高考数学理专题目四第二讲点、直线、平面之间的位置关系二轮复习 5页

第二讲　点、直线、平面之间的位置关系 ‎1．(2013·高考安徽卷)在下列命题中，不是公理的是(　　)‎ A．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ‎2．(2013·内蒙古乌海检测)已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定(　　)‎ A．与a，b都相交 B．只能与a，b中的一条相交 C．至少与a，b中的一条相交 D．与a，b都平行 ‎3．(2013·高考广东卷)设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是(　　)‎ A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β C．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β ‎4．(2013·河北省质量检测)已知α、β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，可以推出α∥β的是(　　)‎ A．①③　　　　　　　　　　 B．②④‎ C．①④ D．②③‎ ‎5．将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图(2))，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是(　　)‎ A．相交且垂直 B．相交但不垂直 C．异面且垂直 D．异面但不垂直 ‎6．(2013·武汉市武昌区联考)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列命题：‎ ‎①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.‎ 其中正确命题的序号是________．‎ ‎7．(2013·广东省惠州市调研)已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的有________．‎ ‎①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；‎ ‎③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n.‎ ‎8.‎ 如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：‎ ‎①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.‎ 其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．‎ ‎9．如图，边长为2的正方体ABCDA1B1C1D1的上方是以ABCD为底面的四棱锥，已知PA＝PB＝PC＝PD＝，且正方体的上、下底面中心分别为O，O1，‎ ‎(1)求证：PB∥面O1AD；‎ ‎(2)求三棱锥PADB1的体积．‎ ‎10．(2013·高考江苏卷)‎ 如图，在三棱锥SABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：‎ ‎(1)平面EFG∥平面ABC；‎ ‎(2)BC⊥SA.‎ ‎11．如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、EC的中点，现将△ADE沿AE折起，使得DE⊥EC.‎ ‎(1)求证：BC⊥平面CDE；‎ ‎(2)求证：FG∥平面BCD；‎ ‎(3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR⊥平面DCB，并说明理由．‎ 答案：‎ ‎1．【解析】选A.A，不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；‎ B，是平面的基本性质公理；‎ C，是平面的基本性质公理；‎ D，是平面的基本性质公理．‎ ‎2．【解析】选C.若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾．故选C.‎ ‎3．【解析】选B.选项A，若l∥α，l∥β，则α和β可能平行也可能相交，故错误；‎ 选项B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故正确；‎ 选项C，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故错误；‎ 选项D，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系有三种可能：l⊥β，l∥β，l⊂β，故错误．故选B.‎ ‎4．【解析】选C.对于②，平面α与β还可以相交；对于③，当a∥b时，不一定能推出α∥β，所以②③是错误的，易知①④正确，故选C.‎ ‎5．【解析】选C.在题图(1)中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则AD⊥BC.翻折后如题图(2)，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD、CD，这两条线段与AD垂直，即AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD＝D，故AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.故选C.‎ ‎6．【解析】①正确，∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又m⊂β，∴l⊥m；②错误，l，m也可以垂直，还可以异面；③正确，∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，又m⊂β，∴α⊥β；④错误，α与β可能相交．‎ ‎【答案】①③‎ ‎7．【解析】若m∥α，n∥α，m，n可以平行，可以相交，也可以异面，故①不正确；若α⊥γ，β⊥γ，α，β可以相交，故②不正确；若m∥α，m∥β，α，β可以相交，故③不正确；若m⊥α，n⊥α，则m∥n，④正确．故填④.‎ ‎【答案】④‎ ‎8．【解析】①错误，PA⊂平面MOB；②正确；③错误，否则，有OC⊥AC，这与BC⊥AC矛盾；④正确，因为BC⊥平面PAC.‎ ‎【答案】②④‎ ‎9.‎ ‎【解】(1)如图，作OE⊥BC于E，连结PE，则PE⊥BC，易得PE＝＝，PO＝2，连接OB1得四边形PBB1O为平行四边形，于是PB∥OB1，‎ 又OB1∥DO1，‎ ‎∴PB∥DO1，‎ 又PB⊄平面O1AD，‎ DO1⊂平面O1AD，‎ ‎∴PB∥平面O1AD.‎ ‎(2)由于VPADB1＝VAPDB1，易得三棱锥APDB1的高即为AO＝AC＝，‎ S△PDB1＝SDD1B1B＋S△PDB－S△DD1B1－S△PB1B ‎＝2×2＋×2×2－×2×2－×2×＝3，‎ 故三棱锥PADB1的体积为VPADB1＝×3×＝2.‎ ‎10．【证明】(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，‎ 垂足为F，所以F是SB的中点．‎ 又因为E是SA的中点，‎ 所以EF∥AB.‎ 因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，‎ 所以EF∥平面ABC.‎ 同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，‎ 所以平面EFG∥平面ABC.‎ ‎(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，‎ 又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.‎ 因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.‎ 又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF⊂平面SAB，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.‎ 因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.‎ ‎11．【解】(1)由已知得DE⊥AE，DE⊥EC，∵AE∩EC＝E，AE、EC⊂平面ABCE，∴DE⊥平面ABCE，∴DE⊥BC.又BC⊥EC，EC∩DE＝E，∴BC⊥平面CDE.‎ ‎(2)取AB中点H，连接GH、FH，如图所示．‎ ‎∴GH∥BD，FH∥BC，‎ ‎∴GH∥平面BCD，FH∥平面BCD.‎ ‎∴平面FHG∥平面BCD，‎ ‎∴GF∥平面BCD.‎ ‎(3)R点满足3AR＝RE时，平面BDR⊥平面DCB.取BD中点Q，连接DR、BR、CR、CQ、RQ，如图所示：‎ 易得CD＝2，BR＝，CR＝，DR＝，CQ＝，‎ 在△BDR中，∵BR＝，DR＝，BD＝2，可知RQ＝，‎ ‎∴在△CRQ中，CQ2＋RQ2＝CR2，∴CQ⊥RQ.‎ 又在△CBD中，CD＝DB，Q为BD的中点，‎ ‎∴CQ⊥BD，∴CQ⊥平面BDR，‎ ‎∴平面BDC⊥平面BDR.‎