广东高考试题分类汇编解几解答题部分 16页

2004——2011 年广东高考试题分类汇编—— 解析几何（解答题部分） 1、（2004 年 22 题） 设直线 与椭圆 相交于 两点， 又与双曲线 相交于 C、D 两点， 三等分线段 ，求直线 的方程． 解：首先讨论 l 不与 x 轴垂直时的情况，设直线 l 的方程为 y=kx+b，如图所示，l 与椭圆、双曲线 的交点为： 依题意有 ，由 得 ……（1） 由 得 ……（2） 若 ，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故 由 或 (i)当 时，由(1)得 ，由(2)得 l 2 2 125 16 x y+ = ,A B l 2 2 1x y− = ,C D AB l ),(),,(),,(),,( 44332211 yxDyxCyxByxA y xo l A B C D , 3AC DB AB CD= =    2 2 125 16 y kx b x y = + + = 2 2 2(16 25 ) 2 (25 400) 0k x bkx b+ − + − = 1 2 2 50 16 25 bkx x k ∴ + = − + 2 2 1 y kx b x y = +  − = 2 2 2(1 ) 2 ( 1) 0k x bkx b− − − + = 1±=k 1±≠k 243 1 2 k bkxx − =+∴ 3 1 2 4 1 2 3 4AC DB x x x x x x x x= ⇒ − = − ⇒ + = +  2 2 50 2 0 016 25 1 bk bk bk kk k ⇒ − = ⇒ = ⇒ =+ − 0b = 0k = 2 1,2 5 164x b= ± − 2 3,4 1x b= ± + 由 ，即 故 l 的方程为 (ii)当 b=0 时，由(1)得 ，由(2)得 由 即 故 l 的方程为 再讨论 l 与 x 轴垂直的情况． 设直线 l 的方程为 x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得， 由 即 故 的方程为 综上所述，故 l 的方程为 、 和 2、（2005 年 17 题） 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2 上异于坐标原点 O 的两不同动点 A、B 满足 AO⊥ BO（如图 4 所示）. （Ⅰ）求△AOB 的重心 G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程； （Ⅱ）△AOB 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 2 1 4 33 3( )AB CD x x x x= ⇒ − = −  2 210 1616 6 14 13b b b− = + ⇒ = ± 13 16±=y 1,2 2 20 16 25 x k = ± + 3,4 2 1 1 x k = ± − 2 1 4 33 3( )AB CD x x x x= ⇒ − = −  2 2 40 6 16 2516 25 1 k k k = ⇒ = ± + − xy 25 16±= 2 2 1,2 3,4 4 25 , 15y c y c= ± − = ± − 2 1 4 3| | 3| | | | 3| |AB CD y y y y= ⇒ − = −  2 28 25 24125 6 15 241c c c− = − ⇒ = ± l 25 241 241x = ± 13 16±=y xy 25 16±= 241 24125±=x 解：（I）设△AOB 的重心为 G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 …（1） ∵OA⊥OB ∴ ,即 ，……(2) 又点 A，B 在抛物线上，有 ，代入（2）化简得 ∴ 所以重心为 G 的轨迹方程为 （II） 由（I）得 当且仅当 即 时，等号成立。 所以△AOB 的面积存在最小值，存在时求最小值 1； 3、（2005 年 20 题） 在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的长为 2，宽为 1，AB、AD 边分别在 x 轴、y 轴的 正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图 5 所示）.将矩形折叠，使 A 点落在线段 DC 上. （Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为 k，试写出折痕所在直线的方程； （Ⅱ）求折痕的长的最大值. 解(I) （1）当 时,此时 A 点与 D 点重合, 折痕所在的直线方程       += += 3 3 21 21 yyy xxx 1−=⋅ OBOA kk 12121 −=+ yyxx 2 22 2 11 , xyxy == 121 −=xx 3 233 2)3(3 1]2)[(3 1)(3 1 3 22 21 2 21 2 2 2 1 21 +=+×=−+=+=+= xxxxxxxxyyy 3 23 2 += xy 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1))((2 1||||2 1 yyyxyxxxyxyxOBOAS AOB +++=++==∆ 122 12)1(22 1222 122 1 66 2 6 1 6 2 6 1 =×=+−=+⋅≥++=∆ xxxxS AOB 6 2 6 1 xx = 121 −=−= xx 0=k 2 1=y O (A) B CD X Y （图 5) （2）当 时，将矩形折叠后 A 点落在线段 CD 上的点为 G(a,1) 所以 A 与 G 关于折痕所在的直线对称，有 故 G 点坐标为 ，从而折痕所在的直线与 OG 的交点坐标（线段 OG 的中点）为 折痕所在的直线方程 ，即 由（1）（2）得折痕所在的直线方程为： （II）折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为 解 得 ； 解 得 当 A 与 D 重合时，k=－2 （1）当 时，直线交 BC 于 . （2）当 时， 令 解得 , 此时 ∴ （3）当 时，直线交 DC 于 所以折痕的长度的最大值为 4、（2006 年 18 题） 0≠k kakakkOG −=⇒−=−=⋅ 11,1 )1,( kG − )2 1,2( kM − )2(2 1 kxky +=− 2 1 2 2 ky kx= + + 2 1 2 2 ky kx= + + )0,2 1(),2 1,0( 22 k kPkN +−+ 2 1 12 k + ≤ 1 0k− ≤ ≤ 2 1 22 k k +− ≤ 2 3 2 3k− − ≤ ≤ − + 2 3 0k− + ≤ ≤ 2 ' 1(2,2 )2 2 kP k + + 2 2 ' 2 2 2 21 12 [ (2 )] 4 4 4 4(7 4 3) 32 16 32 2 2 k ky P N k k += = + − + + = + ≤ + − = − 1 2 3k− ≤ ≤ − + 2 2 2 3 2 2 2 2 1 1 ( 1)( ) ( )2 2 4 k k ky PN k k + + += = + − = 4 32222 / 16 8)1(42)1(3 k kkkkky ⋅+−⋅⋅+= 0/ =y 2 2−=k 2 27 16y PN= = 2 max 32 16 3PN = − 2 1k− ≤ ≤ − ' 1( ,1)2 2 kN k − 2 '2 2 2 2 1 1 11 [ ( )] 1 1 1 22 2 2 k ky PN k k k += = + − − − = + ≤ + = 32 16 3 2( 6 2)− = − 设函数 分别在 处取得极小值、极大值. 平面上点 的坐标分 别为 、 ，该平面上动点 满足 ,点 是点 关于直线 的对称点.求 (I)求点 的坐标； (II)求动点 的轨迹方程. 解: (Ⅰ)令 解得 当 时, , 当 时, ,当 时, 所以,函数在 处取得极小值,在 取得极大值,故 , 所以, 点 A、B 的坐标为 . (Ⅱ) 设 ， ， ，所以 ，又 PQ 的中点在 上，所以 消去 得 5、（2007 年文科 19 题） 在平面直角坐标系 中，已知圆心在第二象限，半径为 的圆 与直线 相切于 坐标原点 ，椭圆 与圆 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 ． （1）求圆 的方程； （2）试探究圆 上是否存在异于原点的点 ，使 到椭圆右焦点 的距离等于线段 的 长．若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 解: (1) 设圆 C 的圆心为 (m，n) 则 解得 3( ) 3 2f x x x= − + + 1 2x x、 xoy A B、 1 1( )x f x（ , ） 2 2( )x f x（ , ） P • 4PA PB =  Q P 2( 4)y x= − A B、 Q 033)23()( 23 =+−=′++−=′ xxxxf 11 −== xx 或 1−′ xf 1>x 0)( <′ xf 1−=x 1=x 1,1 21 =−= xx 4)1(,0)1( ==− ff )4,1(),0,1( BA − ),( nmp ),( yxQ ( ) ( ) 4414,1,1 22 =−+−=−−•−−−=• nnmnmnmPBPA 2 1−=PQk 2 1−=− − mx ny )4(2 −= xy      −+=+ 4222 nxmy nm, ( ) ( ) 928 22 =++− yx xOy 2 2 C y x= O 2 2 2 19 x y a + = C 10 C C Q Q F OF Q 2 2 2 m n n = − =  2 2 m n = −  = 所求的圆的方程为 (2) 由已知可得 椭圆的方程为 ， 右焦点为 F( 4，0) ； 假设存在 Q 点 使 ， 整理得 代入 得: ， 因此不存在符合题意的 Q 点. 6、（2007 年理科 18 题） 在平面直角坐标系 中，已知圆心在第二象限，半径为 2 的圆 C 与直线 相切于 坐标原点 O.椭圆 ＝1 与圆 C 的一个交点到椭圆两点的距离之和为 10. （1）求圆 C 的方程. （2）试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q，使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的长.若 存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 解:(1) 设圆 C 的圆心为 则 解得 所求的圆的方程为 (2) 由已知可得 ,椭圆的方程为 ,右焦点为 . 设存在点 满足条件,则 解得 故存在符合要求的点 . 2 2( 2) ( 2) 8x y+ + − = 2 10a = 5a = 2 2 125 9 x y+ = ( )2 2 2 cos ,2 2 2 sinθ θ− + + QF OF= ( ) ( )2 2 2 2 2 cos 4 2 2 2 sin 4θ θ− + − + + = sin 3cos 2 2θ θ= + 2 2sin cos 1θ θ+ = 210cos 12 2 cos 7 0θ θ+ + = 12 2 8 12 2 2 2cos 110 10 θ − ± − ±= = < − xOy 2 y x= 9 2 2 2 y a x + ( , )m n , 0, 0 2 2 2 m n m n m n = −  < > − = 2 2 m n = −  = 2 2( 2) ( 2) 8x y+ + − = 2 10a = 5a = 2 2 125 9 x y+ = (4,0)F ( , )Q x y C∈ 2 2 2 2 ( 2) ( 2) 8 ( 4) 16 x y x y  + + − = − + = 4 12( , )5 5Q 4 12( , )5 5Q A y xO B G F F1 图 4 7、（2008 年文科 20 题） 设 ，椭圆方程为 ，抛物线方程为 ．如图 6 所示，过点 作 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为 ，已知抛物线在点 的切线经过 椭圆的右焦点 ． （1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； （2）设 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 ，使得 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐 标）． 【解析】（1）由 得 ， 当 得 ， G 点的坐标为 ， ， ， 过点 G 的切线方程为 即 ， 令 得 ， 点的坐标为 ，由椭圆方程得 点的坐标为 ， 即 ，即椭圆和抛物线的方程分别为 和 ； （2） 过 作 轴的垂线与抛物线只有一个交点 , 以 为直角的 只有一个， 同理 以 为直角的 只有一个。 若以 为直角，设 点坐标为 ， 、 两点的坐标分别为 和 ， 。 关于 的二次方程有一大于零的解， 有两解，即以 为直角的 有两个， 因此抛物线上存在四个点使得 为直角三角形。 8、（2008 年理科 18 题）设 ，椭圆方程为 ，抛物 0b > 2 2 2 2 12 x y b b + = 2 8( )x y b= − (0 2)F b +， x G G 1F A B， P ABP△ 2 8( )x y b= − 21 8y x b= + 2y b= + 4x = ± ∴ (4, 2)b + 1' 4y x= 4'| 1xy = = ( 2) 4y b x− + = − 2y x b= + − 0y = 2x b= − 1F∴ (2 ,0)b− 1F ( ,0)b 2 b b∴ − = 1b = 2 2 12 x y+ = 2 8( 1)x y= −  A x P ∴ PAB∠ Rt ABP∆ ∴ PBA∠ Rt ABP∆ APB∠ P 21( , 1)8x x + A B ( 2,0)− ( 2,0) 2 2 2 4 21 1 52 ( 1) 1 08 64 4PA PB x x x x= − + + = + − =   2x x∴ APB∠ Rt ABP∆ ABP∆ 0b > 2 2 2 2 12 x y b b + = 线方程为 ．如图 4 所示，过点 作 轴的平行线，与抛物线在第一象限的 交点为 ，已知抛物线在点 的切线经过椭圆的右焦点 ． （1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； （2）设 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 ，使得 为 直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）． 解：（1）由 得 ， 当 得 ， G 点的坐标为 ， ， ， 过点 G 的切线方程为 即 ， 令 得 ， 点的坐标为 ， 由椭圆方程得 点的坐标为 ， 即 ， 即椭圆和抛物线的方程分别为 和 ； （2） 过 作 轴的垂线与抛物线只有一个交点 , 以 为直角的 只有一个，同理 以 为直角的 只有一个。 若以 为直角，设 点坐标为 ， 、 两点的坐标分别为 和 ， 。 关于 的二次方程有一大于零的解， 有两解，即以 为直角的 有两个， 因此抛物线上存在四个点使得 为直角三角形。 9、（2009 年文科 19 题） 已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 轴上,离心率为 ,两个焦点分别为 和 ,椭圆 G 上一点到 和 的距离之和为 12.圆 : 的圆心为点 . (1)求椭圆 G 的方程 2 8( )x y b= − (0 2)F b +， x G G 1F A B， P ABP△ 2 8( )x y b= − 21 8y x b= + 2y b= + 4x = ± ∴ (4, 2)b + 1' 4y x= 4'| 1xy = = ( 2) 4y b x− + = − 2y x b= + − 0y = 2x b= − 1F∴ (2 ,0)b− 1F ( ,0)b 2 b b∴ − = 1b = 2 2 12 x y+ = 2 8( 1)x y= −  A x P ∴ PAB∠ Rt ABP∆ ∴ PBA∠ Rt ABP∆ APB∠ P 21( , 1)8x x + A B ( 2,0)− ( 2,0) 2 2 2 4 21 1 52 ( 1) 1 08 64 4PA PB x x x x= − + + = + − =   2x x∴ APB∠ Rt ABP∆ ABP∆ x 2 3 1F 2F 1F 2F kC 0214222 =−−++ ykxyx )( Rk ∈ kA (2)求 的面积 (3)问是否存在圆 包围椭圆 G?请说明理由. 【解析】（1）设椭圆 G 的方程为： （ ）半焦距为 c; 则 , 解得 , 所求椭圆 G 的方程为： . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2 )点 的坐标为 （3）若 ，由 可知点（6，0）在圆 外， 若 ，由 可知点（-6，0）在圆 外； 不论 K 为何值圆 都不能包围椭圆 G. 10、（2009 年理科 19 题） 已知曲线 与直线 交于两点 和 ，且 ．记 曲线 在点 和点 之间那一段 与线段 所围成的平面区域（含边界）为 ．设点 是 上的任一点，且点 与点 和点 均不重合． （１）若点 是线段 的中点，试求线段 的中点 的轨迹方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （２）若曲线 与点 有公共点，试求 的最小值． 解：（1）联立 与 得 ，则 中点 ，设线段 的中点 坐标为 ，则 ，即 ，又点 在曲线 上， ∴ 化简可得 ，又点 是 上的任一点，且不与点 和点 21FFAk∆ kC 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 2 12 3 2 a c a = = 6 3 3 a c = = 2 2 2 36 27 9b a c∴ = − = − = 2 2 136 9 x y+ = KA ( ),2K− 1 2 1 2 1 12 6 3 2 6 32 2KA F FS F F= × × = × × =  0k ≥ 2 26 0 12 0 21 5 12 0k k+ + − − = +  kC 0k < 2 2( 6) 0 12 0 21 5 12 0k k− + − − − = −  kC ∴ kC 2:C y x= : 2 0l x y− + = ( , )A AA x y ( , )B BB x y A Bx x< C A B L AB D ( , )P s t L P A B Q AB PQ M 2 2 2 51: 2 4 025G x ax y y a− + − + + = D a 2xy = 2+= xy 2,1 =−= BA xx AB )2 5,2 1(Q PQ M ),( yx 2 2 5 ,2 2 1 t y s x + = + = 2 52,2 12 −=−= ytxs P C 2)2 12(2 52 −=− xy 8 112 +−= xxy P L A B 重 合 ， 则 ， 即 ， ∴ 中 点 的 轨 迹 方 程 为 （ ）. （2）曲线 ， 即圆 ： ，其圆心坐标为 ，半径 由图可知，当 时， 曲线 与点 有公共点； 当 时，要使曲线 与点 有公共点，只需圆心 到 直线 的距离 ，得 ，则 的最小值为 . 11、（2010 年文科 21 题） 已知曲线 ，点 是曲线 上的点（n=1,2,…）. （1）试写出曲线 在点 处的切线 的方程，并求出 与 轴的交点 的坐标； （2）若原点 到 的距离与线段 的长度之比取得最大值，试求试点 的坐标 ； （3）设 与 为两个给定的不同的正整数， 与 是满足（2）中条件的点 的坐标， 证明： w.w.w 【解析】（1） ， 的切线斜率 ， 的方程为 ， 当 x=0 时， ， ； 22 121 <−<− x 4 5 4 1 <<− x M 8 112 +−= xxy 4 5 4 1 <<− x 2 2 2 51: 2 4 025G x ax y y a− + − + + = E 25 49)2()( 22 =−+− yax )2,(aE 5 7=r 20 ≤≤ a 2 2 2 51: 2 4 025G x ax y y a− + − + + = D 0 > nC nC nP nl nl y nQ (0,0)O nl n nP Q nP ( ,n nx y ) m k nx ny nP 1 ( 1) ( 1)2 s n n n m x k y ms ks = + − + < −∑ ( 1,2, )s = … ' 2y nx= nl 2n nk nx= nl 2 ( )n n ny y nx x x− = − 2 n ny nx y= − = − (0, )nQ y∴ − x y o xA xB D （2）原点 O 到 的距离 ， ， ， 此时 ， ， ； （3） 而 ，∵ ， ∴ ，得证。 12、（2010 年理科 20 题） 一支双曲线 的左、右顶点分别为 A1,A2，点 ， 是双曲线上 不同的两个动点 （1） 求直线 A 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程式； nl 2 2 2 | | 4 14 1 n n nn nx yd nyn x −= = ++ 2 2 2| | 4 4n n n n n n yP Q x y yn = + = + 2 2 3 1 | | 4 1 4 8 16 n n n n n n n n n n y yd P Q ny y yy y nyn n = ⋅ = + + + + 1 1 1 41 8 2 168 16 n n nyny = ≤ = ++ + 1 116 , 4n n n ny yny n = = 2 2 1 1, 24n nx x nn = = 1 1( , )2 4nP n n 1 ( 1)| ( 1) | | |2 s n n n m x k y ms ks = + − + < −∑ 1 | 1 1 | 1 | |2 s n m k ms ks n= + − +⇔ < −∑ 1 1 1| | | |4 4 s n m k ms ksn n= + +⇔ − < −∑ 1 1| 1 1 | | | 2 s n m k ms ks n= ⇔ + − + < −∑ 1 1 | | 2 | 1 1 | s n m k s n m k= −⇔ < + − +∑ | | | | ( 1 1) | 1 1 | | 1 1 | ( 1 1) m k s m k m k s m k m k m k − − + + += + − + + − + + + + | | ( ) | | m k m k s sm k − +> =− 1 1 1 2 1 n n n n n < = − − + − 1 1 (1 0) ( 2 1) ( 3 2) ( 1) 2 s n s s n= < − + − + − + + − −∑  s< 2 2 12 x y− = 1 1( , )p x y 1 1( , )Q x y− （2）若点 H(O, h)（h>1）的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点，且 ,求 h 的值。 [ 来 源 : 学 , 科 , 网 ]故 ，即 。 （2）设 ，则由 知， 。 将 代入 得 ，即 ， 由 与 E 只有一个交点知， ，即[来源:学.科.网][来源:学科网 ZXXK] 。 同理，由 与 E 只有一个交点知， ，消去 得 ，即 ，从而 ，即 。 13、（2011 年文科 21 题） 在平面直角坐标系 中，直线 交 轴于点 A，设 是 上一点，M 是线段 OP 的垂直平分线上一点，且满足 ∠MPO=∠AOP （1）当点 P 在 上运动时，求点 M 的轨迹 E 的方程； （2）已知 T（1，-1），设 H 是 E 上动点,求 + 的最小值，并给出此时点 H 的坐标； （3）过点 T（1，-1）且不平行与 y 轴的直线 l1 与轨迹 E 有且只有两个不同的交点，求直线 的 斜率 k 的取值范围。 1 2l l⊥ 2 21 ( 2)2y x= − − 2 2 12 x y+ = 1 :l y kx h= + 1 2l l⊥ 2 1:l y x hk = − + 1 :l y kx h= + 2 2 12 x y+ = 2 2( ) 12 x kx h+ + = 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x khx h+ + + − = 1l 2 2 2 216 4(1 2 )(2 2) 0k h k h∆ = − + − = 2 21 2k h+ = 2l 2 2 11 2 hk + ⋅ = 2h 2 2 1 kk = 2 1k = 2 21 2 3h k= + = 3h = xOy : 2l x = − x P l l HO HT 1l 【解析】解：（1）如图 1，设 MQ 为线段 OP 的垂直平分线，交 OP 于点 Q， 因此 即 ① 另一种情况，见图 2（即点 M 和 A 位于直线 OP 的同侧）。 MQ 为线段 OP 的垂直平分线， 又 因此 M 在 轴上，此时，记 M 的坐标为 为分析 的变化范围，设 为 上任意点 由 （即 ）得， 故 的轨迹方程 ② 综合①和②得，点 M 轨迹 E 的方程为 （2）由（1）知，轨迹 E 的方程由下面 E1 和 E2 两部分组成（见图 3）： , , | | | | .MPQ AOP MP l MO MP∠ = ∠ ∴ ⊥ = 且 2 2 | 2 |,x y x+ = + 2 4( 1)( 1).y x x= + ≥ −  .MPQ MOQ∴∠ = ∠ , .MPQ AOP MOQ AOP∠ = ∠ ∴∠ = ∠ x ( ,0).x ( ,0)M x x中 ( 2, )P a− l ( ).a R∈ | | | |MO MP= 2 2| | ( 2)x x a= + + 211 1.4x a= − − ≤ − ( ,0)M x 0, 1y x= ≤ − 2 4( 1), 1, 0, 1. x xy x + ≥ −=  < − ； 当 时，过Ｔ作垂直于 的直线，垂足为 ，交 E1 于 。 再过 H 作垂直于 的直线，交 因此， （抛物线的性质）。 （该等号仅当 重合（或 H 与 D 重合时取 得）。 当 时，则 综合可得，|HO|+|HT|的最小值为 3，且此时点 H 的坐标为 （3）由图 3 知，直线 的斜率 不可能为零。 设 故 的方程得： 2 1 : 4( 1)( 1)E y x x= + ≥ − 2 : 0, 1.E y x= < − 1H E∈ l T′ 3 , 14D − −   l .l H ′于 | | | |HO HH ′= | | | | | | | | | | 3HO HT HH HT TT′ ′∴ + = + ≥ = H T′ ′与 2H E∈ | | | | | | | | 1 5 3.HO HT BO BT+ > + > + > 3 , 1 .4  − −   1l k 1 : 1 ( 1)( 0).l y k x k+ = − ≠ 1 1 ( 1) 1,x y Ek = + + 代入 2 4 4 8 0.y yk k  − − + =   因判别式 所以 与 E 中的 E1 有且仅有两个不同的交点。 又由 E2 和 的方程可知，若 与 E2 有交点， 则 此 交 点 的 坐 标 为 有 唯 一 交 点 ，从而 表三个不同的交点。 因此，直线 的取值范围是 14、（2011 年理科 19 题） 设圆 与两圆 ， 中的一个内切，另一个外切． （1）求 的圆心轨迹 的方程； （2）已知点 ， ，且 为 上动点，求 的最大值及此 时点 的坐标． 解：（1）设 ，圆 的半径为 ， 则 ∴ 的圆心轨迹 是以 为焦点的双曲线， ， ， ∴ 的圆心轨迹 的方程为 （2） ∴ 的最大值为 2，此时 在 的延长线上， 如图所示， 必在 的右支上，且 ， 2 2 16 4 44 8 2 28 0.k kk    ∆ = + + = + + >       1l 1l 1l 1 2 1 1 1,0 , 1. 0 ,2 k k k l Ek k + +  < − − < <   且 即当 时 与 1,0k k +     1l 1l k斜率 1( , ] (0, ).2 −∞ − ∪ +∞ C 2 2( 5) 4x y+ + = 2 2( 5) 4x y− + = C L 3 5 4 5( , )5 5M ( 5,0)F P L MP FP− P ( 5,0), ( 5,0)F F′ − C r ( 2) ( 2) 4 2 5CF CF r r′ − = + − − = < C L ,F F′ 2a = 5c = 1b = C L 2 2 14 x y− = 2 23 5 4 5( 5) ( ) 25 5MP FP MF− ≤ = − + = MP FP− P MF P L 5Px > 0Py < 直线 的斜率 ∵ ，∴ ， ∴ 的最大值为 2，此时 为 . MF 2k = − : 2 2 5MF y x= − + 2 2 14 2 2 5 x y y x  − =  = − + 215 32 5 28 0x x− + = (3 5 14)( 5 6) 0x x− − = 1 2 14 5 6 5,15 5x x= = 5Px > 6 5 5Px = 2 5 5Py = − MP FP− P 6 5 2 5( , )5 5 − x y 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10 1 2 3 4 5−1−2−3−4−5−6−7−8−9 O x y 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10 1 2 3 4 5−1−2−3−4−5−6−7−8−9 O M F P P