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  • 2021-05-14 发布

(浙江专版)2020年高考数学一轮复习解三角形及其应用举例 4

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第07节 解三角形及其应用举例 班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.【2018年全国卷II理】1.海上两小岛到海洋观察站的距离都是,小岛在观察站的北偏东,小岛在观察站的南偏东,则与的距离是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎2.一船沿北偏西方向航行,正东有两个灯塔A,B, 海里,航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏东,另一灯塔在船的南偏东,则这艘船的速度是每小时 ( )‎ A. 5海里 B. 海里 C. 10海里 D. 海里 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 如图所示,∠COA=135°,∠ACO=∠ACB=∠ABC=15°,∠OAC=30°,AB=10,∴AC=10.‎ ‎△AOC中,由正弦定理可得,‎ 16‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴这艘船的速度是每小时海里,‎ 本题选择D选项.‎ ‎3.如图,有一长为的斜坡,它的倾斜角为,现要将倾斜角改为,则坡底要加长(  )‎ A. 0.5‎‎ B. ‎1 ‎C. 1.5 D. 32‎ ‎【答案】B ‎【解析】设坡顶为A,A到地面的垂足为D,坡底为B,改造后的坡底为C,根据题意要求得BC的长度,如图 ‎∵∠ABD=,∠C=,‎ ‎∴∠BAC=.‎ ‎∴AB=BC,‎ ‎∴BC=1,‎ 即坡底要加长‎1km.‎ 故选B.‎ ‎4.如图,在海岸线上相距千米的A、C两地分别测得小岛B在A的北偏西方向,在C的北偏西方向,且,则BC之间的距离是 ‎ 16‎ A. 千米 B. 30千米 C. 千米 D. 12千米 ‎【答案】D ‎【解析】依题意得,AC=,sinA=sin(+α)=cosα=. sinB=sin(-2α)=cos2α=2cos2α-1=, 在ΔABC中,由正弦定理得, =12. 则C与B的距离是‎12km.‎ ‎6.如图,在三角形ABC中,点 在 边上,, , ,则的值为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意,根据条件知为等边三角形,则,,由余弦定理,得,即,由正弦定理,得,则,故正确答案为D.‎ ‎7.【山东省青岛市2018年春季高考二模】如图所示,设,两点在河的两岸,一测量者在所在的同侧河岸边选定一点,测出的距离为,,后,就可以计算出,两点的距离为 16‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎8.【2018届湖北省稳派教育第二次联考】如图,在△ABC中,D是AB边上的点,且满足 A. B. ‎ C. D. 0‎ ‎【答案】D 16‎ ‎9.【2018届广西二模】我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”,设三个内角,,所对的边分别为,,,面积为,则“三斜求积公式”为.若,,则用“三斜求积公式”求得的( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由 可得,‎ 由 可得,‎ 整理计算有:,‎ 结合三角形面积公式可得: .‎ 本题选择D选项.‎ ‎10.【2018届安徽亳州市涡阳一中最后一卷】已知锐角的内角为,,,点为上的一点,,,,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析:中,由余弦定理可得,中,由正弦定理得,‎ 16‎ 根据极限位置,可得当时,,‎ 当时,,从而可得的取值范围.‎ 详解:中,由余弦定理可得,‎ ‎ ,,‎ 中,由正弦定理得,,‎ 得,‎ 当时,,‎ 当时,,‎ 为锐角三角形,‎ ‎,‎ 的取值范围为,故选A.‎ 二、填空题:本大题共7小题,共36分.‎ ‎11.【2018届安徽省示范高中(皖江八校)5月联考】如图,《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?意思是:有一根竹子原高一丈(丈尺),现被风折断,尖端落在地上,竹尖与竹根的距离三尺,问折断处离地面的高为__________尺.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析:根据题意画出图形,列出等式关系,联立即可求解.‎ 详解:如图,已知(尺),(尺), , ‎ ‎∴,解得,‎ 因此,解得 ,‎ 故折断后的竹干高为尺.‎ 16‎ ‎12.【2018届吉林省吉大附中四模】为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩 (如图),要测算两点的距离,测量人员在岸边定出基线,测得,,就可以计算出两点的距离为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎13.如图,一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔的南偏西,距灯塔68海里的处,下午2时到达这座灯塔的东南方向处,则该船航行的速度为__________海里/小时.‎ ‎【答案】‎ 16‎ ‎【解析】‎ 如图,在△MNO中,由正弦定理可得,‎ ‎,‎ 则这艘船的航行速度 (海里/小时).‎ ‎14.【2018届贵州省凯里市第一中学《黄金卷》三】如图,为测量一座山的高度,某勘测队在水平方向的观察点, 测得山顶的仰角分别为, ,且该两点间的距离是米,则此山的竖直高度为__________米(用含, , 的式子表达).‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图在中有,则.‎ 在中, ,则 16‎ 故高度: .‎ 故答案为: ‎ ‎15.【2018年衡水金卷调研卷三】某港口停泊两艘船,大船从港口出发,沿东偏北60°方向行驶2.5小时后,小船开始向正东方向行驶,小船出发1.5小时后,大船接到命令,需要把一箱货物转到小船上,便折向驶向小船,期间,小船行进方向不变,从大船折向开始,到与小船相遇,最少需要的时间是__________小时.‎ ‎【答案】3.5‎ ‎【解析】‎ 设港口为O,小船行驶1.5小时到达B,此时大船行驶到A,大船折向按方向行驶,大船与小船同时到达C点时,用时最少.‎ 设从A到C,大船行驶时间为t,则OA=, .由余弦定理得,即 ‎∴,解得 即最少需要3.5小时.‎ ‎16. 如图,一栋建筑物的高为(30-10)m,在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A,塔顶C的仰角分别为15°和60°,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°,则通信塔CD的高为________ m.‎ ‎【答案】60‎ 16‎ ‎【解析】设AE⊥CD,垂足为E,则 在△AMC中, ,‎ 由正弦定理得: ,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 故答案为60.‎ ‎17.【2018届四川省绵阳市三诊】如图,在中, , , 的垂直平分线与分别交于两点,且,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析:连接,因为是中垂线,所以.在中,由正弦定理得到与角的关系.在直角三角形中, ,两者结合可得的大小,从而在中利用正弦定理求得,最后在中利用余弦定理求得 .‎ ‎.‎ 16‎ 详解:由题设,有,所以,故.‎ 又,‎ 所以,而,故,‎ 因此为等腰直角三角形,所以.‎ 在中, ,所以,故,‎ 在中, .‎ 三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎18.【河北省邯郸市2017-2018学年高二下期末】如图,某军舰艇位于岛的的正西方处,且与岛的相距12海里.经过侦察发现,国际海盗船以10海里/小时的速度从岛屿出发沿北偏东30°方向逃窜,同时,该军舰艇从处出发沿北偏东的方向匀速追赶国际海盗船,恰好用2小时追上.‎ ‎(1)求该军舰艇的速度.‎ ‎(2)求的值.‎ ‎【答案】(1)‎14海里/小时;(2).‎ ‎【解析】分析:(1)由题设可以得到的长,在中利用余弦定理可以得到的长,从而得到舰艇的速度;‎ ‎(2)在中利用正弦定理可得的值.‎ 详解:(1)依题意知,,,‎ 在中, 由余弦定理得 ‎,‎ 16‎ 解得,所以该军舰艇的速度为海里/小时.‎ ‎(2)在中,由正弦定理,得,即.‎ ‎19. 如图,是两个小区所在地,到一条公路的垂直距离分别为,两端之间的距离为.‎ ‎(1)某移动公司将在之间找一点,在处建造一个信号塔,使得对的张角与对的张角相等,试确定点的位置;‎ ‎(2)环保部门将在之间找一点,在处建造一个垃圾处理厂,使得对所张角最大,试确定点的位置.‎ ‎【答案】(1)4;(2).‎ ‎【解析】试题分析:‎ ‎(1)利用张角相等的相似性即可确定点P的位置;‎ ‎(2)由题意得到三角函数,换元之后结合对勾函数的性质可得当时满足题意.‎ 试题解析:‎ ‎(1)张角相等,∴,∴‎ ‎(2)设,∴,‎ ‎∴,, ,设,,,,‎ ‎∴ ,,‎ 当且仅当时,等号成立,此时,即 ‎20.如图,在某海滨城市附近的海面上正形成台风。据气象部门检测,目前台风中心位于城市的南偏东方向的海面处,并以的速度向北偏西方向移动.如果台风侵袭的范围为圆心区域,目前圆形区域的半径为,并以的速度不断增大.几小时后该城市开始受到台风侵袭(精确到)?‎ 16‎ ‎【答案】4.1小时.‎ 解:根据题意可设小时后台风中心到达点,‎ 该城市开始受到台风侵袭,如图中,,‎ ‎,,,‎ 由余弦定理得,‎ ‎ ,‎ 化简得,‎ 解得.‎ 答:大约4.1小时后该城市开始受到台风的侵袭。‎ ‎21.【2018届江苏南京溧水高级中学期初模拟】如图,在海岸线一侧处有一个美丽的小岛,某旅游公司为方便游客,在上设立了两个报名点,满足中任意两点间的距离为.公司拟按以下思路运作:先将两处游客分别乘车集中到之间的中转点处(点异于两点),然后乘同一艘轮游轮前往岛.据统计,每批游客处需发车2辆, 处需发车4辆,每辆汽车每千米耗费元,游轮每千米耗费元.(其中是正常数)设∠,每批游客从各自报名点到岛所需运输成本为元.‎ 16‎ ‎(1) 写出关于的函数表达式,并指出的取值范围;‎ ‎(2) 问:中转点距离处多远时, 最小?‎ ‎【答案】(1) ;(2).‎ ‎【解析】试题分析:(1)在中,求出相关的角,利用正弦定理,求出,表示出所需运输成本为元关于的函数表达式;(2)利用函数表达式,求出函数的导数,通过导数的符号,判断单调性求解函数的最值.‎ 试题解析:(1) 由题知在△ACD中,∠CAD=,∠CDA=α,AC=10,∠ACD=-α.‎ 由正弦定理知, ‎ 即CD=, AD=, ‎ 所以S=4aAD+8aBD+12aCD= (12CD-4AD+80)a ‎=a+‎80a =a+‎60a ‎ 16‎ ‎22.【2018届上海市徐汇区二模】如图,某快递小哥从地出发,沿小路以平均速度为20公里小时送快件到处,已知公里,,是等腰三角形,.‎ ‎(1)试问,快递小哥能否在50分钟内将快件送到处?‎ ‎(2)快递小哥出发15分钟后,快递公司发现快件有重大问题,由于通讯不畅,公司只能派车沿大路追赶,若汽车的平均速度为‎60公里小时,问,汽车能否先到达处?‎ ‎【答案】(1)快递小哥不能在50分钟内将快件送到处. ‎ ‎(2)汽车能先到达处.‎ ‎【解析】试题分析:(1)由题意结合图形,根据正弦定理可得,,求得的长,又,可求出快递小哥从地到地的路程,再计算小哥到达地的时间,从而问题可得解;‎ ‎(2)由题意,可根据余弦定理分别算出与的长,计算汽车行驰的路程,从而求出汽车到达地所用的时间,计算其与步小哥所用时间相差是否有15分钟,从而问题可得解.‎ 16‎ ‎(2)在中,由,‎ 得(公里),‎ 在中,,由,‎ 得(公里),- ‎ 由(分钟)‎ 知,汽车能先到达处.‎ 16‎