高考数学浙江卷精编 14页

绝密★启用前 ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）‎ 数学 本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页．满分150分．考试用时120分钟．‎ 考生注意：‎ ‎1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上．‎ ‎2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效．‎ 参考公式：‎ 球的表面积公式 锥体的体积公式 ‎ ‎ 球的体积公式 其中S表示棱锥的底面面积， h表示棱锥的高 其中表示球的半径 台体的体积公式 柱体的体积公式 ‎ ‎ 其中Sa，Sb分别表示台体的上、下 其中S表示棱柱的底面面积， 底面积，h表示台体的高 h表示棱柱的高 ‎ 选择题部分（共40分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A，并集 ‎2．椭圆的离心率是（ ） ‎ A． B． C． D． 【答案】B，椭圆性质，‎ ‎3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ） A． B． C． D． 【答案】A，三视图，锥体体积， ‎ ‎4．若满足约束条件，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D，线性规划，可行域为开放区域，直线过点时取最小值4，无最大值 ‎5．若函数在区间上的最大值是，最小值是，则（） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 【答案】B，二次函数最值，利用图象分析也可， 因为最值在中取，所以最值之差一定与无关 ‎6．已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的 ‎（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C，求和与通项，等差通项，，所以为充要条件 ‎7．函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（） 【答案】D，导函数与原函数图象，原函数先减再增，再减再增 ‎8．已知随机变量满足，，．若，则（） A．， B．， C．， D．， 【答案】A，离散型随机变量分布列，期望，方差，差比法 ∵，，∴， ∵，， ∴‎ ‎9．如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），分别为上的点，，，分别记二面角，，的平面较为，则（） ‎ ‎ A． B． C． D． 【答案】B，二面角-三垂线定理，观察点到直线距离，空间向量解题计算量较大 设为三角形中心，则到距离最小，到距离最大，到距离居中，而高相等，因此 ‎10．如图，已知平面四边形，，，，与交于点，记，，，则（） A． B． C． D． 【答案】C，向量数量积，图形认识 因为， 所以，，， 又，，∴．‎ 非选择题部分（共110分）‎ 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．‎ ‎11．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积，________． ‎ ‎【答案】，古代算法，三角形面积，‎ ‎12．已知，（是虚数单位）则________，________． 【答案】，，复数计算 由题意可得，则，解得 ‎13．已知多项式，则________，________． 【答案】，，二项式通项 ，分别取和，可得，令可得 ‎14．已知△，，．点为延长线上一点，，连结，则△的面积是________，________． 【答案】，解三角形，构造直角三角形，应用正余弦定理也可 取中点，中点，由题意：， △中，， ∴ ，， ∴， 又，∴， ∴．‎ ‎15．已知向量满足，，则的最小值是________‎ ‎，最大值是________． 【答案】，，利用向量线性运算、坐标运算或余弦定理（限制？）构建函数关系式（同一个），平方构造，三角函数最值，平行四边形对角线性质，数形结合求最值 方法一： 设，，， 令， 则，易知，∴ 方法二：向量，，，构成平行四边形的边与对角线（限制？），分别设为， 则，且，构成直线与圆相切，得出范围 ‎ ‎16．从男女共名学生中选出队长人，副队长人，普通队员人组成人服务队，要求服务队中至少有名女生，共有________中不同的选法（用数字作答）． 【答案】，排列、组合，分类、分步原理，间接法，具体做法较多 方法一：；方法二：‎ ‎17．已知，函数在区间上的最大值是，则的取值范围是________． 【答案】，均值不等式求最值，分段函数，分类讨论，函数图象变换 ，∴ 方法一：设，，图象如下，∴ ‎ ‎ 方法二：①当时，， 函数的最大值，∴，舍去； ②当时，，命题成立； ③当时，，则： 或， 解得：或，综上可得，实数的取值范围是． 方法三：直接观察的图象关于的翻折关系，可得． ‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎18．（本题满分14分） 已知函数． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的最小正周期及单调递增区间． ‎ ‎【解】倍角公式，化和为一，三角函数周期性、单调性 （Ⅰ） 则； （Ⅱ）的最小正周期为， 令，得， 函数的单调递增区间为．‎ ‎19．（本题满分15分） 如图，已知四棱锥，△是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】方法一：几何法 面面平行判定、性质，线面垂直判定、性质，线面角，点到平面距离-转化， （Ⅰ）取的中点，连接，， ∵为的中点，∴， 在四边形中，，，为中点， 易得，∴平面平面， ∵平面，∴平面； ‎ ‎ （Ⅱ）连结，过作于，连结， ∵，∴， 易知四边形为矩形，∴， ∴平面，又，∴平面，∴， 设，则，∴，， ∴，又平面，∴， ∴平面，即点到平面的距离为， 也即点到平面的距离为， ∵为的中点，∴点到平面的距离为， 在△中，，，，由余弦定理可得， 设直线与平面所成的角为，则． 方法二：解析法，建系困难 （Ⅰ）略；构造平行四边形，或用空间向量； （Ⅱ）过作，交的延长线于点， 设，在Rt△ 及Rt△中，易知， ‎ 解得， 过作的平行线，取，如图建立坐标系， 由题易得，，，，， 则 ，，， 设平面的法向量为，则 ，令，则，故， 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线CE与平面PBC所成角的正弦值为．‎ ‎20．（本题满分15分） 已知函数． （Ⅰ）求的导函数； （Ⅱ）求在区间上的取值范围． 【解】复合函数导数，导数判定单调区间求最值，代数式变形 （Ⅰ） ； （Ⅱ）由，解得或， ‎ 函数在上单调递增（证明？）， 当变化时，的变化如下表： ‎↘‎ ‎↗‎ ‎↘‎ 又，当时， 则在区间上的最大值为，最小值为， 综上，在区间上的取值范围是．‎ ‎21．（本题满分15分） 如图，已知抛物线，点，，抛物线上的点，过点作直线的垂线，垂足为． （Ⅰ）求直线斜率的取值范围； （Ⅱ）求的最大值． 【解】直线斜率，转化为，均值不等式求最值，导数求最值 （Ⅰ）由题易得，， ‎ 故，故直线斜率的取值范围为； （Ⅱ）方法一： ， 当且仅当，即时，取得最大值． 【化简到后可利用导数判定函数单调性求最值】 方法二：求直线与抛物线，直线与直线交点坐标计算量太大 由（Ⅰ）知，， 故 设直线的斜率为，则：，：， 由 ， 故， 又， 故， ∴， 设，则， 单调性判定时，有最大值．‎ ‎22．（本题满分15分） ‎ 已知数列满足：，（）． 证明：当时， （Ⅰ）； （Ⅱ）； （Ⅲ）． 【解】数学归纳法，函数单调性应用，转化构造思想，分析法，导数求单调性证明不等式，放缩法，完全归纳， （Ⅰ）证明：令函数，则易得在上为增函数． 当时，有，假设当（）时，有， 当时，， ∴， 综上所述，对任意，均有； （Ⅱ）要证明，即证，即证，即证， 设， ∴， ∴，原命题得证； （Ⅲ）∵，∴， 由，得， ∴， ‎ ‎∴，即，∴．‎