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- 2021-05-14 发布
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绝密★启用前
揭阳市2014年高中毕业班第一次高考模拟考试
数学(理科) 2014.3.22
本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若复数z满足:,则
A.1 B.2 C. D.5
2.设函数的定义域为,函数的定义域为,则
A. B. C. D.
3.设平面、,直线、,,则“” 是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.下列函数是偶函数,且在上单调递增的是
A. B.
C. D.
5.一简单组合体的三视图如图(1)所示,则该组合体的
体积为
A. B. C. D.
6.如图(2)所示的程序框图,能使输入的x值与输出的y值
相等的x值个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
7.设点是函数图象上的任意一点,
点 (),则|的最小值为
A. B. C. D..
8.定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集,记为,用表示有限集A的元素个数,给出下列命题:①对于任意集合A,都有;②存在集合A,使得;③用表示空集,若则;④若则;⑤若则其中正确的命题个数为
A.4 B.3 C.2 D.1
二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.
(一)必做题(9-13题)
9.若点在函数的图象上,则tan的值
为 .
10.根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机
动车的行驶速度(单位:km/h)绘制的频率分布直方图如
图(3)所示.该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速
度为60 km/h~120 km/h,则该时段内过往的这100辆机
动车中属非正常行驶的有 辆,图中的x值为 .
11.已知向量、满足,且,则与的夹角为 .
12.已知首项为正数的等差数列中,.则当取最大值时,数列的公差
.
13.从中任取一个数x,从中任取一个数y,则使的概率为 .
(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)
14.(坐标系与参数方程选做题)[来已知直线(为参数且)与曲线(是参数且),则直线与曲线的交点坐标为 .
15.(几何证明选讲选做)如图(4),AB是半圆的直径,C是AB
延长线上一点,CD切半圆于点D,CD=2,DE⊥AB,垂足为E,
且E是OB的中点,则BC的长为 .
三.解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知函数
(1)求函数的定义域和最小正周期;
(2)若求的值.
17. (本小题满分12分)
图(5)是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市,并停留3天.
(1)求此人到达当日空气质量重度污染的概率;
(2)设是此人停留期间空气重度污染的天数,求的分布列与数学期望.
18.(本小题满分14分)
如图(6),四棱锥S—ABCD的底面是正方形,侧棱SA⊥底面ABCD,
过A作AE垂直SB交SB于E点,作AH垂直SD交SD于H点,平面
AEH交SC于K点,且AB=1,SA=2.
(1)设点P是SA上任一点,试求的最小值;
(2)求证:E、H在以AK为直径的圆上;
(3)求平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值.
19.(本小题满分14分)
已知正项数列满足:,数列的前项和为,且满足,.
(1) 求数列和的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,求证:.
20.(本小题满分14分)
如图(7)所示,已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E
上的三点,点A是长轴的一个端点,BC过椭圆中心O,
且,|BC|=2|AC|.
(1)求椭圆E的方程;
(2) 在椭圆E上是否存点Q,使得?
若存在,有几个(不必求出Q点的坐标),若不存在,请说明理由.
(3)过椭圆E上异于其顶点的任一点P,作的两条
切线,切点分别为M、N,若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n,证明:为定值.
21.(本小题满分14分)
已知函数
(1)当且时,证明:;
(2)若对,恒成立,求实数的取值范围;
(3)当时,证明:.
揭阳市2014年高中毕业班高考第一次模拟考
数学(理科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数.
一、选择题:DCBD DCCB
解析:5.由三视图知,此组合体为一个长为4,宽为3,高为1的长方体、中心去除一个半径为1的圆柱,故其体积为
6.由框图知,x与y的函数关系为,由得
若,则或,若,则,若,显然,故满足题意的x值有0,1,3,故选C.
7.如图示,点P在半圆C上,点Q在直线上,过圆心
C作直线的垂线,垂足为A,则,故选C.
8.由的定义可知①、④正确,又若则,设则所以②错误,⑤正确,故选B。
二、填空题:9.;10.15、0.0175;11.;12.-3;13.;14.(1,3); 15. .
解析:10.由直方图可知,这100辆机动车中属非正常行驶的有(辆),x的值=.
11.由得
,.
12.设数列的公差为,由得,则,因故,当且仅当,即“=”成立,这时取得最大值,由得,所以。
13.如右图,使是图中阴影部分,故所求的概率
14.把直线的参数方程化为普通方程得,把曲线的参数方程化为普通方程得,由方程组解得交点坐标为(1,3)【或将曲线的参数方程化为普通方程得后将代入解得,进而得点坐标为(1,3)】
15.DE为OB的中垂线且OD=OB,为等边三角形,,
三.解答题:
16.解:(1)由解得,
所以函数的定义域为------------------------2分
---4分
的最小正周期-----------------------------------6分
(2)解法1:由---------------------8分
且,------------------------------------10分
∴------------------------------------12分
解法2:由得,
代入得,-----8分
∴,又,---------------------------------10分
∴------------------------------------12分
17.解:设表示事件“此人于2月日到达该市”( =1,2,…,12).
依题意知,,且.---------------------------------------2分
(1)设B为事件“此人到达当日空气质量重度污染”,则,
所以.
即此人到达当日空气质量重度污染的概率为.--------------------------------------5分
(2)由题意可知,的所有可能取值为0,1,2,3且------------------------------------6分
P(=0)=P(A4∪A8∪A9)= P(A4)+P(A8)+P(A9)=,-------------------7分
P(=2)=P(A2∪A11)= P(A2)+P(A11) =,-------------------------------8分
P(=3)=P(A1∪A12)= P(A1)+P(A12) =,-------------------------------9分
P(=1)=1-P(=0)-P(=2)-P(=3)=,--------------10分
(或P(=1)=P(A3∪A5∪A6∪A7∪A10)= P(A3)+P(A5)+ P(A6)+P(A7)+P(A10)=)
所以的分布列为:
0
1
2
3
P
-----------------------------------------------------------------11分
故的期望.-------------------------------12分
18.(1)将侧面SAB绕侧棱SA旋转到与侧面SAD在同一平面内,如右图示,
则当B、P、H三点共线时,取最小值,这时,的
最小值即线段BH的长,--------------------------------------------1分
设,则,
在中,∵,∴,--------------------2分
在三角形BAH中,有余弦定理得:
∴.------------------------------------------------------------4分
(2)证明:∵SA⊥底面ABCD,∴SA⊥BC,又AB⊥BC,
∴BC⊥平面SAB,又平面SAB,∴EA⊥BC,-------------------------------6分
又∵AE⊥SB,∴AE⊥平面SBC ,-------------------------------------------------------7分
又平面SBC,∴EA⊥EK, -------------------------------------------------------8分
同理 AH⊥KH,∴E、H在以AK为直径的圆上---------------------------------------9分
(3)方法一:如图,以A为原点,分别以AB、AD、AS所在的直线为x、y、z轴,建立空间直角坐标系如右图示,----------------------------------------------------------------------------10分
则S(0,0,2),C(1,1,0),由(1)可得AE⊥SC,AH⊥SC,∴SC⊥平面AEKH,
为平面AEKH的一个法向量,-------------------11分
为平面ABCDF的一个法向量,-------------------12分
设平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的平面角为,
则----------------13分
∴平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值---14分
【方法二: 由可知,故,
又∵面AEKH,
面AEKH, ∴面AEKH. ------------------------10分
设平面AEKH平面ABCD=l,∵面AEKH,
∴-------------------------------------------------------------11分
∵BD⊥AC,∴⊥AC,
又BD⊥SA,∴BD⊥平面SAC,又平面SAC,
∴BD⊥AK, ∴⊥AK,
∴为平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的一个平面角,--------------13分
∴平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.------------------------14分】
19.解:(1)由,得. ---------2分
由于是正项数列,所以.---------------------------------3分
由可得当时,,两式相减得,------------5分
∴数列是首项为1,公比的等比数列,----------------------------------7分
(2)∵---------------------------------8分
方法一:∴
--------------------------------------------------------------11分
---------------------------------------------------------------------------------------14分
【方法二:∵-----------------11分
----------------------------------------------14分】
20.解:(1)依题意知:椭圆的长半轴长,则A(2,0),
设椭圆E的方程为-----------------------2分
由椭圆的对称性知|OC|=|OB| 又∵,|BC|=2|AC|
∴AC⊥BC,|OC|=|AC| ∴△AOC为等腰直角三角形,
∴点C的坐标为(1,1),点B的坐标为(-1,-1) ,---------------------4分
将C的坐标(1,1)代入椭圆方程得
∴所求的椭圆E的方程为----------------------------------------------5分
(2)解法一:设在椭圆E上存在点Q,使得,设,则
即点Q在直线上,-----------------------------------------------------------7分
∴点Q即直线与椭圆E的交点,
∵直线过点,而点椭圆在椭圆E的内部,
∴满足条件的点Q存在,且有两个.------------------------------------------------------9分
【解法二:设在椭圆E上存在点Q,使得,设,则
即,--------①-------------------------------------------------7分
又∵点Q在椭圆E上,∴,-----------------②
由①式得代入②式并整理得:,-----③
∵方程③的根判别式,
∴方程③有两个不相等的实数根,即满足条件的点Q存在,且有两个.---------------9分】
(3)解法一:设点,由M、N是的切点知,,
∴O、M、P、N四点在同一圆上,------------------------------------------10分
且圆的直径为OP,则圆心为,
其方程为,------------------------------11分
即-----④
即点M、N满足方程④,又点M、N都在上,
∴M、N坐标也满足方程---------------⑤
⑤-④得直线MN的方程为,------------------------------12分
令得,令得,----------------------------------13分
∴,又点P在椭圆E上,
∴,即=定值.-----------------------------------14分
【解法二:设点则----------10分
直线PM的方程为化简得--------------④
同理可得直线PN的方程为---------------⑤-------------------11分
把P点的坐标代入④、⑤得
∴直线MN的方程为,------------------------------------------------------12分
令得,令得,--------------------------------------------13分
∴,又点P在椭圆E上,
∴,即=定值.---------------------------------------------14分】
21.(1)证明:要证,即证,--------------------1分
令则------------3分
∴在单调递增,,
,即成立.----------------------4分
(2)解法一:由且可得---------------------------------------5分
令---------------------------------------------------------6分
由(1)知-----------------------------------8分
函数在单调递增,当时,
.----------------------------------------------------------9分
【解法二:令,则,-------------------5分
当时,,函数在上是增函数,有,------6分
当时,∵函数在上递增,在上递减,
对,恒成立,只需,即.---------------7分
当时,函数在上递减,对,恒成立,只需,
而,不合题意,-----------------------------------------------------------8分
综上得对,恒成立,.------------------------9分】
【解法三:由且可得---------------5分
由于表示两点的连线斜率,-----------------6分
由图象可知在单调递减,
故当时,--------------------------------8分
即-------------------------------------------------9分】
(3)当时,则,
要证,即证--------------------10分
由(1)可知又
-------------11分
∴
∴ ,-------------------------------------------13分
故得证.------------------------------------------14分