求的取值范围；‎ （3） 证明：。‎ 答案：（2）‎ 知识点：导数，函数，不等式 思路：（2）分类讨论，恒成立问题。（3）在第二问的基础上，令，然后化解就行。‎ ‎ 上述将必修五的知识点和常考题型简单的做了总结，题型不是很全，但重要的方法或常考的方法基本上都有了，同学们不仅要理解它，更重要的是灵活应用它。希望同学们在学习过程中，要多总结，多练习，多思考，将常考的知识点和方法掌握相当熟练的程度，只有这样才能取得理解的成绩。‎