千题百炼——高考数学个热点问题二第炼向量的模长问题几何法 7页

第34炼 向量的模长问题——几何法 一、基础知识：‎ ‎1、向量和差的几何意义：已知向量，则有：‎ ‎（1）若共起点，则利用平行四边形法则求，可得是以为邻边的平行四边形的对角线 ‎（2）若首尾相接，则利用三角形法则求出，可得，围成一个三角形 ‎2、向量数乘的几何意义：对于 ‎（1）共线（平行）特点：与为共线向量，其中时，与同向；时，与反向 ‎（2）模长关系：‎ ‎3、与向量模长问题相关的定理：‎ ‎（1）三角形中的相关定理：设三个内角所对的边为 ‎① 正弦定理：‎ ‎② 余弦定理：‎ ‎（2）菱形：对角线垂直平分，且为内角的角平分线 特别的，对于底角的菱形，其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形。‎ ‎（3）矩形：若四边形的平行四边形，则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件 ‎4、利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长 二、典型例题：‎ 例1：（2015届北京市重点中学高三8月开学测试数学试卷）已知向量的夹角为，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 思路：本题利用几何图形可解，运用向量加减运算作出如下图形：可知 ‎，只需利用余弦定理求出 即可。‎ 解：如图可得：，在中，有： ‎ 即： ‎ 解得或（舍）‎ 所以，‎ 答案：选 ‎ 例2：若平面向量两两所成的角相等，且，则等于（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 思路：首先由两两所成的角相等可判断出存在两种情况：一是同向（如图1，此时夹角均为0），则为 ，另一种情况为两两夹角 （如图2），以为突破口，由平行四边形法则作图得到与夹角相等，（底角为的菱形性质），且与反向，进而由图得到，选C 答案：C 例3：已知向量，且，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 思路：先作出，即有向线段，考虑，将的起点与重合，终点绕旋转且，则即为的长度，通过观察可得与共线时达到最值。所以，且连续变化，所以 的取值范围是 ‎ 答案：C 例4：设是两个非零向量，且，则_______‎ 思路：可知为平行四边形的一组邻边和一条对角线，由可知满足条件的只能是底角为，边长 的菱形，从而可求出另一条对角线的长度为 ‎ 答案： ‎ 例5：已知为平面向量，若与的夹角为，与的夹角为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 思路：可知为平行四边形的一组邻边及对角线，通过作图和平行四边形性质得：在中，，由正弦定理可得：，即 答案：D 例6：已知是单位向量，且的夹角为，若向量满足，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 思路：本题已知模长且夹角特殊，通过作图可得为模长为，设，则可得且，而可视为以共起点，终点在以起点为圆心，2为半径的圆上。通过数形结合可得的最大值为（此时的终点位于点）‎ 答案：A 例7：在中，，设是的中点，是所在平面内的一点，且，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 思路：本题的关键在于确定点的位置，从而将与已知线段找到联系，将考虑变形为，即，设，则三点共线，且，所以由平行四边形性质可得： ‎ 答案：B 例8：已知向量，对任意的，恒有，则的值为________‎ 思路：本题以作为突破口，通过作图设，为直线上一点，则有。从而可得，即，所以点为直线上到距离最短的线段，由平面几何知识可得最短的线段为到的垂线段。所以，即，所以有 答案：0‎ 小炼有话说：本题若用图形解决，找到在图上的位置和两个向量的联系是关键 例9：已知平面向量满足，且，若向量的夹角为，则的最大值是_________‎ 思路：由条件可得夹角的余弦值，若用代数方法处理夹角的条件，则运算量较大。所以考虑利用图形，设，则，即，从而，可判定四点共圆，则的最大值为四边形外接圆的直径，即的直径。在中，由余弦定理可得：，所以，由正弦定理可得：，即 答案：‎ 小炼有话说：若条件中向量的夹角为特殊角且很难用数量积，模长进行计算时，可考虑寻找几何图形进行求解。‎ 例10：（2010年，浙江，16）已知平面向量满足 ，且与的夹角为，则的取值范围是___________‎ 思路：本题很难找到与数量积相关的条件，那么考虑利用图形辅助求解。从图中可观察到构成，，从而可利用正余弦定理求出即的取值范围 解：在中，由正弦定理可得： ‎ ‎ ‎ 而 ‎ 答案：的取值范围是 小炼有话说：例题中的部分问题也可采用模长平方的方式，从而转化成为数量积求解。具体解法如下：‎ 例1：解：‎ ‎，解得 例2：解：‎ 夹角相同 当同向时，可得，所以 当两两夹角时，可得 ‎，所以 综上所述：或 例3：解：‎ 因为 即 例4：解：可得 代入得 ‎ 例8：解：以为原点，为轴建立直角坐标系。所以，设，则，由可得：，所以 因为为中点 ‎ 例9：解：‎ 对恒成立 即 ‎，所以