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- 2021-05-14 发布
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第五讲 函数的单调性与最值
学习
目标
掌握1.函数的单调性；
掌握2.函数的最值.
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疑问
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建议
【相关知识点回顾】
【预学能掌握的内容】
1．单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
当x10，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性__________；
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(3)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝－f(x)，y＝单调性__________；
(4)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≥0)与y＝单调性___________；
(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性____________．
4.函数的最值
前提
设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有f(x) M；
存在x0∈I，使得f(x0) M
对于任意x∈I，都有f(x) M;
存在x0∈I，使得f(x0) M
结论
M为最大值
M为最小值
5.函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大或最小值．
【探究点一】函数单调性的判断与证明
〖典例解析〗
例1.试讨论在（-1,1）上的单调性。
例2.(1)下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3x C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x|
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〖课堂检测〗
1.判断函数在上的单调性
2.已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为( )
A．(－∞，1] B．[3，＋∞) C．(－∞，－1] D．[1，＋∞)
3.函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是( )
A．[1,2] B．[－1,0] C．[0,2] D．[2，＋∞)
〖概括小结〗
1.（1）定义法 （2）.图像法 （3）.导数法
2. (1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则．
(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．
(3)函数的单调性是函数在某个区间上的“整体”性质，所以不能仅仅根据某个区间内的两个特殊变量x1，x2对应的函数值的大小就判断函数在该区间的单调性，必须保证这两个变量是区间内的任意两个自变量．
【探究点二】函数单调性的应用
应用(一) 比较函数值或自变量的大小
〖典例解析〗
例3. 已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c
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〖课堂检测〗
4. 已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，当x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2时，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0.设a＝ln，b＝(ln π)2，c＝ln，则( )
A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c) C．f(c)>f(a)>f(b) D．f(c)>f(b)>f(a)
应用(二) 解函数不等式
例4. f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是( )
A．(8，＋∞) B．(8,9] C．[8,9] D．(0,8)
〖课堂检测〗
5.定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f＝0，则满足flogx>0的x的集合为________．
6．已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．
应用(三) 求参数的取值范围
例5. (1)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
〖课堂检测〗
7.已知f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取值范围是________．
8.设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．[1,4] C．[4，＋∞) D．(－∞，1]∪[4，＋∞)
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【探究点三】求函数的最值(值域)
〖典例解析〗
例6.(1)函数y＝x＋的最小值为________．
(2)函数y＝的值域为________．
(3)函数f(x)＝的最大值为________．
函数f(x)＝－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝ln(x＋2) B．y＝－ C．y＝x D．y＝x＋
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2．如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，则( )
A．a＝－2 B．a＝2 C．a≤－2 D．a≥2
3．给定函数①y＝x，②y＝log(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
4．定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(x)在(－∞，2)上是增函数，则( )
A．f(－1)f(3) C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)
5．函数y＝的单调递增区间为( )
A．(1，＋∞) B. C. D.
6．已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是( )
A．(0,1) B. C. D.
7．(2017·九江模拟)已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0 C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
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8． 若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1] C．(0,1) D．(0,1]
9．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是( )
A．(－∞，0) B. C．[0，＋∞) D.
10．函数f(x)＝在[－6，－2]上的最大值是________；最小值是________．
11．已知f(x)＝的值域为R，那么a的取值范围是________．
12．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．
13．已知函数f(x)＝则f(x)的最小值是________．
10．(2017·豫南名校联考)已知f(x)＝不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
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14．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
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