高考数学压轴题专题训练共题 27页

‎1．已知点，一动圆过点且与圆内切．‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎（2）设点，点为曲线上任一点，求点到点距离的最大值；‎ ‎（3）在的条件下，设△的面积为（是坐标原点，是曲线上横坐标为的点），以为边长的正方形的面积为．若正数满足，问是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由．‎ ‎2．在直角坐标平面上有一点列，，…，，…，对每个正整数，点位于一次函数的图像上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列．‎ ‎（1）求点的坐标；‎ ‎（2）设二次函数的图像以为顶点，且过点，若过且斜率为的直线与只有一个公共点，求的值．‎ ‎（3）设，为正整数，，为正整数，等差数列中的任一项，且是中的最大数，，求的通项公式．‎ ‎3．已知点A（－1，0)，B（1,0)，C（－ ,0)，D（,0)，动点P（x, y)满足·＝0，动点Q（x, y)满足||+||＝ ‎ ‎⑴求动点P的轨迹方程C0和动点Q的轨迹方程C1；‎ ‎⑵是否存在与曲线C0外切且与曲线C1内接的平行四边形，若存在，请求出一个这样的平行四边形，若不存在，请说明理由；‎ ‎⑶固定曲线C0，在⑵的基础上提出一个一般性问题，使⑵成为⑶的特例，探究能得出相应结论（或加强结论）需满足的条件，并说明理由。‎ ‎4．已知函数f (x)＝m x2＋(m－3）x＋1的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧，‎ ‎⑴求实数m的取值范围；‎ ‎⑵令t＝－m＋2，求[]；(其中[t]表示不超过t的最大整数，例如：[1]＝1， [2．5]＝2， [－2．5]＝－3)‎ ‎⑶对⑵中的t，求函数g(t)＝的值域。‎ ‎5．已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点 为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称． ‎ ‎ （1）求双曲线C的方程；‎ ‎ （2）若Q是双曲线C上的任一点，F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引∠F1QF2‎ 的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．‎ ‎ （3）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线L经过M（－2，0）‎ 及AB的中点，求直线L在y轴上的截距b的取值范围．‎ ‎6．已知是定义在上的恒不为零的函数，且对于任意的、都满足：‎ ‎（1）求的值，并证明对任意的，都有；‎ ‎（2）设当时，都有，证明在上是减函数；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求集合中的最大元素和最小元素。‎ ‎7．直线与x轴、y 轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为，所 围成区域内部（包括边界）的整点个数为．（整点就是横坐标，纵坐标都为整数的点）‎ ‎（1）求和的值； ‎ ‎（2）求及的表达式； ‎ ‎（3）对个整点中的每一个点用红、黄、蓝、白四色之一着色，其方法总 数为An，对个整点中的每一个点用红、黄两色之一着色，其方法总数为Bn，试比较An与Bn的大小．‎ ‎8．已知动点到定点（1，0）的距离比到定直线的距离小1。‎ ‎（1）求证：点轨迹为抛物线，并求出其轨迹方程；‎ ‎（2）大家知道，过圆上任意一点，任意作相互垂直的弦，则弦必过圆心（定点），受此启发，研究下面的问题：①过（1）中的抛物线的顶点任作相互垂直的弦，则弦是否经过一个定点？若经过定点（设为），请求出点的坐标，否则说明理由；②研究：对于抛物线上顶点以外的定点是否也有这样的性质？请提出一个一般的结论，并证明。‎ ‎9．若函数的定义域为，其中a、b为任意正 实数，且a0，k，n是正整数），S（k，n）表示 k方数列的前n项的和。‎ ‎ （1）比较S（1，2）·S（3，2）与[S（2，2）]2的大小；‎ ‎ （2）若的1方数列、2方数列都是等差数列，a1=a，求的k方数列通项公式。‎ ‎ （3）对于常数数列an=1，具有关于S（k，n）的恒等式如：S（1，n）=S（2，n），‎ S（2，n）=S（3，n）等等，请你对数列的k方数列进行研究，写出一个不是常数数列 的k方数列关于S（k，n）的恒等式，并给出证明过程。‎ ‎11．记函数，,它们定义域的交集为,若对任意的 ‎,，则称是集合的元素．‎ ‎（1）判断函数是否是的元素；‎ ‎（2）设函数，求的反函数，并判断是否是的元素；‎ ‎（3）若，写出的条件，并写出两个不同于（1）、（2）中的函数．（将根据写出的函数类型酌情给分）‎ ‎12．已知抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为．‎ ‎（1）求抛物线的方程．‎ ‎（2）设直线与抛物线交于两点，且 ‎，是弦的中点，过作平行于轴的直线交抛物线于点，‎ 得到；再分别过弦、的中点作平行于轴的直线依次交抛物线于点，‎ 得到和；按此方法继续下去．解决下列问题：‎ ‎1)．求证：；‎ ‎2)．计算的面积；‎ ‎3)．根据的面积的计算结果，写出的面积；请设计一种求抛物线与线段所围成封闭图形面积的方法，并求出此封闭图形的面积．‎ ‎·‎ F1‎ x O y F2‎ ‎·‎ ‎13．设椭圆（）的两个焦点是和（），且椭圆与圆有公共点．‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）若椭圆上的点到焦点的最短距离为，求椭圆的方程；‎ ‎（3）对（2）中的椭圆，直线（）与交于不同的 两点、，若线段的垂直平分线恒过点，求实数的取值范围．‎ ‎14．我们用和分别表示实数中的最小者和最大者．‎ ‎（1）设，，，函数的值域为，函数的值域为，求；‎ ‎（2）数学课上老师提出了下面的问题：设，，…，为实数，，求函数 ‎（）的最小值或最大值．为了方便探究，遵循从特殊到一般的原则，老师让学生先解决两个特例：求函数和的最值． 学生甲得出的结论是：，且无最大值． 学生乙得出的结论是：，且无最小值．‎ 请选择两个学生得出的结论中的一个，说明其成立的理由；‎ ‎（3）试对老师提出的问题进行研究，写出你所得到的结论并加以证明（如果结论是分类的，请选择一种情况加以证明）．‎ ‎15．设向量， (n为正整数)，函数在[0，1]上的最小值与最大值的和为，又数列满足： ‎ ‎．‎ (1) 求证：．‎ (2) ‎(2)．求的表达式．‎ ‎(3) 若，试问数列中，是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立？证明你的结论．（注：与表示意义相同）‎ ‎16、设斜率为的直线交椭圆：于两点，点为弦的中点，直线的斜率为（其中为坐标原点，假设、都存在）．‎ ‎（1）求×的值． ‎ ‎（2）把上述椭圆一般化为（＞＞０），其它条件不变，试猜想与关系(不需要证明)．请你给出在双曲线（＞０，＞０）中相类似的结论，并证明你的结论．‎ ‎（3）分析（2）中的探究结果，并作出进一步概括，使上述结果都是你所概括命题的特 例．如果概括后的命题中的直线过原点，为概括后命题中曲线上一动点，借助直线及动点，请你提出一个有意义的数学问题，并予以解决．‎ ‎17．已知向量,向量与向量夹角为，且．‎ ‎（1）求向量； ‎ ‎（2）若向量与向量的夹角为，其中，为的 内角，且，，依次成等差数列，试求求||的取值范围．‎ A B M F O y x ‎18．如图，过椭圆的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”．‎ ‎(1)求椭圆的“左特征点”M的坐标； (2)试根据(1)提出一个问题并给出解答。‎ ‎19．如图，已知圆C：，设M为圆C与x轴左半轴的交点，过M作 圆C的弦MN，并使它的中点P恰好落在y轴上。‎ ‎（1）当r=2时， 求满足条件的P点的坐标； ‎ ‎（2）当时，求N的轨迹G方程； ‎ ‎（3）过点P（0，2）的直线l与（2）中轨迹G相交于两个不同的点M,N，若，求直线的斜率的取值范围。 ‎ ‎20．函数f(x)是定义在［0，1］上的增函数，满足且，在每个区间（1，2……）上，y=f(x)的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分。‎ ‎（1）求f(0)及，的值，并归纳出的表达式（不必证明）；‎ ‎（2）设直线，，轴及的图象围成的梯形的面积为（1，2……），记，求的表达式，并写出其定义域和最小值。‎ ‎1．本题满分16分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题6分．‎ 解（1）设动圆圆心为，半径为，已知圆圆心为，‎ 由题意知，，于是，‎ 所以点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆，其方程为．‎ ‎（2）设，则 ‎，令，，所以，‎ 当，即时在上是减函数，；‎ 当，即时，在上是增函数，在上是减函数，则；‎ 当，即时，在上是增函数，．‎ 所以， ．‎ ‎（3）当时,,于是,,（12分）‎ 若正数满足条件，则，即，‎ ‎，令，设，则，，‎ 于是，‎ 所以，当，即时，，‎ 即，．所以，存在最小值．‎ ‎2．解（1）由已知，，‎ 所以．‎ ‎（2）设二次函数，因为的图像过点，所以，解得 的方程为，代入得，‎ 即 ①‎ 由已知，方程①仅有一解，所以，（）‎ 所以 ‎．‎ ‎（3）由题意为正整数},为正整数}‎ 所以中的元素组成以为首项，为公差的等差数列，‎ 所以，的公差为（）‎ 若，则，；‎ 若，则，；‎ 若，则，即．‎ 综上所述，的通项公式为（为正整数）．‎ ‎3、⑴C0：x2＋y2＝1， C1：＋＝1，⑵连椭圆四端点可得□，⑶问题：已知C0：x2＋y2＝1和C1：＋＝1（a＞b＞0），试问，当a、 b满足什么条件时，对C1上任意一点Q均存在以Q 为顶点，与C0外切，与C1内接的平行四边形。解得a2＋b2＝a 2b2；‎ ‎4、⑴m≤1，⑵t＝1时[]＝1，t＞1时[]＝0，⑶｛｝∪[,)‎ ‎5．解：（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，即kx－y=0‎ ‎∵该直线与圆 相切，‎ ‎∴双曲线C的两条渐近线方程为 …………2分 故设双曲线C的方程为，又∵双曲线C的一个焦点为 ‎∴，∴双曲线C的方程为 ………4分 ‎（2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF2到T，使|QT|=|OF1|‎ 若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|‎ 根据双曲线的定义|TF2|=2，所以点T在以F2为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是 ① …………8分 由于点N是线段F1T的中点，设N（x，y），T（）‎ 则 代入①并整理得点N的轨迹方程为 ……10分 ‎（3）由 令 直线与双曲线左支交于两点，等价于方程 上有两个不等实根．‎ 因此 又AB中点为 ‎∴直线L的方程为 …………14分 令x=0，得 ‎∵ ∴ ‎ ‎∴故b的取值范围是 …………16分 ‎6．解：（1）‎ ‎ …………4分 ‎ （2）∵当时，都有…………6分 ‎ ∴当，即时，有，…………8分 ‎ 即 ‎ ‎∴在上是减函数。…………10分 ‎（3）∵在上是减函数，{}是递增数列∴数列是递减数列。‎ ‎………14分 ‎∴集合中的最大元素为 ‎，最小元素为 。………18分 ‎7．（1）时，直线上有个点，‎ 直线上有 ，直线上有，‎ 直线上有 ‎ 2分 ‎ ‎ 2分 ‎（2）时， 时，‎ 当时， 3分 ‎ 2分 当 时也满足，， 1分 ‎（3） ， 1分 ‎； 1分 ‎ 2分 当时， 1分 当且时， 1分 ‎8、（18分）（1）到定点的距离等于到定直线的距离 ‎ 轨迹为抛物线； 2分 轨迹方程为。 2分 ‎ （2）①设， ‎ ‎ 由 得， 2分 同理 2分 ‎ 因此方程为 ‎ 即 2分 ‎ 令 得 ‎ 2分 ‎ ②设点为上一定点，则 1分 ‎ 过作互相垂直的弦 ‎ 设，，则，，‎ ‎ ‎ ‎ 化简得即（*） 2分 ‎ 假设过定点，则有 ‎ 即化简得（**） 2分 比较（*）、（**）得， ‎ 过定点 1分 ‎9．（1）当 …………2分 ‎∵‎ ‎∴当是减函数，当是增函数 ……4分 ‎（2）是减函数；在上是增函数。 ………………6分 ‎∴当有最小值为 ‎ …………8分 当有最大值为 ………10分 ‎（3）当A=Ik时最小值为 当A= Ik+1时最小值为 …………12分 ‎∴ …………14分 设 ‎ 则 ‎ ‎∴ ………………16分 ‎10．解：（1）S（1，2）= …………2分 ‎∴S（1，2）·S（3，2）－[S（2，2）]2‎ ‎= …………4分 ‎=‎ ‎=‎ ‎∵ …………5分 ‎（2）设 …………7分 则 ……①‎ ‎ ……②‎ ‎∴②－①得 2d2=0，∴d=p=0 …………9分 ‎∴ ………………11分 ‎（3）当an=n时，恒等式为[S（1，n）]2=S（3，n） …………15分 证明：‎ 相减得： ‎ ‎∴‎ 相减得：‎ ‎∴ ………………18分 ‎11．解：（1）∵对任意，，∴--2分 ‎ ∵不恒等于，∴--------------------------4分 ‎ （2）设 ‎①时，由 解得：‎ 由 解得其反函数为 ，-----------------6分 ‎②时，由 解得：‎ 解得函数的反函数为，--------------------8分 ‎∵‎ ‎∴--------------------------------------------------------------------11分 ‎（3），的条件是：‎ 存在反函数，且-----------------------------------------------13分 函数可以是：‎ ‎； ；‎ ‎； ；‎ 或，；‎ 或，．‎ 以“；”划分为不同类型的函数，评分标准如下：‎ 给出函数是以上函数中两个不同类型的函数得3分．‎ ‎ 属于以上同一类型的两个函数得1分；‎ 写出的是与（1）、（2）中函数同类型的不得分；‎ ‎ 函数定义域或条件错误扣1分．‎ ‎12．解：（1）由抛物线定义，抛物线上点到焦点的距离等于它到准线的距离，得，‎ 所以抛物线的方程为． ----------------------------------------------------------4分 ‎ （只要得到抛物线方程，都得4分）‎ ‎（2）由，得，（或）‎ 当，即且时，‎ ‎ （或）‎ ‎①由，即，得，‎ 所以．----------------------------------------------------------------------8分 ‎②由①知，中点的坐标为，点，‎ ‎．-------------------------------------12分 ‎③由问题②知，的面积值仅与有关，由于 ‎，所以与的面积 ‎，设-------14分 由题设当中构造三角形的方法，可以将抛物线与线段所围成的封闭图形的面积 看成无穷多个三角形的面积的和，即数列的无穷项和，------------------------16分 所以 即，‎ 因此，所求封闭图形的面积为．--------------------------------------------------------18分 ‎13．解：（1）由已知，，‎ ‎ ∴ 方程组有实数解，从而，……（3分）‎ ‎ 故，所以，即的取值范围是．…………（4分）‎ ‎ （2）设椭圆上的点到一个焦点的距离为，‎ 则 ‎ （）．……………………（6分）‎ ‎ ∵ ，∴ 当时，，……（7分）‎ ‎ 于是，，解得 ．…………（9分）‎ ‎ ∴ 所求椭圆方程为．…………（10分）‎ ‎ （直接给出的扣3分）‎ ‎ （3）由得 （*）‎ ‎ ∵ 直线与椭圆交于不同两点，　∴ △，即．①……（12分）‎ ‎ 设、，则、是方程（*）的两个实数解，‎ ‎ ∴ ，∴ 线段的中点为，‎ ‎ 又∵ 线段的垂直平分线恒过点，∴ ，‎ ‎ 即，即 ②………………（14分）‎ ‎ 由①，②得，，又由②得，‎ ‎ ∴ 实数的取值范围是．…………（16分）‎ ‎14．解（1），，∴ ．……（4分）‎ ‎ （2）若选择学生甲的结论，则说明如下，‎ ‎ ，于是在区间上是减函数，在上 是减函数，在上是增函数，在上是增函数．……（8分）‎ ‎ 所以函数的最小值是，且函数没有最大值．（10分）‎ ‎ 若选择学生乙的结论，则说明如下，‎ ‎ ，于是在区间上是增函数，在上是 增函数，在上是减函数，在上是减函数．…………（8分）‎ ‎ 所以函数的最大值是，且函数没有最小值．（10 分）（3）结论：‎ 若，则；‎ ‎ 若，则；‎ ‎ 若，则，‎ ‎ ‎ ‎ （写出每个结论得1分，共3分，证明为5分）‎ ‎ 以第一个结论为例证明如下：‎ ‎ ∵ ，∴ 当时，‎ ‎，是减函数，‎ ‎ 当时，‎ ‎，是增函数 ‎ 当时，函数的图像是以点，，…，‎ 为端点的一系列互相连接的折线所组成，‎ 所以有．‎ ‎15、 (1)证：对称轴， 所以在[0，1]上为增函数 ---2分 --4分 ‎(2)、解．由，得，‎ ‎ = 两式相减，‎ 得----------------------------------8分 ‎ ----------------------------------- 10分 ‎(3)由(1)与（2）得 设存在自然数，使对，恒成立-----------------------12分 当时，‎ 当时，， 当时，‎ 当时，，当时， ---------------------------14分 所以存在正整数，使对任意正整数，均有 ‎ ------------------16分 ‎16．、（解一）：（1）设直线方程为，代入椭圆方程并整理得：‎ ‎，-----------------------------------2分 ‎，又中点M在直线上，所以，从而可得弦中点M的坐标为，，所以。-----------4分 ‎（解二）设点， 中点 则 ‎ ‎ ----------------------------2分 又与作差得 ‎ 所以 ----------------------------------------------4分 ‎（2）对于椭圆， ---------------------------------6分 已知斜率为的直线交双曲线（＞０，＞０）于两点，点 为弦的中点，直线的斜率为（其中为坐标原点，假设、都存在）．‎ 则×的值为． ------- -------------------- -----------------------8分 ‎（解一）、设直线方程为，代入（＞０，＞０）方程并整理得：‎ ‎，，‎ 所以，即 --------------------10分 ‎(解二）设点 中点 ‎ 则 ‎ 又因为点在双曲线上，则与作差得 ‎ 即 -----------------10分 ‎ ‎（3）对（2）的概括：设斜率为的直线交二次曲线：（）于两点，点为弦的中点，直线的斜率为（其中为坐标原点，假设、都存在），则．------------12分 提出问题与解决问题满分分别为3分，提出意义不大的问题不得分，解决问题的分值不得超过提出问题的分值。‎ 提出的问题例如：直线过原点，为二次曲线（）上一动点，设直线交曲线于两点，当异于两点时，如果直线的斜率都存在，则它们斜率的积为与点无关的定值。-----------------15分 解法1：设直线方程为，两点坐标分别为、，则 把代入得，‎ ‎，‎ 所以---------------------18分 提出的问题的例如： 直线：，为二次曲线（）上一动点，设直线交曲线于两点。试问使的点是否存在？-----------------13分 意义不大的问题例如：1）直线过原点，为二次曲线（）上一动点，设直线交曲线于两点，求的值。‎ ‎2）直线过原点，为二次曲线（）上一动点，设直线交曲线于两点，求的最值。‎ ‎17．解：(1)设，有．--------------------------------------2分 因为向量与向量夹角为，‎ 又∵，，‎ ‎∴-------------------------------------------------------------------4分 解得∴即或------------------------6分 ‎ (2)由垂直知．由2B=A+C知----8分 若，则 ‎ ‎∴‎ ‎----------------------------------------------------------10分 ‎∵,‎ ‎∴．．‎ 即． ∴ -----------------------------16分 ‎18．解：(1)解：设M(m，0)为椭圆的左特征点，‎ 椭圆的左焦点为， 　　设直线AB的方程为 　　将它代入得：，‎ 即 ---------------------------------2分 ‎ ‎　　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，-----------------4分 　　∵∠AMB被x轴平分，∴ 即，Þ Þ ∴， ----------------------------------------6分 　　于是 　　∵，∴，即 　　∴M(，0) ---------------------------------8分 　　(2) 问题不唯一，只要能在（1）基础上提出新的问题，并把所提问题解答出来就相应得分。如可以变换椭圆的方程，求出相应的M点坐标；或你想设问等。‎ 如问题：椭圆 的“左特征点”M是一个怎样的点？‎ 求解出M---------------------------------18分 ‎19．解：（1）解法一：由已知得，时，可求得点的坐标为（-1,0）， 2分 设P（0，b）,则由（或用勾股定理）得： ，所以即点P坐标为。 4分 解法二：同上可得，设则 解得。所以的中点P坐标为。 ‎ ‎（2）解法一：设由已知得，在圆方程中令y=0，求得点的坐标为。设P（0，b）,则由（或用勾股定理）得：。 6分 因为点P为线段的中点，所以,，又r>1‎ 所以点N的轨迹方程为 。 10分 解法二：设N（x,y），同上可得，则 ‎ ‎，消去r，又r>1，所以点N的轨迹方程为。‎ ‎（3）设直线的方程为,，‎ ‎ 消去因为直线与抛物线相交于两个不同的点，所以，所以，‎ ‎12分 又因为，所以，‎ 所以，，‎ 所以 14分 综上可得。 16分 ‎20．解：（1）由，得 2分 由及，得 4分 同理，， 6分 归纳得 8分 ‎（2）当时，‎ 所以是首项为，公比为的等比数列。 14分 所以 ‎ 的定义域为1，当时取得最小值。 18分