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- 2021-05-14 发布
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1.【2017天津,理18】已知为等差数列,前n项和为,是首项为2的等比数列,且公比大于0,,,.
(Ⅰ)求和的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前n项和.
【答案】 (1)..(2).
【解析】
(II)解:设数列的前项和为,
由, ,有,
故,
,
上述两式相减,得
得.
所以,数列的前项和为.
2.【2017江苏,19】 对于给定的正整数,若数列满足
对任意正整数总成立,则称数列是“数列”.
(1)证明:等差数列是“数列”;
(2)若数列既是“数列”,又是“数列”,证明:是等差数列.
【答案】(1)见解析(2)见解析
(2)数列既是“数列”,又是“数列”,因此,
当时, ,①
当时, .②
由①知, ,③
,④
将③④代入②,得,其中,
所以是等差数列,设其公差为.
在①中,取,则,所以,
在①中,取,则,所以,
所以数列是等差数列.
3.【2017山东,理19】已知{xn}是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2
(Ⅰ)求数列{xn}的通项公式;
(Ⅱ)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1, 1),P2(x2, 2)…Pn+1(xn+1, n+1)得到折线P1 P2…Pn+1,求由该折线与直线y=0,所围成的区域的面积.
【答案】(I)(II)
(II)过……向轴作垂线,垂足分别为……,
由(I)得
记梯形的面积为.
由题意,
所以
……+
=……+ ①
又……+ ②
①-②得
=
所以
4.【2016高考天津理数】已知是各项均为正数的等差数列,公差为,对任意的是和的等差中项.
(Ⅰ)设,求证:是等差数列;
(Ⅱ)设 ,求证:
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析
【解析】
(Ⅰ)证明:由题意得,有,
因此,所以是等差数列.
(Ⅱ)证明:
所以.
5.【2016高考新课标3理数】已知数列的前n项和,其中.
(I)证明是等比数列,并求其通项公式;
(II)若 ,求.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)由题意得,故,,.
由,得,即.
由,得,所以.
因此是首项为,公比为的等比数列,于是.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,由得,即,
解得.
6.【2016高考浙江理数】设数列满足,.
(I)证明:,;
(II)若,,证明:,.
【答案】(I)证明见解析;(II)证明见解析.
【解析】(I)由得,故
,,
所以
,
因此
.
(II)任取,由(I)知,对于任意,
,
故
.
从而对于任意,均有
.
由的任意性得. ①
否则,存在,有,取正整数且,则
,
与①式矛盾.
综上,对于任意,均有.
7.【2016年高考北京理数】(本小题13分)
设数列A: , ,… ().如果对小于()的每个正整数都有 < ,则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.
(1)对数列A:-2,2,-1,1,3,写出的所有元素;
(2)证明:若数列A中存在使得>,则 ;
(3)证明:若数列A满足- ≤1(n=2,3, …,N),则的元素个数不小于 -.
【答案】(1)的元素为和;(2)详见解析;(3)详见解析.
【解析】
(Ⅲ)当时,结论成立.
以下设.
由(Ⅱ)知.
设.记.
则.
对,记.
如果,取,则对任何.
从而且.
又因为是中的最大元素,所以.
从而对任意,,特别地,.
对.
因此.
所以.
因此的元素个数p不小于.
8.【2016年高考四川理数】(本小题满分12分)
已知数列{ }的首项为1, 为数列的前n项和, ,其中q>0, .
(Ⅰ)若 成等差数列,求的通项公式;
(Ⅱ)设双曲线 的离心率为 ,且 ,证明:.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.
【解析】(Ⅰ)由已知, 两式相减得到.
又由得到,故对所有都成立.
所以,数列是首项为1,公比为q的等比数列.
从而.
由成等比数列,可得,即,则,
由已知,,故 .
所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,.
所以双曲线的离心率 .
由解得.
因为,所以.
于是,
故.
9.【2016高考上海理数】(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
若无穷数列满足:只要,必有,则称具有性质.
(1)若具有性质,且,,求;
(2)若无穷数列是等差数列,无穷数列是公比为正数的等比数列,,,
判断是否具有性质,并说明理由;
(3)设是无穷数列,已知.求证:“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.
【答案】(1).(2)不具有性质.(3)见解析.
【解析】(1)因为,所以,,.
于是,又因为,解得.
(3)[证]充分性:
当为常数列时,.
对任意给定的,只要,则由,必有.
充分性得证.
必要性:
用反证法证明.假设不是常数列,则存在,
使得,而.
下面证明存在满足的,使得,但.
设,取,使得,则
,,故存在使得.
取,因为(),所以,
依此类推,得.
但,即.
所以不具有性质,矛盾.
必要性得证.
综上,“对任意,都具有性质”的充要条件为“是常数列”.
10.【2016高考新课标2理数】为等差数列的前项和,且记,其中表示不超过的最大整数,如.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求数列的前1 000项和.
【答案】(Ⅰ),, ;(Ⅱ)1893.
【解析】
(Ⅰ)设的公差为,据已知有,解得
所以的通项公式为
(Ⅱ)因为
所以数列的前项和为
易错起源1、分组转化求和
例1、等比数列{an}中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3
中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1)nlnan,求数列{bn}的前n项和Sn.
(2)因为bn=an+(-1)nlnan
=2·3n-1+(-1)nln(2·3n-1)
=2·3n-1+(-1)n[ln 2+(n-1)ln 3]
=2·3n-1+(-1)n(ln2-ln3)+(-1)nnln3,
所以Sn=2(1+3+…+3n-1)+[-1+1-1+…+(-1)n]·(ln2-ln3)+[-1+2-3+…+(-1)nn]ln3.
当n为偶数时,
Sn=2×+ln3
=3n+ln3-1;
当n为奇数时,
Sn=2×-(ln2-ln3)+ln3
=3n-ln3-ln2-1.
综上所述,Sn=
【变式探究】设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=2,且an+2=3Sn-Sn+1+3,n∈N*.
(1)证明:an+2=3an;
(2)求Sn.
(1)证明 由条件,对任意n∈N*,
有an+2=3Sn-Sn+1+3,
因而对任意n∈N*,n≥2,有an+1=3Sn-1-Sn+3.
两式相减,得an+2-an+1=3an-an+1,
即an+2=3an,n≥2.
又a1=1,a2=2,
所以a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1,
故对一切n∈N*,an+2=3an.
(2)解 由(1)知,an≠0,所以=3.于是数列{a2n-1}是首项a1=1,公比为3等比数列;数列{a2n}是首项a2=2,公比为3的等比数列.因此a2n-1=3n-1,a2n=2×3n-1.
于是S2n=a1+a2+…+a2n
=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)
=(1+3+…+3n-1)+2(1+3+…+3n-1)
=3(1+3+…+3n-1)
=.
从而S2n-1=S2n-a2n=-2×3n-1
=(5×3n-2-1).
综上所述,
【名师点睛】
在处理一般数列求和时,一定要注意使用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和,在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列,哪些项构成等比数列,清晰正确地求解.在利用分组求和法求和时,由于数列的各项是正负交替的,所以一般需要对项数n进行讨论,最后再验证是否可以合并为一个公式.
【锦囊妙计,战胜自我】
有些数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将数列通项拆开或变形,可转化为几个等差、等比数列或常见的数列,即先分别求和,然后再合并.
易错起源2、错位相减法求和
例2、已知数列{an}的前n项和为Sn,且有a1=2,3Sn=5an-an-1+3Sn-1(n≥2).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=(2n-1)an,求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)3Sn-3Sn-1=5an-an-1(n≥2),
∴2an=an-1,=,
又∵a1=2,
∴{an}是首项为2,公比为的等比数列,
∴an=2×()n-1=()n-2=22-n.
【变式探究】已知正项数列{an}的前n项和Sn满足:4Sn=(an-1)(an+3)(n∈N*).
(1)求an;
(2)若bn=2n·an,求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)∵4Sn=(an-1)(an+3)=a+2an-3,
∴当n≥2时,4Sn-1=a+2an-1-3,
两式相减得,4an=a-a+2an-2an-1,
化简得,(an+an-1)(an-an-1-2)=0,
∵{an}是正项数列,∴an+an-1≠0,
∴an-an-1-2=0,对任意n≥2,n∈N*都有an-an-1=2,
又由4S1=a+2a1-3得,a-2a1-3=0,
解得a1=3或a1=-1(舍去),
∴{an}是首项为3,公差为2的等差数列,
∴an=3+2(n-1)=2n+1.
(2)由已知及(1)知,
bn=(2n+1)·2n,
Tn=3·21+5·22+7·23+…+(2n-1)·2n-1+(2n+1)·2n,①
2Tn=3·22+5·23+7·24+…+(2n-1)·2n+(2n+1)·2n+1,②
②-①得,Tn=-3×21-2(22+23+24+…+2n)+(2n+1)·2n+1=-6-2×+(2n+1)·2n+1
=2+(2n-1)·2n+1.
【名师点睛】
(1)错位相减法适用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列;(2)所谓“错位”,就是要找“同类项”相减.要注意的是相减后得到部分,求等比数列的和,此时一定要查清其项数.(3)为保证结果正确,可对得到的和取n=1,2进行验证.
【锦囊妙计,战胜自我】
错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{an},{bn}分别是等差数列和等比数列.
易错起源3、裂项相消法求和
例3 设等差数列{an}的前n项和为Sn,a22-3a7=2,且,,S3成等比数列,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,若对于任意的n∈N*,都有8Tn<2λ2+5λ成立,求实数λ的取值范围.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d,
由
⇒
即
解得或
当a1=-,d=时,=没有意义,
∴a1=2,d=2,此时an=2+2(n-1)=2n.
【变式探究】(1)设Sn为等差数列{an}的前n项和,a2=2,S5=15,若的前m项和为,则m的值为( )
A.8B.9C.10D.11
(2)已知数列{an}的通项公式为an=log2 (n∈N*),设其前n项和为Sn,则使Sn<-5成立的正整数n有( )
A.最小值63 B.最大值63
C.最小值31 D.最大值31
答案 (1)B (2)A
解析 (1)设数列{an}的首项为a1,公差为d,
则有 ∴a1=d=1,∴an=n,
∴=-.
∴+++…+
=1-+-+…+-
=1-==,
∴m=9.
(2)∵an=log2 (n∈N*),
∴Sn=a1+a2+…+an=log2+log2+…+log2=(log22-log23)+(log23-log24)+…+log2(n+1)-log2(n+2)=log22-log2(n+2)=log2,由Sn<-5=log2⇒<⇒n>62,故使Sn<-5成立的正整数n
有最小值63.
【名师点睛】
(1)裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成an=bn+k-bn(k≥1,k∈N*)的形式,从而达到在求和时某些项相消的目的,在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{an}的通项公式,使之符合裂项相消的条件.
(2)常用的裂项公式
①=(-);
②=(-);
③=(-).
【锦囊妙计,战胜自我】
裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后,某些项可以相互抵消从而求和的方法,主要适用于{}或{}(其中{an}为等差数列)等形式的数列求和.
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