高考理科立体几何大题 14页

  • 279.57 KB
  • 2021-05-14 发布

高考理科立体几何大题

  • 14页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
一, [2017·山东济南调研]如图,在三棱柱ABC-A1B‎1C1中,AA‎1C‎1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA‎1C‎1C,AB=3,BC=5.‎ ‎(1)求证:AA1⊥平面ABC;‎ ‎(2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;‎ ‎(3)在线段BC1上是否存在点D,使得AD⊥A1B?若存在,试求出的值.‎ ‎(1)[证明] 在正方形AA‎1C‎1C中,A‎1A⊥AC.‎ 又平面ABC⊥平面AA‎1C‎1C,‎ 且平面ABC∩平面AA‎1C‎1C=AC,AA1⊂平面AA‎1C‎1C.‎ ‎∴AA1⊥平面ABC.‎ ‎(2)[解] 由(1)知,AA1⊥AC,AA1⊥AB,‎ 由题意知,在△ABC中,AC=4,AB=3,BC=5,‎ ‎∴BC2=AC2+AB2,∴AB⊥AC.‎ ‎∴以A为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系A-xyz.‎ A1(0,0,4),B(0,3,0),C1(4,0,4),B1(0,3,4),‎ 于是=(4,0,0),=(0,3,-4),‎ =(4,-3,0),=(0,0,4).‎ 设平面A1BC1的法向量n1=(x1,y1,z1),‎ 平面B1BC1的法向量n2=(x2,y2,z2).‎ ‎∴⇒ ‎∴取向量n1=(0,4,3).‎ 由⇒ ‎∴取向量n2=(3,4,0).‎ ‎∴cos θ===.‎ 由题图可判断二面角A1-BC1-B1为锐角,‎ 故二面角A1-BC1-B1的余弦值为.‎ ‎(3)[解] 假设存在点D(x,y,z)是线段BC1上一点,使AD⊥A1B,且=λ,‎ ‎∴(x,y-3,z)=λ(4,-3,4),‎ 解得x=4λ,y=3-3λ,z=4λ,‎ ‎∴=(4λ,3-3λ,4λ).‎ 又AD⊥A1B,∴0+3(3-3λ)-16λ=0,‎ 解得λ=,‎ ‎∵∈[0,1],‎ ‎∴在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B,‎ 此时=.‎ 二, 如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=,PA=AD=2,AB=BC=1.‎ ‎(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;‎ ‎(2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成的角最小时,求线段BQ的长.‎ ‎[解] 以{,,}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,‎ 则各点的坐标为B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),‎ P(0,0,2).‎ ‎(1)由题意知,AD⊥平面PAB,‎ 所以是平面PAB的一个法向量,‎ =(0,2,0).‎ 因为=(1,1,-2),=(0,2,-2).‎ 设平面PCD的法向量为m=(x,y,z),‎ 则m·=0,m·=0,‎ 即 令y=1,解得z=1,x=1.‎ 所以m=(1,1,1)是平面PCD的一个法向量.‎ 从而cos〈,m〉==,‎ 所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为.‎ ‎(2)因为=(-1,0,2),‎ 设=λ=(-λ,0,2λ)(0≤λ≤1),‎ 又=(0,-1,0),‎ 则=+=(-λ,-1,2λ),‎ 又=(0,-2,2),‎ 从而cos〈,〉==.‎ 设1+2λ=t,t∈[1,3],‎ 则cos2〈,〉= ‎=≤.‎ 当且仅当t=,即λ=时,|cos〈,〉|的最大值为.‎ 因为y=cos x在上是减函数,‎ 所以此时直线CQ与DP所成角取得最小值.‎ 又因为BP==,‎ 所以BQ=BP=.‎ 三,[2016·浙江卷]如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.‎ ‎(1)求证:BF⊥平面ACFD;‎ ‎(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.‎ ‎(1)[证明] 延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.‎ 因为平面BCFE⊥平面ABC,平面BCFE∩平面ABC=BC,且AC⊥BC,‎ 所以AC⊥平面BCK,因此BF⊥AC.‎ 又EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,‎ 所以△BCK为等边三角形,且F为CK的中点,‎ 则BF⊥CK,又AC∩CK=C,‎ 所以BF⊥平面ACFD.‎ ‎(2)[解] 解法一:过点F作FQ⊥AK于Q,连接BQ.‎ 因为BF⊥平面ACK,所以BF⊥AK,则AK⊥平面BQF,所以BQ⊥AK.‎ 所以∠BQF是二面角B-AD -F的平面角.‎ 在Rt△ACK中,AC =3,CK=2,得 AK=,FQ=.‎ 在Rt△BQF中,FQ=,BF=,得 cos ∠BQF=.‎ 所以二面角B-AD-F的平面角的余弦值为.‎ 解法二:如图,延长AD,BE,CF相交于一点K,则△BCK为等边三角形.‎ 取BC的中点O,连接KO,则KO⊥BC,又平面BCFE⊥平面ABC,所以KO⊥平面ABC.‎ 以点O为原点,分别以射线OB,OK的方向为x轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.‎ 由题意,得B(1,0,0),C(-1,0,0),K(0,0,),A(-1,-3,0) ,E,F.‎ 因此,=(0,3,0),=(1,3,),‎ =(2,3,0).‎ 设平面ACK的法向量为m=(x1,y1,z1),平面ABK的法向量为n=(x2,y2,z2).‎ 由得 取m=(,0,-1);‎ 由得 取n=(3,-2,).‎ 于是cos〈m,n〉==.‎ 所以二面角B-AD-F的平面角的余弦值为.‎ 四,[2016·河南九校联考] (本小题满分15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=2,BC=4,PA=2,点M在PD上.‎ ‎(1)求证:AB⊥PC;‎ ‎(2)若二面角M-AC-D的大小为45°,求BM与平面PAC所成角的正弦值.‎ 解 (1)证明:取BC中点E,连接AE,则AD=EC,AD∥EC,所以四边形AECD为平行四边形,故AE⊥BC,又AE=BE=EC=2,所以∠ABC=∠ACB=45°,故AB⊥AC,又AB⊥PA,AC∩PA=A,所以AB⊥平面PAC,(4分)‎ 故有AB⊥PC.(6分)‎ ‎(2)如图建立空间直角坐标系 Axyz,则 A(0,0,0),B(2,-2,0),‎ C(2,2,0),P(0,0,2),‎ D(0,2,0).(7分)‎ 设=λ=(0,2λ,-2λ)(0≤λ≤1),‎ 易得M(0,2λ,2-2λ),‎ 设平面AMC的一个法向量为n1=(x,y,z),‎ 则 令y=,得x=-,z=,‎ 即n1=,(9分)‎ 又平面ACD的一个法向量为n2=(0,0,1),(10分)‎ ‎|cos〈n1,n2〉|===cos45°,‎ 解得λ=,(12分)‎ 即M(0,,1),=(-2,3,1),‎ 而=(2,-2,0)是平面PAC的一个法向量,(13分)‎ 设直线BM与平面PAC所成的角为θ,‎ 则sinθ=|cos〈,〉|==.‎ 故直线BM与平面PAC所成的角的正弦值为.(15分)‎ 五.[2016·平顶山二调](本小题满分15分)在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,满足AE∶EB=CF∶FA=CP∶PB=1∶2,如图1.将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,连接A1B、A1P,如图2.‎ ‎(1)求证:A1E⊥平面BEP;‎ ‎(2)求二面角B-A1P-E的余弦值.‎ 解 不妨设正三角形ABC的边长为3.‎ ‎(1)证明:在图1中,取BE的中点D,连接DF. ‎ ‎∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2,‎ ‎∴AF=AD=2,而∠A=60°,∴△ADF是正三角形.‎ 又AE=DE=1,∴EF⊥AD. ‎ 在图2中,A1E⊥EF,BE⊥EF,‎ ‎∴∠A1EB为二面角A1-EF-B的平面角.(4分)‎ 由题设条件知此二面角为直二面角,∴A1E⊥BE.‎ 又BE∩EF=E,∴A1E⊥平面BEF,即A1E⊥平面BEP.(6分)‎ ‎(2)建立分别以EB、EF、EA1所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系,则E(0,0,0),A1(0,0,1),B(2,0,0),F(0,,0),P(1,,0),则=(0,0,-1),=(2,0,-1),‎ =(-1,,0),=(-1,-,0).(8分)‎ 设平面A1BP的法向量为n1=(x1,y1,z1),‎ 由n1⊥平面A1BP知,n1⊥,n1⊥,‎ 即 令x1=,得y1=1,z1=2,n1=(,1,2).(10分)‎ 设平面A1PE的法向量为n2=(x2,y2,z2).‎ 由n2⊥平面A1PE知,n2⊥,n2⊥,‎ 即可得n2=(,-1,0).(12分)‎ cos〈n1,n2〉= ‎==,(14分)‎ 所以二面角B-A1P-E的余弦值是.(15分)‎ 六.[2016·江苏高考](本小题满分20分)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.‎ ‎(1)若AB=6 m,PO1=2 m,则仓库的容积是多少?‎ ‎(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?‎ 解 (1)由PO1=2知O1O=4PO1=8.(1分)‎ 因为A1B1=AB=6,‎ 所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥=·A1B·PO1=×62×2=24(m3).(4分)‎ 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3).(7分)‎ 所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).(8分)‎ ‎(2)设A1B1=a m,PO1=h m,则00,V是单调递增函数;‎ 当2