全国卷高考数学试卷ⅰ文 16页

‎2005年高考数学全国卷Ⅰ（文）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．（5分）设直线l过点（﹣2，0），且与圆x2+y2=1相切，则l的斜率是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎±1‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下面论断正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎∁IS1∩（S2∪S3）=∅‎ B．‎ S1⊆（∁IS2∩∁IS3）‎ ‎　‎ C．‎ ‎∁IS1∩∁IS2∩∁IS3=∅‎ D．‎ S1⊆（∁IS2∪∁IS3）‎ ‎　‎ ‎3．（5分）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ ‎3‎ C．‎ ‎4‎ D．‎ ‎5‎ ‎　‎ ‎5．（5分）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知双曲线的一条准线为，则该双曲线的离心率为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）当0＜x＜时，函数的最小值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ C．‎ ‎4‎ D．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）反函数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）设0＜a＜1，函数f（x）=loga（a2x﹣2ax﹣2），则使f（x）＜0的x的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（﹣∞，0）‎ B．‎ ‎（0，+∞）‎ C．‎ ‎（﹣∞，loga3）‎ D．‎ ‎（loga3，+∞）‎ ‎　‎ ‎10．（5分）在直角坐标平面上，不等式组所表示的平面区域面积为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎3‎ ‎　‎ ‎11．（5分）在△ABC中，已知tan=sinC，给出以下四个论断：‎ ‎①tanA•cotB=1，‎ ‎②1＜sinA+sinB≤，‎ ‎③sin2A+cos2B=1，‎ ‎④cos2A+cos2B=sin2C，‎ 其中正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎①③‎ B．‎ ‎②④‎ C．‎ ‎①④‎ D．‎ ‎②③‎ ‎　‎ ‎12．（5分）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是△ABC的（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 三个内角的角平分线的交点 B．‎ 三条边的垂直平分线的交点 ‎　‎ C．‎ 三条中线的交点 D．‎ 三条高的交点 ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13．（4分）若正整数m满足10m﹣1＜2512＜10m，则m=　_________　．（lg2≈0.3010）‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（x﹣）4的展开式中的常数项为　_________　．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法共有　_________　种．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则：‎ ‎①四边形BFD′E一定是平行四边形；‎ ‎②四边形BFD′E有可能是正方形；‎ ‎③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；‎ ‎④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．‎ 以上结论正确的为　_________　．（写出所有正确结论的编号）‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分74分）‎ ‎17．（12分）设函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线．‎ ‎（Ⅰ）求φ，并指出y=f（x）由y=sin2x作怎样变换所得．‎ ‎（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；‎ ‎（Ⅲ）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；‎ ‎（Ⅱ）求AC与PB所成的角；‎ ‎（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞﹣2x的解集为（1，3）．‎ ‎（Ⅰ）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．‎ ‎（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；‎ ‎（Ⅱ）求有坑需要补种的概率．（精确到0.001）‎ ‎　‎ ‎21．（12分）设正项等比数列{an}的首项，前n项和为Sn，且210S30﹣（210+1）S20+S10=0．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项；‎ ‎（Ⅱ）求{nSn}的前n项和Tn．‎ ‎　‎ ‎22．（14分）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与=（3，﹣1）共线．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且，证明λ2+μ2为定值．‎ ‎　‎ ‎2005年高考数学全国卷Ⅰ（文）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．（5分）‎ 考点：‎ 直线与圆的位置关系；直线的斜率．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 首先根据已知圆判断其圆心与半径，然后解构成的直角三角形，求出夹角，继而求出倾斜角，解出斜率即可．‎ 解答：‎ 解：∵直线l过点（﹣2，0），且与圆x2+y2=1相切 由圆得：圆心为（0，0），半径为1‎ ‎∴构成的三角形的三边为：，‎ 解得直线与x轴夹角为30°的角 ‎∴x的倾斜角为30°或150°‎ ‎∴k=‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查直线的斜率，直线与圆的位置关系，通过解直角三角形完成求直线l的斜率，属于基础题．‎ ‎2．（5分）‎ 考点：‎ 交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有 分析：‎ 根据公式CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB），CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB），容易判断．‎ 解答：‎ 解：∵S1∪S2∪S3=I，‎ ‎∴CIS1∩CIS2∩CIS3）=CI（S1∪S2∪S3）=CII=∅．‎ 故答案选C．‎ 点评：‎ 本题主要考查了集合的交，并，补运算，公式CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB），CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）是一个重要公式，应熟记．‎ ‎3．（5分）‎ 考点：‎ 球的体积和表面积．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 做该题需要将球转换成圆，再利用圆的性质，获得球的半径，解出该题即可．‎ 解答：‎ 解：截面面积为π⇒截面圆半径为1，又与球心距离为1⇒球的半径是，‎ 所以根据球的体积公式知，‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查学生的空间想象能力，以及学生对圆的性质认识，进一步求解的能力，是基础题．‎ ‎4．（5分）‎ 考点：‎ 利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 因为f（x）在x=﹣3是取极值，则求出f′（x）得到f′（﹣3）=0解出求出a即可．‎ 解答：‎ 解：∵f′（x）=3x2+2ax+3，又f（x）在x=﹣3时取得极值 ‎∴f′（﹣3）=30﹣6a=0‎ 则a=5．‎ 故选D 点评：‎ 考查学生利用导数研究函数极值的能力．‎ ‎5．（5分）‎ 考点：‎ 组合几何体的面积、体积问题．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 该几何体是一个三棱柱截取两个四棱锥，体积相减即为该多面体的体积．‎ 解答：‎ 解：一个完整的三棱柱的图象为：棱柱的高为2；底面三角形的底为1，高为：，‎ 其体积为：；‎ 割去的四棱锥体积为：，‎ 所以，几何体的体积为：，‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查学生的空间想象能力，几何体的添补，是基础题．‎ ‎6．（5分）‎ 考点：‎ 双曲线的简单性质．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 由双曲线的一条准线为，可以得到，由此可以求出该双曲线的离心率．‎ 解答：‎ 解：由题意可知，，解得a2=3，或（舍去）．‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查双曲线的离心率，解题时注意审题．‎ ‎7．（5分）‎ 考点：‎ 三角函数的最值．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 利用二倍角公式化简整理后，分子分母同时除以cosx，转化成关于tanx的函数解析式，进而利用x的范围确定tanx＞0，最后利用均值不等式求得函数的最小值．‎ 解答：‎ 解：=．‎ ‎∵0＜x＜，‎ ‎∴tanx＞0．‎ ‎∴．‎ 当时，f（x）min=4．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题主要考查了利用二倍角公式化简求值和三角函数求最值．考查了学生知识的迁移能力，综合运用基础知识的能力．‎ ‎8．（5分）‎ 考点：‎ 反函数．菁优网版权所有 专题：‎ 常规题型．‎ 分析：‎ 从条件中函数式中反解出x，再将x，y互换即得到反函数．‎ 解答：‎ 解：在定义域为{x|1≤x≤2}，原函数的值域为{y|0≤y≤1}，‎ ‎∵，‎ ‎∴y2=2x﹣x2，‎ 解得x=1±，‎ ‎∵1≤x≤2，‎ ‎∴x=1+，‎ ‎∴y=1+（0≤x≤1），‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题主要考查反函数的知识点，首先由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y），然后交换x、y的位置，最后求出原函数的值域，也就是反函数的定义域．‎ ‎9．（5分）‎ 考点：‎ 对数函数图象与性质的综合应用；复合函数的单调性．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 结合对数函数、指数函数的性质和复合函数的单调性可知：当0＜a＜1，loga（a2x﹣2ax﹣2）＜0时，有a2x﹣2ax﹣2＞1，解可得答案．‎ 解答：‎ 解：设0＜a＜1，函数f（x）=loga（a2x﹣2ax﹣2），‎ 若f（x）＜0‎ 则loga（a2x﹣2ax﹣2）＜0，∴a2x﹣2ax﹣2＞1‎ ‎∴（ax﹣3）（ax+1）＞0∴ax﹣3＞0，∴x＜loga3，‎ 故选C．‎ 点评：‎ 解题中要注意0＜a＜1时复合函数的单调性，以避免出现不必要的错误．‎ ‎10．（5分）‎ 考点：‎ 二元一次不等式（组）与平面区域．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；数形结合．‎ 分析：‎ 先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用三角形的面积公式计算即可．‎ 解答：‎ 解：原不等式组可化为：‎ 或 画出它们表示的可行域，如图所示．‎ 可解得A（，﹣），C（﹣1，﹣2），B（0，1）‎ 原不等式组表示的平面区域是一个三角形，‎ 其面积S△ABC=×（2×1+2×）=，‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．‎ ‎11．（5分）‎ 考点：‎ 三角函数的化简求值；同角三角函数基本关系的运用．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 先利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式化简整理题设等式求得cos=进而求得A+B=90°进而求得①tanA•cotB=tanA•tanA等式不一定成立，排除；②利用两角和公式化简，利用正弦函数的性质求得其范围符合，②正确；‎ ‎③sin2A+cos2B=2sin2A不一定等于1，排除③；④利用同角三角函数的基本关系可知cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1，进而根据C=90°可知sinC=1，进而可知二者相等．④正确．‎ 解答：‎ 解：∵tan=sinC ‎∴=2sincos 整理求得cos（A+B）=0‎ ‎∴A+B=90°．‎ ‎∴tanA•cotB=tanA•tanA不一定等于1，①不正确．‎ ‎∴sinA+sinB=sinA+cosA=sin（A+45°）‎ ‎45°＜A+45°＜135°，‎ ‎＜sin（A+45°）≤1，‎ ‎∴1＜sinA+sinB≤，‎ 所以②正确 cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1，‎ sin2C=sin290°=1，‎ 所以cos2A+cos2B=sin2C．‎ 所以④正确．‎ sin2A+cos2B=sin2A+sin2A=2sin2A=1不一定成立，故③不正确．‎ 综上知②④正确 故选B．‎ 点评：‎ 本题主要考查了三角函数的化简求值．考查了学生综合分析问题和推理的能力，基本的运算能力．‎ ‎12．（5分）‎ 考点：‎ 平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 由得到，从而所以OB⊥AC，同理得到OA⊥BC，所以点O是△ABC的三条高的交点 解答：‎ 解；∵‎ ‎∴；‎ ‎∴；‎ ‎∴OB⊥AC，‎ 同理由得到OA⊥BC ‎∴点O是△ABC的三条高的交点 故选D 点评：‎ 本题考查向量的数量积及向量的运算，对学生有一定的能力要求 ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13．（4分）‎ 考点：‎ 指数函数的单调性与特殊点；对数函数、指数函数与幂函数的增长差异．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 利用题中提示lg2≈0.3010，把不等式同时取以10为底的对数，再利用对数的运算性质，转化为关于m的不等式求解即可．‎ 解答：‎ 解：∵10m﹣1＜2512＜10m，‎ 取以10为底的对数得lg10m﹣1＜lg2512＜lg10m，‎ 即m﹣1＜512×lg2＜m 又∵lg2≈0.3010‎ ‎∴m﹣1＜154.112＜m，‎ 因为m是正整数，所以 m=155‎ 故答案为 155．‎ 点评：‎ 本题考查了利用指数形式和对数形式的互化．熟练掌握对数的性质．对数的运算性质是解决本题的关键．‎ ‎14．（4分）‎ 考点：‎ 二项式定理．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．‎ 解答：‎ 解：的通项为=（﹣1）rC4rx4﹣2r 令4﹣2r=0得r=2‎ ‎∴展开式的常数项为T3=C42=6‎ 故答案为6‎ 点评：‎ 本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．‎ ‎15．（4分）‎ 考点：‎ 排列、组合的实际应用．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 根据题意，选用间接法，首先计算从6名男生和4名女生共10人中，任取3名代表的选法数目，再计算没有女生入选的情况数目，进而计算可得答案．‎ 解答：‎ 解：根据题意，从6名男生和4名女生共10人中，任取3人作代表，有C103=120种，‎ 其中没有女生入选，即全部选男生的情况有C63=20种，‎ 故至少包含1名女生的同的选法共有120﹣20=100种；‎ 故答案为100．‎ 点评：‎ 本题考查组合的运用，对于“至少或至多有一个”一类的问题，一般用间接法．‎ ‎16．（4分）‎ 考点：‎ 空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 由平行平面的性质可得①是正确的，当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形，故③④正确，②错误．‎ 解答：‎ 解：‎ ‎①：∵平面AB′∥平面DC′，平面BFD′E∩平面AB′=EB，平面BFD′E∩平面DC′=D′F，∴EB∥D′F，同理可证：D′E∥FB，故四边形BFD′E一定是平行四边形，即①正确；‎ ‎②：当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形，故②错误；‎ ‎③：四边形BFD′E在底面ABCD内的投影为四边形ABCD，所以一定是正方形，即③正确；‎ ‎④：当E、F为棱中点时，EF⊥平面BB′D，又∵EF⊂平面BFD′E，∴此时：平面BFD′E⊥平面BB′D，即④正确．‎ 故答案为：①③④‎ 点评：‎ 本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分74分）‎ ‎17．（12分）‎ 考点：‎ 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性；五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；作图题；数形结合．‎ 分析：‎ ‎（I）由图象的一条对称轴是直线，从而可得，解的∅，根据平移法则判断平移量及平移方向 ‎（II）令，解x的范围即为所要找的单调增区间 ‎（III）利用“五点作图法”做出函数的图象 解答：‎ 解：（Ⅰ）∵x=是函数y=f（x）的图象的对称轴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，k∈Z．‎ ‎∵．‎ 由y=sin2x向右平移得到．（4分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知ϕ=﹣，因此y=．‎ 由题意得，k∈Z．‎ 所以函数的单调增区间为，k∈Z．（3分）‎ ‎（Ⅲ）由知 故函数y=f（x）在区间[0，π]上图象是 ‎（4分）‎ 点评：‎ 本题主要考查了三角函数yAsin（wx+∅）的对称性：在对称轴处取得函数的最值，图象的平移法则：“左加右减”，单调性、五点作图法的运用．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）‎ 考点：‎ 平面与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角；与二面角有关的立体几何综合题．菁优网版权所有 专题：‎ 证明题；综合题；转化思想．‎ 分析：‎ 法一：（Ⅰ）证明面PAD⊥面PCD，只需证明面PCD内的直线CD，垂直平面PAD内的两条相交直线AD、PD即可；‎ ‎（Ⅱ）过点B作BE∥CA，且BE=CA，∠PBE是AC与PB所成的角，解直角三角形PEB求AC与PB所成的角；‎ ‎（Ⅲ）作AN⊥CM，垂足为N，连接BN，说明∠ANB为所求二面角的平面角，在三角形AMC中，用余弦定理求面AMC与面BMC所成二面角的大小．‎ 法二：以A为坐标原点AD长为单位长度，建立空间直角坐标系，‎ ‎（Ⅰ）求出，计算，推出AP⊥DC．，然后证明CD垂直平面PAD，即可证明面PAD⊥面PCD；‎ ‎（Ⅱ），计算．即可求得结果．‎ ‎（Ⅲ）在MC上取一点N（x，y，z），则存在使，说明∠ANB为所求二面角的平面角．求出，计算 即可取得结果．‎ 解答：‎ 法一：（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，‎ ‎∴由三垂线定理得：CD⊥PD．‎ 因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，‎ ‎∴CD⊥面PAD．‎ 又CD⊂面PCD，‎ ‎∴面PAD⊥面PCD．‎ ‎（Ⅱ）解：过点B作BE∥CA，且BE=CA，‎ 则∠PBE是AC与PB所成的角．‎ 连接AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，‎ 所以四边形ACBE为正方形．由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°‎ 在Rt△PEB中BE=a2=3b2，PB=，‎ ‎∴．‎ ‎∴AC与PB所成的角为．‎ ‎（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连接BN．‎ 在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，‎ ‎∴△AMC≌△BMC，‎ ‎∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角 ‎∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，‎ 在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM．‎ 在等腰三角形AMC中，AN•MC=，‎ ‎∴．‎ ‎∴AB=2，‎ ‎∴‎ 故所求的二面角为．‎ 法二：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，‎ 如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），‎ D（1，0，0），P（0，0，1），M ‎（Ⅰ）证明：因为，‎ 故，所以AP⊥DC．‎ 又由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD．‎ 又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD ‎（Ⅱ）解：因，‎ 故=，‎ 所以 由此得AC与PB所成的角为．‎ ‎（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），‎ 则存在使，，‎ ‎∴x=1﹣λ，y=1，z=λ．‎ 要使AN⊥MC，只需即，‎ 解得．可知当时，N点坐标为，能使．‎ ‎，‎ 有由得AN⊥MC，BN⊥MC．所以∠ANB为所求二面角的平面角．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 故所求的二面角为arccos．‎ 点评：‎ 本题考查平面与平面垂直，二面角的求法，异面直线所成的角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，转化思想，是中档题．‎ ‎19．（12分）‎ 考点：‎ 函数与方程的综合运用；函数的最值及其几何意义；一元二次不等式的应用．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）f（x）为二次函数且二次项系数为a，把不等式f（x）＞﹣2x变形为f（x）+2x＞0因为它的解集为（1，3），则可设f（x）+2x=a（x﹣1）（x﹣3）且a＜0，解出f（x）；又因为方程f（x）+6a=0有两个相等的根，利用根的判别式解出a的值得出f（x）即可；（Ⅱ）因为f（x）为开口向下的抛物线，利用公式当x=时，最大值为=．和a＜0联立组成不等式组，求出解集即可．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）∵f（x）+2x＞0的解集为（1，3）．f（x）+2x=a（x﹣1）（x﹣3），且a＜0．因而f（x）=a（x﹣1）（x﹣3）﹣2x=ax2﹣（2+4a）x+3a．①‎ 由方程f（x）+6a=0得ax2﹣（2+4a）x+9a=0．②‎ 因为方程②有两个相等的根，所以△=[﹣（2+4a）]2﹣4a•9a=0，‎ 即5a2﹣4a﹣1=0．解得a=1或a=﹣．‎ 由于a＜0，a=﹣，舍去，故a=﹣．‎ 将a=﹣代入①得f（x）的解析式．‎ ‎（Ⅱ）由 及a＜0，可得f（x）的最大值为．就 由解得a＜﹣2﹣或﹣2+＜a＜0．‎ 故当f（x）的最大值为正数时，实数a的取值范围是．‎ 点评：‎ 考查学生函数与方程的综合运用能力．‎ ‎20．（12分）‎ 考点：‎ n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）由题意知每粒种子发芽的概率为0.5，且每粒种子是否发芽是相互独立的，得到本题是一个独立重复试验，甲坑不需要补种的对立事件是甲坑内的3粒种子都不发芽，根据对立事件的概率公式得到结果．‎ ‎（Ⅱ）有坑需要补种包括3个坑中恰有1个坑需要补种；恰有2个坑需要补种；3个坑都需要补种，这三种情况之间是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）由题意知每粒种子发芽的概率为0.5，且每粒种子是否发芽是相互独立的，‎ 得到本题是一个独立重复试验，‎ ‎∵甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为，‎ ‎∴甲坑不需要补种的概率为 ‎（Ⅱ）有坑需要补种包括3个坑中恰有1个坑需要补种；恰有2个坑需要补种；3个坑都需要补种，‎ 这三种情况之间是互斥的，‎ ‎∵3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为，‎ 恰有2个坑需要补种的概率为，‎ ‎3个坑都需要补种的概率为 ‎∴有坑需要补种的概率为0.287+0.041+0.002=0.330．‎ 点评：‎ 本题的第二问还可以这样来解：因为3个坑都不需要补种的概率为，所以有坑需要补种的概率为 利用对立事件的概率公式来解．‎ ‎21．（12分）‎ 考点：‎ 等比数列的通项公式；数列的求和．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）由210S30﹣（210+1）S20+S10=0得210（S30﹣S20）=S20﹣S10，由此可推出 ‎（Ⅱ）由题设知数列{nSn}的前n项和，由此可知答案．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）由210S30﹣（210+1）S20+S10=0得210（S30﹣S20）=S20﹣S10，‎ 即210（a21+a22+…+a30）=a11+a12+…+a20，‎ 可得210•q10（a11+a12+…+a20）=a11+a12+…+a20．‎ 因为an＞0，所以210q10=1，解得，因而 ‎（Ⅱ）由题意知 则数列{nSn}的前n项和，‎ 前两式相减，得=即 点评：‎ 本题考查数列知识的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．‎ ‎22．（14分）‎ 考点：‎ 平行向量与共线向量；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（Ⅰ）直线与椭圆方程联立用未达定理的A、B两点坐标的关系，据向量共线的条件得椭圆中a，b，c的关系，从而求得椭圆的离心率 ‎（Ⅱ）用向量运算将λμ用坐标表示，再用坐标的关系求出λ2+μ2的值．‎ 解答：‎ 解：（1）设椭圆方程为 则直线AB的方程为y=x﹣c，代入，‎ 化简得（a2+b2）x2﹣2a2cx+a2c2﹣a2b2=0．‎ 令A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则．‎ ‎∵与共线，‎ ‎∴3（y1+y2）+（x1+x2）=0，又y1=x1﹣c，y2=x2﹣c，‎ ‎∴3（x1+x2﹣2c）+（x1+x2）=0，‎ ‎∴．‎ 即，‎ 所以a2=3b2．‎ ‎∴，‎ 故离心率．‎ ‎（II）证明：由（1）知a2=3b2，‎ 所以椭圆可化为x2+3y2=3b2．‎ 设M（x，y），‎ 由已知得（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2），‎ ‎∴‎ ‎∵M（x，y）在椭圆上，‎ ‎∴（λx1+μx2）2+3（λy1+μy2）2=3b2．‎ 即λ2（x12+3y12）+μ2（x22+3y22）+2λμ（x1x2+3y1y2）=3b2．①‎ 由（1）知．‎ ‎∴，‎ ‎∴x1x2+3y1y2=x1x2+3（x1﹣c）（x2﹣c）=4x1x2﹣3（x1+x2）c+3c2==0．‎ 又x12+3y12=3b2，x22+3y22=3b2，‎ 代入①得λ2+μ2=1．‎ 故λ2+μ2为定值，定值为1．‎ 点评：‎ 考查向量共线为圆锥曲线提供已知条件；处理直线与圆锥曲线位置关系常用的方法是直线与圆锥曲线方程联立用韦达定理．‎ 是高考常见题型且是解答题．‎ ‎　‎