高考数学第一轮复习10三角恒等变换 15页

高中数学苏教版必修4三角函数知识点总结 一、角的概念和弧度制：‎ ‎（1）在直角坐标系内讨论角：‎ 角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。‎ ‎（2）①与角终边相同的角的集合：‎ 与角终边在同一条直线上的角的集合： ；‎ 与角终边关于轴对称的角的集合： ；‎ 与角终边关于轴对称的角的集合： ；‎ 与角终边关于轴对称的角的集合： ；‎ ‎ ②一些特殊角集合的表示：‎ 终边在坐标轴上角的集合： ；‎ 终边在一、三象限的平分线上角的集合： ；‎ 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ；‎ 终边在四个象限的平分线上角的集合： ；‎ ‎（3）区间角的表示：‎ ‎①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ；‎ 第一、三象限角： ；‎ ‎②写出图中所表示的区间角： ‎ x y O x y O ‎（4）正确理解角：‎ 要正确理解“间的角”= ；‎ ‎“第一象限的角”= ；“锐角”= ；‎ ‎“小于的角”= ；‎ ‎（5）由的终边所在的象限，通过 来判断所在的象限。‎ 来判断所在的象限 ‎（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一 已知角的弧度数的绝对值，其中为以角作为圆心角时所对圆弧的长，为圆的半径。注意钟表指针所转过的角是负角。‎ ‎（7）弧长公式： ；半径公式： ；‎ 扇形面积公式： ；‎ 二、任意角的三角函数：‎ ‎（1）任意角的三角函数定义：‎ 以角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点到原点的距离记为，则 ； ； ； ； ； ；‎ ‎ 如：角的终边上一点，则 。注意r>0‎ ‎（2）在图中画出角的正弦线、余弦线、正切线；‎ x y O a x y O a x y O a y O a 比较，，，的大小关系： 。‎ ‎（3）特殊角的三角函数值：‎ ‎0‎ sin cos 三、同角三角函数的关系与诱导公式：‎ ‎（1）同角三角函数的关系 平方关系 sin2+ cos2=1， 1+tan2=， 1+cot2=‎ 商数关系 ‎=tan 倒数关系 tan·cot=1‎ 作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。‎ ‎（2）诱导公式：‎ ‎： ， ， ；‎ ‎： ， ， ；‎ ‎： ， ， ；‎ ‎： ， ， ；‎ ‎： ， ， ；‎ ‎： ， ， ；‎ ‎： ， ， ；‎ ‎： ， ， ；‎ ‎： ， ， ；‎ 诱导公式可用概括为：‎ ‎2K±,-,±,±,±的三角函数 奇变偶不变，符号看象限 的三角函数 作用：“去负——脱周——化锐”，是对三角函数式进行角变换的基本思路．即利用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数——去负；利用三角函数的周期性将任意角的三角函数化为角度在区间[0o,360o)或[0o,180o)内的三角函数——脱周；利用诱导公式将上述三角函数化为锐角三角函数——化锐. ‎ ‎（3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用：‎ ‎①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。‎ 注意：用平方关系，有两个结果，一般可通过已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以讨论。‎ ‎②求任意角的三角函数值。‎ 步骤：‎ 任意负角的 三角函数 任意正教的 三角函数 ‎0o~360o角的 三角函数 求值 公式三、一 公式一 ‎0o~90o角的 三角函数 公式二、‎ 四、五、‎ 六、七、‎ 八、九 ‎③已知三角函数值求角：注意：所得的解不是唯一的，而是有无数多个．‎ 步骤： ①确定角所在的象限；‎ ‎②如函数值为正，先求出对应的锐角；如函数值为负，先求出与其绝对值对 应的锐角；‎ ‎③根据角所在的象限，得出间的角——如果适合已知条件的角在第二限；则它是；如果在第三或第四象限，则它是或；‎ ‎④如果要求适合条件的所有角，再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有角的集合。‎ 如，则 ， ； ；_________。‎ 注意：巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（8，15，17）；‎ 四、三角函数图像和性质 ‎ 1．周期函数定义 定义  对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数叫做这个函数的周期．‎ 请你判断下列函数的周期 ‎ y=tan x y=tan |x| y=|tan x| ‎ 例 求函数f(x)=3sin (的周期。并求最小的正整数k,使他的周期不大于1‎ ‎ 注意 理解函数周期这个概念，要注意不是所有的周期函数都有最小正周期，如常函数f(x)＝c（c为常数）是周期函数，其周期是异于零的实数，但没有最小正周期．‎ ‎ 结论：如函数对于，那么函数f(x)的周期T=2k; 如函数对于，那么函数f(x)的对称轴是 ‎ 2．图像 ‎ 3。图像的平移 对函数y＝Asin(ωx＋j)＋k (A＞0, ω＞0, j≠0, k≠0),其图象的基本变换有： ‎ ‎(1)振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A的变化引起的．A＞1,伸长；A＜1,缩短． ‎ ‎(2)周期变换(横向伸缩变换)：是由ω的变化引起的．ω＞1，缩短；ω＜1,伸长． ‎ ‎(3)相位变换(横向平移变换)：是由φ的变化引起的．j＞0,左移；j＜0，右移．‎ ‎(4)上下平移(纵向平移变换): 是由k的变化引起的．k＞0, 上移；k＜0,下移 ‎ ‎ 四、三角函数公式：‎ 倍角公式 sin2=2sin·cos cos2=cos2-sin2‎ ‎=2cos2-1=1-2sin2‎ 两角和与差的三角函数关系 sin()=sin·coscos·sin cos()=cos·cossin·sin 积化和差公式 sin·cos=[sin(+)+sin(-)]‎ cos·sin=[sin(+)-sin(-)]‎ cos·cos=[cos(+)+cos(-)]‎ sin·sin= -[cos(+)-cos(-)]‎ 半角公式 ‎，‎ ‎=‎ 升幂公式 ‎1+cos=‎ ‎1-cos=‎ ‎1±sin=()2‎ ‎1=sin2+ cos2‎ sin=‎ 降幂公式 sin2‎ cos2‎ sin2+ cos2=1‎ sin·cos=‎ 和差化积公式 sin+sin= ‎ sin-sin=‎ cos+cos=‎ cos-cos= -‎ tan+ cot=‎ tan- cot= -2cot2‎ ‎1+cos=‎ ‎1-cos=‎ ‎1±sin=()2‎ 三倍角公式：；；‎ 五、三角恒等变换：‎ 三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：‎ ‎（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：‎ ‎①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是 的二倍；是的二倍；是的二倍。‎ ‎②；问： ； ；‎ ‎③；④；‎ ‎⑤；等等 ‎（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。‎ ‎（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：‎ ‎ ‎ ‎（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ；‎ ‎（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。‎ ‎ 如：； ；‎ ‎；；‎ ‎；；‎ ‎ ； ；‎ ‎ ；‎ ‎ = ；‎ ‎ = ；‎ ‎ （其中 ；）‎ ‎ ； ；‎ ‎（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；‎ 基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化。‎ 如： ； ；‎ ‎ ；‎ ‎ ；推广：‎ ‎ ；推广：‎ 山东省莱州一中高一数学试题 ‎－三角恒等变换测试题 第I卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1、的值为（ ）‎ A 0 B C D ‎ ‎2.，，，是第三象限角，则（　　）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎3. 的值为（ ）‎ A 1 B C － D ‎ ‎4. 已知，则的值为（ ）‎ A B C D ‎ ‎5.都是锐角，且，，则的值是（　　）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎6.,且则cos2x的值是（　　　）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎7. 函数的值域是（ ）‎ A B C D ‎ ‎8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于,则这个三角形底角的正弦值为（ ）‎ A B C D ‎ ‎9.要得到函数的图像，只需将的图像（　　　）‎ A、向右平移个单位B、向右平移个单位C、向左平移个单位D、向左平移个单位 ‎10. 函数的图像的一条对称轴方程是 （ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎11. 已知，则的值为 （ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎12.若且,,则 （　　） ‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上）‎ ‎13. .在中，已知tanA ,tanB是方程的两个实根，则 ‎ ‎14. 已知，则的值为 ‎ ‎15. 已知直线，A是之间的一定点，并且A点到的距离分别为，B是直线上一动点，作ACAB，且使AC与直线交于点C，则面积的最小值为 。‎ ‎16. 关于函数，下列命题：‎ ‎①若存在，有时，成立；②在区间上是单调递增；‎ ‎③函数的图像关于点成中心对称图像；‎ ‎④将函数的图像向左平移个单位后将与的图像重合．‎ 其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上）‎ 第II卷 一、选择题：（每小题5分共计60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 二、填空题：（每小题5分，共计20分）‎ ‎13、______________14、_______________15、____________________ 16、_______________‎ 三、解答题：‎ ‎17. 已知，，试求的值．（12分）‎ ‎18. 求的值．（12分）‎ ‎19. 已知α为第二象限角，且 sinα=求的值.（12分）‎ ‎20.已知函数，求 ‎（1）函数的最小值及此时的的集合。‎ ‎（2）函数的单调减区间 ‎（3）此函数的图像可以由函数的图像经过怎样变换而得到。（12分）‎ ‎21.已知在△ABC中,A,B,C为其内角，若,判断三角形的形状。（12分）‎ ‎22.四边形ABCD是一个边长为‎100米的正方形地皮,其中ATPS是一半径为‎90米的扇形小山,其余部分都是平地,P是弧TS上一点,现有一位开发商在平地上建造一个两边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR.求长方形停车场PQCR面积的最大值与最小值.（14分）‎ ‎.‎ 三角恒等变换测试题参考答案 一、选择题：（每小题5分共计60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D A B A C B D C D C A D 二、填空题：（每小题5分，共计20分）‎ ‎13、-7 14、- 15、 16、①③‎ 三、解答题：‎ ‎17. 18. 19.‎ ‎20.（1）最小值为，ｘ的集合为 ‎ (2) 单调减区间为 ‎　（3）先将的图像向左平移个单位得到的图像，然后将的图像向上平移2个单位得到+2的图像。‎ ‎21.等腰三角形 ‎22.最小值为‎950米2，最大值为米2‎