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  • 2021-05-14 发布

数学高考数学难点归纳10函数图象与图象变换

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难点10 函数图象与图象变换 函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一,它是研究和记忆函数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此,考生要掌握绘制函数图象的一般方法,掌握函数图象变化的一般规律,能利用函数的图象研究函数的性质.‎ ‎●难点磁场 ‎(★★★★★)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图,求b的范围.‎ ‎●案例探究 ‎[例1]对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(a-x),(1)求证y=f(x)的图象关于直线x=a对称;(2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2-x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根,求这些实根之和.‎ 命题意图:本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题.属★★★★★级题目.‎ 知识依托:把证明图象对称问题转化到点的对称问题.‎ 错解分析:找不到问题的突破口,对条件不能进行等价转化.‎ 技巧与方法:数形结合、等价转化.‎ ‎(1)证明:设(x0,y0)是函数y=f(x)图象上任一点,则y0=f(x0),又f(a+x)=f(a-x),∴f(‎2a-x0)=‎ f[a+(a-x0)]=f[a-(a-x0)]=f(x0)=y0,∴(‎2a-x0,y0)也在函数的图象上,而=a,∴点(x0,y0)与(‎2a-x0,y0)关于直线x=a对称,故y=f(x)的图象关于直线x=a对称.‎ ‎(2)解:由f(2+x)=f(2-x)得y=f(x)的图象关于直线x=2对称,若x0是f(x)=0的根,则4-x0也是f(x)=0的根,由对称性,f(x)=0的四根之和为8.‎ ‎[例2]如图,点A、B、C都在函数y=的图象上,它们的横坐标分别是a、a+1、a+2.又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′,记△AB′C的面积为f(a),△A′BC′的面积为g(a).‎ ‎(1)求函数f(a)和g(a)的表达式;‎ ‎(2)比较f(a)与g(a)的大小,并证明你的结论.‎ 命题意图:本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等.属★★★★★级题目.‎ 知识依托:充分借助图象信息,利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口.‎ 错解分析:图形面积不会拆拼.‎ 技巧与方法:数形结合、等价转化.‎ 解:(1)连结AA′、BB′、CC′,则f(a)=S△AB′C=S梯形AA′C′C-S△AA′B′-S△CC′B ‎=(A′A+C′C)=(),‎ g(a)=S△A′BC′=A′C′·B′B=B′B=.‎ ‎∴f(a)1).‎ ‎(1)若△ABC面积为S,求S=f(m); ‎ ‎(2)判断S=f(m)的增减性.‎ ‎5.(★★★★)如图,函数y=|x|在x∈[-1,1]的图象上有两点A、B,AB∥Ox轴,点M(1,m)(m∈R且m>)是△ABC的BC边的中点.‎ ‎(1)写出用B点横坐标t表示△ABC面积S的函数解析式S=f(t);‎ ‎(2)求函数S=f(t)的最大值,并求出相应的C点坐标.‎ ‎6.(★★★★★)已知函数f(x)是y=-1(x∈R)的反函数,函数g(x)的图象与函数y=-的图象关于y轴对称,设F(x)=f(x)+g(x).‎ ‎(1)求函数F(x)的解析式及定义域;‎ ‎(2)试问在函数F(x)的图象上是否存在两个不同的点A、B,使直线AB恰好与y轴垂直?若存在,求出A、B的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎7.(★★★★★)已知函数f1(x)=,f2(x)=x+2,‎ ‎(1)设y=f(x)=,试画出y=f(x)的图象并求y=f(x)的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的表面积;‎ ‎(2)若方程f1(x+a)=f2(x)有两个不等的实根,求实数a的范围.‎ ‎(3)若f1(x)>f2(x-b)的解集为[-1,],求b的值.‎ ‎8.(★★★★★)设函数f(x)=x+的图象为C1,C1关于点A(2,1)对称的图象为C2,C2对应的函数为g(x).‎ ‎(1)求g(x)的解析表达式;‎ ‎(2)若直线y=b与C2只有一个交点,求b的值,并求出交点坐标;‎ ‎(3)解不等式logag(x)0,∴b<0.‎ 歼灭难点训练 一、1.解析:∵y=bax=(ba)x,∴这是以ba为底的指数函数.仔细观察题目中的直线方程可知:在选择支B中a>0,b>1,∴ba>1,C中a<0,b>1,∴0<ba<1,D中a<0,0<b<1,∴ba>1.故选择支B、C、D均与指数函数y=(ba)x的图象不符合.‎ 答案:A ‎2.解析:由题意可知,当x=0时,y最大,所以排除A、C.又一开始跑步,所以直线随着x的增大而急剧下降.‎ 答案:D 二、3.解析:g(x)=2log2(x+2)(x>-2)‎ F(x)=f(x)-g(x)=log2(x+1)-2log2(x+2)‎ ‎=log2‎ ‎∵x+1>0,∴F(x)≤=-2‎ 当且仅当x+1=,即x=0时取等号.‎ ‎∴F(x)max=F(0)=-2.‎ 答案:-2‎ 三、4.解:(1)S△ABC=S梯形AA′B′B+S梯形BB′C′C-S梯形AA′C′C.‎ ‎(2)S=f(m)为减函数.‎ ‎5.解:(1)依题意,设B(t, t),A(-t,t)(t>0),C(x0,y0).‎ ‎∵M是BC的中点.∴=1, =m.‎ ‎∴x0=2-t,y0=‎2m-t.在△ABC中,|AB|=2t,AB边上的高hAB=y0-t=‎2m-3t.‎ ‎∴S=|AB|·hAB=·2t·(‎2m-3t),即f(t)=-3t2+2mt,t∈(0,1).‎ ‎ (2)∵S=-3t2+2mt=-3(t-)2+,t∈(0,1,若,即<m≤3,当t=时,Smax=,相应的C点坐标是(2-,m),若>1,即m>3.S=f(t)在区间(0,1]上是增函数,∴Smax=f(1)=‎2m-3,相应的C点坐标是(1,‎2m-3).‎ ‎6.解:(1)y=-1的反函数为f(x)=lg(-1<x<1.‎ 由已知得g(x)=,∴F(x)=lg+,定义域为(-1,1).‎ ‎(2)用定义可证明函数u==-1+是(-1,1)上的减函数,且y=lgu是增函数.∴f(x)是(-1,1)上的减函数,故不存在符合条件的点A、B.‎ ‎7.解:(1)y=f(x)=.图略.‎ y=f(x)的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的表面积为(2+)π.‎ ‎(2)当f1(x+a)=f2(x)有两个不等实根时,a的取值范围为2-<a≤1.‎ ‎(3)若f1(x)>f2(x-b)的解集为[-1,],则可解得b=.‎ ‎8.(1)g(x)=x-2+.(2)b=4时,交点为(5,4);b=0时,交点为(3,0).‎ ‎(3)不等式的解集为{x|4<x<或x>6.‎