高考备考数学解题能力快速提升 34页

高考备考精品：数学解题能力快速提升 一．不等式解题方法 一、从与的大小说起 ‎【引例】 正实数中，对任意a，b，m，都有 这就是“分数的基本性质”：分数的分子和分母乘以同一个正数，其值不变.‎ 这，连小学生都知道. 但， 我们的话题却要从这儿开始.‎ ‎【问题】对以上“性质”，如果将冒号后的文字改变一个字，将“乘”改成“加”，即变成    这里的等号还能成立吗？请看下例.‎ ‎【例1】若b>a>0，m>0，则有 A.      B.     C.      D.‎ ‎【解答】 （淘汰法）令a=1，b=2，m=3  淘汰B，C，D，答案为A.‎ ‎【例2】（变例1为解答题）若b>a>0，m>0，试比较和的大小.‎ ‎【解1】 （比较法  作差—变形—判定符号）‎ 因为  ‎ ‎ ‎ ‎【解2】 （综合法 由因推果  由整式推出分式）‎ a）‎ ‎【说明】 a放大为b，则缩小为，结果是分值缩小.‎ 将缩成，目标是“约”去m.‎ ‎ ‎ ‎【解5】 （放缩法  从左到右）‎ ‎（ <）‎ ‎【说明】 “最后”令kb=m的合理性来自正数k的任意性.事实上，我们可以提前设置m=kb.‎ 将放成，目标是“添”上m.这里的第二步利用了连比定理.‎ 放缩法实为对比较法、分析法、综合法等基本方法所得简单结果的一种整合运用.‎ ‎ ‎ ‎【小结】 证不等式，比较法是基础，放缩法是整合，方法网络图如下：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【练习】 正实数中，求证 ≥‎ ‎（Ⅰ）用比较法证明；  （Ⅱ）用综合法证明；‎ ‎（Ⅲ）用分析法证明；  （Ⅳ）用放缩法证明.‎ ‎ ‎ 二、比大小 从方程、函数到不等式 还是那个题目 b>a>0，m>0，求证 ‎【法1】 （等式法  不等式变为方程）‎ ‎       设  ‎ ‎       得  ‎ ‎       即 x>0，故有  .‎ ‎【说明】 这种等式法实为比较法的一种变式. 即作差法的另种形式.‎ ‎ ‎ ‎【法2】 （等式法 未知数论设作因子）设  ‎ ‎       则        所以 ‎ ‎【说明】 这种等式法为比较法的另一种形式. 即作商法的另种形式.‎ ‎ ‎ ‎【法3】 （函数法 视m为x，）‎ ‎      ‎ 设有函数   ‎ ‎      函数在［0，m］上是减函数，故 是［0，m］上的增函数.（图右，其中a=1，b=2）‎ f（0）0）是 ‎（0，+∞）上的减函数.‎ ‎【法4】 （不等式法  把证不等式化为解不等式）‎ ‎     解不等式 ‎ 即 x=m为正数时，原不等式真.‎ ‎【说明】 证不等式可视为一种特殊形式的解不等式.如证a2-a+1>0，即x2-x+1>0的解为R，视参数为变量. 解出的参数值域符合题设的取值范围即可.‎ ‎【法5】 （极限法 把参数m作极端处理）‎ ‎  &nbs,p;      当m→0时，‎ ‎         当m→∞时，‎ ‎        故有  ‎ ‎【说明】 对于解答题来讲，这种解法的理由不充分，因为对于函数f (m)=的单调性并没讲清楚，没有交待f(m)是上的增函数.‎ 如果是确定性的选择题例1，即与的大小关系是确定的，不需要讨论m的范围时，则这种极限法是很简便的.‎ ‎【小结】 真分数的“放大性”：真分数的分子和分母加上同一个正数，其值变大.‎ 以这种“放大性”为基础，可推出许多重要的分式不等式，如 ‎（1）|a+b|≤|a|+|b|≤≤‎ ‎（2）数列an=是增数列；而数bn=是减数列.‎ ‎【练习】 1.正数中，再证≥.分别用函数法、方法程和解不等式法.‎ ‎2.用不同的方法证明≥.‎ ‎3.用不同的方法证明≥.‎ 三、千方百法  会战高考不等式 ‎【考题1】 （2006年赣卷第5题）‎ 对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）f¢（x）³0，则必有（   ）‎ A．  f（0）＋f（2）<‎2f（1）            B.  f（0）＋f（2）£‎2 f（1）‎ C. f（0）＋f（2）³‎2f（1）            D. f（0）＋f（2）>‎2f（1）‎ ‎ ‎ ‎【分析】 从已知条件（x-1）f ¢ (x)≥0出发，可得如下的不等式组 或. 因此f(x)有两种可能：其一，f (x)为常数；其二，f(x)在区间上为减函数，在上为增函数.‎ ‎ ‎ ‎【解答】 （综合法）依题意，当x³1时，f¢（x）³0，函数f（x）在[1，＋¥上是增函数；当x<1时，f¢（x）£0，f（x）在（－¥，1）上是减函数．‎ 所以 f（0）³f（1），f（2）³f（1），所以f(0)+f (2)≥‎2f (1),‎ 当f (x)为常数函数时即f (x)=a(常数)，f ¢（x）=0，满足不等式(x-1) f¢（x）≥0成立.‎ 此时f (0)+f (2)=‎2f(1)，所以f（0）＋f（2）≥‎2f（1）.故选C.‎ ‎【说明】 本题如用分析法，即各选项反推，显然麻烦.‎ ‎ ‎ ‎【考题2】 （2002年苏卷第22题 不等式与函数综合  不等式为主）‎ 已知a>0，函数f(x)=ax-bx2.‎ ‎（Ⅰ）当b>0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明a≤；‎ ‎（Ⅱ）当b>1时，证明：对任意x∈［0,1］，|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤；‎ ‎（Ⅲ）当00，b>0，∴a≤.‎ ‎【解Ⅱ】 先证必要性：‎ 对任意x∈［0,1］，|f (x)|≤1-1≤f(x)，据此可以推出-1≤f (1)，即a-b≥-1，∴a≥b-1；‎ 对任意x∈［0,1］，|f (x)|≤‎1‎f (x)≤1，因为b>1，可以推出≤1，‎ 即  a·-1≤1，∴ a≤；∴ b-1≤a≤.‎ 再证充分性：因为b>1，a≥b-1，对任意x∈［0,1］，可以推出ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x≥-1.‎ 即  ax-bx2≥1；‎ 因为b>1，a≤，对任意x∈［0,1］，可以推出ax-bx2≤≤1，即 ax-bx2≤1.‎ ‎∴-1≤f(x)≤1.‎ 综上，当b>1时，对任意x∈［0,1］，|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤.‎ ‎【解Ⅲ】因为a>0，00，0N时，对任意b>0，都有 ‎【分析】 ①本题的第（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）小题之间成梯式结构，（Ⅰ）是（Ⅱ）和（Ⅲ）的基础.从策略上看，如在（Ⅰ）上遇着困难，可承认（Ⅰ ‎）的结论，并利用它迅速地解出（Ⅱ）和（Ⅲ）来.此题恰恰是第（Ⅰ）难，而（Ⅱ）、（Ⅲ）容易.‎ ‎②对于（Ⅰ），已知为两个不等式，而求证一个不等式.其基本思路是，对已知不等式用综合法“下推”，对求证不等式用分析法“上追”. 如：‎ 欲使  ‎ 只须  = 此时，“综合下推”的方向就清楚了.‎ ‎【解Ⅰ】 ∵当n≥2时，，‎ ‎∴，即，‎ 于是有，，…，，‎ 所有不等式两边相加可得 ‎ 由已知不等式知，当n≥3时有 ‎∵，∴‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎【解Ⅱ】 ≤ 又an>0. 故有=0.‎ ‎【解Ⅲ】 （放大为了化简） 令，‎ 则有，‎ 故取N=1024，可使当n>N时，都有 ‎ ‎ ‎【说明】‎ ‎ 本小题是条件不等式的证明，已知2个不等式，求证1个不等式.在分析——综合——放缩三法联合证明综合大题时，优先考虑分析法.随时思考待证的不等式需要什么，需要的东西如何从已知的不等式中得到.‎ ‎ ‎ ‎【练习】 对考题3，已知条件不变，对设问作如下改写 ‎（Ⅰ）设，利用数学归纳法证不等式 ‎（Ⅱ）利用上述结果，证明不等式 二．函数最值的求解方法 一、二次函数最值寻根 初中生研究二次函数的最值，是从配方法开始的.‎ 设a>0，f(x)=ax2+bx+c=‎ 初三学生已知，二次函数f(x)，在a>0时，有最小值；a<0时，有最大值.‎ 到了高中，学生更关心二次函数得到最值的条件，即上述不等式中等号成立的条件：.这个条件——自变量x的取值，称作二次函数最值对应的“最值点”（以下简称“最点”），俗称函数“最值的根”.‎ 对于高一学生，老师把二次函数的“最值”与二次函数的“单调区间”相捆绑，要求用比较法探索“最点”.‎ ‎ ‎ ‎【例1】 已知a>0，探索二次函数y = ax2+bx+c的单调区间.并指出函数的最值点.‎ ‎【解答】 任取 x10 ) 有减区间和增区间.‎ 显然，二次函数的最值点为，函数有最小值.‎ ‎【评说】 从这里看到，二次函数的最点，就是两个“异性”单调区间的交接点.‎ ‎ ‎ ‎【练1】  试研究一次函数没有最点，从而没有最值.‎ ‎【解】  任取，则有 ‎（1）时，，函数在R上为增函数.‎ 时，;时，.‎ ‎（2）时，，函数在R上为减函数.‎ 时，;时，.‎ 所以，一次函数在R上没有最点，从而一次函数无最值（既无最大值，也无最小值）.‎ ‎【说明】  一次函数定义在R上，定义域内找不到这样的“点”，使得该点两边邻域是异性的两个单调区间.本例从反面看到：最点是单调区间的“变性”的“转折点”.‎ ‎ ‎ 二、从到 高中生将“最点”变形为，并由此得到一个一次函数.‎ 精明的学生发现，这个一次函数与对应的二次函数有某种“关系”，甚至有学生在偷偷地利用这种“关系”.‎ 这种“关系”到了高三才彻底解决：函数正是函数的导函数，即.‎ 函数求“最根”的问题，正好是的导函数的“求根”问题.‎ 导函数的根，就是的驻点.很清楚，二次函数的驻点就是二次函数的最点.‎ 问题变得这么明朗：求的最点，就是求的根.俗说中“最根”，真的与“根”字巧合了.‎ ‎【例2】  设，在同一坐标系中，分别作得和的图象（如右）.‎ 试说明的正负性与单调性的对应关系.‎ ‎【解析】  与相交于.‎ ‎ ‎ ‎（1）时，,递减；‎ ‎ ‎ ‎（2）时，,递增；‎ ‎（3）时，,得到最小值.‎ 故对应关系为：（1）负区与的减区对应；‎ ‎             （2<, SPAN style="COLOR: black; FONT-FAMILY: 宋体; mso-ascii-font-family: Times New Roman; mso-hansi-font-family: Times New Roman">）正区与的增区对应；‎ ‎             （3）零点与的最值对应.‎ ‎【练2】  已知二次函数的导函数图象如右图的直线，则有 ‎ ‎ ‎（1）=（   ），增区间为（    ），减区间为（    ）；‎ ‎ ‎ ‎（2）的最（    ）值为（     ）；‎ ‎（3）若，求的解析式.‎ ‎【解答】  从右图上看到 ‎（1）的根为，故有=1；‎ ‎（2）时，>0，故的增区间为；‎ ‎     时，<0，故的减区间为；‎ ‎（3）有最大值，最大值为.‎ ‎（4）‎ 令，图上知；‎ 令，得.‎ 故有.‎ ‎【说明】  注意与并非一一对应，每一个这样的都对应着一个确定的，反过来，每一个这样的却对应着无穷个，它们只是相差一个常数c.这就是本题中，为什么已经知道了的图象后，还要给出时才能确定的解析式.‎ ‎ ‎ 三、三次函数的驻点、极点和最点 一次函数没有驻点，自然没有最点.‎ 二次函数有一个驻点，这个驻点就是二次函数的最点.‎ 三次函数呢？‎ 三次函数的导函数是二次函数，这个二次函数根的情况有3种：（1）有2个相异的根，（2）有2个相同的根；（3）无根.‎ 如果三次函数的导函数无根，则无驻点，自然也无最点，也无最值.‎ 如果有根呢？自然一定有驻点.‎ 那么，这些驻点是否为其最点呢？‎ ‎ ‎ ‎【例3】  研究函数的驻点、极点和最点.‎ ‎【解析】  令，得，为的2个驻点.‎ ‎（1）时，>0，函数递增；‎ ‎（2）时，<0，函数递减；‎ ‎（3）时，>0，函数递增.‎ 故在有极大值，在上有极小值.‎ 故，是的2个极点，前者为极大点，后者为极小点.‎ 又时，，故函数既无最大值，也无最小值.从而无最点.‎ ‎【说明】  这是三次函数有2个驻点，且都为极点的例子.而三次函数无驻点或有驻点但不是极点的例子如下（练3）.‎ ‎【练3】  研究下列三次函数的驻点、极点、最点和单调区间.‎ ‎（1）         （2）‎ ‎【解析】  （1）,函数无驻点，无极点，无最点. 是上的增函数.‎ ‎（2）,‎ 有2个重合的驻点.‎ ‎（1）当时，，函数递增，‎ ‎（2）当时，，函数也递增.‎ 因此，驻点不能分出两个“相异”的单调区间，故不是的极点，无极点，当然也无最点.‎ 是R上的增函数.‎ ‎【说明】  函数相重合的两驻点不成为极点，可理解为它们消去了“中间”的一个“相异”的单调区间后，将两边的“同性”的单调区进行了链接而成为一个单调区间.‎ 经过以上的讨论得知，定义在R上的三次函数，不管它有无驻点或极点，它是不会有最点的。‎ ‎ ‎ 四、极点何时为最点 不重合的2个驻点可以分别成为极点.那么，在什么条件下极点成为最点呢？‎ 驻点是极点的必要不充分条件，那么极点是最点的什么条件呢？‎ 我们研究，极点何时成为最点.‎ ‎【例4】  已知的导函数，试探究的极点和最点.‎ ‎【解析】  .‎ 有3个相异的根：它们都是的极点.‎ 易知原函数  （R）‎ 易知为的减区间，为的增区间，为的减区间，为的增区间.‎ 的4个单调区间依次成“减——增——减——增”的顺序，使得首、尾两个区间的单调性相异，从而使得在“两次探底”中得到最（小）点.‎ 比较三个极值的大小：‎ 得的最小值为，对应两个最小点和1.‎ ‎【说明】  定义在一个开区间上的可导函数如果有n个极点：x1‎ 杨辉三角形本来就是二项式展开式的算图. 对杨辉三角形熟悉的考生，比如他熟悉到了它的第6行：‎ ‎1，6，15，20，15，6，1‎ 那么他可以心算不动笔，对本题做到一望而答.‎ 杨辉三角形在3年内考了5个（相关的）题目，这正是高考改革强调“多想少算”、“逻辑思维与直觉思维并重”的结果. 这5个考题都与二项式展开式的系数相关，说明数形结合思想正在高考命题中进行深层次地渗透.‎ 四．函数周期性的求解 ‎1、正弦函数的周期 三角函数，以正弦函数 y = sin x为代表，是典型的周期函数.‎ 幂函数 y = xα 无周期性，指数函数 y = ax 无周期性，对数函数 y =logax无周期，‎ 一次函数 y = kx+b、二次函数 y = ax2+bx+c、三次函数 y = ax3+bx2 + cx+d 无周期性.‎ 周期性是三角函数独有的特性.‎ ‎ ‎ ‎（1）正弦函数 y=sin x 的最小正周期 在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线 段MP.‎ 正弦函数的周期性 动点P每旋转一周，正弦线MP的即时位置 和变化方向重现一次.‎ 同时还看到，当P的旋转量不到一周时，正 弦线的即时位置包括变化方向不会重现.‎ 因此，正弦函数y=sinx的最小正周期2π.‎ ‎ ‎ ‎（2）y=sin（ωx）的最小正周期 设ω>0，y =sin（ωx）的最小正周期设为L .‎ 按定义 y = sin ω（x+L） = sin（ωx+ ωL） = sinωx .‎ 令ωx = x    则有 sin （x + ωL） = sin x 因为sinx最小正周期是2π，所以有 例如 sin2x的最小正周期为 sin的最小正周期为 ‎ ‎ ‎（3）正弦函数 y=sin（ωx+φ） 的周期性 对正弦函数sinx的自变量作“一次替代”后，成形式y = sin （ωx+φ）.‎ 它的最小正周期与y = sinωx的最小正周期相同，都是.‎ 如的最小周期与 y = sin（3x）相同，都是.‎ 于是，余弦函数的最小正周期与sinx的 最小正周期相同，都是2π.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2、复合函数的周期性 将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x→ωx，sinx →sinωx 后者周期变为 而在以下的各种变换中，如 ‎（1）初相变换sinωx → sin（ ωx+φ）；‎ ‎（2）振幅变换sin（ωx +φ）→ Asin（ ωx+φ）；‎ ‎（3）纵移变换  Asin（ ωx +φ） → Asin（ ωx+φ）+m；‎ 后者周期都不变，亦即 Asin（ ωx +φ） +m与sin（ωx）的周期相同，都是.‎ 而对复合函数 f （sinx）的周期性，由具体问题确定.‎ ‎ ‎ ‎（1）复合函数 f（sinx） 的周期性 ‎【例题】 研究以下函数的周期性：‎ ‎（1）2 sinx；       （2）‎ ‎（2）的定义域为［2kπ，2kπ+π］，值域为［0，1］，作图可知， 它是最小正周期为 ‎2π的周期函数.‎ ‎【解答】 （1）2sinx 的定义域为R，值域为，作图可知，它是最小正周期为2π的周期函数.‎ ‎【说明】 从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，loga x，sinx，，‎ sin（sinx）都是最小正周期2π的周期函数.‎ ‎ ‎ ‎（2）y= sin3 x 的周期性 对于y = sin3x =(sinx)3，L=2π肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢？‎ 我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 图上看到，y = sin3x 没有比2π更小的周期，故最小正周期为2π.‎ ‎ ‎ ‎（3）y= sin2 x 的周期性 对于y = sin2x = (sinx)2，L=2π肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2π？‎ 可以通过作图判定，分别列表作图如下.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 图上看到，y = sin2x 的最小正周期为π，不是2π.‎ ‎ ‎ ‎（4）sin2n x 和sin2n-1 x 的周期性 y = sin2x 的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到.‎ 因为 cos2x 的周期是π，故 sin2x的周期也是π.‎ sin2x的周期，由cosx的2π变为sin2x的π. 就是因为符号法“负负得正”所致.‎ 因此，正弦函数sinx的幂符合函数sinmx，当m=2n时，sinm x的最小正周期为π；m = 2n–1时，‎ sinmx的最小正周期是2π.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（5）幂复合函数举例 ‎【例1】 求 y =|sinx|的最小正周期.‎ ‎ ‎ ‎【解答】 最小正周期为π.‎ ‎ ‎ ‎【例2】 求的最小正周期.‎ ‎【解答】 最小正周期为2π.‎ ‎ ‎ ‎【例3】 求的最小正周期.‎ ‎【解答】 最小正周期为π.‎ ‎【说明】 正弦函数sinx的幂复合函数.‎ 当q为奇数时，周期为2π；q为偶数时，周期为π.‎ ‎3、周期函数的和函数 两个周期函数，如 sin x 和 cosx ，它们最小正周期相同，都是 2π. 那么它们的和函数，‎ 即 sinx + cos x的最小正周期如何？‎ 和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况.‎ 对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如何？‎ ‎ ‎ ‎（1）函数 sinx + sin2 x 的周期性 sin x的最小正周期为2π，sin2x的最小正周期是π，它们之间谁依赖谁，或依赖一个第三者？‎ 列表如下.‎ ‎ ‎ 表上看到函数sinx+sin2x的最小正周期是2π.‎ ‎ ‎ ‎（2）函数 sinx + sin2x 的周期性 依据上表，作sinx+sin2x 的图像如右.‎ 从图上看到，函数的最小正周期为2π. 由sinx，‎ sin2x的最小正周期中的大者决定，因为前者是后 者的2倍.从图上看到，sinx+sin2x仍然是个“振动 函数”，但振幅已经不是常数了.‎ ‎ ‎ ‎（3）函数sinx+sinx的周期性 sinx的最小正周期为2π，sinx的最小正周期是3π.‎ 们之间的和sinx + sinx的最小正周期也由“较大的”决定吗？即“和函数”的周期为3π吗？‎ 不妨按周期定义进行检验. 设 则x0 +3π=‎ 因此3π不是sinx + sinx的最小正周期.‎ 通过作图、直观看到，sinx+sinx的最小正周期为6π，即sinx和sinx最小正周期的最小倍数.‎ ‎4、周期函数在高考中 三角函数是高考命题的重要板块之一，小题考，大题也考，比分约占高考总分的七分之一，与立体几何相当. 与立几不同的是，它还与函数、方程、不等式、数列、向量等内容综合.‎ 正弦函数是三角函数的代表，而周期性又是正弦函数的特性.‎ 关系到正弦函数的试题，有2种形式.‎ ‎（1）直接考，求正弦函数的最小正周期.‎ ‎（2）间接考，考周期在正弦函数性质中的应用. 求单调区间，求最值，简单方程的通解等.‎ ‎ ‎ ‎（1）求正弦函数的周期 ‎【例1】 函数 y =|sin |的最小正周期为 ‎（A）          （B）π           （C）2π            （D）4π ‎【解答】‎ 最小正周期是 最小正周期的一半，即2π. 答案为（C）‎ ‎【说明】 图象法判定最简便，|sin x|的图象是将sin x的图象在x轴下方部分折到x轴上方去.‎ 倍角法定判定最麻烦 ‎【解答】 （1）y = 2cos2x + 1的最小正周期由cos2x决定 ‎ ‎ ‎（2）求正弦函数的周期 ‎【例2】 （1）y =2cos2x+1的最小正周期为                         .‎ ‎（2）y =|sinx + cosx|的最小正周期为                       .‎ ‎【解答】 （1）y = 2cos2x + 1的最小正周期由cos2x决定，故答案为π.‎ ‎（2）   故答案为π.‎ ‎【说明】 都可看作sinx的幂函数的复合函数.‎ ‎ ‎ ‎（3）函数周期性应用于求值 ‎    【例题】 f (x)是R上的偶函数，且是最小正周期为π的周期函数.‎ ‎【解答】‎ ‎【说明】 周期性应用于区域转化. 将“无解析式”的区域函数转化到“有解析式”的区间上求值.‎ 若               时 f (x) = sinx    试求           的值.‎ ‎ ‎ ‎（4）函数周期性应用于求单调区间 ‎【例题】 x∈R，求函数 y =sin2x + sinx cosx+2cos2x 的单调增区间.‎ ‎    【解答】‎ 函数的最小正周期为π.‎ ‎    令       得 ‎ 因为函数周期为π，故函数的单调增区间为 .‎ ‎【说明】 先求包含零点的增区间，再用最小正周期求单调增区间的集合.‎ 周期函数在高考中 ‎ ‎ ‎（5）周期性应用于求函数零点 ‎【例题】 已知函数 .‎ ‎【解答】  ‎ ‎           令            得 ‎ ‎    故交点横坐标的值的集合为 .‎ ‎【说明】 先求绝对值最小的解，再利用最小正周期求“通解”.‎ ‎ ‎ ‎5、高考史上的周期大难题 高考史上第一次“周期大难题”出现在恢复高考后的第3年，即1980年的理科数学卷上.‎ 本题排在该卷的第六大题上. 在有十个大题的试卷上，这是个中间位置，然而，从当年的得分情况来看，本题的难度超过了包括压轴题和附加题在内的所有题目. 这点为命题人事先未能预料.‎ 后来分析，该题的难点有三 .‎ ‎（1）函数抽象，导致周期中含有参数；（2）求参数范围，与解不等式综合；（3）求最小正整数解，连命题人自拟的“标答”都含糊不清. 20多年来数学界质疑不断.‎ ‎ ‎ ‎【考题】设三角函数 ，其中k≠0.‎ ‎（1）写出 f (x)极大值M、极小值m与最小正周期;‎ ‎（2）试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数 f (x)至少有一个值是M与一个值是m.‎ ‎【解答】 （1） M=1，m = -1， .‎ ‎ ‎ ‎（2）f (x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m .‎ 而任意两个整数间的距离都≥1因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m，必须且只须使f (x)的周期≤1即：k=32就是这样的最小正整数.‎ ‎ ‎ ‎6、高考史上的周期大错题 中学教材上的周期函数，一般都是简单和具体的函数. 关于最小正周期的求法，也是一些感性的结果；没有系统和完整“最小正周期”的系统研究.‎ 然而，随着“抽象函数”的不断升温，对周期函数周期的考点要求越来越高.‎ ‎2006年福建理数卷出现的“周期大错题”正是这种盲目拔高的必然结果.‎ ‎ ‎ ‎【例题】 f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）=0，则方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 A.2                 B.3                C.4                  D.5‎ ‎【说明】  这是2005年福建卷（理）第12题，命题组提供的答案是D，即答案为5. 答案D从何而来？以下，就是“D”的一种解法.‎ ‎【解答】 f (x)周期为3，由  f (2)=0，得  f (5) = f (2)=0，得 ‎ f (-1)= f (2-3) = f (2)=0，得  f (-4) = f (2-6) = f (2)=0‎ ‎ f (x)为奇函数，得  f (1) = - f (-1) =0       f (4)= - f (-4)=0，得 ‎ f (-0)= - f (0)，得  f (0)=0       f (3)= f (3+0)= f (0)=0‎ 于是，求得 f (x)=0的解为：1、2、3、4、5. 共5个解，答案为D.‎ ‎【讨论】 除了上述解法得  f (x)=0的5个解外，还有如下的解.‎ 根据方程  f (x)=0的定义， x = 1.5 和 x =4.5 也是方程的解，证明如下：‎ 由  f (x)的周期性，知  f (-1.5)= f (1.5)       （1）‎ 由  f (x)的奇偶性，知  f (-1.5) = - f (1.5)     （2）‎ 从而有    f (1.5)=0，f (4.5) = f (1.5)=0.‎ 所以，1.5和4.5也是方程 f (x)=0的解.于是，方程的解共有7个：即是1、1.5、2、3、4、4.5、5.‎ ‎【思考】 按上面讨论的结果，方程 f (x) = 0的解至少有7个. 而原题的四个选项支中均没有这个答案. 命题人给定的答案D是错的.‎ 高考史上的周期大错题 ‎ ‎ ‎【实验检验】 f (x)同时满足4个条件：（1）定义在R上；（2）奇函数；（3）周期为3；（4）f (2) =0. 据此，我们找到  f (x)的一个具体例子：‎ 并在区间（0，6）上找到 f (x)=0的7个解，列表如下：‎ ‎ ‎ 这7个解即是1，1.5，2，3，4，4.5，5.‎ ‎ ‎ 函数 在一个周期［0，3］上的图像如右. 图像与 x 轴有5个交点，故在［0，6］有9个交点，从而在（0，6）上有7个交点.‎ ‎【反思】 命题人的错误自然出在疏忽二字上. 实在地，本题较难，首先难倒了命题人自己.‎ 严格地讲，试题“超纲”. 对两个周期函数的和函数，其最小正周期是它们的“最小公倍数”——这本身就没有进行过证明，对某些具体函数可以具体分析，但对抽象函数来讲，却没有理论依据. 而本题，又恰恰是个抽象函数，而且是个综合问题. 命题出错似乎是必然的.‎