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  • 2021-05-14 发布

专题10数列求和及其应用易错起源高考数学理备考黄金易错点Word版含解析

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‎1.【2017天津,理18】已知为等差数列,前n项和为,是首项为2的等比数列,且公比大于0,,,.‎ ‎(Ⅰ)求和的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求数列的前n项和.‎ ‎【答案】 (1)..(2).‎ ‎【解析】‎ ‎(II)解:设数列的前项和为,‎ 由, ,有,‎ 故,‎ ‎,‎ 上述两式相减,得 ‎ ‎ 得.‎ 所以,数列的前项和为.‎ ‎2.【2017江苏,19】 对于给定的正整数,若数列满足 ‎ 对任意正整数总成立,则称数列是“数列”.‎ ‎(1)证明:等差数列是“数列”;‎ ‎(2)若数列既是“数列”,又是“数列”,证明:是等差数列.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)见解析 ‎(2)数列既是“数列”,又是“数列”,因此,‎ 当时, ,①‎ 当时, .②‎ 由①知, ,③‎ ‎ ,④‎ 将③④代入②,得,其中,‎ 所以是等差数列,设其公差为.‎ 在①中,取,则,所以,‎ 在①中,取,则,所以,‎ 所以数列是等差数列.‎ ‎3.【2017山东,理19】已知{xn}是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2‎ ‎(Ⅰ)求数列{xn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1, 1),P2(x2, 2)…Pn+1(xn+1, n+1)得到折线P1 P2…Pn+1,求由该折线与直线y=0,所围成的区域的面积.‎ ‎【答案】(I)(II)‎ ‎(II)过……向轴作垂线,垂足分别为……,‎ 由(I)得 记梯形的面积为.‎ 由题意,‎ 所以 ‎……+‎ ‎=……+ ①‎ 又……+ ②‎ ①-②得 ‎= ‎ 所以 ‎4.【2016高考天津理数】已知是各项均为正数的等差数列,公差为,对任意的是和的等差中项.‎ ‎(Ⅰ)设,求证:是等差数列;‎ ‎(Ⅱ)设 ,求证:‎ ‎【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析 ‎【解析】‎ ‎(Ⅰ)证明:由题意得,有,‎ 因此,所以是等差数列.‎ ‎(Ⅱ)证明: ‎ 所以.‎ ‎5.【2016高考新课标3理数】已知数列的前n项和,其中.‎ ‎(I)证明是等比数列,并求其通项公式;‎ ‎(II)若 ,求.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ ‎(Ⅰ)由题意得,故,,.‎ 由,得,即.‎ 由,得,所以.‎ 因此是首项为,公比为的等比数列,于是.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得,由得,即,‎ 解得.‎ ‎6.【2016高考浙江理数】设数列满足,.‎ ‎(I)证明:,;‎ ‎(II)若,,证明:,.‎ ‎【答案】(I)证明见解析;(II)证明见解析.‎ ‎【解析】(I)由得,故 ‎,,‎ 所以 ‎,‎ 因此 ‎.‎ ‎(II)任取,由(I)知,对于任意,‎ ‎,‎ 故 ‎.‎ 从而对于任意,均有 ‎.‎ 由的任意性得. ①‎ 否则,存在,有,取正整数且,则 ‎,‎ 与①式矛盾.‎ 综上,对于任意,均有.‎ ‎7.【2016年高考北京理数】(本小题13分)‎ 设数列A: , ,… ().如果对小于()的每个正整数都有 < ,则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.‎ ‎(1)对数列A:-2,2,-1,1,3,写出的所有元素;‎ ‎(2)证明:若数列A中存在使得>,则 ;‎ ‎(3)证明:若数列A满足- ≤1(n=2,3, …,N),则的元素个数不小于 -.‎ ‎【答案】(1)的元素为和;(2)详见解析;(3)详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎(Ⅲ)当时,结论成立.‎ 以下设.‎ 由(Ⅱ)知.‎ 设.记.‎ 则.‎ 对,记.‎ 如果,取,则对任何.‎ 从而且.‎ 又因为是中的最大元素,所以.‎ 从而对任意,,特别地,.‎ 对.‎ 因此.‎ 所以.‎ 因此的元素个数p不小于.‎ ‎8.【2016年高考四川理数】(本小题满分12分)‎ 已知数列{ }的首项为1, 为数列的前n项和, ,其中q>0, .‎ ‎(Ⅰ)若 成等差数列,求的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设双曲线 的离心率为 ,且 ,证明:.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.‎ ‎【解析】(Ⅰ)由已知, 两式相减得到.‎ 又由得到,故对所有都成立.‎ 所以,数列是首项为1,公比为q的等比数列.‎ 从而.‎ 由成等比数列,可得,即,则,‎ 由已知,,故 .‎ 所以.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,.‎ 所以双曲线的离心率 .‎ 由解得.‎ 因为,所以.‎ 于是,‎ 故.‎ ‎9.【2016高考上海理数】(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.‎ 若无穷数列满足:只要,必有,则称具有性质.‎ ‎(1)若具有性质,且,,求;‎ ‎(2)若无穷数列是等差数列,无穷数列是公比为正数的等比数列,,,‎ 判断是否具有性质,并说明理由;‎ ‎(3)设是无穷数列,已知.求证:“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.‎ ‎【答案】(1).(2)不具有性质.(3)见解析.‎ ‎【解析】(1)因为,所以,,.‎ 于是,又因为,解得.‎ ‎(3)[证]充分性:‎ 当为常数列时,.‎ 对任意给定的,只要,则由,必有.‎ 充分性得证.‎ 必要性:‎ 用反证法证明.假设不是常数列,则存在,‎ 使得,而.‎ 下面证明存在满足的,使得,但.‎ 设,取,使得,则 ‎,,故存在使得.‎ 取,因为(),所以,‎ 依此类推,得.‎ 但,即.‎ 所以不具有性质,矛盾.‎ 必要性得证.‎ 综上,“对任意,都具有性质”的充要条件为“是常数列”.‎ ‎10.【2016高考新课标2理数】为等差数列的前项和,且记,其中表示不超过的最大整数,如.‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ)求数列的前1 000项和.‎ ‎【答案】(Ⅰ),, ;(Ⅱ)1893.‎ ‎【解析】‎ ‎(Ⅰ)设的公差为,据已知有,解得 所以的通项公式为 ‎(Ⅱ)因为 所以数列的前项和为 易错起源1、分组转化求和 例1、等比数列{an}中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3‎ 中的任何两个数不在下表的同一列.‎ 第一列 第二列 第三列 第一行 ‎3‎ ‎2‎ ‎10‎ 第二行 ‎6‎ ‎4‎ ‎14‎ 第三行 ‎9‎ ‎8‎ ‎18‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1)nlnan,求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎ ‎ ‎(2)因为bn=an+(-1)nlnan ‎=2·3n-1+(-1)nln(2·3n-1)‎ ‎=2·3n-1+(-1)n[ln 2+(n-1)ln 3]‎ ‎=2·3n-1+(-1)n(ln2-ln3)+(-1)nnln3,‎ 所以Sn=2(1+3+…+3n-1)+[-1+1-1+…+(-1)n]·(ln2-ln3)+[-1+2-3+…+(-1)nn]ln3.‎ 当n为偶数时,‎ Sn=2×+ln3‎ ‎=3n+ln3-1;‎ 当n为奇数时,‎ Sn=2×-(ln2-ln3)+ln3‎ ‎=3n-ln3-ln2-1.‎ 综上所述,Sn= ‎【变式探究】设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=2,且an+2=3Sn-Sn+1+3,n∈N*.‎ ‎(1)证明:an+2=3an;‎ ‎(2)求Sn.‎ ‎(1)证明 由条件,对任意n∈N*,‎ 有an+2=3Sn-Sn+1+3,‎ 因而对任意n∈N*,n≥2,有an+1=3Sn-1-Sn+3.‎ 两式相减,得an+2-an+1=3an-an+1,‎ 即an+2=3an,n≥2.‎ 又a1=1,a2=2,‎ 所以a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1,‎ 故对一切n∈N*,an+2=3an.‎ ‎(2)解 由(1)知,an≠0,所以=3.于是数列{a2n-1}是首项a1=1,公比为3等比数列;数列{a2n}是首项a2=2,公比为3的等比数列.因此a2n-1=3n-1,a2n=2×3n-1.‎ 于是S2n=a1+a2+…+a2n ‎=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)‎ ‎=(1+3+…+3n-1)+2(1+3+…+3n-1)‎ ‎=3(1+3+…+3n-1)‎ ‎=.‎ 从而S2n-1=S2n-a2n=-2×3n-1‎ ‎=(5×3n-2-1).‎ 综上所述,‎ ‎【名师点睛】‎ 在处理一般数列求和时,一定要注意使用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和,在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列,哪些项构成等比数列,清晰正确地求解.在利用分组求和法求和时,由于数列的各项是正负交替的,所以一般需要对项数n进行讨论,最后再验证是否可以合并为一个公式.‎ ‎【锦囊妙计,战胜自我】‎ 有些数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将数列通项拆开或变形,可转化为几个等差、等比数列或常见的数列,即先分别求和,然后再合并.‎ 易错起源2、错位相减法求和 例2、已知数列{an}的前n项和为Sn,且有a1=2,3Sn=5an-an-1+3Sn-1(n≥2).‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若bn=(2n-1)an,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解 (1)3Sn-3Sn-1=5an-an-1(n≥2),‎ ‎∴2an=an-1,=,‎ 又∵a1=2,‎ ‎∴{an}是首项为2,公比为的等比数列,‎ ‎∴an=2×()n-1=()n-2=22-n.‎ ‎【变式探究】已知正项数列{an}的前n项和Sn满足:4Sn=(an-1)(an+3)(n∈N*).‎ ‎(1)求an;‎ ‎(2)若bn=2n·an,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解 (1)∵4Sn=(an-1)(an+3)=a+2an-3,‎ ‎∴当n≥2时,4Sn-1=a+2an-1-3,‎ 两式相减得,4an=a-a+2an-2an-1,‎ 化简得,(an+an-1)(an-an-1-2)=0,‎ ‎∵{an}是正项数列,∴an+an-1≠0,‎ ‎∴an-an-1-2=0,对任意n≥2,n∈N*都有an-an-1=2,‎ 又由4S1=a+2a1-3得,a-2a1-3=0,‎ 解得a1=3或a1=-1(舍去),‎ ‎∴{an}是首项为3,公差为2的等差数列,‎ ‎∴an=3+2(n-1)=2n+1.‎ ‎(2)由已知及(1)知,‎ bn=(2n+1)·2n,‎ Tn=3·21+5·22+7·23+…+(2n-1)·2n-1+(2n+1)·2n,①‎ ‎2Tn=3·22+5·23+7·24+…+(2n-1)·2n+(2n+1)·2n+1,②‎ ‎②-①得,Tn=-3×21-2(22+23+24+…+2n)+(2n+1)·2n+1=-6-2×+(2n+1)·2n+1‎ ‎=2+(2n-1)·2n+1.‎ ‎【名师点睛】‎ ‎(1)错位相减法适用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列;(2)所谓“错位”,就是要找“同类项”相减.要注意的是相减后得到部分,求等比数列的和,此时一定要查清其项数.(3)为保证结果正确,可对得到的和取n=1,2进行验证.‎ ‎【锦囊妙计,战胜自我】‎ 错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{an},{bn}分别是等差数列和等比数列.‎ 易错起源3、裂项相消法求和 例3 设等差数列{an}的前n项和为Sn,a22-3a7=2,且,,S3成等比数列,n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)令bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,若对于任意的n∈N*,都有8Tn<2λ2+5λ成立,求实数λ的取值范围.‎ 解 (1)设等差数列{an}的公差为d,‎ 由 ‎⇒ 即 解得或 当a1=-,d=时,=没有意义,‎ ‎∴a1=2,d=2,此时an=2+2(n-1)=2n.‎ ‎【变式探究】(1)设Sn为等差数列{an}的前n项和,a2=2,S5=15,若的前m项和为,则m的值为(  )‎ A.8B.9C.10D.11‎ ‎(2)已知数列{an}的通项公式为an=log2 (n∈N*),设其前n项和为Sn,则使Sn<-5成立的正整数n有(  )‎ A.最小值63 B.最大值63‎ C.最小值31 D.最大值31‎ 答案 (1)B (2)A 解析 (1)设数列{an}的首项为a1,公差为d,‎ 则有 ∴a1=d=1,∴an=n,‎ ‎∴=-.‎ ‎∴+++…+ ‎=1-+-+…+- ‎=1-==,‎ ‎∴m=9.‎ ‎(2)∵an=log2 (n∈N*),‎ ‎∴Sn=a1+a2+…+an=log2+log2+…+log2=(log22-log23)+(log23-log24)+…+log2(n+1)-log2(n+2)=log22-log2(n+2)=log2,由Sn<-5=log2⇒<⇒n>62,故使Sn<-5成立的正整数n 有最小值63.‎ ‎【名师点睛】‎ ‎ (1)裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成an=bn+k-bn(k≥1,k∈N*)的形式,从而达到在求和时某些项相消的目的,在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{an}的通项公式,使之符合裂项相消的条件.‎ ‎(2)常用的裂项公式 ‎①=(-);‎ ‎②=(-);‎ ‎③=(-).‎ ‎【锦囊妙计,战胜自我】‎ 裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后,某些项可以相互抵消从而求和的方法,主要适用于{}或{}(其中{an}为等差数列)等形式的数列求和.‎