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- 2021-05-14 发布
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绝密 * 启用前
2006年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)
数学试题卷（理工农医类）
数学试题（理工农医类）共5页，满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使0.5毫米黑色墨水签字笔，将答案书写在答题止规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）－P(A)+P(B) .
如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)－P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立事件重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CknPk(1-P)n-k
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}, A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(uA)∪(uB)=
(A){1,6} (B){4,5}
(C){1,2,3,4,5,7} (D){1,2,3,6,7}
(2)在等差数列｛an｝中，若aa+ab=12,SN是数列｛an｝的前n项和，则SN的值为
（A）48 (B)54 (C)60 (D)66
(3)过坐标原点且与x2｜y2 4x｜2y+=0相切的直线的方程为
（A）y=-3x或y=x (B) y=-3x或y=-x
（C）y=-3x或y=-x (B) y=3x或y=x
(4)对于任意的直线l与平同a,在平面a内必有直线m,使m与l
(A)平行 （B）相交
(C)垂直 (D)互为异面直线
（5）若 n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为
(A)-540 (B)
(c)162 (D)540
(6)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：
根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是
(A)20 (B)30
(C)40 （D）50
(7)与向量a=的夹解相等，且模为1的向量是
(A) (B) 或
（C） （D）或
（８）将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有
（A）３０种 （B）９０种
（C）１８０种 （D）２７０种
（９）如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB
所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是
题 （９）图
（１０）若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为
（A）-1 (B) +1
(C) 2+2 (D) 2-2
一、 填空题：本大题共6小题，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上
（11）复数复数的值是_________.
(12)_________.
(13)已知，sin()=－ sin则os=________.
(14)在数列｛an｝中，若a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项an=_________.
(15)设a＞0,n1,函数f(x)=alg(x2-2n+1) 有最大值.则不等式logn(x2-5x+7) ＞0的解集为_______.
(16)已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.若目标函数z=ax+y(其中a＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为___________.
二、 解答题：本大题共６小题，共７６分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分13分）
设函数f(x)=cos2cos+sinrcosx+a(其中＞0,aR),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为.
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）如果f(x)在区间上的最小值为，求a的值.
（１８）（本小题满分13分）
某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠.若该电梯在底层载有5
位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数.求：
（Ⅰ）随机变量ξ的分布列；
（Ⅱ）随机变量ξ的期望.
（１９）（本小题满分１３分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD,DAB为直角，AB‖CD,AD=CD=24B,E、
F分别为PC、CD的中点.
（Ⅰ）试证：CD平面BEF;
（Ⅱ）设PA＝k·AB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范围.
（20）(本小题满分13分)
已知函数f(x)=(x2 +bx+c)cx,其中b,cR为常数. 图(19)图
（Ⅰ）若b2＞4(a-1),讨论函数f(x)的单调性；
（Ⅱ）若b2＜4(c-1),且=4,试证：－6≤b≤2.
(21)(本小题满分12分)
已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+y_=f(x)-x2+x.
（Ⅰ）若f(2)-3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);
（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0 )= x0,求函数f(x)的解析表达式.
(22)(本小题满分12分)
已知一列椭圆Cn:x2 +=1. 0＜bn＜1,n=1,2..若椭圆C上有一点Pn使Pn到右准线ln的距离d.是｜PnFn｜与｜PnCn｜的等差中项，其中Fn、Cn分别是Cn的左、右焦点.
（Ⅰ）试证：bn≤ (n≥1);
（Ⅱ）取bn＝，并用SA表示PnFnGn的面积，试证：S1＜S1且Sn＜Sn+3 (n≥3).
图(２２)图
（20）(本小题满分13分)
已知函数f(x)=(x2 +bx+c)cx,其中b,cR为常数.
（Ⅰ）若b2＞4(a-1),讨论函数f(x)的单调性；
（Ⅱ）若b2＜4(c-1),且=4,试证：－6≤b≤2.
(21)(本小题满分12分)
已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+y_=f(x)-x2+x.
（Ⅰ）若f(2)-3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);
（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0 )= x0,求函数f(x)的解析表达式.
(22)(本小题满分12分)
已知一列椭圆Cn:x2 +=1. 0＜bn＜1,n=1,2..若椭圆C上有一点Pn使Pn到右准线ln的距离d.是｜PnFn｜与｜PnCn｜的等差中项，其中Fn、Cn分别是Cn的左、右焦点.
（Ⅰ）试证：bn≤ (n≥1);
（Ⅱ）取bn＝，并用SA表示PnFnGn的面积，试证：S1＜S1且Sn＜Sn+3 (n≥3).
图(２２)图
部分参考答案
(18)(本小题13分)
解法一：（Ⅰ）ξ的所有可能值为０，１，２，３，４，５.
由等可能性事件的概率公式得
P(ξ=0)==, P(ξ=1)=
P(ξ=2)= =, P(ξ=3)=
P(ξ=4)= =, P(ξ=5)=
从而ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
5
P
（Ⅱ）由（Ⅰ）得ξ的期望为
Eξ=0×+１×+2×+3×+4×+5×
==.
解法二：（Ⅰ）考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验.
故ξ－B,即有
P(ξ=k)=C,k=0,1,2,3,4,5.
由此计算ξ的分布列如解法一.
解法三： （Ⅰ）同解法一或解二.
（Ⅱ）由对称性与等可能性，在三层的任一层下电梯的人数同分布，故期望值相等.
即3Eξ=5,从而Eξ=.
（19）（本小题13分）
解法一：
（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且DAD为直角，故ABFD
是矩形，从而CDBF.
又PA底面ABCD,CDAD，故由三垂线定理知CDPD.在△PDC中，E、F分别
PC、CD的中点，故EF∥PD,从而CDEF,由此得CD面BEF. 第（19）图１
（Ⅱ）连结AC交BF于G.易知G为AC的中点.连接EG,则在△PAC中易知EC∥PA.又因
PA底面ABCD,故BC底面ABCD.在底面ABCD中，过C作GHBD,垂足为H,连接EH.由三垂线定理知EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.
设AB=a,则在△PAC中，有
BG=PA=ka.
以下计算GH，考察底面的平面图（如答(19)图２）.连结GD.
因S△CBD=BD·GH=GB·OF.
故GH=.
在△ABD中，因为AB＝a,AD=2A,得BD=a 第（19）图２
而GB=FB=AD-a.DF-AB,从而得
GH== ＝
因此tanEHG==
由k＞0知是锐角，故要使＞，必须
＞tan=
解之得，k的取值范围为k＞
解法二：
（Ⅰ）如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为：轴建立空间直角坐标系，设AB=a,则易知点A,B,C,D,F的坐标分别为
A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),
F(a,2a,0).
从而=(2a,0,0), =(0,2a,0),
·=0,故 .
设PA=b,则P(0,0,b),而E为PC中点.故 第（19）３
E.从而=.
·=0,故.
由此得CD面BEF.
（Ⅱ）设E在xOy平面上的投影为G，过G作GHBD垂足为H,由三垂线定理知EHBD.
从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.
由PA＝k·AB得P(0,0,ka),E,G(a,a,0).
设H(x,y,0)，则=(x-a,y-a,0), =(-a,2a,0),
由·=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即
x-2y=-a ①
又因=(x,a,y,0),且与的方向相同，故＝，即
2x+y=2a ②
由①②解得x=a,y=a,从而＝，｜｜＝a.
tanEHG===.
由k＞0知，EHC是锐角，由EHC＞得tanEHG＞tan即
＞
故k的取值范围为k＞.
(20)（本小题13分）
解：（Ⅰ）求导得f2(x)=［x2+(b+2)x+b+c］ex..
因b2＞4(c-1),故方程f2(x)=0即x2+(b+2)x+b+c=0有两根；
x1=－＜x2=－
令f′（x）＞0，解得x＜x1或x＞x1；
又令f′（x）＞0，解得x1＜x＜x2.
故当xε（-, x1）时，f(x)是增函数，当 xε（x2，+）时，f(x)也是增函数，但当xε（x1 ， x2）时，f(x)是减函数.
（Ⅱ）易知f(0)=c,f(u)=b+c,因此
.
所以，由已知条件得
b+e=4
b2≤4(e-1),
因此b2+4b-12≤0.
解得-6≤b≤2.
(21)（本小题12分）
解：（Ⅰ）因为对任意xεR，有f(f(x)- x2 + x)=f(x)- x2 +x，所以
f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2.
又由f(2)=3，得f(3-22+2)-3-22+2，即f(1)=1.
若f(0)=a，则f(a-02+0)=a-02+0，即f(a)=a.
（Ⅱ）因为对任意xεR，有f(f(x))- x2 +x)=f(x)- x2 +x.
又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)- x0.
所以对任意xεR，有f(x)- x2 +x= x0.
在上式中令x= x0,有f(x0)-x + x0= x0,
又因为f(x0)- x0，所以x0- x=0，故x0=0或x0=1.
若x0=0，则f(x)- x2 +x=0，即
f(x)= x2 –x.
但方程x2 –x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，故x2≠0.
若x2=1,则有f(x)- x2 +x=1，即f(x)= x2 –x+1.易验证该函数满足题设条件.
综上，所求函数为
f(x)= x2 –x+1（xR）.
（22）（本小题12分）
证：（1）由题设及椭圆的几何性质有
设
因此，由题意应满足
即
即,
从而对任意
（Ⅱ）设点
得两极，从而易知f(c)在（，）内是增函数，而在（，1）内是减函数.
现在由题设取是增数列.又易知
故由前已证，知
2007年普通高等学校招生考试（重庆卷）
数学（理工科）
本卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、若等差数列的前3项和且，则等于（ ）
A、3 B、4 C、5 D、6
2、命题“若，则”的逆否命题是（ ）
A、若≥，则≥或≤ B、若，则
C、若或，则 D、若≥或≤，则≥
3、若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）
A、5部分 B、6部分 C、7部分 D、8部分
4、若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
A、10 B、20 C、30 D、120
5、在中，，则等于（ ）
A、 B、 C、2 D、
6、从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ）
A、 B、 C、 D、
7、若是与的等比中项，则的最大值为（ ）
A、 B、 C、 D、
8、设正数满足等于（ ）
A、0 B、 C、 D、1
9、已知定义域为R的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（ ）
A、 B、 C、 D、
D
C
B
A
10、如右图，在四边形ABCD中，
，，，则的值为（ ）
A、2 B、 C、4 D、
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填写在答卷相应位置上.
11、复数的虚部为_______________.
12、已知满足则函数的最大值是____________.
13、若函数的定义域为R，则的取值范围为___________________.
14、设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则_____________.
15、某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有__________种.（以数字作答）
16、过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于P、Q两点，则的值为_____________.
三、解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问9分，（Ⅱ）小问4分）
设.
（Ⅰ）求的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）若锐角满足，求的值.
18（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）
某单位有三辆汽车参加某种事故保险.单位年初向保险公司缴纳每辆900
元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）.设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为1/9、1/10、1/11，且各车是否发生事故相互独立.求一年内该单位在此保险中：
（Ⅰ）获赔的概率；
（Ⅱ）获赔金额的分布列与期望.
19（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问8分，（Ⅱ）小问5分）
如右图，在直三棱柱中，；点、分别在上，且，四棱锥与直三棱柱的体积之比为.
（Ⅰ）求异面直线与的距离；
C
E
D
A1
B1
C1
C
B
A
（Ⅱ）若，求二面角的平面角的正切值.
20（本小题满分13分，其中（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）小问分别为6、4、3分）
已知函数在处取得极值
，其中a、b为常数.
（Ⅰ）试确定a、b的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调区间；
（Ⅲ）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
21（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
已知各项均为正数的数列的前项和满足，且.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，并记为的前项和，求证：
.
22（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）
如右图，中心在原点O的椭圆的右焦点为，右准线的方程为：.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点，使，证明：
O
F
P3
P2
P1
为定值，并求此定值.
2007年普通高等学校招生考试（重庆卷）
数学参考答案（理工科）
一、选择题
ADCBA CBBDC
二、填空题：
11、 12、7 13、
14、18 15、25 16、
三、解答题：
17、解：（Ⅰ）
故的最大值为； 最小正周期.
（Ⅱ）由得，故.
又由得，故，解得.
从而.
18、解：设表示第辆车在一年内发生此种事故，.
由题意知独立，且.
（Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为
.
（Ⅱ）的所有可能值为.
,
，
，
.
综上知，的分布列为
0
9000
18000
27000
P
求的期望有两种解法：
解法一：由的分布列得
（元）
解法二：设表示第辆车一年内的获赔金额，，
则有分布列
0
9000
P
故.
同理得.
综上有
（元）.
19、解法一：
（Ⅰ）因，且，故面A1ABB1，从而B1C1⊥B1E，又
B1E⊥DE，故B1E是异面直线B1C1与DE的公垂线.
设BD的长度为，则四棱椎的体积为
.
而直三棱柱的体积为.
B1
F
C
E
D
A1
C1
C
B
A
由已知条件，故，解得.
从而B1D.
又直角三角形中，
,
又因.
故.
（Ⅱ）如右图，过B1作B1F⊥C1D，垂足为F，连接A1F.因A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1D，
故A1B1⊥面B1DC1，由三垂线定理知C1D⊥A1F，故∠A1FB1为所求二面角的平面角.
在直角中，，
又因，故
，所以.
20、解：（Ⅰ）由题意知，因此，从而.
又对求导得.
由题意，因此，解得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.令，解得.
当时，，此时为减函数；
当时，，此时为增函数.
因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值.
要使恒成立，只需.
即，从而.
解得或.
所以的取值范围为
21、（Ⅰ）解：由，解得或.由假设，因 此.
又由，得
，即或.
因，故不成立，舍去.
因此，从而是公差为3，首项为2的等差数列，故的通项为
.
（Ⅱ）证法一：由可解得
从而.
因此.
令，则
.
因，故.
特别地，从而，
即.
证法二：同证法一求得及.
由二项式定理知，当时，不等式成立.
由此不等式有
.
证法三：同证法一求得及.
令.
因，因此.
从而
证法四：同证法一求得及.
下面用数学归纳法证明：.
当时，，因此，结论成立.
假设结论当时成立，即，则当时，
.
因，故.
从而.这就是说当时结论也成立.
综上对任何成立.
A
Q1
O
F
P3
P2
P1
22、解：（Ⅰ）设椭圆方程为.
因焦点为，故半焦距.又右
准线的方程为，从而由已知
，
因此.
故所求椭圆方程为.
（Ⅱ）记椭圆的右顶点为A，并设，不失一般性，假设
，且.
又设在上的射影为，因椭圆的离心率，
从而有.
解得. 因此
，
而
，
故为定值.
绝密★启用前
2008年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)
数学试题卷（理工农医类）
数学试题卷(理工农医类)共5页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
Pn(K)=km Pk(1-P)n-k
以R为半径的球的体积V=πR3.
一、 选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）复数1+=
(A)1+2i (B)1-2i (C)-1 (D)3
(2)设m,n是整数，则“m,n均为偶数”是“m+n是偶数”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
(3)圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是
(A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切 (4)已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则的值为
(A) (B) (C) (D)
(5)已知随机变量服从正态分布N(3,a2),则
(A) (B) (C) (D)
(6)若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,则下列说法一定正确的是
(A)f(x)为奇函数 （B）f(x)为偶函数
(C) f(x)+1为奇函数 （D）f(x)+1为偶函数
(7)若过两点P1(-1,2),P2(5,6)的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段所成的比的值为
(A)－ (B) － (C) (D)
(8)已知双曲线（a＞0,b＞0）的一条渐近线为y=kx(k＞0),离心率e=,则双曲线方程为
（A）－=1 (B)
(C) (D)
(9)
如题（9）图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是
（A）V1> (B) V2<
（C）V1> V2 （D）V1< V2
(10)函数f(x)=() 的值域是
（A）[-] (B)[-1,0]
（C）[-] （D）[-]
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上
（11）设集合U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={3,4,5},C={3,4},则(AB) = .
（12）已知函数f(x)= ，在点x=0处连续，则 .
(13)已知 (a>0) ，则 .
(14)设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16= .
(15）直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于两点A，B，弦AB的中点为（0，1），则直线l的方程为 .
(16)
某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共
有 种（用数字作答）.
三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）
设的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=，c=3b.求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）cotB+cot C的值.
（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）
甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立.求：
（Ⅰ） 打满3局比赛还未停止的概率；
（Ⅱ）比赛停止时已打局数的分别列与期望E.
（19）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）
如题（19）图，在中，B=,AC=,D、E两点分别在AB、AC上.使
,DE=3.现将沿DE折成直二角角，求：
（Ⅰ）异面直线AD与BC的距离；
（Ⅱ）二面角A-EC-B的大小（用反三角函数表示）.
（20）（本小题满分13分.（Ⅰ）小问5分.（Ⅱ）小问8分.）
设函数曲线y=f(x)通过点（0，2a+3），且在点（-1，f（-1））
处的切线垂直于y轴.
（Ⅰ）用a分别表示b和c；
（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数g(x)=-f(x)e-x的单调区间.
（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）
如图（21）图，M（-2，0）和N
（2，0）是平面上的两点，动点P满足：
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若,求点P的坐标.
（22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）
设各项均为正数的数列{an}满足.
（Ⅰ）若，求a3，a4，并猜想a2008的值（不需证明）；
（Ⅱ）记对n≥2恒成立，求a2的值及数列{bn}的通项公式.
2008年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题（理工农医类）答案
一、选择题：每小题5分，满分50分.
（1）A （2）A （3）B （4）C （5）D （6）C
（7）A （8）C （9）D （10）B
二、填空题：每小题4分，满分24分.
（11） （12） （13）3 （14）-72 （15）x-y+1=0 （16）216
三、解答题：满分76分.
（17）（本小题13分）
解：（Ⅰ）由余弦定理得
＝
故
（Ⅱ）解法一：
＝
＝
由正弦定理和（Ⅰ）的结论得
故
解法二：由余弦定理及（Ⅰ）的结论有
＝
故
同理可得
从而
（18）（本小题13分）
解：令分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜.
（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比
赛还未停止的概率为
（Ⅱ）的所有可能值为2，3，4，5，6，且
故有分布列
2
3
4
5
6
P
从而（局）.
（19）（本小题13分）
解法一：
（Ⅰ）在答（19）图1中，因，故BE∥BC.又因B＝90°，从而
AD⊥DE.
在第（19）图2中，因A-DE-B是直二面角，AD⊥DE,故AD⊥底面DBCE，从
而AD⊥DB.而DB⊥BC,故DB为异面直线AD与BC的公垂线.
下求DB之长.在答（19）图1中，由，得
又已知DE=3,从而
因
（Ⅱ）在第（19）图2中，过D作DF⊥CE,交CE的延长线于F，连接AF.由（1）知，
AD⊥底面DBCE,由三垂线定理知AF⊥FC,故∠AFD为二面角A-BC-B的平面
角.
在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE,
因此
从而在Rt△DFE中，DE=3,
在
因此所求二面角A-EC-B的大小为arctan
解法二：
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）如答（19）图3.由（Ⅰ）知，以D点为坐标原点，的方向为x、
y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（0，0，4），
，E（0，3，0）.
过D作DF⊥CE,交CE的延长线
于F，连接AF.
设从而
，有
①
又由 ②
联立①、②，解得
因为,故,又因,所以为所求的二面角A-EC-B的平面角.因有所以
因此所求二面角A-EC-B的大小为
(20)（本小题13分）
解：(Ⅰ)因为
又因为曲线通过点（0，2a+3）,
故
又曲线在（-1，f(-1)）处的切线垂直于y轴，故
即-2a+b=0,因此b=2a.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
故当时，取得最小值-.
此时有
从而
所以
令，解得
当
当
当
由此可见，函数的单调递减区间为（-∞，-2）和（2，+∞）；单调递增区间为（-2，2）.
(21)（本小题12分）
解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆.
因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴
b=，
所以椭圆的方程为
(Ⅱ)由得
①
因为不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在△PMN中，
②
将①代入②，得
故点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上.
由(Ⅰ)知，点P的坐标又满足，所以
由方程组 解得
即P点坐标为
(22)(本小题12分)
解：(Ⅰ)因
由此有，故猜想的通项为
（Ⅱ）令
由题设知x1=1且
①
②
因②式对n=2成立，有
③
下用反证法证明：
由①得
因此数列是首项为，公比为的等比数列.故
④
又由①知
因此是是首项为，公比为-2的等比数列,所以
⑤
由④-⑤得
⑥
对n求和得
⑦
由题设知
即不等式
22k+1＜
对kN*恒成立.但这是不可能的，矛盾.
因此x2≤,结合③式知x2=,因此a2=2*2=
将x2=代入⑦式得
Sn=2－(nN*),
所以bn=2Sn=22－(nN*)
2009年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题卷（理工农医类）
本试卷满分150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷
考生注意：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．
参考公式：
如果事件互斥，那么
如果事件相互独立，那么
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率
以为半径的球体积：
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线与圆的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离
2．已知复数的实部为，虚部为2，则=（ ）
A． B． C． D．
3．的展开式中的系数是（ ）
A．16 B．70 C．560 D．1120
4．已知，则向量与向量的夹角是（ ）
A． B． C． D．
5．不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．设的三个内角，向量，，若，则=（ ）
A． B． C． D．
8．已知，其中，则的值为（ ）
A．6 B． C． D．
9．已知二面角的大小为，为空间中任意一点，则过点且与平面和平面所成的角都是的直线的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案写在答题卡相应位置上．
11．若，，则 ．
12．若是奇函数，则 ．
13．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．
14．设，，，，则数列的通项公式= ．
15．已知双曲线的左、右焦点分别为
，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）
设函数．
（Ⅰ）求的最小正周期．
（Ⅱ）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值．
17．（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）
某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：
（Ⅰ）两种大树各成活1株的概率；
（Ⅱ）成活的株数的分布列与期望．
18．（本小题满分13分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问8分）
设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若函数，讨论的单调性．
19．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）
如题（19）图，在四棱锥中，且；平面平面，；为的中点，．求：
（Ⅰ）点到平面的距离；
（Ⅱ）二面角的大小
20．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）
已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，是椭圆上的动点．
（Ⅰ）若的坐标分别是，求的最大值；
（Ⅱ）如题（20）图，点的坐标为，是圆上的点，是点在轴上的射影，点满足条件：，．求线段的中点的轨迹方程；
21．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）
设个不全相等的正数依次围成一个圆圈．
（Ⅰ）若，且是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列；数列的前项和满足：，求通项；
（Ⅱ）若每个数是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：；
绝密★启用前
2009年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题（理工农医类）答案
一、 选择题：每小题5分，满分50分 .
(1) B (2) A (3) D (4) C (5) A (6) C
(7) C (8) D (9) B (10) B.
二．填空题：每小题5分，满分25分 .
(11) (0,3) (12) (13) 36 (14) (15) (1, )
三．解答题：满分75分 .
(16)（本小题13分）
解：（Ⅰ）=
=
=
故的最小正周期为T = =8
(Ⅱ)解法一：
在的图象上任取一点，它关于的对称点 .
由题设条件，点在的图象上，从而
=
=
当时，，因此在区间上的最大值为
解法二：
因区间关于x = 1的对称区间为，且与的图象关于
x = 1对称，故在上的最大值为在上的最大值
由（Ⅰ）知＝
当时，
因此在上的最大值为
.
(17)（本小题13分）
解：设表示甲种大树成活k株，k＝0，1，2
表示乙种大树成活l株，l＝0，1，2
则，独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有
, .
据此算得
, , .
, , .
(Ⅰ) 所求概率为
.
(Ⅱ) 解法一：
的所有可能值为0，1，2，3，4，且
,
,
= ,
.
.
综上知有分布列
0
1
2
3
4
P
1/36
1/6
13/36
1/3
1/9
从而，的期望为
（株）
解法二：
分布列的求法同上
令分别表示甲乙两种树成活的株数，则
故有
从而知
18、（本小题13分）
解（Ⅰ）因
又在x=0处取得极限值，故从而
由曲线y=在（1，f（1））处的切线与直线相互垂直可知
该切线斜率为2，即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
令
（1）当
（2）当
K=1时，g（x）在R上为增函数
（3）方程有两个不相等实根
当函数
当时，故上为减函数
时，故上为增函数
（19）（本小题12分）
解法一：
（Ⅰ）因为AD//BC,且所以从而A点到平面的距离等于D点到平面的距离。
因为平面故,从而，由AD//BC，得,又由知，从而为点A到平面的距离，因此在中
(Ⅱ)如答（19）图1，过E电作交于点G，又过G点作,交AB于H，故为二面角的平面角，记为，过E点作EF//BC,交于点F,连结GF,因平面,故.
由于E为BS边中点，故,在中，
,因，又
故由三垂线定理的逆定理得,从而又可得
因此而在中，
在中，可得，故所求二面角的大小为
解法二：
（Ⅰ）如答（19）图2，以S(O)为坐标原点，射线OD,OC分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系，设，因平面
即点A在xoz平面上，因此
又
因AD//BC，故BC⊥平面CSD，即BCS与平面
yOx重合，从而点A到平面BCS的距离为.
(Ⅱ)易知C(0,2,0)，D(,0,0). 因E为BS的中点.
ΔBCS为直角三角形 ,
知
设B(0,2, )，＞0，则＝2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1） .
在CD上取点G，设G（），使GE⊥CD .
由故
①
又点G在直线CD上，即，由=（），则有 ②
联立①、②，解得G＝ ,
故=.又由AD⊥CD，所以二面角E－CD－A的平面角为向量与向量所成的角，记此角为 .
因为=，,所以
故所求的二面角的大小为 .
(20)（本小题12分）
解：（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为（a ＞b＞ 0 ）.
设，由准线方程得.由得，解得 a = 2 ,c = ，从而 b = 1，椭圆方程为 .
又易知C，D两点是椭圆的焦点，所以,
从而，当且仅当，即点M的坐标为 时上式取等号，的最大值为4 .
（II）如图（20）图，设
.因为，故
①
因为
所以 . ②
记P点的坐标为，因为P是BQ的中点
所以
由因为 ，结合①，②得
故动点P的估计方程为
（21）（本小题12分）
解：（I）因是公比为d的等比数列，从而 由 ，故
解得或（舍去）。因此
又 。解得
从而当时，
当时，由是公比为d的等比数列得
因此
（II）由题意得
有①得 ④
由①，②，③得，
故. ⑤
又，故有
.⑥
下面反证法证明：
若不然，设
若取即，则由⑥得，而由③得
得由②得而
④及⑥可推得（）与题设矛盾
同理若P=2，3，4，5均可得（）与题设矛盾,因此为6的倍数
由均值不等式得
由上面三组数内必有一组不相等（否则，从而与题设矛盾），故等号不成立，从而
又，由④和⑥得
因此由⑤得
绝密 * 启用前
2006年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)
数学试题卷（理工农医类）
数学试题（理工农医类）共5页，满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使0.5毫米黑色墨水签字笔，将答案书写在答题止规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）－P(A)+P(B) .
如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)－P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立事件重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CknPk(1-P)n-k
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}, A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(uA)∪(uB)=
(A){1,6} (B){4,5}
(C){1,2,3,4,5,7} (D){1,2,3,6,7}
(2)在等差数列｛an｝中，若aa+ab=12,SN是数列｛an｝的前n项和，则SN的值为
（A）48 (B)54 (C)60 (D)66
(3)过坐标原点且与x2｜y2 4x｜2y+=0相切的直线的方程为
（A）y=-3x或y=x (B) y=-3x或y=-x
（C）y=-3x或y=-x (B) y=3x或y=x
(4)对于任意的直线l与平同a,在平面a内必有直线m,使m与l
(A)平行 （B）相交
(C)垂直 (D)互为异面直线
（5）若 n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为
(A)-540 (B)
(c)162 (D)540
(6)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：
根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是
(A)20 (B)30
(C)40 （D）50
(7)与向量a=的夹解相等，且模为1的向量是
(A) (B) 或
（C） （D）或
（８）将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有
（A）３０种 （B）９０种
（C）１８０种 （D）２７０种
（９）如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB
所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是
题 （９）图
（１０）若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为
（A）-1 (B) +1
(C) 2+2 (D) 2-2
一、 填空题：本大题共6小题，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上
（11）复数复数的值是_________.
(12)_________.
(13)已知，sin()=－ sin则os=________.
(14)在数列｛an｝中，若a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项an=_________.
(15)设a＞0,n1,函数f(x)=alg(x2-2n+1) 有最大值.则不等式logn(x2-5x+7) ＞0的解集为_______.
(16)已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.若目标函数z=ax+y(其中a＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为___________.
二、 解答题：本大题共６小题，共７６分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分13分）
设函数f(x)=cos2cos+sinrcosx+a(其中＞0,aR),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为.
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）如果f(x)在区间上的最小值为，求a的值.
（１８）（本小题满分13分）
某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠.若该电梯在底层载有5
位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数.求：
（Ⅰ）随机变量ξ的分布列；
（Ⅱ）随机变量ξ的期望.
（１９）（本小题满分１３分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD,DAB为直角，AB‖CD,AD=CD=24B,E、F分别为PC、CD的中点.
（Ⅰ）试证：CD平面BEF;
（Ⅱ）设PA＝k·AB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范围.
（20）(本小题满分13分)
已知函数f(x)=(x2 +bx+c)cx,其中b,cR为常数. 图(19)图
（Ⅰ）若b2＞4(a-1),讨论函数f(x)的单调性；
（Ⅱ）若b2＜4(c-1),且=4,试证：－6≤b≤2.
(21)(本小题满分12分)
已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+y_=f(x)-x2+x.
（Ⅰ）若f(2)-3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);
（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0 )= x0,求函数f(x)的解析表达式.
(22)(本小题满分12分)
已知一列椭圆Cn:x2 +=1. 0＜bn＜1,n=1,2..若椭圆C上有一点Pn使Pn到右准线ln的距离d.是｜PnFn｜与｜PnCn｜的等差中项，其中Fn、Cn分别是Cn的左、右焦点.
（Ⅰ）试证：bn≤ (n≥1);
（Ⅱ）取bn＝，并用SA表示PnFnGn的面积，试证：S1＜S1且Sn＜Sn+3 (n≥3).
图(２２)图
（20）(本小题满分13分)
已知函数f(x)=(x2 +bx+c)cx,其中b,cR为常数.
（Ⅰ）若b2＞4(a-1),讨论函数f(x)的单调性；
（Ⅱ）若b2＜4(c-1),且=4,试证：－6≤b≤2.
(21)(本小题满分12分)
已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+y_=f(x)-x2+x.
（Ⅰ）若f(2)-3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);
（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0 )= x0,求函数f(x)的解析表达式.
(22)(本小题满分12分)
已知一列椭圆Cn:x2 +=1. 0＜bn＜1,n=1,2..若椭圆C上有一点Pn使Pn到右准线ln的距离d.是｜PnFn｜与｜PnCn｜的等差中项，其中Fn、Cn分别是Cn的左、右焦点.
（Ⅰ）试证：bn≤ (n≥1);
（Ⅱ）取bn＝，并用SA表示PnFnGn的面积，试证：S1＜S1且Sn＜Sn+3 (n≥3).
图(２２)图
部分参考答案
(18)(本小题13分)
解法一：（Ⅰ）ξ的所有可能值为０，１，２，３，４，５.
由等可能性事件的概率公式得
P(ξ=0)==, P(ξ=1)=
P(ξ=2)= =, P(ξ=3)=
P(ξ=4)= =, P(ξ=5)=
从而ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
5
P
（Ⅱ）由（Ⅰ）得ξ的期望为
Eξ=0×+１×+2×+3×+4×+5×
==.
解法二：（Ⅰ）考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验.
故ξ－B,即有
P(ξ=k)=C,k=0,1,2,3,4,5.
由此计算ξ的分布列如解法一.
解法三： （Ⅰ）同解法一或解二.
（Ⅱ）由对称性与等可能性，在三层的任一层下电梯的人数同分布，故期望值相等.
即3Eξ=5,从而Eξ=.
（19）（本小题13分）
解法一：
（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且DAD为直角，故ABFD
是矩形，从而CDBF.
又PA底面ABCD,CDAD，故由三垂线定理知CDPD.在△PDC中，E、F分别
PC、CD的中点，故EF∥PD,从而CDEF,由此得CD面BEF. 第（19）图１
（Ⅱ）连结AC交BF于G.易知G为AC的中点.连接EG,则在△PAC中易知EC∥PA.又因
PA底面ABCD,故BC底面ABCD.在底面ABCD中，过C作GHBD,垂足为H,连接EH.由三垂线定理知EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.
设AB=a,则在△PAC中，有
BG=PA=ka.
以下计算GH，考察底面的平面图（如答(19)图２）.连结GD.
因S△CBD=BD·GH=GB·OF.
故GH=.
在△ABD中，因为AB＝a,AD=2A,得BD=a 第（19）图２
而GB=FB=AD-a.DF-AB,从而得
GH== ＝
因此tanEHG==
由k＞0知是锐角，故要使＞，必须
＞tan=
解之得，k的取值范围为k＞
解法二：
（Ⅰ）如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为：轴建立空间直角坐标系，设AB=a,则易知点A,B,C,D,F的坐标分别为
A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),
F(a,2a,0).
从而=(2a,0,0), =(0,2a,0),
·=0,故 .
设PA=b,则P(0,0,b),而E为PC中点.故 第（19）３
E.从而=.
·=0,故.
由此得CD面BEF.
（Ⅱ）设E在xOy平面上的投影为G，过G作GHBD垂足为H,由三垂线定理知EHBD.
从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.
由PA＝k·AB得P(0,0,ka),E,G(a,a,0).
设H(x,y,0)，则=(x-a,y-a,0), =(-a,2a,0),
由·=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即
x-2y=-a ①
又因=(x,a,y,0),且与的方向相同，故＝，即
2x+y=2a ②
由①②解得x=a,y=a,从而＝，｜｜＝a.
tanEHG===.
由k＞0知，EHC是锐角，由EHC＞得tanEHG＞tan即
＞
故k的取值范围为k＞.
(20)（本小题13分）
解：（Ⅰ）求导得f2(x)=［x2+(b+2)x+b+c］ex..
因b2＞4(c-1),故方程f2(x)=0即x2+(b+2)x+b+c=0有两根；
x1=－＜x2=－
令f′（x）＞0，解得x＜x1或x＞x1；
又令f′（x）＞0，解得x1＜x＜x2.
故当xε（-, x1）时，f(x)是增函数，当 xε（x2，+）时，f(x)也是增函数，但当xε（x1 ， x2）时，f(x)是减函数.
（Ⅱ）易知f(0)=c,f(u)=b+c,因此
.
所以，由已知条件得
b+e=4
b2≤4(e-1),
因此b2+4b-12≤0.
解得-6≤b≤2.
(21)（本小题12分）
解：（Ⅰ）因为对任意xεR，有f(f(x)- x2 + x)=f(x)- x2 +x，所以
f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2.
又由f(2)=3，得f(3-22+2)-3-22+2，即f(1)=1.
若f(0)=a，则f(a-02+0)=a-02+0，即f(a)=a.
（Ⅱ）因为对任意xεR，有f(f(x))- x2 +x)=f(x)- x2 +x.
又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)- x0.
所以对任意xεR，有f(x)- x2 +x= x0.
在上式中令x= x0,有f(x0)-x + x0= x0,
又因为f(x0)- x0，所以x0- x=0，故x0=0或x0=1.
若x0=0，则f(x)- x2 +x=0，即
f(x)= x2 –x.
但方程x2 –x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，故x2≠0.
若x2=1,则有f(x)- x2 +x=1，即f(x)= x2 –x+1.易验证该函数满足题设条件.
综上，所求函数为
f(x)= x2 –x+1（xR）.
（22）（本小题12分）
证：（1）由题设及椭圆的几何性质有
设
因此，由题意应满足
即
即,
从而对任意
（Ⅱ）设点
得两极，从而易知f(c)在（，）内是增函数，而在（，1）内是减函数.
现在由题设取是增数列.又易知
故由前已证，知
2007年普通高等学校招生考试（重庆卷）
数学（理工科）
本卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、若等差数列的前3项和且，则等于（ ）
A、3 B、4 C、5 D、6
2、命题“若，则”的逆否命题是（ ）
A、若≥，则≥或≤ B、若，则
C、若或，则 D、若≥或≤，则≥
3、若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）
A、5部分 B、6部分 C、7部分 D、8部分
4、若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
A、10 B、20 C、30 D、120
5、在中，，则等于（ ）
A、 B、 C、2 D、
6、从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ）
A、 B、 C、 D、
7、若是与的等比中项，则的最大值为（ ）
A、 B、 C、 D、
8、设正数满足等于（ ）
A、0 B、 C、 D、1
9、已知定义域为R的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（ ）
A、 B、 C、 D、
D
C
B
A
10、如右图，在四边形ABCD中，
，，，则的值为（ ）
A、2 B、 C、4 D、
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填写在答卷相应位置上.
11、复数的虚部为_______________.
12、已知满足则函数的最大值是____________.
13、若函数的定义域为R，则的取值范围为___________________.
14、设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则_____________.
15、某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有__________种.（以数字作答）
16、过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于P、Q两点，则的值为_____________.
三、解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问9分，（Ⅱ）小问4分）
设.
（Ⅰ）求的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）若锐角满足，求的值.
18（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）
某单位有三辆汽车参加某种事故保险.单位年初向保险公司缴纳每辆900
元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）.设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为1/9、1/10、1/11，且各车是否发生事故相互独立.求一年内该单位在此保险中：
（Ⅰ）获赔的概率；
（Ⅱ）获赔金额的分布列与期望.
19（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问8分，（Ⅱ）小问5分）
如右图，在直三棱柱中，；点、分别在上，且，四棱锥与直三棱柱的体积之比为.
（Ⅰ）求异面直线与的距离；
C
E
D
A1
B1
C1
C
B
A
（Ⅱ）若，求二面角的平面角的正切值.
20（本小题满分13分，其中（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）小问分别为6、4、3分）
已知函数在处取得极值
，其中a、b为常数.
（Ⅰ）试确定a、b的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调区间；
（Ⅲ）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
21（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
已知各项均为正数的数列的前项和满足，且.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，并记为的前项和，求证：
.
22（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）
如右图，中心在原点O的椭圆的右焦点为，右准线的方程为：.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点，使，证明：
O
F
P3
P2
P1
为定值，并求此定值.
2007年普通高等学校招生考试（重庆卷）
数学参考答案（理工科）
一、选择题
ADCBA CBBDC
二、填空题：
11、 12、7 13、
14、18 15、25 16、
三、解答题：
17、解：（Ⅰ）
故的最大值为； 最小正周期.
（Ⅱ）由得，故.
又由得，故，解得.
从而.
18、解：设表示第辆车在一年内发生此种事故，.
由题意知独立，且.
（Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为
.
（Ⅱ）的所有可能值为.
,
，
，
.
综上知，的分布列为
0
9000
18000
27000
P
求的期望有两种解法：
解法一：由的分布列得
（元）
解法二：设表示第辆车一年内的获赔金额，，
则有分布列
0
9000
P
故.
同理得.
综上有
（元）.
19、解法一：
（Ⅰ）因，且，故面A1ABB1，从而B1C1⊥B1E，又
B1E⊥DE，故B1E是异面直线B1C1与DE的公垂线.
设BD的长度为，则四棱椎的体积为
.
而直三棱柱的体积为.
B1
F
C
E
D
A1
C1
C
B
A
由已知条件，故，解得.
从而B1D.
又直角三角形中，
,
又因.
故.
（Ⅱ）如右图，过B1作B1F⊥C1D，垂足为F，连接A1F.因A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1D，
故A1B1⊥面B1DC1，由三垂线定理知C1D⊥A1F，故∠A1FB1为所求二面角的平面角.
在直角中，，
又因，故
，所以.
20、解：（Ⅰ）由题意知，因此，从而.
又对求导得.
由题意，因此，解得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.令，解得.
当时，，此时为减函数；
当时，，此时为增函数.
因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值.
要使恒成立，只需.
即，从而.
解得或.
所以的取值范围为
21、（Ⅰ）解：由，解得或.由假设，因 此.
又由，得
，即或.
因，故不成立，舍去.
因此，从而是公差为3，首项为2的等差数列，故的通项为
.
（Ⅱ）证法一：由可解得
从而.
因此.
令，则
.
因，故.
特别地，从而，
即.
证法二：同证法一求得及.
由二项式定理知，当时，不等式成立.
由此不等式有
.
证法三：同证法一求得及.
令.
因，因此.
从而
证法四：同证法一求得及.
下面用数学归纳法证明：.
当时，，因此，结论成立.
假设结论当时成立，即，则当时，
.
因，故.
从而.这就是说当时结论也成立.
综上对任何成立.
A
Q1
O
F
P3
P2
P1
22、解：（Ⅰ）设椭圆方程为.
因焦点为，故半焦距.又右
准线的方程为，从而由已知
，
因此.
故所求椭圆方程为.
（Ⅱ）记椭圆的右顶点为A，并设，不失一般性，假设
，且.
又设在上的射影为，因椭圆的离心率，
从而有.
解得. 因此
，
而
，
故为定值.
绝密★启用前
2008年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)
数学试题卷（理工农医类）
数学试题卷(理工农医类)共5页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
Pn(K)=km Pk(1-P)n-k
以R为半径的球的体积V=πR3.
一、 选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）复数1+=
(A)1+2i (B)1-2i (C)-1 (D)3
(2)设m,n是整数，则“m,n均为偶数”是“m+n是偶数”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
(3)圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是
(A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切 (4)已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则的值为
(A) (B) (C) (D)
(5)已知随机变量服从正态分布N(3,a2),则
(A) (B) (C) (D)
(6)若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,则下列说法一定正确的是
(A)f(x)为奇函数 （B）f(x)为偶函数
(C) f(x)+1为奇函数 （D）f(x)+1为偶函数
(7)若过两点P1(-1,2),P2(5,6)的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段所成的比的值为
(A)－ (B) － (C) (D)
(8)已知双曲线（a＞0,b＞0）的一条渐近线为y=kx(k＞0),离心率e=,则双曲线方程为
（A）－=1 (B)
(C) (D)
(9)
如题（9）图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是
（A）V1> (B) V2<
（C）V1> V2 （D）V1< V2
(10)函数f(x)=() 的值域是
（A）[-] (B)[-1,0]
（C）[-] （D）[-]
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上
（11）设集合U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={3,4,5},C={3,4},则(AB) = .
（12）已知函数f(x)= ，在点x=0处连续，则 .
(13)已知 (a>0) ，则 .
(14)设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16= .
(15）直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于两点A，B，弦AB的中点为（0，1），则直线l的方程为 .
(16)
某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共
有 种（用数字作答）.
三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）
设的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=，c=3b.求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）cotB+cot C的值.
（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）
甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立.求：
（Ⅰ） 打满3局比赛还未停止的概率；
（Ⅱ）比赛停止时已打局数的分别列与期望E.
（19）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）
如题（19）图，在中，B=,AC=,D、E两点分别在AB、AC上.使
,DE=3.现将沿DE折成直二角角，求：
（Ⅰ）异面直线AD与BC的距离；
（Ⅱ）二面角A-EC-B的大小（用反三角函数表示）.
（20）（本小题满分13分.（Ⅰ）小问5分.（Ⅱ）小问8分.）
设函数曲线y=f(x)通过点（0，2a+3），且在点（-1，f（-1））
处的切线垂直于y轴.
（Ⅰ）用a分别表示b和c；
（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数g(x)=-f(x)e-x的单调区间.
（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）
如图（21）图，M（-2，0）和N
（2，0）是平面上的两点，动点P满足：
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若,求点P的坐标.
（22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）
设各项均为正数的数列{an}满足.
（Ⅰ）若，求a3，a4，并猜想a2008的值（不需证明）；
（Ⅱ）记对n≥2恒成立，求a2的值及数列{bn}的通项公式.
2008年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题（理工农医类）答案
一、选择题：每小题5分，满分50分.
（1）A （2）A （3）B （4）C （5）D （6）C
（7）A （8）C （9）D （10）B
二、填空题：每小题4分，满分24分.
（11） （12） （13）3 （14）-72 （15）x-y+1=0 （16）216
三、解答题：满分76分.
（17）（本小题13分）
解：（Ⅰ）由余弦定理得
＝
故
（Ⅱ）解法一：
＝
＝
由正弦定理和（Ⅰ）的结论得
故
解法二：由余弦定理及（Ⅰ）的结论有
＝
故
同理可得
从而
（18）（本小题13分）
解：令分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜.
（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比
赛还未停止的概率为
（Ⅱ）的所有可能值为2，3，4，5，6，且
故有分布列
2
3
4
5
6
P
从而（局）.
（19）（本小题13分）
解法一：
（Ⅰ）在答（19）图1中，因，故BE∥BC.又因B＝90°，从而
AD⊥DE.
在第（19）图2中，因A-DE-B是直二面角，AD⊥DE,故AD⊥底面DBCE，从
而AD⊥DB.而DB⊥BC,故DB为异面直线AD与BC的公垂线.
下求DB之长.在答（19）图1中，由，得
又已知DE=3,从而
因
（Ⅱ）在第（19）图2中，过D作DF⊥CE,交CE的延长线于F，连接AF.由（1）知，
AD⊥底面DBCE,由三垂线定理知AF⊥FC,故∠AFD为二面角A-BC-B的平面
角.
在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE,
因此
从而在Rt△DFE中，DE=3,
在
因此所求二面角A-EC-B的大小为arctan
解法二：
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）如答（19）图3.由（Ⅰ）知，以D点为坐标原点，的方向为x、
y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（0，0，4），
，E（0，3，0）.
过D作DF⊥CE,交CE的延长线
于F，连接AF.
设从而
，有
①
又由 ②
联立①、②，解得
因为,故,又因,所以为所求的二面角A-EC-B的平面角.因有所以
因此所求二面角A-EC-B的大小为
(20)（本小题13分）
解：(Ⅰ)因为
又因为曲线通过点（0，2a+3）,
故
又曲线在（-1，f(-1)）处的切线垂直于y轴，故
即-2a+b=0,因此b=2a.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
故当时，取得最小值-.
此时有
从而
所以
令，解得
当
当
当
由此可见，函数的单调递减区间为（-∞，-2）和（2，+∞）；单调递增区间为（-2，2）.
(21)（本小题12分）
解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆.
因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴
b=，
所以椭圆的方程为
(Ⅱ)由得
①
因为不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在△PMN中，
②
将①代入②，得
故点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上.
由(Ⅰ)知，点P的坐标又满足，所以
由方程组 解得
即P点坐标为
(22)(本小题12分)
解：(Ⅰ)因
由此有，故猜想的通项为
（Ⅱ）令
由题设知x1=1且
①
②
因②式对n=2成立，有
③
下用反证法证明：
由①得
因此数列是首项为，公比为的等比数列.故
④
又由①知
因此是是首项为，公比为-2的等比数列,所以
⑤
由④-⑤得
⑥
对n求和得
⑦
由题设知
即不等式
22k+1＜
对kN*恒成立.但这是不可能的，矛盾.
因此x2≤,结合③式知x2=,因此a2=2*2=
将x2=代入⑦式得
Sn=2－(nN*),
所以bn=2Sn=22－(nN*)
2009年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题卷（理工农医类）
本试卷满分150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷
考生注意：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．
参考公式：
如果事件互斥，那么
如果事件相互独立，那么
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率
以为半径的球体积：
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线与圆的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离
2．已知复数的实部为，虚部为2，则=（ ）
A． B． C． D．
3．的展开式中的系数是（ ）
A．16 B．70 C．560 D．1120
4．已知，则向量与向量的夹角是（ ）
A． B． C． D．
5．不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．设的三个内角，向量，，若，则=（ ）
A． B． C． D．
8．已知，其中，则的值为（ ）
A．6 B． C． D．
9．已知二面角的大小为，为空间中任意一点，则过点且与平面和平面所成的角都是的直线的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案写在答题卡相应位置上．
11．若，，则 ．
12．若是奇函数，则 ．
13．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．
14．设，，，，则数列的通项公式= ．
15．已知双曲线的左、右焦点分别为
，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）
设函数．
（Ⅰ）求的最小正周期．
（Ⅱ）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值．
17．（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）
某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：
（Ⅰ）两种大树各成活1株的概率；
（Ⅱ）成活的株数的分布列与期望．
18．（本小题满分13分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问8分）
设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若函数，讨论的单调性．
19．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）
如题（19）图，在四棱锥中，且；平面平面，；为的中点，．求：
（Ⅰ）点到平面的距离；
（Ⅱ）二面角的大小
20．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）
已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，是椭圆上的动点．
（Ⅰ）若的坐标分别是，求的最大值；
（Ⅱ）如题（20）图，点的坐标为，是圆上的点，是点在轴上的射影，点满足条件：，．求线段的中点的轨迹方程；
21．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）
设个不全相等的正数依次围成一个圆圈．
（Ⅰ）若，且是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列；数列的前项和满足：，求通项；
（Ⅱ）若每个数是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：；
绝密★启用前
2009年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题（理工农医类）答案
一、 选择题：每小题5分，满分50分 .
(1) B (2) A (3) D (4) C (5) A (6) C
(7) C (8) D (9) B (10) B.
二．填空题：每小题5分，满分25分 .
(11) (0,3) (12) (13) 36 (14) (15) (1, )
三．解答题：满分75分 .
(16)（本小题13分）
解：（Ⅰ）=
=
=
故的最小正周期为T = =8
(Ⅱ)解法一：
在的图象上任取一点，它关于的对称点 .
由题设条件，点在的图象上，从而
=
=
当时，，因此在区间上的最大值为
解法二：
因区间关于x = 1的对称区间为，且与的图象关于
x = 1对称，故在上的最大值为在上的最大值
由（Ⅰ）知＝
当时，
因此在上的最大值为
.
(17)（本小题13分）
解：设表示甲种大树成活k株，k＝0，1，2
表示乙种大树成活l株，l＝0，1，2
则，独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有
, .
据此算得
, , .
, , .
(Ⅰ) 所求概率为
.
(Ⅱ) 解法一：
的所有可能值为0，1，2，3，4，且
,
,
= ,
.
.
综上知有分布列
0
1
2
3
4
P
1/36
1/6
13/36
1/3
1/9
从而，的期望为
（株）
解法二：
分布列的求法同上
令分别表示甲乙两种树成活的株数，则
故有
从而知
18、（本小题13分）
解（Ⅰ）因
又在x=0处取得极限值，故从而
由曲线y=在（1，f（1））处的切线与直线相互垂直可知
该切线斜率为2，即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
令
（1）当
（2）当
K=1时，g（x）在R上为增函数
（3）方程有两个不相等实根
当函数
当时，故上为减函数
时，故上为增函数
（19）（本小题12分）
解法一：
（Ⅰ）因为AD//BC,且所以从而A点到平面的距离等于D点到平面的距离。
因为平面故,从而，由AD//BC，得,又由知，从而为点A到平面的距离，因此在中
(Ⅱ)如答（19）图1，过E电作交于点G，又过G点作,交AB于H，故为二面角的平面角，记为，过E点作EF//BC,交于点F,连结GF,因平面,故.
由于E为BS边中点，故,在中，
,因，又
故由三垂线定理的逆定理得,从而又可得
因此而在中，
在中，可得，故所求二面角的大小为
解法二：
（Ⅰ）如答（19）图2，以S(O)为坐标原点，射线OD,OC分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系，设，因平面
即点A在xoz平面上，因此
又
因AD//BC，故BC⊥平面CSD，即BCS与平面
yOx重合，从而点A到平面BCS的距离为.
(Ⅱ)易知C(0,2,0)，D(,0,0). 因E为BS的中点.
ΔBCS为直角三角形 ,
知
设B(0,2, )，＞0，则＝2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1） .
在CD上取点G，设G（），使GE⊥CD .
由故
①
又点G在直线CD上，即，由=（），则有 ②
联立①、②，解得G＝ ,
故=.又由AD⊥CD，所以二面角E－CD－A的平面角为向量与向量所成的角，记此角为 .
因为=，,所以
故所求的二面角的大小为 .
(20)（本小题12分）
解：（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为（a ＞b＞ 0 ）.
设，由准线方程得.由得，解得 a = 2 ,c = ，从而 b = 1，椭圆方程为 .
又易知C，D两点是椭圆的焦点，所以,
从而，当且仅当，即点M的坐标为 时上式取等号，的最大值为4 .
（II）如图（20）图，设
.因为，故
①
因为
所以 . ②
记P点的坐标为，因为P是BQ的中点
所以
由因为 ，结合①，②得
故动点P的估计方程为
（21）（本小题12分）
解：（I）因是公比为d的等比数列，从而 由 ，故
解得或（舍去）。因此
又 。解得
从而当时，
当时，由是公比为d的等比数列得
因此
（II）由题意得
有①得 ④
由①，②，③得，
故. ⑤
又，故有
.⑥
下面反证法证明：
若不然，设
若取即，则由⑥得，而由③得
得由②得而
④及⑥可推得（）与题设矛盾
同理若P=2，3，4，5均可得（）与题设矛盾,因此为6的倍数
由均值不等式得
由上面三组数内必有一组不相等（否则，从而与题设矛盾），故等号不成立，从而
又，由④和⑥得
因此由⑤得
绝密★启用前 解密时间：2010年6月7日17：00 【考试时间：6月7日15：00—17：00】
2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题卷（理工农医类）
数学试题卷（理工农医类）共4页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）在等比数列中，，则公比的值为（ ）
A、2 B、3 C、4 D、8
（2）已知向量满足，则（ ）
A、0 B、 C、4 D、8
（3）（ ）
A、 B、 C、 D、1
（4）设变量满足约束条件则的最大值为（ ）
A、 B、4 C、6 D、8
（5）函数的图象（ ）
A、关于原点对称 B、关于直线对称
题（6）图
O
C、关于轴对称 D、关于轴对称
（6）已知函数
的部分图象如题（6）图所示，则（ ）
A、 B、
C、 D、
（7）已知，则的最小值是（ ）
A、3 B、4 C、 D、
（8）直线与圆心为D的圆交于A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为（ ）
A、 B、 C、 D、
（9）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天. 若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（ ）
A、504种 B、960种 C、1008种 D、1108种
（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）
A、直线 B、椭圆 C、抛物线 D、双曲线
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填写在答题卡相应位置上.
（11）已知复数则____________.
（12）设，若，则实数_________.
（13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为_____________.
（14）已知以为焦点的抛物线上的两点满足，则弦的中点到准线的距离为___________.
（15）已知函数满足：，则__________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分.）
设函数.
（Ⅰ）求的值域；
（Ⅱ）记的内角的对边长分别为，若，求的值.
（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）
在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求：
（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
（Ⅱ）甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望.
（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）
已知函数，其中实数.
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若在处取得极值，试讨论的单调性.
（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）
如题（19）图，四棱锥为矩形，底面，，点是棱的中点.
（Ⅰ）求直线与平面的距离；
题（19）图
C
B
A
D
E
P
（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值.
（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）
已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率.
（Ⅰ）求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
M
题（20）图
G
E
N
H
O
（Ⅱ）如题（20）图，已知过点的直线与过点（其中）的直线的交点在双曲线上，直线与两条渐近线分别交于两点，求的面积.
（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）
在数列中，，其中实数.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若对一切有，求的取值范围.
绝密★启用前
2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题（理工农医类）答案
一．选择题：每小题5分，满分 50分.
（1）A （2）B （3）C （4）C （5）D （6）D
（7）B （8）C （9）C （10）D
二．填空题：每小题5分，满分25分.
（11） （12） （13） （14） （15）
三．解答题：满分75分.
（16）（本题13分）
解：（Ⅰ）
，
因此的值域为.
（Ⅱ）由得，即，又因，
故.
解法一：由余弦定理，得，解得或.
解法二：由正弦定理，得或.
当时，，从而；
当时，，又，从而.
故的值为1或2.
（17）（本题13分）
解：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数.
（Ⅰ）设A表示“甲、乙的演出序号至少一个为奇数”，则表示“甲、乙的序号为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得
.
（Ⅱ）的所有可能值为0，1，2，3，4，且
，
.
从而知有分布列
0
1
2
3
4
所以，
.
（18）（本题13分）
解：（Ⅰ）.
当时，，而，因此曲线在点处的切线方程为即.
（Ⅱ），由（Ⅰ）知，
即，解得.
此时，其定义域为，且
，由得.当
或时，；当且时，.
G
F
答（19）图1
C
B
A
D
E
P
由以上讨论知，在区间上是增函数，在区间上是减函数.
（19）（本题12分）
解法一：
（Ⅰ）如答（19）图1 ，在矩形中，平面，
故直线与平面的距离为点到平面的距离.
因底面，故，由知为等腰三角
形，又点是棱 中点，故.又在矩形
中，，而是在底面内的射影，由
三垂线定理得，从而平面，故
.从而平面，故之长即为直线
与平面的距离.
（Ⅱ）过点D作，交CE于F，过点F作，交AC于G，则为所求的二面角的平面角.
由（Ⅰ）知平面PAB，又，得平面PAB，故，从而.
在中，.由，所以为等边三角形，故F为CE的中点，且.
因为平面PBC，故，又，知，从而，且G点为AC的中点.
连接DG，则在中，.
所以.
解法二：
P
G
F
答（19）图2
C
B
A
D
E
（Ⅰ）如答（19）图2，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为轴、轴、轴正半轴，建立空间直角坐标系.
设，则，
.
因此，
则，所以平面PBC.
又由知平面PBC，故直线AD与平面
PBC的距离为点A到平面PBC的距离，即为.
（Ⅱ）因为，则.
设平面AEC的法向量，则.
又，故
所以. 可取，则.
设平面DEC的法向量，则.
又，故
所以. 可取，则.
故.
所以二面角的平面角的余弦值为.
（20）（本题12分）
H
Q
M
答（20）图
G
E
N
O
解：（Ⅰ）设的标准方程为，则由题意，
因此，
的标准方程为.
的渐近线方程为，即
和.
（Ⅱ）解法一：如答（20）图，由题意点
在直线和
上，因此有，，
故点M、N均在直线上，因此直线MN的方程为.
设G、H分别是直线MN与渐近线及的交点，
由方程组及
解得.
设MN与轴的交点为Q，则在直线中，令得（易知. 注意到，得
.
解法二：设，由方程组
解得，
因，则直线MN的斜率.
故直线MN的方程为，
注意到，因此直线MN的方程为.
下同解法一.
（21）（本题12分）
（Ⅰ）解法一：由，
，
，
猜测.
下用数学归纳法证明.
当时，等式成立；
假设当时，等式成立，即，则当时，
，
综上， 对任何都成立.
解法二：由原式得.
令，则，因此对有
，
因此，.
又当时上式成立.
因此.
（Ⅱ）解法一：由，得
，
因，所以.
解此不等式得：对一切，有或，其中
，
.
易知，
又由，知
，
因此由对一切成立得.
又，易知单调递增，故
对一切成立，因此由对一切成立得.
从而的取值范围为.
解法二：由，得
，
因，所以对恒成立.
记，下分三种情况讨论.
（ⅰ）当即或时，代入验证可知只有满足要求.
（ⅱ）当时，抛物线开口向下，因此当正整数充分大时，
不符合题意，此时无解.
（ⅲ）当即或时，抛物线开口向上，其对称轴
必在直线的左边. 因此，在上是增函数.
所以要使对恒成立，只需即可.
由解得或.
结合或得或.
综合以上三种情况，的取值范围为.
2011年高考理工农医类数学试题（重庆卷）
满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选其他答案标号.
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数
A． B． C． D．
2．“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
3．已知，则
A． B． 2 C．3 D．6
4．的展开式中的系数相等，则n=
A．6 B．7 C．8 D．9
5．下列区间中，函数在其上为增函数的是
A．（- B． C． D．
6．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足，且C=60°，则ab的值为
A． B． C． 1 D．
7．已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=的最小值是
A． B．4 C． D．5
8．在圆内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为
A． B． C． D．
9．高为的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为
A． B． C．1 D．
10．设m，k为整数，方程在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为
A．-8 B．8 C．12 D．13
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上
11．在等差数列中，，则__________
12．已知单位向量，的夹角为60°，则__________
13．将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率__________
14．已知，且，则的值为__________
15．设圆C位于抛物线与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径能取到的最大值为__________
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16．（本小题满分13分）
设，满足，求函数在上的最大值和最小值.
17．（本小题满分13分）（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）
某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中：
（Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；
（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数的分布列与期望
18．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分．）
设的导数满足，其中常数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ） 设，求函数的极值．
19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）
如题（19）图，在四面体中，平面平面，，，．
（Ⅰ）若，，求四面体的体积；
（Ⅱ）若二面角为，求异面直线与所成角的余弦值．
20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分．）
如题（20）图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程为．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．
21．（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分）
设实数数列的前n项和，满足
（I）若成等比数列，求和；
（II）求证：对
参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分50分.
1—5 CADBD 6—10 ACBCD
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分25分.
11．74 12． 13． 14． 15．
三、解答题：满分75分.
16．（本题13分）
解：
由
因此
当为增函数，
当为减函数，
所以
又因为
故上的最小值为
17．（本题13分）
解：这是等可能性事件的概率计算问题.
（I）解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为
解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.
记“申请A片区房源”为事件A，则
从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为
（II）ξ的所有可能值为1，2，3.又
综上知，ξ有分布列
ξ
1 2 3
P
从而有
18．（本题13分）
解：（I）因故
令
由已知
又令由已知
因此解得
因此
又因为故曲线处的切线方程为
（II）由（I）知，
从而有
令
当上为减函数；
当在（0，3）上为增函数；
当时，上为减函数；
从而函数处取得极小值处取得极大值
19．（本题12分）
（I）解：如答（19）图1，设F为AC的中点，由于AD=CD，所以DF⊥AC.
故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，
即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，
且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=.
在Rt△ABC中，因AC=2AF=，AB=2BC，
由勾股定理易知
故四面体ABCD的体积
（II）解法一：如答（19）图1，设G，H分别为边CD，BD的中点，则FG//AD，GH//BC，从而∠FGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角.
设E为边AB的中点，则EF//BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB.又由（I）有DF⊥平面ABC，
故由三垂线定理知DE⊥AB.
所以∠DEF为二面角C—AB—D的平面角，由题设知∠DEF=60°
设
在
从而
因Rt△ADE≌Rt△BDE，故BD=AD=a，从而，在Rt△BDF中，，
又从而在△FGH中，因FG=FH，由余弦定理得
因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为
解法二：如答（19）图2，过F作FM⊥AC，交AB于M，已知AD=CD，
平面ABC⊥平面ACD，易知FC，FD，FM两两垂直，以F为原点，射线FM，FC，FD分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系F—xyz.
不妨设AD=2，由CD=AD，∠CAD=30°，易知点A，C，D的坐标分别为
显然向量是平面ABC的法向量.
已知二面角C—AB—D为60°，
故可取平面ABD的单位法向量，
使得
设点B的坐标为，有
易知与坐标系的建立方式不合，舍去.
因此点B的坐标为所以
从而
故异面直线AD与BC所成的角的余弦值为
20．（本题12分）
解：（I）由
解得，故椭圆的标准方程为
（II）设，则由
得
因为点M，N在椭圆上，所以
，
故
设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知
因此
所以
所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值，又因，因此两焦点的坐标为
21．（本题12分）
（I）解：由题意，
由S2是等比中项知
由解得
（II）证法一：由题设条件有
故
从而对有
①
因，由①得
要证，由①只要证
即证
此式明显成立.
因此
最后证若不然
又因矛盾.
因此
证法二：由题设知，
故方程（可能相同）.
因此判别式
又由
因此，
解得
因此
由，得
因此
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