十年高考24高考数学真题分类汇编教师自己整理不等式 8页

不等式 一、选择填空题 ‎1.（江苏2004年4分）二次函数y=ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：‎ x ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎6‎ ‎0‎ ‎-4‎ ‎-6‎ ‎-6‎ ‎-4‎ ‎0‎ ‎6‎ 则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是 ▲ .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】一元二次不等式与二次函数。‎ ‎【分析】由表可得二次函数的零点，可设其两根式，然后代入一点求得解析式，即可得到不等式ax2＋bx＋c>0的解集：‎ 由表可设y=a（x＋2）（x－3），‎ 又∵x=0，y=－6，代入知a=1。∴y=（x＋2）（x－3）‎ ‎∴由ax2＋bx＋c=（x＋2）（x－3）＞0得x＞3或x＜－2。‎ ‎∴不等式ax2＋bx＋c>0的解集为：。‎ ‎2.（江苏2005年4分）函数的定义域为 ▲ ‎ ‎【答案】‎ ‎【考点】函数的定义域，对数函数的意义，一元二次不等解法。‎ ‎【分析】由题意得：，则由对数函数性质得：，‎ 即，解得或。‎ ‎∴函数的定义域为：。‎ ‎3.（江苏2006年5分）设、、是互不相等的正数，则下列等不式中不恒成立的是【 】‎ ‎（A）　 （B） ‎ ‎（C）　 （D）‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】不等式恒成立的条件。‎ ‎【分析】运用排除法，C选项，当时不成立。故选C。‎ ‎4.（江苏2006年5分）不等式的解集为　▲　‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】数函数单调性和不等式的解法。‎ ‎【分析】∵，∴，即。‎ ‎ 解得。‎ ‎5.（江苏2008年5分）若集合，则中有　　▲　　个元素 ‎【答案】6。‎ ‎【考点】交集及其运算，解一元二次不等式。‎ ‎【分析】先化简集合A，即解一元二次不等式，再求与Z的交集：‎ 由得，解得。‎ ‎∴，共有6个元素。‎ ‎6.（江苏2008年5分）设为正实数，满足，则的最小值是　　▲　　‎ ‎【答案】3。‎ ‎【考点】基本不等式。‎ ‎【分析】由可推出，代入中，消去，再利用均值不等式求解即可：‎ 由得，代入得，‎ 当且仅当＝3 时取“＝”。‎ ‎7.（江苏2009年5分）已知集合，若则实数的取值范围是，其中= ▲ .‎ ‎【答案】4。‎ ‎【考点】集合的子集的概念，利用对数的性质解不等式。‎ ‎【分析】∵得，∴。‎ 又∵，，∴，即实数的取值范围是。∴4。‎ ‎8.（江苏2010年5分）设实数，满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是　　▲　　。。来源 ‎【答案】27。‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用，等价转化思想。‎ ‎【分析】∵3≤≤8，∴；又∵4≤≤9，∴，即。‎ ‎ ∵，∴，即。∴的最大值是27。‎ ‎9.（江苏2011年5分）在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是　　▲　　‎ ‎【答案】4。‎ ‎【考点】函数的图象及性质的应用，基本不等式的应用。‎ ‎【分析】根据函数的对称性，设经过原点的直线与函数的交点为，，‎ 则。‎ 本题也可以直接画图结合函数的对称性可知，当直线的斜率为1时，线段PQ长的最小，最小值为4。‎ ‎10、（2012江苏卷14）已知正数满足：则的取值范围是 ．‎ ‎【解析】根据条件，得到 ‎，得到.又因为，所以，由已知，得到.从而，解得.‎ ‎【点评】本题主要考查不等式的基本性质、对数的基本运算.关键是注意不等式的等价变形，做到每一步都要等价.本题属于中高档题，难度较大.‎ 二、解答题 ‎1.（江苏2004年12分）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.‎ ‎ 某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？‎ ‎【答案】解：设投资人分别用万元、万元投资甲、乙两个项目。‎ 由题意知 目标函数z=+0.5。‎ 上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域，‎ 作直线，并作平行于直线的一组直线，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线的距离最大。‎ 这里M点是直线和的交点。‎ 解方程组，得=4，=6。‎ 此时（万元）。‎ ‎， ∴当=4，=6时，z取得最大值。‎ 答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大。‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用。‎ ‎【分析】设投资人对甲、乙两个项目各投资和万元，列出和的不等关系 及目标函数z=+0.5，利用线性规划或不等式的性质求最值即可。‎ ‎2.（江苏2004年14分）已知函数满足下列条件：对任意的实数1，2都有 ‎ 和，其中是大于0的常数.设实数，，满足 和 ‎(Ⅰ)证明，并且不存在，使得；‎ ‎(Ⅱ)证明；‎ ‎(Ⅲ)证明.‎ ‎【答案】证明：（I）任取 ①‎ 和 ②‎ 可知 ，‎ 从而 。‎ 假设有①式知 ‎，‎ ‎∴不存在。‎ ‎（II）由 ③‎ 可知 ④‎ 由①式，得 ⑤‎ 由和②式知， ⑥‎ 将⑤、⑥代入④式，得 ‎ ‎。‎ ‎（III）由③式可知 ‎ （用②式）‎ ‎ （用①式）‎ ‎【考点】不等式的证明。‎ ‎【分析】（Ⅰ）要证明，并且不存在，使得，由已知条件和合并，可以直接得出。再假设有，使得，根据已知判断出矛盾即得到不存在，使得。‎ ‎（Ⅱ）要证明；把不等式两边和分别用题中的已知等式化为同一的函数值得形式，再证明不等式成立即可。‎ ‎（III）由已知和（Ⅱ）中的不等式逐步推导即可。‎ ‎3.（江苏2009年16分）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为.‎ 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为学科.网 ‎(1)求和关于、的表达式；当时，求证：=；‎ ‎(2)设，当、‎ 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？学科 ‎(3)记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。‎ ‎【答案】解：（1）由题意，得，，（）。‎ ‎∵当时，。‎ ‎，‎ ‎∴=。‎ ‎（2）当时，，‎ 由，‎ 故当即时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为。‎ ‎（3）由（2）知：=，‎ 由得：，‎ 令则，∴。‎ 同理，由得：。‎ 另一方面，，，，‎ ‎∴，当且仅当，即=时，取等号。‎ 所以不能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立。‎ ‎【考点】函数的概念，基本不等式，数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力。‎ ‎【分析】（1）由已知直接求出和关于、的表达式。把分别代入和，比较即可。‎ ‎ （2）由（1）的结论，求出分母最小时的值即可。‎ ‎（3）由（2），=时，令得和，从而得出结论。‎ 2、 ‎（2013江苏卷21）卷Ⅱ 附加题 ‎21．D.［选修4-5：不定式选讲］本小题满分10分。‎ 已知＞0，求证：‎ 答案：‎ 21． D证明：‎ ‎∵‎ 又∵＞0，∴＞0，,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎