高考数学指导：透视高考中的定义型题目 6页

高考数学指导：透视高考中的定义型题目 ‎1定义运算：‎ ‎1.1定义数对运算 例1` 对于任意的两个实数对和，规定：，当且仅当；运算“”为：；运算“”为：，设，若，则 A. B. C. D. 解析：由得,‎ 所以,故选B.‎ ‎1.2定义集合运算：‎ 例2 设是至少含有两个元素的集合.在上定义了一个二元运算“”(即对任意的,对于有序元素对,在中有唯一确定的元素与之对应).若对于,有,则对任意的,下列等式中不恒成立的是 A．B． C．D． 解析：选A。设，将代入有得，把再带入，得；比较得：当第一号位置上的元素和第三号位置上的元素相同时，结果为第二号位置上的元素；利用此发现，可以得到A是不成立的。‎ 点评：本类题目有很强的发散性，在新的环境下，依据新运算，通过合理的逻辑推理，抓住共性来进行探索，从而发现不变的规律，化解难点。‎ ‎2、定义数集 例3 非空集合关于运算满足：（1）对任意、，都有；（2）存在，使得对一切，都有，则称关于运算为“融洽集”。现给出下列集合和运算：‎ ‎①{非负整数}，为整数的加法。‎ ‎②{偶数}，为整数的乘法。‎ ‎③{平面向量}，为平面向量的加法。‎ ‎④{二次三项式}，为多项式的加法。‎ ‎⑤{虚数}，为复数的乘法。‎ 其中关于运算为“融洽集”的是（写出所有“融洽集”的序号）‎ 解析：非空集合关于运算满足：（1）对任意，都有； ‎ ‎（2）存在，使得对一切，都有，则称关于运算为“融洽集”；现给出下列集合和运算：‎ ‎①,满足任意，都有，且令，有，所以①符合要求；‎ ‎②,若存在，则，矛盾，‎ ‎∴②不符合要求；‎ ‎③,取，满足要求，∴③符合要求；‎ ‎④，两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式，所以④不符合要求；‎ ‎⑤，两个虚数相乘得到的可能是实数，∴⑤不符合要求，‎ 这样关于运算为“融洽集”的有①③。‎ 点评：关于数集，定义的方式比较多，例如有定义数集封闭的。本题只要抓住定义的两条关键，逐一核实，选出答案。‎ ‎3定义数列 例4 若数列满足（为正常数，），则称为“等方比数列”．‎ 甲：数列是等方比数列； 乙：数列是等比数列，则（ ）‎ A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析：若是等比数列，则，则是等方比数列；若是等方比数列，有，即不是等比数列，例如等方比数列但不是等比数列。‎ 点评：关键是掌握新定义数列的本质，应遵循新定义法则，借助新数列的性质，向已有的熟悉的知识转化，即可求解，考查考生的阅读理解能力和学习的潜能。‎ ‎4定义坐标 例5 如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若、分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对（，）是点M的“距离坐标”．已知常数≥0，≥0，给出下列命题：‎ O M（ ， ）‎ ‎①若＝＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且 仅有1个；‎ ‎②若＝0，且＋≠0，则“距离坐标”为 ‎（，）的点有且仅有2个；‎ ‎③若≠0，则“距离坐标”为（，）的点有 且仅有4个．‎ 上述命题中，正确命题的个数是 （）‎ ‎（A）0；（B）1；（C）2；（D）3．‎ 解：选（D） ① 正确，此点为点； ② 正确，注意到为常数，由中必有一个为零，另一个非零，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为（或）； ③ 正确，四个交点为与直线相距为的两条平行线和与直线相距为的两条平行线的交点；‎ 点评：本题定义了新的坐标，实质就是距离；问题的关键就是看考生能否理解，进而从距离的角度去分析。本题充分的考查了考生的双基和应变能力。‎ ‎5定义距离 例6对于直角坐标平面内的任意两点A(x,y)、B(x，y)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB‖=︱x－x︱+︱y－y︱.给出下列三个命题：‎ ①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;‎ ②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；‎ ③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖.‎ 其中真命题的个数为 A.0 B‎.1 C.2 D.3‎ 解析：选A。对于直角坐标平面内的任意两点，定义它们之间的一种“距离”： 对于②，③可取A（0，2），B（2，0）C（0，0）进行验证，‖AC‖=，‖CB‖=，‖AB‖=；从而②错误；此时构成三角形，且‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖可知③错误；对于①，当斜率不存在时，显然正确；若直线AB斜率存在时，设斜率为，直线AB：，‎ ‎‖AC‖=，‎ ‎‖CB‖=，‎ ‎‖AB‖=，此时有‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖成立。‎ 点评：本题给出了一个距离的概念，有别于考生平时所接触的距离概念，解题关键是弄懂新定义距离的概念。本题重在考察学生的知识迁移和探究能力。‎ ‎6定义新曲线 例7 我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，． ‎ 如图，设点，，是相应椭圆的焦点，‎ ，和，是“果圆” 与， 轴的交点，是线段的中点．‎ y O ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ M x ‎.‎ ‎（1）若是边长为1的等边三角形，求该 ‎“果圆”的方程； ‎ ‎（2）设是“果圆”的半椭圆 上任意一点．求证：当取得最小值时，‎ 在点或处；‎ ‎（3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．‎ 解析：（1），‎ ，‎ 于是，‎ 所求“果圆”方程为，．‎ ‎（2）设，则 ， ‎ ，的最小值只能在或处取到．‎ ‎ 即当取得最小值时，在点或处． ‎ ‎ （3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可． ‎ ．‎ ‎ 当，即时，的最小值在时取到，‎ 此时的横坐标是． ‎ ‎ 当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是． ‎ ‎ 综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；若，当取得最小值时，点的横坐标是或． ‎ 点评：本题巧妙的以由两个椭圆“拼接”整合而成的“果圆”为载体，全面的考查了椭圆的几何性质等基本知识，颇有新意。‎