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  • 2021-05-14 发布

高考数学常用公式精华总结

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高中数学常用公式精华总结 ‎1. 元素与集合的关系 ‎,.‎ ‎2.德摩根公式 ‎ ‎.‎ ‎3.集合的子集个数共有 个;真子集有–1个;非空子集有 –1个;非空的真子集有–2个.‎ ‎4.二次函数的解析式的三种形式 ‎(1)一般式;‎ ‎(2)顶点式;‎ ‎(3)零点式.‎ ‎5.方程在上有且只有一个实根,与不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程有且只有一个实根在内,等价于,或且,或且.‎ ‎6.闭区间上的二次函数的最值 ‎ ‎ 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得,具体如下:(可画图解决问题)‎ ‎(1)当a>0时,若,则;‎ ‎,,.‎ ‎(2)当a<0时,若,则,若,则,.‎ ‎7.真值表 ‎ p q 非p p或q p且q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 ‎ 8.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有个 至多有()个 小于 不小于 至多有个 至少有()个 对所有,‎ 成立 存在某,‎ 不成立 或 且 对任何,‎ 不成立 存在某,‎ 成立 且 或 ‎9.四种命题的相互关系 原命题       互逆       逆命题 若p则q               若q则p ‎        互       互 ‎  互        为   为        互 ‎  否                     否 ‎           逆   逆           ‎ ‎         否       否 否命题               逆否命题   ‎ 若非p则非q    互逆      若非q则非p ‎10.充要条件 ‎ (1)充分条件:若,则是充分条件.‎ ‎(2)必要条件:若,则是必要条件.‎ ‎(3)充要条件:若,且,则是充要条件.‎ 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.‎ ‎11.函数的单调性 ‎(1)设那么 上是增函数;‎ 上是减函数.‎ ‎(2)设函数在某个区间内可导,如果,则为增函数;如果,则为减函数.‎ ‎12.如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数; 如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是增函数.‎ ‎13.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.‎ ‎14.两个函数图象的对称性 ‎(1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.‎ ‎ (2)同底的指数和对数函数互为反函数,图像关于直线y=x对称。‎ ‎15.几个函数方程的周期(约定a>0) ,则的周期T=a;‎ ‎16.分数指数幂 ‎ ‎(1)(,且).‎ ‎(2)(,且).‎ ‎17.根式的性质 ‎(1).‎ ‎(2)当为奇数时,; 当为偶数时,.‎ ‎18.有理指数幂的运算性质 ‎(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎(3).‎ 注: 若a>0,p是一个无理数,则ap表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用.‎ ‎19.指数式与对数式的互化式 ‎ .‎ ‎20.对数的换底公式 ‎ ‎ (,且,,且, ).‎ 推论 (,且,,且,, ).‎ ‎21.对数的四则运算法则 若a>0,a≠1,M>0,N>0,则 ‎(1);‎ ‎(2) ;‎ ‎(3).‎ ‎22.数列的同项公式与前n项的和的关系 ‎( 数列的前n项的和为).‎ ‎23.等差数列的通项公式 ;‎ 其前n项和公式为 .‎ ‎24.等比数列的通项公式;‎ 其前n项的和公式为 或.‎ ‎25.同角三角函数的基本关系式 ‎ ‎,=,‎ ‎27.正弦、余弦的诱导公式: 奇变偶不变,符号看象限。‎ ‎28.和角与差角公式 ‎;‎ ‎;‎ ‎.‎ ‎=‎ ‎(辅助角所在象限由点的象限决定, ).‎ ‎29.二倍角公式 ‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎30.三角函数的周期公式 ‎ 函数,x∈R及函数,x∈R(A,ω,为常数,且A≠0,ω>0)的周期;‎ 函数,(A,ω,为常数,且A≠0,ω>0)的周期.‎ ‎31.正弦定理 .‎ ‎32.余弦定理 ‎;;.‎ ‎33.面积定理 ‎(1)(分别表示a、b、c边上的高).‎ ‎(2).‎ ‎34.三角形内角和定理 ‎ 在△ABC中,有 ‎ sinC=sin(A+B),cosC=-cos(A+B),tanC=-tan(A+B)‎ ‎35.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数,那么 ‎(1) 结合律:λ(μa)=(λμ)a;‎ ‎(2)第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa;‎ ‎(3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb.‎ ‎36.向量的数量积的运算律:‎ ‎(1) a·b= b·a (交换律);‎ ‎(2)(a)·b= (a·b)=a·b= a·(b);‎ ‎(3)(a+b)·c= a ·c +b·c.‎ ‎37.平面向量基本定理  ‎ 如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1、λ2,使得a=λ1e1+λ2e2.‎ 不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.‎ ‎38.向量平行的坐标表示  ‎ ‎ 设a=,b=,且b0,则ab(b0).‎ ‎39. a与b的数量积(或内积)‎ a·b=|a||b|cosθ.‎ ‎ 40. a·b的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.‎ ‎41.平面向量的坐标运算 ‎(1)设a=,b=,则a+b=.‎ ‎(2)设a=,b=,则a-b=. ‎ ‎ (3)设A,B,则.‎ ‎(4)设a=,则a=.‎ ‎(5)设a=,b=,则a·b=.‎ ‎42.两向量的夹角公式 ‎(a=,b=).‎ ‎43.平面两点间的距离公式 ‎ =‎ ‎(A,B).‎ ‎44.向量的平行与垂直 ‎ 设a=,b=,且b0,则 A||bb=λa .‎ ab(a0)a·b=0.‎ ‎45.三角形的重心坐标公式 ‎ ‎△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是 ‎.‎ ‎46. 三角形四“心”向量形式的充要条件 设为所在平面上一点,角所对边长分别为,则 ‎(1)为的外心.‎ ‎(2)为的重心.‎ ‎(3)为的垂心.‎ ‎(4)为的内心.‎ ‎47.常用不等式:‎ ‎(1)(当且仅当a=b时取“=”号).‎ ‎(2)(当且仅当a=b时取“=”号).‎ ‎(3)‎ ‎(4).‎ ‎48.均值定理 已知都是正数,则有 ‎(1)若积是定值,则当时和有最小值;‎ ‎(2)若和是定值,则当时积有最大值.‎ ‎49.一元二次不等式,如果与同号,则其解集在两根之外;如果与异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.‎ ‎;‎ ‎.‎ ‎50.含有绝对值的不等式 ‎ 当a> 0时,有 ‎.‎ 或.‎ ‎51.指数不等式与对数不等式 ‎ ‎(1)当时,‎ ‎; ‎ ‎.‎ ‎(2)当时,‎ ‎;‎ ‎52..斜率公式 ‎ ‎(、).‎ ‎53.直线的五种方程 ‎ ‎(1)点斜式 (直线过点,且斜率为).‎ ‎(2)斜截式 (b为直线在y轴上的截距).‎ ‎(3)两点式 ()(、 ()).‎ ‎(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距,)‎ ‎(5)一般式 (其中A、B不同时为0).‎ ‎54.两条直线的平行和垂直 ‎ ‎(1)若,‎ ‎①;‎ ‎②.‎ ‎(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不为零,‎ ‎①;‎ ‎②;‎ ‎55.四种常用直线系方程 ‎ (1)定点直线系方程:经过定点的直线系方程为(除直线),其中是待定的系数; 经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数.‎ ‎(2)共点直线系方程:经过两直线,的交点的直线系方程为(除),其中λ是待定的系数.‎ ‎(3)平行直线系方程:直线中当斜率k一定而b变动时,表示平行直线系方程.与直线平行的直线系方程是(),λ是参变量.‎ ‎(4)垂直直线系方程:与直线 (A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是,λ是参变量.‎ ‎56.点到直线的距离 ‎ ‎(点,直线:).‎ ‎57. 或所表示的平面区域 设直线,则或所表示的平面区域是:‎ 若,当与同号时,表示直线的上方的区域;当与异号时,表示直线的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.‎ 若,当与同号时,表示直线的右方的区域;当与异号时,表示直线的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.‎ ‎58. 或所表示的平面区域 设曲线(),则 或所表示的平面区域是:‎ 所表示的平面区域上下两部分;‎ 所表示的平面区域上下两部分.‎ ‎ 59. 圆的四种方程 ‎(1)圆的标准方程 .‎ ‎(2)圆的一般方程 (>0).‎ ‎60.点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种 若,则 点在圆外;点在圆上;点在圆内.‎ ‎61.直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种:‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎.‎ 其中.‎ ‎62.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎.‎ ‎63.椭圆的标准方程及简单的几何性质 ‎64.椭圆的的内外部 ‎(1)点在椭圆的内部.‎ ‎(2)点在椭圆的外部.‎ ‎65.双曲线的内外部 ‎(1)点在双曲线的内部.‎ ‎(2)点在双曲线的外部.‎ ‎66.双曲线的方程与渐近线方程的关系 ‎(1)若双曲线方程为渐近线方程:.‎ ‎ (2)若渐近线方程为双曲线可设为.‎ ‎ (3)若双曲线与有公共渐近线,可设为(,焦点在x轴上,,焦点在y轴上).‎ ‎ 67. 抛物线的焦半径公式 抛物线焦半径.‎ 过焦点弦长.‎ ‎68.抛物线上的动点可设为P或 P,其中 .‎ ‎69.抛物线的内外部 ‎(1)点在抛物线的内部.‎ 点在抛物线的外部.‎ ‎(2)点在抛物线的内部.‎ 点在抛物线的外部.‎ ‎(3)点在抛物线的内部.‎ 点在抛物线的外部.‎ ‎(4) 点在抛物线的内部.‎ 点在抛物线的外部.‎ ‎70.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或AB=‎ ‎(弦端点A,由方程 消去y得到,,为直线的倾斜角,为直线的斜率). ‎ ‎71.证明直线与直线的平行的思考途径 ‎(1)转化为判定共面二直线无交点;‎ ‎(2)转化为二直线同与第三条直线平行;‎ ‎(3)转化为线面平行;‎ ‎(4)转化为线面垂直;‎ ‎(5)转化为面面平行.‎ ‎72.证明直线与平面的平行的思考途径 ‎(1)转化为直线与平面无公共点;‎ ‎(2)转化为线线平行;‎ ‎(3)转化为面面平行.‎ ‎73.证明平面与平面平行的思考途径 ‎(1)转化为判定二平面无公共点;‎ ‎(2)转化为线面平行;‎ ‎(3)转化为线面垂直.‎ ‎74.证明直线与直线的垂直的思考途径 ‎(1)转化为相交垂直;‎ ‎(2)转化为线面垂直;‎ ‎(3)转化为线与另一线的射影垂直;‎ ‎(4)转化为线与形成射影的斜线垂直.‎ ‎113.证明直线与平面垂直的思考途径 ‎(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直;‎ ‎(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;‎ ‎(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行;‎ ‎(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面;‎ ‎(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.‎ ‎75.证明平面与平面的垂直的思考途径 ‎(1)转化为判断二面角是直二面角;‎ ‎(2)转化为线面垂直.‎ ‎76.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 ‎(1)加法交换律:a+b=b+a.‎ ‎(2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c).‎ ‎(3)数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb.‎ ‎77.共线向量定理 对空间任意两个向量a、b(b≠0 ),a∥b存在实数λ使a=λb.‎ 三点共线.‎ ‎、共线且不共线且不共线.‎ ‎78.球的半径是R,则 其体积,‎ 其表面积.‎ ‎79.柱体、锥体的体积 ‎(是柱体的底面积、是柱体的高).‎ ‎(是锥体的底面积、是锥体的高).‎ ‎80.互斥事件A,B分别发生的概率的和 P(A+B)=P(A)+P(B).‎ ‎81.个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).‎ ‎82.独立事件A,B同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B).‎ ‎83.n个独立事件同时发生的概率 ‎ P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An).‎ ‎84.回归直线方程 ‎ ‎,其中.‎ ‎85.相关系数r ‎ ‎|r|≤1,且|r|越接近于1,相关程度越大;|r|越接近于0,相关程度越小.‎ ‎86. 函数在点处的导数的几何意义 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率,相应的切线方程是.‎ ‎87.几种常见函数的导数 ‎(1) (C为常数).‎ ‎(2) .‎ ‎(3) .‎ ‎(4) .‎ ‎ (5) ;.‎ ‎(6) ; .‎ ‎88.导数的运算法则 ‎(1).‎ ‎(2).‎ ‎(3).‎ ‎89.判别是极大(小)值的方法 当函数在点处连续时,‎ ‎(1)如果在附近的左侧,右侧,则是极大值;‎ ‎(2)如果在附近的左侧,右侧,则是极小值.‎ ‎90.复数的相等 ‎.()‎ ‎91.复数的模(或绝对值)‎ ‎==.‎ ‎92.复数的四则运算法则 ‎ (1);‎ ‎(2);‎ ‎(3);‎ ‎(4).‎