- 9.52 MB
- 2021-05-14 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2004 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学
第 I 卷(选择题共 60 分)
一、选择题(5 分×12=60 分)
1.设集合 {1,2,3,4}P , 2,Q x x x R ,则 P Q 等于 ( )
A.{1,2} B. {3,4}
C. {1} D. {-2,-1,0,1,2}
2.函数 22cos 1y x ( x R )的最小正周期为 ( )
A.
2
π B. π C. π2 D. π4
3.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会,若这 4 人中必须既有男生又有女生,
则不同的选法共有 ( )
A.140 种 B.120 种 C.35 种 D.34 种
4.一平面截一球得到直径是 6cm 的圆面,球心到这个平面的距离是 4cm,则该球的体积是
( )
A. 3
3
π100 cm B. 3
3
π208 cm
C. 3
3
π500 cm D. 3
3
π3416 cm
5.若双曲线
2 2
2 18
x y
b
的一条准线与抛物线 xy 82 的准线重合,则双曲线的离心率为
( )
A. 2 B. 22 C. 4 D. 24
6.某校为了了解学生的课外阅读情况,随机调查了 50 名学生,得到他们在某一天各自课外
阅读所用时间的数据,结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这 50 名学生这一天
平均每人的课外阅读时间为 ( )
A.0.6 小时 B.0.9 小时 C.1.0 小时 D.1.5 小时
7. 4(2 )x x 的展开式中 3x 的系数是 ( )
A.6 B.12 C.24 D.48
0.5
人数(人)
时间(小时)
20
10
5
0 1.0 1.5 2.0
15
8.若函数 log ( )( 0, 1)ay x b a a 的图象过两点 ( 1,0) 和 (0,1) ,则 ( )
A.a=2,b=2 B.a= 2 ,b=2 C.a=2,b=1 D.a= 2 ,b= 2
9.将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数 1,2,3,4,5,6 的正方体玩具)
先后抛掷 3 次,至少出现一次 6 点向上的概率是 ( )
A. 5
216 B. 25
216 C. 31
216 D. 91
216
10.函数 3( ) 3 1f x x x 在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是 ( )
A.1,-1 B.1,-17 C.3,-17 D.9,-19
11.设 1k , ( ) ( 1)f x k x ( x R ) . 在平面直角坐标系 xOy 中,函数 ( )y f x 的图象
与 x 轴交于 A 点,它的反函数 1( )y f x 的图象与 y 轴交于 B 点,并且这两个函数的
图象交于 P 点. 已知四边形 OAPB 的面积是 3,则 k 等于
( )
A.3 B. 3
2 C. 4
3 D. 6
5
12.设函数 ( ) ( )1
xf x x Rx
,区间 M=[a,b](a0,函数 ]2,2[),( ttmy 的图像是开口向上的抛物线的一段,由
]2,2[)(01 在知 tmat 上单调递增。∴ 2)2()( amag
(2)当 a=0 时,m(t)=t, ]2,2[t , ∴ 2)( ag
(3)当 a<0 时,函数 y=m(t), ]2,2[t 的图像是开口向下的抛物线的一段。
若 .2)2()( ,2
2],2,0(1 magaat 则即
若 .2
1)1()( ],2
1,2
2(],2,2(1
aaamagaat 则即
若 .2)2()(),0,2
1(),,2(1 amagaat 则即
综上有
2
22
2
1
2
2,2
1
2
1,2
)(
a
aaa
aa
ag
(Ⅲ)解法一:情形 1:当 .21)1(,2)(,2
11,2
aagagaa 此时时
由 212
a
解得 2,2
21 aa 与 矛盾。
情形 2:当 ,22 时 a 2
11
2
2
a
,此时 2)( ag ,
2,22
12,2
1)1( aaa
a
a
aag 与解得由 矛盾。
情形 3:当
2
212,-2
22
aa 时 ,此时 )1(2)( agag
所以
2
22 a 。
情形 4:当 21,-22
1
2
2
aa 时 ,此时
aaag 2
1)(
2
2,2
222
1,2)1( aaaaag 与解得由 矛盾。
情形 5:当 21,02
1
aa 时 ,此时 2)1(,2)(
agaag
由
2
1,2222 aaa 与解得 矛盾。
情形 6:当 a>0 时, 01
a
,此时 21)1(,2)(
aagaag
由 10,1212 aaaaa 知由解得
综上知,满足 )1()( agag 的所有实数 a 为: 12
22 aa 或
解法二:当 ,2
1时a 22
32)( aag
当 ]1,2
2(2
1),2
2,2
1[,2
1
2
2
aaa 时 ,所以 ,2
1
aa
2)2
1()(22
1)(
aaaaag 。因此,当 ,2
2 时a 2)( ag
当 01,0
aa 时 ,由 1212)1()( aaaagag 解得知
当 ,0时a 2)1(2)(,111,11
agagaaaa 或从而或因此
要使 )1()( agag ,必须有 .2
22,2
21,2
2 aaa 即
此 时 )1(2)( agag 。 综 上 知 , 满 足 )1()( agag 的 所 有 实 数 a 为 :
12
22 aa 或
(21)证明:必要性. 设 }{ na 是公差为 d1 的等差数列,则
0)()()()( 112312311 ddaaaaaaaabb nnnnnnnnnn
所以 ,3,2,1(1 nbb nn )成立.
又 )(3)(2)( 231211 nnnnnnnn aaaaaacc
1111 632 dddd (常数)(n=1,2,3,…),所以数列 }{ nc 为等差
数列.
充分性,设数列 }{ nc 是公差 d2 的等差数列,且 1bbn (n=1,2,3,…).
证法一:
①-②得 )(3)(2)( 423122 nnnnnnnn aaaaaacc
,32 21 nnn bbb ,
22112 2)()( dcccccc nnnnnn
221 232 dbbb nnn , ③
从而有 .232 2321 dbbb nnn ④
④-③得 .0)(3)(2)( 23121 nnnnnn bbbbbb ⑤
0,0,0 23121 nnnnnn bbbbbb ,
∴由⑤得 ).,3,2,1(01 nbb nn
由此 不妨设 323 ),,3,2,1( daandb nnn 则 (常数).
由此 3121 32432 daaaaac nnnnnn ,
从而 313211 524324 daadaac nnnnn ,
两式相减得 311 2)(2 daaca nnnn ,
因此 ),3,2,1)((2
1)(2
1
32311 ndddccaa nnnn 常数 ,
所以数列 }{ na 是等差数列.
证法二:令 由,1 nnn aaA ,3121 nnnnnn aaaabb 知
从而 ).,3,2,1(, 2231 nAAaaaa nnnnnn 即
由 321121 32,32 nnnnnnnn aaacaaac
得 )(3)(2)( 231211 nnnnnnnn aaaaaacc ,即
221 32 dAAA nnn . ⑥
由此得 2432 32 dAAA nnn . ⑦
⑥-⑦得 0)(3)(2)( 42312 nnnnnn AAAAAA . ⑧
因为 0,0,0 42312 nnnnnn AAAAAA ,
所以由⑧得 ).,3,2,1(02 nAA nn
于是由⑥得, 2211 3224 dAAAAA nnnnn ⑨
从而 .2442 2211 dAAAA nnnn ⑩
由⑨和⑩得 ,,4224 111 nnnnnn AAAAAA 故 即
),,3,2,1(112 naaaa nnnn
所以数列 }{ na 是等差数列.
2007 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数 学
参考公式:
n 次独立重复试验恰有 k 次发生的概率为: ( ) (1 )k k n k
n nP k C p p
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,恰.
有一项...是符合题目要求的。
1.下列函数中,周期为
2
的是
A. xy = sin
2
B.y=sin2x C. cos
4
xy D.y=cos4x
2.已知全集 U=Z,A={-1,0,1,2},B={x︱x2=x},则 A∩CUB 为
A.{-1,2} B.{-1,0} C.{0,1} D.{1,2}
3.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线中心在原点,焦点在 y 轴上,一条渐近线方程为 x-
2y=0,则它的离心率为
A. 5 B. 5
2
C. 3 D.2
4.已知两条直线 ,m n ,两个平面α,β,给出下面四个命题:
① // ,m n m n ② // , , //m n m n
③ // , // //m n m n ④ // , // ,m n m n
其中正确命题的序号是
A.①、③ B.②、④ C.①、④ D.②、③
5.函数 ( ) sin 3 cos ( [ ,0])f x x x x 的单调递增区间是
A. 5[ , ]
6
B. 5[ , ]
6 6
C.[ ,0]
3
D.[ ,0]
6
6.设函数 f(x)定义在实数集上,它的图像关于直线 x=1 对称,且当 x≥1 时,f(x)=3x
-1,则有
A. 1 3 2( ) ( ) ( )
3 2 3
f f f B. 2 3 1( ) ( ) ( )
3 2 3
f f f
C. 2 1 3( ) ( ) ( )
3 3 2
f f f D. 3 2 1( ) ( ) ( )
2 3 3
f f f
7.若对于任意实数 x,有 x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则 a2 的值为
A.3 B.6 C.9 D.12
8.设 2( ) lg( )
1
f x a
x
是奇函数,则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是
A.(-1,0) B.(0,1) C.(-∞,0) D.(-∞,0)∪(1,+∞)
9.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的导数为 f′(x),f′(0)>0,对于任意实数 x 都有 f
(x)≥0,则 (1)
'(0)
f
f
的最小值为
A. 3 B. 5
2
C.2 D. 3
2
10.在平面直角坐标系 xOy,已知平面区域 A={(x,y)︱x+y≤1 且 x≥0,y≥0},则平面
区域 {( , ) | ( , ) }B x y x y x y A 的面积为
A.2 B.1 C. 1
2
D. 1
4
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。不需要写出解答过程,请把答案直
接填写在答题卡相应位置上........。
11.若 1 3cos( ) ,cos( )
5 5
,.则 tana·tanβ= .
12.某校开设 9 门课程供学生选修,其中 A,B,C 三门由于上课时间相同,至多选一门,
学校规定每位同学选修 4 门,共有 种不同选修方案。(用数值作答)
13.已知函数 f(x)=x3-12x+8 在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为 M,m,则 M-
m= ▲ .
14.正三棱锥 P-ABC 高为 2,侧棱与底面所成角为 45°,则点 A 到侧面 PBC 的距离是
15.在平面直角坐标系 xOY 中,已知△ABC 顶点 A(-4,0)和 C(4,0),顶点 B 在椭圆
2 2
1
25 16
x y 上,则 sin sin
sin
A C
B
。
16.某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5cm,秒针均匀地绕点 O 旋转,当时间 t=0
时,点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合,将 A,B 两点的距离 d(cm)表示成 t(s)的函数,
则 d= ,其中 t∈[0,60]。
三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分。请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分 12 分)
某气象站天气预报的准确率为 80%,计算(结果保留到小数点后面第 2 位)
(1)5 次预报中恰有 2 次准确的概率;(4 分)
(2)5 次预报中至少有 2 次准确的概率;(4 分)
(3)5 次预报中恰有 2 次准确,且其中第 3 次预报准确的概率;(4 分)
18.(本小题满分 12 分)如图,已知 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体,点 E 在 AA1
上,点 F 在 CC1 上,且 AE=FC1=1,
(1)求证:E,B,F,D1 四点共面;(4 分)
(2)若点 G 在 BC 上, 2
3
BG ,点 M 在 BB1 上,GM BF ,垂足为 H,求证:EM 面
BCC1B1;(4 分)
(3)用 表示截面 EBFD1 和面 BCC1B1 所成锐二面角大小,求 tan 。(4 分)
19.(本小题满分 14 分)
如图,在平面直角坐标系 xOy 中,过 y 轴正方向上一点 C(0,c)任作一直线,与抛物
线 y=x2 相交于 AB 两点,一条垂直于 x 轴的直线,分别与线段 AB 和直线 :l y c 交于 P,
Q。
(1)若 2OA OB
,求 c 的值;(5 分)
(2)若 P 为线段 AB 的中点,求证:QA 为此抛物线的切线;(5 分)
(3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由。(4 分)
20.(本小题满分 16 分)
已知{an}是等差数列,{bn}是公比为 q 的等比数列,a1=b1,a2=b2≠a1,记 Sn 为数列
{bn}的前 n 项和。
(1)若 bk=am(m,k 是大于 2 的正整数),求证:Sk-1=(m-1)a1;(4 分)
(2)若 b3=ai(i 是某个正整数),求证:q 是整数,且数列{bn}中每一项都是数列{an}
中的项;(8 分)
(3)是否存在这样的正数 q,使等比数列{bn}中有三项成等差数列?若存在,写出一
个 q 的值,并加以说明;若不存在,请说明理由;(4 分)
21.(本小题满分 16 分)
已知 a,b,c,d 是不全为零的实数,函数 2( )f x bx cx d ,
3 2( )g x ax bx cx d ,方程 f(x)=0 有实根,且 f(x)=0 的实数根都是 g(f
(x))=0 的根,反之,g(f(x))=0 的实数根都是 f(x)=0 的根。
(1)求 d 的值;(3 分)
(2)若 a=0,求 c 的取值范围;(6 分)
(3)若 a=1,f(1)=0,求 c 的取值范围。(7 分)
参考答案
1.D 2.A 3.A 4.C 5.D 6.B 7.B 8.A 9.C 10.B
11. 1
2
12.75 13.32 14. 6 5
5
15. 5
4
16.100 sin
60
t
17.解:(1)5 次预报中恰有 2 次准确的概率为
5 22 2 3
5 52 1 0.8 10 0.8 0.2 0.05.P C
(2)5 次预报中至少有 2 次准确的概率为
5 5
5 0 5 16 1 1
5 5
1 0 1
1 1 0.8 0.8 1 0.8
1 0.00032 0.0064 0.99.
P P
C C
(3)“5 次预报中恰有 2 次准确,且其中第 3 次预报准确”的概率为
18.解法一:(1)如图:在 DD1 上取点 N,使 DN=1,连结 EN,则 AE=DN=1,CF=ND1=2
因为 AE∥DN,ND1∥CF,所以四边形 ADNE、CFD1N 都为平行四边形。
从而 EN AD,FD1∥CN。
又因为 AD BC,所以 EN BC,故四边形 BCNE 是平行四边形,由此推知 CN∥BE,
从而 FD1∥BE。
(2)如图,GM⊥BF,又 BM⊥BC,所以∠BCM=∠CFB,BM=BC·tan∠CFB=BG·∠
CFB=BC· 2 3 1.
3 2
BC
CF
因为 AE BM,所以 ABME 为平行四边形,从而 AB∥EM
又 AB⊥平面 BCC1B1,所以 EM⊥平面 BCC1B1
(3)如图,连结 EH
因为 MH⊥BF,EM⊥BF,所以 BF⊥平面 EMH,得 EH⊥BF
于是∠EHM 是所求的二面角的平面角,即∠EHM=0
因为∠MBH=∠CFB,所以
MH=BM·sin∠MBH=BM·sin∠CFB
2 2 2 2
3 3
1 ,
133 2
tan 13
BC
BM
BC CF
EM
MH
解法二:(1)建立如图所示的坐标系,则 13, 0,1 , 0, 3, 2 , 3, 3, 3BE BF BD
所以 1BD BE BF
故 BD BE BF
1、 、 共面
又它们有公共点 B,
所以 E、B、F、D1 四点共面。
(2)如图,设 M(0,0,z)则 2
0, ,
3
CM z
而 0,3, 2BF
,由题设得
2 3 2 0
3
GM BF z
,得 z=1
因为 M(0,0,1),E(3,0,1),有 ME
=(3,0,0)
又 1 0,0,3BB
, 0,3,0BC
,所以 1 0, 0ME BB ME BC
,从而 ME⊥BB1,ME
⊥BC
故 ME⊥BB1,平面 BCC1B1
(3)设向量 , ,3BP x y
⊥截面 EBFD1,于是 ,BP BE BP BF
而 3,0,1 , 0,3, 2BE BF
,得 3 3 0, 3 6 0BP BE x BP BF y
,解得 x=-1,
y=-2,所以 1, 2,3 .BP
又 3,0,0BA
⊥平面 BCC1B1,所以 BP
和 BA
的夹角等于θ或л-θ(θ为锐角)
于是
1cos
14
BP BA
BP BA
故 tan 13
19.(1)设直线 AB 的方程为 y=kx+c,将该方程代入 y=x2 得 x2-kx-c=0
令 A(a,a2),B(b,b2),则 ab=﹣c
因为 2 2 2 2OA OB ab a b c c
,解得 c=2,或 c=﹣1(舍去)故 c=2
(2)由题意知 ,
2
a bQ c
,直线 AQ 的斜率为
2 2
2
2 2
AQ
a c a abk aa b a ba
又 r=x2 的导数为 r′=2x,所以点 A 处切线的斜率为 2a
因此,AQ 为该抛物线的切线
(3)(2)的逆命题成立,证明如下:
设 Q(x0,﹣c)若 AQ 为该抛物线的切线,则 kAQ=2a
又直线 AQ 的斜率为
2 2
0 0
AQ
a c a abk
a x a x
,所以
0
2a ab a
a x
得 2ax0=a2+ab,因 a≠0,有 0 2
a bx
20.解:设{ }na 的公差为 d ,由 1 1 2 2 1,a b a b a ,知 0, 1d q , 1 1d a q ( 1 0a )
(1)因为 k mb a ,所以 1
1 1 11 1ka q a m a q ,
1 1 1 1 2 1kq m q m m q ,
所以
1
1 1
1 1
1 1 1
11
k
k
a q a m m q
S m aq q
(2) 2
3 1 1 1, 1 1ib a q a a i a q ,由 3 ib a ,
所以 2 21 1 1 , 1 2 0,q i q q i q i 解得, 1q 或 2q i ,但
1q ,所以 2q i ,因为i 是正整数,所以 2i 是整数,即 q 是整数,设数列{ }nb 中任
意一项为
1
1
n
nb a q n N ,设数列{ }na 中的某一项 ma m N = 1 11 1a m a q
现在只要证明存在正整数 m ,使得 n mb a ,即在方程 1
1 1 11 1na q a m a q
中 m 有正整数解即可,
1
1 2 211 1 1 , 1 11
n
n nqq m q m q q qq
,
所以: 2 22 nm q q q ,若 1i ,则 1q ,那么 2 1 1 1, 2 2 2n nb b a b b a ,
当 3i 时,因为 1 1 2 2,a b a b ,只要考虑 3n 的情况,因为 3 ib a ,所以 3i ,因此 q
是正整数,所以 m 是正整数,因此数列{ }nb 中任意一项为 1
1
n
nb a q n N 与数列{ }na
的第 2 22 nq q q 项相等,从而结论成立。
(3)设数列{ }nb 中有三项 , , , , ,m n pb b b m n p m n p N 成等差数列,则有
2 1 1 1
1 1 1 ,n m pa q a q a q 设 , , ,n m x p n y x y N ,所以 2 1 y
x qq
,
令 1, 2x y , 则 3 2 1 0,q q 21 1 0q q q , 因 为 1q , 所 以
2 1 0q q ,所以 5 1
2q 舍去负值 ,即存在 5 1
2q 使得 { }nb 中有三项
1 3, ,m m mb b b m N
成等差数列。
21.解(1)设 0x 是 0f x 的根,那么 0 0f x ,则 0x 是 ( ( )) 0g f x 的根,则
0 0,g f x 即 0 0g ,所以 0d 。
( 2 ) 因 为 0a , 所 以 2 2,f x bx cx g x bx cx , 则
( ( ))g f x f x bf x c
= 2 2 2bx cx b x bcx c =0 的根也是 0f x x bx c 的根。
(a)若 0b ,则 0c ,此时 0f x 的根为 0,而 ( ( )) 0g f x 的根也是 0,所以
0c ,
(b)若 0b ,当 0c 时, 0f x 的根为 0,而 ( ( )) 0g f x 的根也是 0,当 0c
时,
0f x 的 根 为 0 和 c
b
, 而 0bf x c 的 根 不 可 能 为 0 和 c
b
, 所 以
0bf x c 必无实数根,所以 2 24 0,bc b c 所以 2 4 0,0 4c c c ,从而
0 4c
所以当 0b 时, 0c ;当 0b 时, 0 4c 。
(3) 1, (1) 0a f ,所以 0b c ,即 0f x 的根为 0 和 1,
所以 22 2cx cx c cx cx c =0 必无实数根,
(a)当 0c 时, t = 2cx cx =
21
2 4 4
c cc x
,即函数 2h t t ct c 在
4
ct , 0h t 恒 成 立 , 又
2 2
2
2 4
c ch t t ct c t c
, 所 以
min 04
ch t h
,即
2 2
0,16 4
c c c 所以 160 3c ;
(b)当 0c 时, t = 2cx cx =
21
2 4 4
c cc x
,即函数 2h t t ct c 在
4
ct , 0h t 恒 成 立 , 又
2 2
2
2 4
c ch t t ct c t c
, 所 以
min 02
ch t h
,
2
4
cc 0 ,而 0c ,所以
2
4
cc 0 ,所以 c 不可能小于 0,
(c) 0,c 则 0,b 这时 0f x 的根为一切实数,而 0g f x ,所以 0,c 符
合要求。所以 160 3c
2008 年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.
1. )6cos()( xxf 最小正周期为
5
,其中 0 ,则
2.一个骰子连续投 2 次,点数和为 4 的概率
3. ),(1
1 Rbabiai
i
表示为 的形式,则 ba =
4. 73)1( 2 xxxA ,则集合 A Z 中有 个元素
5. ba
, 的夹角为 120 , 1, 3a b ,则 5a b
6.在平面直角坐标系 xoy 中,设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域,
E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域,向 D 中随机投一点,则落入 E 中的概率
7.某地区为了解 70~80 岁老人的日平均睡眠时间(单位:h),现
随机地选择 50 位老人做调查,下表是 50 位老人日睡眠时间频率
分布表:
序号
(i)
分组
睡眠时间
组中值
(Gi)
频数
(人数)
频率
(Fi)
1 [4,5) 4.5 6 0.12
2 [5,6) 5.5 10 0.20
3 [6,7) 6.5 20 0.40
4 [7,8) 7.5 10 0.20
5 [8,9] 8.5 4 0.08
在上述统计数据的分析中,一部分计算见算法流程图,则输出的 S
的值为 .
8.直线 bxy
2
1 是曲线 ln ( 0)y x x 的一条切线,则实数 b
的值为
9.在平面直角坐标系中,设三角形 ABC 的顶点分别为 )0,(),0,(),,0( cCbBaA ,点 P(0,
p)在线段 AO 上(异于端点),设 pcba ,,, 均为非零实数,直线 CPBP, 分别交 ABAC, 于
点 FE, ,一同学已正确算的OE 的方程: 01111
yapxcb
,请你求OF 的方程:
( ) 011
yapx
10.将全体正整数排成一个三角形数阵:
开始
S 0
输入 Gi,Fi
i 1
S S+Gi·Fi
i≥5
i i+1
N
Y
输出 S
结束
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
。 。 。 。 。
按照以上排列的规律,第 n 行( 3n )从左向右的第 3 个数为
11.
2
*, , , 2 3 0, yx y z R x y z xz
的最小值为
12.在平面直角坐标系中,椭圆 )0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x 的焦距为 2,以 O 为圆心,a 为半
径的圆,过点
0,
2
c
a 作圆的两切线互相垂直,则离心率 e =
13.若 BCACAB 2,2 ,则 ABCS 的最大值
14. 13)( 3 xaxxf 对于 1,1x 总有 0)( xf 成立,则 a =
二、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(14 分)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始边做两个锐角 , ,它们的终
边分别与单位圆相交于 A、B 两点,已知 A、B 的横坐标分别为
5
52,10
2
(1)求 )tan( 的值; (2)求 2 的值。
16.(14 分)在四面体 ABCD 中, BDADCDCB , ,且 E、F 分别是 AB、BD 的中点,
求证:(1)直线 EF//面 ACD;(2)面 EFC⊥面 BCD
17.(14 分)某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的顶点 A、B 及 CD 的中点 P 处,已知
AB=20km,BC=10km,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的区域上(含边界),
且 A、B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道 AO、BO、OP,设排
污管道的总长为 ykm。
B
C A
F
D
E
x
y
O
A
B
(1)按下列要求写出函数关系式:
①设∠BAO=θ(rad),将 y 表示成θ的函数关系式;②设 OP=x(km),将 y 表示成 x 的函
数关系式;
(2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度
最短。
18.(16 分)设平面直角坐标系 xoy 中,设二次函数 2( ) 2 ( )f x x x b x R 的图像与两
坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为 C。求:(1)求实数 b 的取值范围;(2)求圆
C 的方程
(3)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论。
19.(16 分)(1)设 naaa ,......, 21 是各项均不为零的等差数列( 4n ),且公差 0d ,若将
此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列: ①当 4n 时,求
d
a1 的数值;
②求 n的所有可能值;
(2)求证:对于一个给定的正整数 )4( nn ,存在一个各项及公差都不为零的等差数列
nbbb ,......, 21 ,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列。
20. ( 16 分 ) 若 1 2
1 2( ) 3 , ( ) 2 3x p x pf x f x , x R , 1 2,p p 为 常 数 , 且
)()(),(
)()(),()(
212
211
xfxfxf
xfxfxfxf
B
CD
A
O
P
(1)求 )()( 1 xfxf 对所有实数 x 成立的充要条件(用 21, pp 表示);(2)设 ba, 为两实数,
ba 且 ),(, 21 bapp 若 )()( bfaf ,求证: )(xf 在区间 ba, 上的单调增区间的长度
和为
2
ab (闭区间 nm, 的长度定义为 mn )
附加题
21.(选做题)从 A,B,C,D 四个中选做 2 个,每题 10 分,共 20 分.
A.选修 4—1 几何证明选讲
如图,设△ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线交于点 E,∠BAC 的平分线与 BC 交于
点 D.求证: 2ED EB EC .
B.选修 4—2 矩阵与变换
在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 2 24 1x y 在矩阵 A= 2 0
0 1 对应的变换作用下得到曲
线 F,求 F 的方程.
C.选修 4—4 参数方程与极坐标
在平面直角坐标系 xOy 中,点 ( )P x y, 是椭圆
2
2 13
x y 上的一个动点,求 S x y 的最
大值.
D.选修 4—5 不等式证明选讲
设 a,b,c 为正实数,求证: 3 3 3
1 1 1 2 3abca b c
+ ≥ .
22.记动点 P 是棱长为 1 的正方体 1 1 1 1-ABCD A B C D 的对角线 1BD 上一点,记 1
1
D P
D B
.当
APC 为钝角时,求 的取值范围.
B C ED
A
23.请先阅读:在等式 2cos2 2cos 1x x ( xR )的两边求导,得:
2(cos2 ) (2cos 1) x x ,由求导法则,得 ( sin 2 ) 2 4cos ( sin ) x x x ,化简得等
式: sin 2 2cos sinx x x .
(1)利用上题的想法(或其他方法),试由等式(1+x)n= 0 1 2 2C C C C n n
n n n nx x x
( xR ,正整数 2n≥ ),证明: 1[(1 ) 1]nn x = 1
1
C
n
k k
n
k
k x
.
(2)对于正整数 3n≥ ,求证:(i)
1
( 1) C
n
k k
n
k
k
=0;(ii) 2
1
( 1) C
n
k k
n
k
k
=0;(iii)
1
1
1 2 1C1 1
nn
k
n
k k n
.
参考答案
一、填空题:本大题共 1 小题,每小题 5 分,共 70 分.
1. cos 6f x x
的最小正周期为
5
,其中 0 ,则 = ▲ .
【解析】本小题考查三角函数的周期公式. 2 105T
【答案】10
2.一个骰子连续投 2 次,点数和为 4 的概率 ▲ .
【解析】本小题考查古典概型.基本事件共 6×6 个,点数和为 4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共
3 个,故 3 1
6 6 12P
【答案】 1
12
3.1
1
i
i
表示为 a bi ,a b R ,则 a b = ▲ .
【解析】本小题考查复数的除法运算.∵ 211
1 2
ii ii
,∴ a =0,b =1,因此 1a b
【答案】1
4.A= 2
1 3 7x x x ,则 A Z 的元素的个数 ▲ .
【 解 析 】 本 小 题 考 查 集 合 的 运 算 和 解 一 元 二 次 不 等 式 . 由 2
1 3 7x x 得
2 5 8 0x x ,∵Δ<0,∴集合 A 为 ,因此 A Z 的元素不存在.
【答案】0
5. a
,b
的夹角为120 , 1a , 3b 则 5a b ▲ .
【解析】本小题考查向量的线性运算. 22 2 2
5 5 25 10a b a b a a b b
= 2 2125 1 10 1 3 3 492
, 5a b
7
【答案】7
6.在平面直角坐标系 xoy 中,设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域,
E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域,向 D 中随机投一点,则落入 E 中的概率 ▲ .
【解析】本小题考查古典概型.如图:区域 D 表示边长为 4 的正方形的内部(含边界),
区域 E 表示单位圆及其内部,因此.
21
4 4 16P
【答案】
16
7.算法与统计的题目
8.直线 1
2y x b 是曲线 ln 0y x x 的一条切线,则实数 b= ▲ .
【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法. ' 1y x
,令 1 1
2x
得 2x ,故切点
(2,ln2),代入直线方程,得,所以 b=ln2-1.
【答案】ln2-1
9 在平面直角坐标系中,设三角形 ABC 的顶点分别为 A(0,a),B(b,0),C (c,0) ,点 P(0,p)
在线段 AO 上(异于端点),设 a,b,c, p 均为非零实数,直线 BP,CP 分别交 AC , AB 于点
E ,F ,一同学已正确算的 OE 的方程: 1 1 1 1 0x yc b p a
,请你求 OF 的方程:
( ▲ ) 1 1 0x yp a
.
【解析】本小题考查直线方程的求法.画草图,由对称性可猜想填 1 1
c b
.事实上,由截距
式可得直线 AB: 1x y
b a
,直线 CP: 1x y
c p
,两式相减得 1 1 1 1 0x yb c p a
,
显然直线 AB 与 CP 的交点 F 满足此方程,又原点 O 也满足此方程,故为所求直线 OF 的
方程.
【答案】 1 1
b c
10.将全体正整数排成一个三角形数阵:
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
. . . . . . .
按照以上排列的规律,第 n 行(n ≥3)从左向右的第 3 个数为 ▲ .
【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式.前 n-1 行共有正整数 1+2+…+(n
-1)个,即
2
2
n n 个,因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第
2
2
n n +3 个,即为
2 6
2
n n .
【答案】
2 6
2
n n
11.已知 , ,x y z R , 2 3 0x y z ,则
2y
xz
的最小值 ▲ .
【解析】本小题考查二元基本不等式的运用.由 2 3 0x y z 得 3
2
x zy ,代入
2y
xz
得
2 29 6 6 6 34 4
x z xz xz xz
xz xz
,当且仅当 x =3 z 时取“=”.
【答案】3
12.在平面直角坐标系中,椭圆
2 2
2 2
x y
a b
1( a b 0)的焦距为 2,以 O 为圆心,a 为半径
的圆,过点
2
,0a
c
作圆的两切线互相垂直,则离心率 e = ▲ . ? ?
【解析】设切线 PA、PB 互相垂直,又半径 OA 垂直于 PA,所以△OAP 是等腰直角三角
形,故
2
2a ac
,解得 2
2
ce a
.
【答案】 2
2
13.若 AB=2, AC= 2 BC ,则 ABCS 的最大值 ▲ . ?
【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想.设 BC= x ,则 AC= 2x ,
根据面积公式得 ABCS = 21 sin 1 cos2 AB BC B x B ,根据余弦定理得
2 2 2 2 24 2cos 2 4
AB BC AC x xB AB BC x
24
4
x
x
,代入上式得
ABCS =
2 22 128 1241 4 16
xxx x
由三角形三边关系有 2 2
2 2
x x
x x
解得 2 2 2 2 2 2x ,
故当 2 2x 时取得 ABCS 最大值 2 2
【答案】 2 2
14. 3 3 1f x ax x 对于 1,1x 总有 f x ≥0 成立,则 a = ▲ .
【解析】本小题考查函数单调性的综合运用.若 x=0,则不论 a 取何值, f x ≥0 显然成
立;当 x>0 即 1,1x 时, 3 3 1f x ax x ≥0 可化为, 2 3
3 1a x x
设 2 3
3 1g x x x
,则 '
4
3 1 2xg x x
, 所以 g x 在区间 10, 2
上单调递增,在区
间 1 ,12
上单调递减,因此 max
1 42g x g
,从而 a ≥4;
当 x<0 即 1,0 时, 3 3 1f x ax x ≥0 可化为 a 2 3
3 1
x x
, '
4
3 1 2xg x x
0
g x 在区间 1,0 上单调递增,因此 ma 1 4ng x g ,从而 a ≤4,综上 a =4
【答案】4
二、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始边做两个锐角 , ,它们的终边分别与
单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分别为 2 2 5,10 5
.
(Ⅰ)求 tan( )的值;
(Ⅱ)求 2 的值.
【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式.
由条件的 2 2 5cos ,cos10 5
,因为 , 为锐角,所以sin = 7 2 5,sin10 5
因此 1tan 7,tan 2
(Ⅰ)tan( )= tan tan 31 tan tan
(Ⅱ) 2
2tan 4tan 2 1 tan 3
,所以 tan tan 2tan 2 11 tan tan 2
∵ , 为锐角,∴ 30 2 2
,∴ 2 = 3
4
16.在四面体 ABCD 中,CB= CD, AD⊥BD,且 E ,F 分别是 AB,BD 的中点,
求证:(Ⅰ)直线 EF ∥面 ACD ;
(Ⅱ)面 EFC⊥面 BCD .
【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定.
(Ⅰ)∵ E,F 分别是 AB,BD 的中点,
∴EF 是△ABD 的中位线,∴EF∥AD,
∵EF 面 ACD ,AD 面 ACD ,∴直线 EF∥面 ACD .
(Ⅱ)∵ AD⊥BD ,EF∥AD,∴ EF⊥BD.
∵CB=CD, F 是 BD 的中点,∴CF⊥BD.
又 EF CF=F,∴BD⊥面 EFC.∵BD 面 BCD,∴面 EFC⊥面 BCD .
17.某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的顶点 A,B 及 CD 的中点 P 处,已知 AB=20km,
CB =10km ,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的区域上(含边界),且 A,B 与
等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道 AO,BO,OP ,设排污管道的总长
为 y km.
(Ⅰ)按下列要求写出函数关系式:
①设∠BAO= (rad),将 y 表示成 的函数关系式;
②设 OP x (km) ,将 y 表示成 x x 的函数关系式.
(Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,确定
污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短.
【解析】本小题主要考查函数最值的应用.
(Ⅰ)①由条件知 PQ 垂直平分 AB,若∠BAO= (rad) ,则 10
cos cos
AQOA , 故
10
cosOB ,又 OP=10 10tan 10-10ta ,
所以 10 10 10 10tancos cosy OA OB OP ,
所求函数关系式为 20 10sin 10cosy
0 4
②若 OP= x (km) ,则 OQ=10- x ,所以 OA =OB= 2 2 210 10 20 200x x x
所求函数关系式为 22 20 200 0 10y x x x x
(Ⅱ)选择函数模型①, '
2 2
10cos cos 20 10 sin 10 2sin 1
cos cos
siny
令 'y 0 得 sin 1
2
,因为 0 4
,所以 =
6
,
当 0, 6
时, ' 0y , y 是 的减函数;当 ,6 4
时, ' 0y , y 是 的增函
数,所以当 =
6
时, min 10 10 3y 。这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上,且距离 AB 边
10 3
3
km 处。
18.设平面直角坐标系 xoy 中,设二次函数 2 2f x x x b x R 的图象与两坐标轴
C
B
P
O
A
D
有三个交点,经过这三个交点的圆记为 C.求:
(Ⅰ)求实数 b 的取值范围;
(Ⅱ)求圆 C 的方程;
(Ⅲ)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论.
【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法.
(Ⅰ)令 x =0,得抛物线与 y 轴交点是(0,b);
令 2 2 0f x x x b ,由题意 b≠0 且Δ>0,解得 b<1 且 b≠0.
(Ⅱ)设所求圆的一般方程为 2x 2 0y Dx Ey F
令 y =0 得 2 0x Dx F 这与 2 2x x b =0 是同一个方程,故 D=2,F=b .
令 x =0 得 2y Ey =0,此方程有一个根为 b,代入得出 E=―b―1.
所以圆 C 的方程为 2 2 2 ( 1) 0x y x b y b .
(Ⅲ)圆 C 必过定点(0,1)和(-2,1).
证明如下:将(0,1)代入圆 C 的方程,得左边=0 2 +1 2 +2×0-(b+1)+b=0,右边
=0,
所以圆 C 必过定点(0,1).
同理可证圆 C 必过定点(-2,1).
19.(Ⅰ)设 1 2, , , na a a 是各项均不为零的等差数列( 4n ),且公差 0d ,若将此数
列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列:
①当 n =4 时,求 1a
d
的数值;②求 n 的所有可能值;
(Ⅱ)求证:对于一个给定的正整数 n(n≥4),存在一个各项及公差都不为零的等差数列
1 2, , , nb b b ,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列.
【解析】本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用.
(Ⅰ)①当 n=4 时, 1 2 3 4, , ,a a a a 中不可能删去首项或末项,否则等差数列中连续三项成
等比数列,则推出 d=0.
若删去 2a ,则有 2
3 1 4 ,a a a 即 2
1 1 12 3a d a a d
化简得 2
1 4a d d =0,因为 d ≠0,所以 1a
d =4 ;
若删去 3a ,则有 2
1 4a a a ,即 2
1 1 1 3a d a a d ,故得 1a
d =1.
综上 1a
d =1 或-4.
②当 n=5 时, 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a 中同样不可能删去首项或末项.
若删去 2a ,则有 1 5a a = 3 4a a ,即 1 1 1 14 2 3a a d a d a d .故得 1a
d =6 ;
若删去 3a ,则 1 5a a = 2 4a a ,即 1 1 1 14 3a a d a d a d .
化简得 3 2d =0,因为 d≠0,所以也不能删去 3a ;
若删去 4a ,则有 1 5a a = 2 3a ag ,即 ( ) ( ) ( )1 1 1 14 2a a d a d a d+ = + +g g .故得 1a
d = 2 .
当 n≥6 时,不存在这样的等差数列.事实上,在数列 1a , 2a , 3a ,…, 2na , 1na , na
中,
由于不能删去首项或末项,若删去 2a ,则必有 1 na a = 3 2na a ,这与 d≠0 矛盾;同样若删
去 2na 也有 1 na a = 3 2na a ,这与 d≠0 矛盾;若删去 3a ,…, 2na 中任意一个,则必有
1 na a = 2 1na a ,这与 d≠0 矛盾.
综上所述,n∈{4,5}.
(Ⅱ)略
20.若 1
1 3 x pf x , 2
2 2 3 x pf x , 1 2, ,x R p p 为常数,
且
1 1 2
2 1 2
,
,
f x f x f xf x f x f x f x
(Ⅰ)求 1f x f x 对所有实数成立的充要条件(用 1 2,p p 表示);
(Ⅱ)设 ,a b 为两实数, a b 且 1 2,p p ,a b ,若 f a f b
求证: f x 在区间 ,a b 上的单调增区间的长度和为
2
b a (闭区间 ,m n 的长度定义为
n m ).
【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用.
(Ⅰ) 1f x f x 恒成立 1 2f x f x 1 23 2 3x p x p 1 2 3log 23 3x p x p
1 2 3 2x p x p log (*)
因为 1 2 1 2 1 2x p x p x p x p p p
所以,故只需 1 2p p 3 2log (*)恒成立
综上所述, 1f x f x 对所有实数成立的充要条件是: 1 2p p 3 2log
(Ⅱ)1°如果 1 2p p 3 2log ,则的图象关于直线 1x p 对称.因为 f a f b ,所以
区间 ,a b 关于直线 1x p 对称.
因为减区间为 1,a p ,增区间为 1,p b ,所以单调增区间的长度和为
2
b a
2°如果 1 2p p 3 2log .
(1)当 1 2p p 3 2log 时.
1
1
1
1
1
3 , ,
3 , ,
x p
p x
x p bf x x a p
,
2 3
2 3
log 2
2
2 log 2
2
3 , ,
3 , ,
x p
p x
x p bf x x a p
当 1,x p b ,
2 1 3log 21 0
2
3 3 1,p pf x
f x
因 为 1 20, 0f x f x , 所 以
1 2f x f x ,
故 1f x f x = 13x p
当 2,x a p ,
1 2 3log 21 0
2
3 3 1,p pf x
f x
因 为 1 20, 0f x f x , 所 以
1 2f x f x
故 2f x f x = 2 3log 23p x
因为 f a f b ,所以 2 31 log 23 3 p ab p ,所以 1 2 3log 2,b p p a 即
1 2 3log 2a b p p
当 2 1,x p p 时,令 1 2f x f x ,则 2 31 log 23 3x pp x ,所以 1 2 3log 2
2
p px ,
当 1 2 3
2
log 2, 2
p px p
时, 1 2f x f x ,所以 2f x f x = 2 3log 23x p
1 2 3
1
log 2 ,2
p px p
时, 1 2f x f x ,所以 1f x f x = 13p x
f x 在区间 ,a b 上的单调增区间的长度和 1 2 3
1 2
log 2
2
p pb p p
= 1 2 3log 2
2 2 2
p p a b b ab b
(2)当 2 1p p 3 2log 时.
1
1
1
1
1
3 , ,
3 , ,
x p
p x
x p bf x x a p
,
2 3
2 3
log 2
2
2 log 2
2
3 , ,
3 , ,
x p
p x
x p bf x x a p
当 2 ,x p b ,
2 1 3log 21 0
2
3 3 1,p pf x
f x
因 为 1 20, 0f x f x , 所 以
1 2f x f x ,
故 2f x f x = 2 3log 23x p
当 1,x a p ,
1 2 3log 21 0
2
3 3 1,p pf x
f x
因为 1 20, 0f x f x ,所以 1 2f x f x
故 1f x f x = 13p x
因为 f a f b ,所以 2 31 log 23 3b pp a ,所以 1 2 3log 2a b p p
当 1 2,x p p 时,令 1 2f x f x ,则 2 31 log 23 3 p xx p ,所以 1 2 3log 2
2
p px ,
当 1 2 3
1
log 2, 2
p px p
时, 1 2f x f x ,所以 1f x f x = 13x p
1 2 3
1
log 2 ,2
p px p
时, 1 2f x f x ,所以 2f x f x = 2 3log 23p x
f x 在区间 ,a b 上的单调增区间的长度和 1 2 3
2 1
log 2
2
p pb p p
= 1 2 3log 2
2 2 2
p p a b b ab b
综上得 f x 在区间 ,a b 上的单调增区间的长度和为
2
b a
21:从 A,B,C,D 四个中选做 2 个,每题 10 分,共 20 分
A.选修 4—1 几何证明选讲
如图,设△ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线交于点 E,∠BAC 的平分线与 BC 交于
点 D.求证: 2ED EB EC .
证明:如图,因为 AE 是圆的切线,
所以, ABC CAE ,
又因为 AD 是 BAC 的平分线,
所以 BAD CAD
从而 ABC BAD CAE CAD
因为 ADE ABC BAD ,
DAE CAD CAE
B C ED
A
所以 ADE DAE ,故 EA ED .
因为 EA 是圆的切线,所以由切割线定理知,
2EA EC EB ,
而 EA ED ,所以 2ED EC EB
B.选修 4—2 矩阵与变换
在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 2 24 1x y 在矩阵 2 0
0 1 对应的变换作用下得到曲线 F,
求 F 的方程.
解:设 0 0( , )P x y 是椭圆上任意一点,点 0 0( , )P x y 在矩阵 A 对应的变换下变为点
' ' '
0 0( , )P x y 则有
'
0 0
'
00
2 0 0 1
x x
yy
,即
'
0 0
'
0 0
2x x
y y
,所以
'
0
0
'
0 0
2
xx
y y
又因为点 P 在椭圆上,故 2 2
0 04 1x y ,从而 ' 2 ' 2
0 0( ) ( ) 1x y
所以,曲线 F 的方程是 2 2 1x y
C.选修 4—4 参数方程与极坐标
在平面直角坐标系 xOy 中,点 ( )P x y, 是椭圆
2
2 13
x y 上的一个动点,求 S x y 的最
大值.
解: 因椭圆
2
2 13
x y 的参数方程为 3 cos (
sin
x
y
为参数)
故可设动点 P 的坐标为 ( 3 cos ,sin ),其中 0 2 .
因此 3 13 cos sin 2( cos sin ) 2sin( )2 2 3S x y
所以。当
6
是, S 取最大值 2
D.选修 4—5 不等式证明选讲
设 a,b,c 为正实数,求证: 3 3 3
1 1 1 2 3a b c
+abc≥ .
证明:因为 , ,a b c 为正实数,由平均不等式可得 3
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 13a b c a b c
即 3 3 3
1 1 1 3
a b c abc
所以 3 3 3
1 1 1 3abc abca b c abc
,
而 3 32 2 3abc abcabc abc
所以 3 3 3
1 1 1 2 3a b c
+abc≥
22.【必做题】记动点 P 是棱长为 1 的正方体 1 1 1 1-ABCD A B C D 的对角线 1BD 上一点,记
1
1
D P
D B
.当 APC 为钝角时,求 的取值范围.
解:由题设可知,以 DA
、 DC
、 1DD
为单位正交基底,
建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz ,则有
(1,0,0)A , (1,1,0)B , (0,1,0)C , (0,0,1)D
由 1 (1,1, 1)D B ,得 1 1 ( , , )D P D B ,所以
1 1 ( , , ) (1,0, 1) (1 , , 1)PA PD D A
1 1 ( , , ) (0,1, 1) ( ,1 , 1)PC PD D C
显然 APC 不是平角,所以 APC 为钝角等价于
cos cos , 0PA PCAPC PA PC
PA PC
,则等价于 0PA PC
即 2(1 )( ) ( )(1 ) ( 1) ( 1)(3 1) 0 ,得 1 13
因此, 的取值范围是 1( ,1)3
23.【必做题】.请先阅读:
在等式 2cos2 2cos 1x x ( xR )的两边求导,得: 2(cos2 ) (2cos 1) x x ,
由求导法则,得 ( sin 2 ) 2 4cos ( sin ) x x x ,化简得等式:sin 2 2cos sinx x x .
(1)利用上题的想法(或其他方法),结合等式 0 1 2 2(1+x) =C C C Cn n n
n n n nx x x
( xR ,正整数 2n≥ ),证明: 1 1
2
[(1 ) 1] C
n
n k k
n
k
n x k x
.
(2)对于正整数 3n≥ ,求证:
(i)
1
( 1) C 0
n
k k
n
k
k
; (ii) 2
1
( 1) C 0
n
k k
n
k
k
; (iii)
1
1
1 2 1C1 1
nn
k
n
k k n
.
证明:(1)在等式 0 1 2 2(1+x) =C C C Cn n n
n n n nx x x 两边对 x 求导得
1 1 2 1 2 1(1 ) 2 ( 1)n n n n n
n n n nn x C C x n C x nC x
移项得 1 1
2
[(1 ) 1]
n
n k k
n
k
n x kC x
(*)
(2)(i)在(*)式中,令 1x ,整理得 1
1
( 1) 0
n
k k
n
k
kC
所以
1
( 1) 0
n
k k
n
k
kC
(ii)由(1)知 1 1 2 1 2 1(1 ) 2 ( 1) , 3n n n n n
n n n nn x C C x n C x nC x n
两边对 x 求导,得 2 2 3 2( 1)(1 ) 2 3 2 ( 1)n n n
n n nn n x C C x n n C x
在上式中,令 1x
2 3 2 20 2 3 2 ( 1) ( 1) ( 1) n
n n nC C n n C
即 2
2
( 1) ( 1) 0
n
k k
n
k
k k C
,
亦即 2
2
( 1) ( ) 0
n
k k
n
k
k k C
(1)
又由(i)知
1
( 1) 0
n
k k
n
k
kC
(2)
由(1)+(2)得 2
1
( 1) C 0
n
k k
n
k
k
( iii ) 将 等 式 0 1 2 2(1+x) =C C C Cn n n
n n n nx x x 两 边 在 [0,1] 上 对 x 积 分
1 1 0 1 2 2
0 0
(1 ) (C C C C )n n n
n n n nx dx x x x dx
由微积分基本定理,得 1 1 1 1
0 0
0
1 1(1 ) ( )1 1
n
n k k
n
k
x C xn k
所以
1
0
1 2 1
1 1
nn
k
n
k
Ck n
2009 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学Ⅰ
参考公式:
样本数据 1 2, , , nx x x 的方差
2 2
1 1
1 1( ) ,
n n
i i
i i
s x x x xn n
其中
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位置
上.
1.若复数 1 24 29 , 6 9z i z i ,其中i 是虚数单位,则复数 1 2( )z z i 的实部为 ★ .
2.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30 ,| | 2,| | 3 a b ,则向量 a 和向量 b 的数量积
a b ★ .
3.函数
3 2( ) 15 33 6f x x x x 的单调减区间为 ★ .
4. 函 数 sin( )( , ,y A x A 为 常 数 ,
0, 0)A 在闭区间[ ,0] 上的图象如图所示,
则 ★ .
5.现有 5 根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为 2.5,
2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取 2 根竹竿,则
它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 ★ .
1
1 2
3
3
O x
y
6.某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习,每人投 10 次,
投中的次数如下表:
学生 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号
甲班 6 7 7 8 7
乙班 6 7 6 7 9
则以上两组数据的方差中较小的一个为 2s ★ .
7.右图是一个算法的流程图,最后输出的W ★ .
8.在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1:2,则它们的面
积比为 1:4,类似地,在空间,若两个正四面体的棱长的比
为 1:2,则它们的体积比为 ★ .
9. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 点 P 在 曲 线
3: 10 3C y x x 上,且在第二象限内,已知曲线 C 在
点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为 ★ .
10.已知
5 1
2a
,函数 ( ) xf x a ,若实数 ,m n 满足
( ) ( )f m f n ,则 ,m n 的大小关系为 ★ .
11. 已 知 集 合 2| log 2A x x , ( , )B a , 若
A B 则实数 a 的取值范围是 ( , )c ,其中 c ★ .
12.设 和 为不重合的两个平面,给出下列命题:
(1)若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线,则 平行于 ;
开始
0S
1T
2S T S
10S
2T T
W S T
输出W
结束
Y
N
(2)若 外一条直线l 与 内的一条直线平行,则l 和 平行;
(3)设 和 相交于直线l ,若 内有一条直线垂直于l ,则 和 垂直;
(4)直线l 与 垂直的充分必要条件是l 与 内的两条直线垂直.
上面命题中,真命题的序号 ★ (写出所有真命题的序号).
13.如图,在平面直角坐标系 xoy 中, 1 2 1 2, , ,A A B B 为椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的
四个顶点,F 为其右焦点,直线 1 2A B 与直线 1B F 相交于点 T,线段OT 与椭圆的交点 M
恰为线段OT 的中点,则该椭圆的离心率为 ★ .
14.设 na 是公比为 q 的等比数列, | | 1q ,令
1( 1,2, )n nb a n 若数列 nb 有连续四项在
集合 53, 23,19,37,82 中,则 6q ★ .
二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文
字说明、证明或演算步骤.
15.(本小题满分 14 分)
设向量 (4cos ,sin ), (sin ,4cos ), (cos , 4sin ) a b c
(1)若 a 与 2b c 垂直,求 tan( ) 的值;
(2)求| |b c 的最大值;
(3)若 tan tan 16 ,求证: a ∥ b .
16.(本小题满分 14 分)
如图,在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中, E,F 分别是 1 1A B,AC 的中点,点 D 在 1 1B C 上,
x
y
A1
B2
A2O
T
M
1 1A D B C
求证:(1) EF ∥ ABC平面
(2) 1 1 1A FD BB C C平面 平面
17.(本小题满分 14 分)
设 na 是公差不为零的等差数列, nS 为其前 n 项和,满足
2 2 2 2
2 3 4 5 7 7a a a a ,S
(1)求数列 na 的通项公式及前 n 项和 nS ;
(2)试求所有的正整数 m ,使得
1
2
m m
m
a a
a
为数列 na 中的项.
18.(本小题满分 16 分)
在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆
2 2
1 :( 3) ( 1) 4C x y 和圆
A
B
C
A1
B1
C1
E
F
D
2 2
2 :( 4) ( 5) 4C x y
(1)若直线l 过点 (4,0)A ,且被圆 1C 截得的弦长为 2 3 ,求
直线l 的方程;
(2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂的
直线 1 2l l和 ,它们分别与圆 1C 和圆 2C 相交,且直线 1l 被圆 1C 截
得的弦长与直线 2l 被圆 2C 截得的弦长相等,试求所有满足条件的
点 P 的坐标.
19.(本小题满分 16 分)
按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为 a 元,如果他卖出该产品的单价为 m
元,则他的满意度为
m
m a ;如果他买进该产品的单价为 n 元,则他的满意度为
n
n a .
如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为 1h 和 2h ,则他对这两种交易的综合满
意度为 1 2h h .
现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元,乙生产 A、B 两种产品
的单件成本分别为 3 元和 20 元,设产品 A、B 的单价分别为 Am 元和 Bm 元,甲买进 A 与
卖出 B 的综合满意度为 h甲 ,乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为 h乙
求 h甲 和 h乙关于 Am 、 Bm 的表达式;当
3
5A Bm m
时,求证: h甲 = h乙 ;
x
y
O 1
1.
.
设
3
5A Bm m
,当 Am 、 Bm 分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综
合满意度为多少?
记(2)中最大的综合满意度为 0h ,试问能否适当选取 Am 、 Bm 的值,使得 0h h甲 和
0h h乙 同时成立,但等号不同时成立?试说明理由。
求 h甲 和 h乙关于 Am 、 Bm 的表达式;当
3
5A Bm m
时,求证: h甲 = h乙 ;
设
3
5A Bm m
,当 Am 、 Bm 分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综
合满意度为多少?
记(2)中最大的综合满意度为 0h ,试问能否适当选取 Am 、 Bm 的值,使得 0h h甲 和
0h h乙 同时成立,但等号不同时成立?试说明理由。
20.(本小题满分 16 分)
设 a 为实数,函数
2( ) 2 ( ) | |f x x x a x a .
若 (0) 1f ,求 a 的取值范围;
求 ( )f x 的最小值;
设函数 ( ) ( ), ( , )h x f x x a ,直接写出(不需给出演算步骤)不等式 ( ) 1h x 的解集.
参考答案
一、填空题
1.【答案】 20
2.【答案】3
【解析】
32 3 32
a b
。
3. 【答案】 ( 1,11)
【解析】
2( ) 3 30 33 3( 11)( 1)f x x x x x ,由 ( 11)( 1) 0x x 得单调
减区间为 ( 1,11) 。
4.【答案】3
【解析】
3
2T
,
2
3T
,所以 3 ,
5.【答案】0.2
6.【答案】
2
5
7.【答案】22
8.【答案】1:8
9.【答案】 ( 2,15)
10.【答案】 m n
11.【答案】4
【解析】由 2log 2x 得 0 4x , (0,4]A ;由 A B 知 4a ,所以c 4。
12.【答案】(1)(2)
13.【答案】 2 7 5e
【解析】用 , ,a b c 表示交点 T,得出 M 坐标,代入椭圆方程即可转化解得离心率.
14.【答案】 9
【解析】将各数按照绝对值从小到大排列,各数减 1,观察即可得解.
二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文
字说明、证明或演算步骤.
15.
【解析】由 a 与 2b c 垂直, ( 2 ) 2 0 a b c a b a c ,
即 4sin( ) 8cos( ) 0 , tan( ) 2 ;
(sin cos ,4cos 4sin ) b c
2| |b c
2 2sin 2sin cos cos 2 216cos 32cos sin 16sin
17 30sin cos
17 15sin2 ,
最大值为 32,所以| |b c 的最大值为 4 2 。
由 tan tan 16 得sin sin 16cos cos ,
即 4cos 4cos sin sin 0 ,
所以 a ∥ b .
16.
【解析】证明:(1)因为 E,F 分别是 1 1A B,AC 的中点,所以 EF // BC ,又 EF 面ABC ,
BC 面ABC ,所以 EF ∥ ABC平面 ;
( 2 ) 因 为 直 三 棱 柱 1 1 1ABC A B C , 所 以 1 1 1 1BB A BC 面 , 1 1BB A D , 又
1 1A D B C , 所 以 1 1 1A D BC C 面B , 又 1 1AD AFD 面 , 所 以
1 1 1A FD BB C C平面 平面 。
17.
解析:(1)设公差为 d ,则
2 2 2 2
2 5 4 3a a a a ,
由性质得 4 3 4 33 ( ) ( )d a a d a a ,
因为 0d ,
所以 4 3 0a a ,
即 12 5 0a d ,
又由 7 7S 得 1
7 67 72a d
,
解得 1 5a ,
2d
所以 na 的通项公式为 2 7na n ,前 n 项和
2 6nS n n 。
(2)
1
2
2 7 2 5
2 3
m m
m
a a ( m )( m )
a ( m )
,令 2 3m t ,
1
2
4 2m m
m
a a (t )(t )
a t
8 6t t
,
因为t 是奇数,所以 t 可取的值为 1 ,
当 1t , 2m 时,
8 6 3t t
, 2 5 7 3 ,是数列 na 中的项;
1t , 1m 时,
8 6 15t t
,数列 na 中的最小项是 5 ,不符合。
所以满足条件的正整数 2m 。
18..
【解析】(1) 0y 或
7 ( 4)24y x
,
(2)P 在以 C1C2 的中垂线上,且与 C1、C2 等腰直角三角形,利用几何关系计算可得点 P 坐
标为
3 13( , )2 2
或
5 1( , )2 2
。
19.
【解析】(1)
= , = ,12 5 3 20
A B A B
A B A B
m m m mh hm m m m
乙甲 ( [3,12], [5,20])A Bm m
当
3
5A Bm m
时,
2
3
5= ,3 5 ( 20)( 5)125
B
B B
B B B
B
m m mh m m mm
甲
2
3
5= ,3 20 ( 5)( 20)35
B
B B
B B B
B
m m mh m m mm
乙
显然 =h h乙甲
(2)当
3
5A Bm m
时,
2
2
1 1= ,20 5 1 1( 20)( 5) (1 )(1 ) 100( ) 25 1
B
B B
B B B B
mh m m
m m m m
甲
由
1 1 1[5,20] [ , ]20 5B
B
m m
得
,
故当
1 1
20Bm
即 20, 12B Am m 时,甲乙两人同时取到最大的综合满意度为
10
5
20.
【解析】(1)若 (0) 1f ,则
2
0
| | 1 1
1
a
a a a
a
(2)当 x a 时,
2 2( ) 3 2 ,f x x ax a
2
2min
( ), 0 2 , 0
( ) 2( ), 0 , 03 3
f a a a a
f x a af a a
当 x a 时,
2 2( ) 2 ,f x x ax a
2
min 2
( ), 0 2 , 0( ) ( ), 0 2 , 0
f a a a af x f a a a a
综上
2
2min
2 , 0
( ) 2 , 03
a a
f x a a
(3) ( , )x a 时, ( ) 1h x 得 2 23 2 1 0x ax a ,
2 2 24 12( 1) 12 8a a a
当
6 6
2 2a a 或
时, 0, ( , )x a ;
当
6 6
2 2a
时, 0, 得
2 23 2 3 2( )( ) 03 3
a a a ax x
x a
1)
2 6( , )2 2a
时, ( , )x a
2)
2 2[ , ]2 2a
时,
23 2[ , )3
a ax
3)
6 2( , ]2 2a
时,
2 23 2 3 2( , ] [ , )3 3
a a a ax a
2010 江苏省高考试题
参考公式:
锥体的体积公式: ShV 3
1锥体 ,其中 S 是锥体的底面面积, h 是高.
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位.......
置上...
1. 设集合 3,1,1A , 4,2 2 aaB , 3 BA ,则实数 a 的值为 ▲ .
2. 设复数 z 满足 iiz 46)32( (其中i 为虚数单位),则 z 的模为 ▲ .
3. 盒子中有大小相同的 3 只白球,1 只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同的
概率是 ▲ .
4. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了 100
根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要
指标),所得数据都在区间[5,40]中,其频率分布直方图
如图所示,则其抽样的 100 根中,有 ▲ 根在
棉花纤维的长度小于 20mm.
5. 设函数 ))(()( Rxaeexxf xx 是偶函数,则实数
a= ▲ .
6. 平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 1124
22
yx 上一点 M,点 M 的横坐标
是 3,则 M 到双曲线右焦点的距离是 ▲ .
7. 右图是一个算法的流程图,则输出 S 的值是 ▲ .
8. 函数 )0(2 xxy 的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐
标为 ak+1,k 为正整数,a1=16,则 a1+a3+a5= ▲ .
9. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 422 yx 上有且仅有四个点
到 直 线 0512 cyx 的 距 离 为 1 , 则 实 数 c 的 取 值 范 围 是
▲ .
10. 定义在区间
20 , 上的函数 xy cos6 的图像与 xy tan5 的图像的交点为 P,过点 P
作 PP1 ⊥ x 轴 于 点 P1 , 直 线 PP1 与 xsin 的 图 像 交 于 点 P2, 则 线 段 P1P2 的 长 为
▲ .
11. 已 知 函 数
2 1, 0( )
1, 0
x xf x
x
, 则 满 足 不 等 式 2(1 ) (2 )f x f x 的 x 的 范 围 是
▲ .
12. 设实数 yx, 满足 94,83
2
2
y
xxy ,则 4
3
y
x 的最大值是 ▲ .
13. 在锐角三角形 ABC,A、B、C 的对边分别为 a、b、c, 6cosb a Ca b
,则 tan tan
tan tan
C C
A B
=
▲ .
14. 将边长为 m1 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记
2(S 梯形的周长)
梯形的面积 ,则 S 的最小值是 ▲ .
二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文
字说明、证明或演算步骤.
15.(本小题满分 14 分)
在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1).
(1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长;
(2)设实数 t 满足( OCtAB )·OC =0,求 t 的值.
16. (本小题满分 14 分)
如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠
BCD=900.
(1)求证:PC⊥BC;
(2)求点 A 到平面 PBC 的距离.
17. (本小题满分 14 分)
某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m ),如示意图,垂直放置的标杆 BC 的高
度 mh 4 ,仰角 ∠ABE= ,∠ADE= .
(1)该小组已经测得一组 、 的值,tan =1.24,tan =1.20,请据此算出 H 的值;
(2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位:m ),
使 与 之差较大,可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为 125 m ,试问 d 为
多少时, - 最大?
18. (本小题满分 16 分)
在平面直角坐标系 xoy 中,如图,已知椭圆 159
22
yx 的左右顶点为 A,B,右顶点为
F,设过点T ( mt, )的直线 TBTA, 与椭圆分别交于点 M ),( 11 yx , ),( 22 yxN ,其中
0m , 0,0 21 yy .
(1)设动点 P 满足 422 PBPF ,求点 P 的轨迹;
(2)设
3
1,2 21 xx ,求点T 的坐标;
(3)设 9t ,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点.
(其坐标与 m 无关)
19.(本小题满分 16 分)
设各项均为正数的数列 na 的前 n 项和为 nS ,已知 3122 aaa ,数列 nS 是公差
为 d 的等差数列.
(1)求数列 na 的通项公式(用 dn, 表示)
( 2 ) 设 c 为 实 数 , 对 满 足 nmknm 且3 的 任 意 正 整 数 knm ,, , 不 等 式
knm cSSS 都成立,求证: c 的最大值为
2
9 .
20.(本小题满分 16 分)
设 )(xf 是定义在区间 ),1( 上的函数,其导函数为 )(' xf .如果存在实数 a 和函数
)(xh ,其中 )(xh 对任意的 ),1( x 都有 )(xh >0,使得 )1)(()(' 2 axxxhxf ,
则称函数 )(xf 具有性质 )(aP .
(1)设函数 )(xf )1(1
2)(
xx
bxh ,其中b 为实数
(ⅰ)求证:函数 )(xf 具有性质 )(bP ;
(ⅱ)求函数 )(xf 的单调区间;
( 2 ) 已 知 函 数 )(xg 具 有 性 质 )2(P , 给 定
为实数,设mxxxx ,),,1(, 2121 21 )1( xmmx ,
21)1( mxxm ,且 1,1 ,若| )()( gg |<| )()( 21 xgxg |,求 m 的
取值范围.
参考答案
2011 年江苏省高考数学试卷
一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分)
1.(5 分)(2011•江苏)已知集合 A={﹣1,1,2,4},B={﹣1,0,2},则 A∩B= _________ .
2.(5 分)(2011•江苏)函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是 _________ .
3.(5 分)(2011•江苏)设复数 z 满足 i(z+1)=﹣3+2i(i 为虚数单位),则 z 的实部是
_________ .
4.(5 分)(2011•江苏)根据如图所示的伪代码,当输入 a,b 分别为 2,3 时,最后输出的
m 的值为 _________ .
5.(5 分)(2011•江苏)从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另
一个的两倍的概率是 _________ .
6.(5 分)(2011•江苏)某老师从星期一到星期五收到信件数分别是 10,6,8,5,6,则该
组数据的方差 s2= _________ .
7.(5 分)(2011•江苏)已知 ,则 的值为 _________ .
8.(5 分)(2011•江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数
的图象交于 P、Q 两点,则线段 PQ 长的最小值是 _________ .
9.(5 分)(2011•江苏)函数 f(x)=Asin(ωx+ϕ),(A,ω,ϕ是常数,A>0,ω>0)的
部分图象如图所示,则 f(0)= _________ .
10.(5 分)(2011•江苏)已知 , 是夹角为 的两个单位向量, = ﹣2 ,
=k + ,若 • =0,则实数 k 的值为 _________ .
11.(5 分)(2011•江苏)已知实数 a≠0,函数 ,若 f(1﹣a)=f
(1+a),则 a 的值为 _________ .
12.(5 分)(2011•江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 P 是函数 f(x)=ex(x>0)的图
象上的动点,该图象在点 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M,过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N,设
线段 MN 的中点的纵坐标为 t,则 t 的最大值是 _________ .
13.(5 分)(2011•江苏)设 1=a1≤a2≤…≤a7,其中 a1,a3,a5,a7 成公比为 q 的等比数列,
a2,a4,a6 成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是 _________ .
14.(5 分)(2011•江苏)设集合 ,
B={(x,y)|2m≤x+y≤2m+1,x,y
∈
R},若 A∩B≠
∅
,则实数 m 的取值范围是
_________ .
二、解答题(共 9 小题,满分 120 分)
15.(14 分)(2011•江苏)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c
(1)若 ,求 A 的值;
(2)若 ,求 sinC 的值.
16.(14 分)(2011•江苏)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,
∠BAD=60°,E、F 分别是 AP、AD 的中点求证:
(1)直线 EF∥平面 PCD;
(2)平面 BEF⊥平面 PAD.
17.(14 分)(2011•江苏)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为 60cm 的正方
形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 A,B,
C,D 四个点重合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F 在 AB 上,是
被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设 AE=FB=x(cm).
(1)若广告商要求包装盒侧面积 S(cm2)最大,试问 x 应取何值?
(2)若广告商要求包装盒容积 V(cm3)最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与
底面边长的比值.
18.(16 分)(2011•江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆 的
顶点,过坐标原点的直线交椭圆于 P,A 两点,其中点 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,
垂足为 C,连接 AC,并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k
(1)若直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值;
(2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d;
(3)对任意 k>0,求证:PA⊥PB.
19.(16 分)(2011•江苏)已知 a,b 是实数,函数 f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx,f'(x)
和 g'(x)是 f(x),g(x)的导函数,若 f'(x)g'(x)≥0 在区间 I 上恒成立,则称 f(x)
和 g(x)在区间 I 上单调性一致
(1)设 a>0,若函数 f(x)和 g(x)在区间[﹣1,+∞)上单调性一致,求实数 b 的取值
范围;
(2)设 a<0,且 a≠b,若函数 f(x)和 g(x)在以 a,b 为端点的开区间上单调性一致,
求|a﹣b|的最大值.
20.(16 分)(2011•江苏)设 M 为部分正整数组成的集合,数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和
为 Sn,已知对任意整数 k
∈
M,当整数 n>k 时,Sn+k+Sn﹣k=2(Sn+Sk)都成立
(1)设 M={1},a2=2,求 a5 的值;
(2)设 M={3,4},求数列{an}的通项公式.
21.(10 分)(2011•江苏)A.选修 4﹣1:几何证明选讲
如图,圆 O1 与圆 O2 内切于点 A,其半径分别为 r1 与 r2(r1>r2 ).圆 O1 的弦 AB 交圆 O2
于点 C ( O1 不在 AB 上).求证:AB:AC 为定值.
B.选修 4﹣2:矩阵与变换
已知矩阵 ,向量 .求向量 ,使得 A2 = .
C.选修 4﹣4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆 (φ为参数)的右焦点,且与直线
(t 为参数)平行的直线的普通方程.
D.选修 4﹣5:不等式选讲(本小题满分 10 分)
解不等式:x+|2x﹣1|<3.
22.(10 分)(2011•江苏) 如图,在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=2,AB=1,点 N
是 BC 的中点,点 M 在 CC1 上.设二面角 A1﹣DN﹣M 的大小为θ(1)当θ=90° 时,求 AM
的长;
(2)当 时,求 CM 的长.
23.(10 分)(2011•江苏)设整数 n≥4,P(a,b) 是平面直角坐标系 xOy 中的点,其中 a,
b
∈
{1,2,3,…,n},a>b.
(1)记 An 为满足 a﹣b=3 的点 P 的个数,求 An;
(2)记 Bn 为满足 是整数的点 P 的个数,求 Bn.
2011 年江苏省高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分)
1.(5 分)(2011•江苏)已知集合 A={﹣1,1,2,4},B={﹣1,0,2},则 A∩B= {﹣1,
2} .
考点:交集及其运算.4664233
专题:计算题.
分析:根据已知中集合 A={﹣1,1,2,4},B={﹣1,0,2},根据集合交集运算法则我们易
给出 A∩B
解答:解:∵集合 A={﹣1,1,2,4},B={﹣1,0,2},
∴A∩B={﹣1,2}
故答案为:{﹣1,2}
点评:本题考查的知识点是集合交集及其运算,这是一道简单题,利用交集运算的定义即可
得到答案.
2.(5 分)(2011•江苏)函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是 (﹣ ,+∞) .
考点:对数函数的单调性与特殊点.4664233
专题:计算题.
分析:要求函数的单调区间,我们要先求出函数的定义域,然后根据复合函数“同增异减”的
原则,即可求出函数的单调区间.
解答:解:要使函数的解析有有意义
则 2x+1>0
故函数的定义域为(﹣ ,+∞)
由于内函数 u=2x+1 为增函数,外函数 y=log5u 也为增函数
故函数 f(x)=log5(2x+1)在区间(﹣ ,+∞)单调递增
故函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是 (﹣ ,+∞)
故答案为:(﹣ ,+∞)
点评:本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点,其中本题易忽略定义域,造成答案
为 R 的错解.
3.(5 分)(2011•江苏)设复数 z 满足 i(z+1)=﹣3+2i(i 为虚数单位),则 z 的实部是
1 .
考点:复数代数形式的混合运算. 4664233
专题:计算题.
分析:复数方程两边同乘 i,化简后移项可得复数 z,然后求出它的实部.
解答:解:因为 i(z+1)=﹣3+2i,所以 i•i(z+1)=﹣3i+2i•i,
所以 z+1=3i+2,z=1+3i 它的实部为:1;
故答案为:1
点评:本题是基础题,考查复数代数形式的混合运算,考查计算能力,常考题型.
4.(5 分)(2011•江苏)根据如图所示的伪代码,当输入 a,b 分别为 2,3 时,最后输出的
m 的值为 3 .
考点:伪代码. 4664233
专题:图表型.
分析:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用
是计算分段函数 m= 的值,代入 a=2,b=3,即可得到答案.
解答:解:分析程序中各变量、各语句的作用,
再根据流程图所示的顺序,可知:
该程序的作用是计算分段函数 m= 的值,
∵a=2<b=3,
∴m=3
故答案为:3
点评:算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序
填空也是重要的考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③变
量的赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不
能准确理解流程图的含义而导致错误.
5.(5 分)(2011•江苏)从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另
一个的两倍的概率是 .
考点:古典概型及其概率计算公式.4664233
专题:计算题.
分析:根据题意,首先用列举法列举从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数的全部情
况,可得其情况数目,进而可得其中一个数是另一个的两倍的情况数目,由古典概型
的公式,计算可得答案.
解答:解:从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数,
有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共 6 种情况;
其中其中一个数是另一个的两倍的有两种,即(1,2),(2,4);
则其概率为 = ;
故答案为: .
点评:本题考查古典概型的计算,解本题时,用列举法,注意按一定的顺序,做到不重不漏.
6.(5 分)(2011•江苏)某老师从星期一到星期五收到信件数分别是 10,6,8,5,6,则该
组数据的方差 s2= 3.2 .
考点:极差、方差与标准差. 4664233
专题:计算题.
分析:首先根据所给的这组数据求出这组数据的平均数,再利用求方差的公式,代入数据求
出这组数据的方差,得到结果.
解答:解:∵收到信件数分别是 10,6,8,5,6,
∴收到信件数的平均数是 =7,
∴该组数据的方差是 ,
故答案为:3.2
点评:本题考查求一组数据的方差,对于一组数据,通常要求的是这组数据的众数,中位数,
平均数,方差分别表示一组数据的特征,这样的问题可以出现在选择题或填空题.
7.(5 分)(2011•江苏)已知 ,则 的值为 .
考点:二倍角的正切;两角和与差的正切函数. 4664233
专题:计算题;方程思想.
分析:先利用两角和的正切公式求得 tanx 的值,从而求得 tan2x,即可求得 .
解答:解:∵ ,
∴ =2,
解得 tanx= ;
∴tan2x= = =
∴ = =
故答案为
点评:本题考查了二倍角的正切与两角和的正切公式,体现了方程思想,是个基础题.
8.(5 分)(2011•江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数
的图象交于 P、Q 两点,则线段 PQ 长的最小值是 4 .
考点:两点间距离公式的应用.4664233
专题:计算题.
分析:由题意和函数的图象关于原点对称知当过原点的直线的斜率是 1 时,直线与函数图形
的交点之间的距离最短,写出直线的方程,求出直线与函数的交点坐标,利用两点之
间的距离公式得到结果.
解答:解:由题意知当过原点的直线的斜率是 1 时,直线与函数图形的交点之间的距离最短,
而 y=x 与 y= 的两个交点的坐标是( , )(﹣ ,﹣ ),
∴根据两点之间的距离公式得到|PQ|= = =4,
故答案为:4
点评:本题考查反比例函数的图形的特点,考查直线与双曲线之间的交点坐标的求法,考查
两点之间的距离公式,是一个综合题目.
9.(5 分)(2011•江苏)函数 f(x)=Asin(ωx+ϕ),(A,ω,ϕ是常数,A>0,ω>0)的
部分图象如图所示,则 f(0)= .
考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 4664233
专题:计算题;数形结合.
分析:根据已知的函数图象,我们根据函数图象过( ,0),( ,﹣ )点,我们易结
合 A>0,w>0 求出满足条件的 A、ω、φ的值,进而求出满足条件的函数 f(x)的
解析式,将 x=0 代入即可得到 f(0)的值.
解答:解:由的图象可得函数的周期 T 满足
=
解得 T=π=
又∵ω>0,故ω=2
又∵函数图象的最低点为( ,﹣ )点
故 A=
且 sin(2× +φ)=﹣
即 +φ=
故φ=
∴f(x)= sin(2x+ )
∴f(0)= sin =
故答案为:
点评:本题考查的知识点是函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,其中利用已知函数的图象求
出满足条件的 A、ω、φ的值,是解答本题的关键.
10.(5 分)(2011•江苏)已知 , 是夹角为 的两个单位向量, = ﹣2 ,
=k + ,若 • =0,则实数 k 的值为 .
考点:平面向量数量积的运算.4664233
专题:计算题.
分析:利用向量的数量积公式求出 ;利用向量的运算律求出 ,列出方程求出 k.
解答:解:∵ 是夹角为 的两个单位向量
∴
∴
=
=
∵
∴
解得
故答案为:
点评:本题考查向量的数量积公式、考查向量的运算律、考查向量模的平方等于向量的平方.
11.(5 分)(2011•江苏)已知实数 a≠0,函数 ,若 f(1﹣a)=f
(1+a),则 a 的值为 .
考点:函数的值;分段函数的应用.4664233
专题:计算题.
分析:对 a 分类讨论判断出 1﹣a,1+a 在分段函数的哪一段,代入求出函数值;解方程求出
a.
解答:解:当 a>0 时,1﹣a<1,1+a>1
∴2(1﹣a)+a=﹣1﹣a﹣2a 解得 a= 舍去
当 a<0 时,1﹣a>1,1+a<1
∴﹣1+a﹣2a=2+2a+a 解得 a=
故答案为
点评:本题考查分段函数的函数值的求法:关键是判断出自变量所在的范围.
12.(5 分)(2011•江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 P 是函数 f(x)=ex(x>0)的图
象上的动点,该图象在点 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M,过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N,设
线段 MN 的中点的纵坐标为 t,则 t 的最大值是 .
考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 4664233
专题:计算题.
分析:先设切点坐标为(m,em),然后根据导数的几何意义求出函数 f(x)在 x=m 处的导
数,从而求出切线的斜率,求出切线方程,从而求出点 M 的纵坐标,同理可求出点 N
的纵坐标,将 t 用 m 表示出来,最后借助导数的方法求出函数的最大值即可.
解答:解:设切点坐标为(m,em)
∴该图象在点 P 处的切线 l 的方程为 y﹣em=em(x﹣m)
令 x=0,解得 y=(1﹣m)em
过点 P 作 l 的垂线的切线方程为 y﹣em=﹣e﹣m(x﹣m)
令 x=0,解得 y=em+me﹣m
∴线段 MN 的中点的纵坐标为 t= [(2﹣m)em+me﹣m
]
t'= [﹣em+(2﹣m)em+e﹣m﹣me﹣m
]
,令 t'=0 解得:m=1
当 m
∈
(0,1)时,t'>0,当 m
∈
(1,+∞)时,t'<0
∴当 m=1 时 t 取最大值
故答案为:
点评:本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及利用导数研究函数的最值问
题,属于中档题.
13.(5 分)(2011•江苏)设 1=a1≤a2≤…≤a7,其中 a1,a3,a5,a7 成公比为 q 的等比数列,
a2,a4,a6 成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是 .
考点:等差数列与等比数列的综合.4664233
专题:计算题;压轴题.
分析:利用等差数列的通项公式将 a6 用 a2 表示,求出 a6 的最小值进一步求出 a7 的最小值,
利用等比数列的通项求出公比的范围.
解答:解:方法 1:∵1=a1≤a2≤…≤a7; a2,a4,a6 成公差为 1 的等差数列,
∴a6=a2+2≥3,
∴a6 的最小值为 3,
∴a7 的最小值也为 3,
此时 a1=1 且 a1,a3,a5,a7 成公比为 q 的等比数列,必有 q>0,
∴a7=a1q3≥3,
∴q3≥3,q≥ ,
方法 2:
由题意知 1=a1≤a2≤…≤a7;中 a1,a3,a5,a7 成公比为 q 的等比数列,a2,a4,a6 成公
差为 1 的等差数列,得 ,所以 ,
即 q3﹣2≥1,所以 q3≥3,解得 q≥ ,
故 q 的最小值是: .
故答案为: .
点评:解决等差数列、等比数列的综合问题一般利用通项公式、前 n 项和公式列出方程组,
解方程组求解.即基本量法.
14.(5 分)(2011•江苏)设集合 ,
B={(x,y)|2m≤x+y≤2m+1,x,y
∈
R},若 A∩B≠
∅
,则实数 m 的取值范围是 [ ,
2+
]
.
考点:直线与圆的位置关系. 4664233
专题:计算题;压轴题.
分析:根据题意可把问题转换为圆与直线有交点,即圆心到直线的距离小于或等于半径,进
而联立不等式组求得 m 的范围.
解答:解:依题意可知集合 A 表示一系列圆内点的集合,集合 B 表示出一系列直线的集合,
要使两集合不为空集,需直线与圆有交点,由 可得 m≤0 或 m≥
当 m≤0 时,有| |>﹣m 且| |>﹣m;
则有 ﹣ m>﹣m, ﹣ m>﹣m,
又由 m≤0,则 2>2m+1,可得 A∩B=
∅
,
当 m≥ 时,有| |≤m 或| |≤m,
解可得:2﹣ ≤m≤2+ ,1﹣ ≤m≤1+ ,
又由 m≥ ,则 m 的范围是[ ,2+
]
;
综合可得 m 的范围是[ ,2+
]
;
故答案为[ ,2+
]
.
点评:本题主要考查了直线与圆的位置关系.一般是利用数形结合的方法,通过圆心到直线
的距离来判断.
二、解答题(共 9 小题,满分 120 分)
15.(14 分)(2011•江苏)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c
(1)若 ,求 A 的值;
(2)若 ,求 sinC 的值.
考点:正弦定理;两角和与差的正弦函数. 4664233
专题:计算题.
分析:(1)利用两角和的正弦函数化简,求出 tanA,然后求出 A 的值即可.
(2)利用余弦定理以及 b=3c,求出 a 与 c 的关系式,利用正弦定理求出 sinC 的值.
解答:解:(1)因为 ,
所以 sinA= ,
所以 tanA= ,
所以 A=60°
(2)由
及 a2=b2+c2﹣2bccosA
得 a2=b2﹣c2
故△ABC 是直角三角形且 B=
所以 sinC=cosA=
点评:本题是基础题,考查正弦定理的应用,两角和的正弦函数的应用,余弦定理的应用,
考查计算能力,常考题型.
16.(14 分)(2011•江苏)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,
∠BAD=60°,E、F 分别是 AP、AD 的中点求证:
(1)直线 EF∥平面 PCD;
(2)平面 BEF⊥平面 PAD.
考点:平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 4664233
专题:证明题.
分析:(1)要证直线 EF∥平面 PCD,只需证明 EF∥PD,EF 不在平面 PCD 中,PD
⊂
平面
PCD 即可.
(2)连接 BD,证明 BF⊥AD.说明平面 PAD∩平面 ABCD=AD,推出 BF⊥平面 PAD;
然后证明平面 BEF⊥平面 PAD.
解答:证明:(1)在△PAD 中,因为 E,F 分别为 AP,AD 的中点,所以 EF∥PD.
又因为 EF 不在平面 PCD 中,PD
⊂
平面 PCD
所以直线 EF∥平面 PCD.
(2)连接 BD.因为 AB=AD,∠BAD=60°.
所以△ABD 为正三角形.因为 F 是 AD 的中点,所以 BF⊥AD.
因为平面 PAD⊥平面 ABCD,BF
⊂
平面 ABCD,
平面 PAD∩平面 ABCD=AD,所以 BF⊥平面 PAD.
又因为 BF
⊂
平面 EBF,所以平面 BEF⊥平面 PAD.
点评:本题是中档题,考查直线与平面平行,平面与平面的垂直的证明方法,考查空间想象
能力,逻辑推理能力,常考题型.
17.(14 分)(2011•江苏)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为 60cm 的正方
形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 A,B,
C,D 四个点重合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F 在 AB 上,是
被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设 AE=FB=x(cm).
(1)若广告商要求包装盒侧面积 S(cm2)最大,试问 x 应取何值?
(2)若广告商要求包装盒容积 V(cm3)最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与
底面边长的比值.
考点:函数模型的选择与应用.4664233
专题:应用题.
分析:(1)可设包装盒的高为 h(cm),底面边长为 a(cm),写出 a,h 与 x 的关系式,并
注明 x 的取值范围.再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积 S 关于 x 的函数解析式,
最后求出何时它取得最大值即可;
(2)利用体积公式表示出包装盒容积 V 关于 x 的函数解析式,最后利用导数知识求
出何时它取得的最大值即可.
解答:解:设包装盒的高为 h(cm),底面边长为 a(cm),则 a= x,h= (30﹣x),0
<x<30.
(1)S=4ah=8x(30﹣x)=﹣8(x﹣15)2+1800,
∴当 x=15 时,S 取最大值.
(2)V=a2h=2 (﹣x3+30x2),V′=6 x(20﹣x),
由 V′=0 得 x=20,
当 x
∈
(0,20)时,V′>0;当 x
∈
(20,30)时,V′<0;
∴当 x=20 时,包装盒容积 V(cm3)最大,
此时, .
即此时包装盒的高与底面边长的比值是 .
点评:考查函数模型的选择与应用,考查函数、导数等基础知识,考查运算求解能力、空间
想象能力、数学建模能力.属于基础题.
18.(16 分)(2011•江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆 的
顶点,过坐标原点的直线交椭圆于 P,A 两点,其中点 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,
垂足为 C,连接 AC,并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k
(1)若直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值;
(2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d;
(3)对任意 k>0,求证:PA⊥PB.
考点:直线与圆锥曲线的综合问题.4664233
专题:计算题;证明题;压轴题;数形结合;分类讨论;转化思想.
分析:(1)由题设写出点 M,N 的坐标,求出线段 MN 中点坐标,根据线 PA 过原点和斜
率公式,即可求出 k 的值;
(2)写出直线 PA 的方程,代入椭圆,求出点 P,A 的坐标,求出直线 AB 的方程,
根据点到直线的距离公式,即可求得点 P 到直线 AB 的距离 d;
(3)要证 PA⊥PB,只需证直线 PB 与直线 PA 的斜率之积为﹣1,根据题意求出它们
的斜率,即证的结果.
解答:解:(1)由题设知,a=2,b= ,
故 M(﹣2,0),N(0,﹣ ),所以线段 MN 中点坐标为(﹣1,﹣ ).
由于直线 PA 平分线段 MN,故直线 PA 过线段 MN 的中点,又直线 PA 过原点,
所以 k= .
(2)直线 PA 的方程为 y=2x,代入椭圆方程得 ,解得 x=± ,
因此 P( , ),A(﹣ ,﹣ )
于是 C( ,0),直线 AC 的斜率为 1,故直线 AB 的方程为 x﹣y﹣ =0.
因此,d= .
(3)设 P(x1,y1),B(x2,y2),则 x1>0,x2>0,x1≠x2,
A(﹣x1,﹣y1),C(x1,0).
设直线 PB,AB 的斜率分别为 k1,k2.
因为 C 在直线 AB 上,所以 k2= ,
从而 kk1+1=2k1k2+1=2• =
= = .
因此 kk1=﹣1,所以 PA⊥PB.
点评:此题是个难题.考查椭圆的标准方程和简单的几何性质,以及直线斜率的求法,以及
直线与椭圆的位置关系,体现了方程的思想和数形结合思想,同时也考查了学生观察、
推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力.
19.(16 分)(2011•江苏)已知 a,b 是实数,函数 f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx,f'(x)
和 g'(x)是 f(x),g(x)的导函数,若 f'(x)g'(x)≥0 在区间 I 上恒成立,则称 f(x)
和 g(x)在区间 I 上单调性一致
(1)设 a>0,若函数 f(x)和 g(x)在区间[﹣1,+∞)上单调性一致,求实数 b 的取值
范围;
(2)设 a<0,且 a≠b,若函数 f(x)和 g(x)在以 a,b 为端点的开区间上单调性一致,
求|a﹣b|的最大值.
考点:利用导数研究函数的单调性.4664233
专题:计算题.
分析:(1)先求出函数 f(x)和 g(x)的导函数,再利用函数 f(x)和 g(x)在区间[﹣1,
+∞)上单调性一致即 f'(x)g'(x)≥0 在[﹣1,+∞)上恒成立,以及 3x2+a>0,来
求实数 b 的取值范围;
(2)先求出 f'(x)=0 的根以及 g'(x)=0 的根,再分别求出两个函数的单调区间,
综合在一起看何时函数 f(x)和 g(x)在以 a,b 为端点的开区间上单调性一致,进
而求得|a﹣b|的最大值.
解答:解:f'(x)=3x2+a,g'(x)=2x+b.
(1)由题得 f'(x)g'(x)≥0 在[﹣1,+∞)上恒成立.因为 a>0,故 3x2+a>0,
进而 2x+b≥0,即 b≥﹣2x 在[﹣1,+∞)上恒成立,所以 b≥2.
故实数 b 的取值范围是[2,+∞)
(2)令 f'(x)=0,得 x= .
若 b>0,由 a<0 得 0
∈
(a,b).又因为 f'(0)g'(0)=ab<0,
所以函数 f(x)和 g(x)在(a,b)上不是单调性一致的.
因此 b≤0.
现设 b≤0,当 x
∈
(﹣∞,0)时,g'(x)<0;
当 x
∈
(﹣∝,﹣ )时,f'(x)>0.
因此,当 x
∈
(﹣∝,﹣ )时,f'(x)g'(x)<0.故由题设得 a≥﹣ 且 b≥
﹣ ,
从而﹣ ≤a<0,于是﹣ <b<0,因此|a﹣b|≤ ,且当 a=﹣ ,b=0 时等号成立,
又当 a=﹣ ,b=0 时,f'(x)g'(x)=6x(x2﹣ ),从而当 x
∈
(﹣ ,0)时 f'(x)
g'(x)>0.
故函数 f(x)和 g(x)在(﹣ ,0)上单调性一致,因此|a﹣b|的最大值为 .
点评:本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系,即当导函数大于 0 时原函
数单调递增,当导函数小于 0 时原函数单调递减.
20.(16 分)(2011•江苏)设 M 为部分正整数组成的集合,数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和
为 Sn,已知对任意整数 k
∈
M,当整数 n>k 时,Sn+k+Sn﹣k=2(Sn+Sk)都成立
(1)设 M={1},a2=2,求 a5 的值;
(2)设 M={3,4},求数列{an}的通项公式.
考点:数列递推式;数列与函数的综合.4664233
专题:综合题.
分析:(1)由集合 M 的元素只有一个 1,得到 k=1,所以当 n 大于 1 即 n 大于等于 2 时,
Sn+1+Sn﹣1=2(Sn+S1)都成立,变形后,利用 Sn+1﹣Sn=an+1,及 a1=1 化简,得到当 n
大于等于 2 时,此数列除去首项后为一个等差数列,根据第 2 项的值和确定出的等差
写出等差数列的通项公式,因为 5 大于 2,所以把 n=5 代入通项公式即可求出第 5 项
的值;
(2)当 n 大于 k 时,根据题意可得 Sn+k+Sn﹣k=2(Sn+Sk),记作①,把 n 换为 n+1,
得到一个关系式记作②,②﹣①后,移项变形后,又 k 等于 3 或 4 得到当 n 大于等
于 8 时此数列每隔 3 项或 4 项成等差数列,即 an﹣6,an﹣3,an,an+3,an+6 成等差数列,
根据等差数列的性质得到一个关系式,记作(*),且 an﹣6,an﹣2,an+2,an+6 也成等差
数列,又根据等差数列的性质得到另外一个关系式,等量代换得到 an+2﹣an=an﹣an﹣2,
得到当 n 大于等于 9 时,每隔两项成等差数列,设出等差数列的四项,根据等差数列
的性质化简变形,设 d=an﹣an﹣1,从而得到当 n 大于等于 2 小于等于 8 时,n+6 大于
等于 8,把 n+6 代入(*)中,得到一个关系式,同时把 n+7 也代入(*)得到另外一
个关系式,两者相减后根据设出的 d=an﹣an﹣1,经过计算后,得到 n 大于等于 2 时,
d=an﹣an﹣1 都成立,从而把 k=3 和 k=4 代入到已知的等式中,化简后得到 d 与前 3 项
的和及 d 与前 4 项和的关系式,两关系式相减即可表示出第 4 项的值,根据 d=an﹣an
﹣1,同理表示出第 3 项,第 2 项及第 1 项,得到此数列为等差数列,由首项等于 1 即
可求出 d 的值,根据首项和等差写出数列的通项公式即可.
解答:解:(1)由 M={1},根据题意可知 k=1,所以 n≥2 时,Sn+1+Sn﹣1=2(Sn+S1),
即(Sn+1﹣Sn)﹣(Sn﹣Sn﹣1)=2S1,又 a1=1,
则 an+1﹣an=2a1=2,又 a2=2,
所以数列{an}除去首项后,是以 2 为首项,2 为公差的等差数列,
故当 n≥2 时,an=a2+2(n﹣2)=2n﹣2,
所以 a5=8;
(2)根据题意可知当 k
∈
M={3,4},
且 n>k 时,Sn+k+Sn﹣k=2(Sn+Sk)①,且 Sn+1+k+Sn+1﹣k=2(Sn+1+Sk)②,
②﹣①得:(Sn+1+k﹣Sn+k)+(Sn+1﹣k﹣Sn﹣k)=2(Sn+1﹣Sn),
即 an+1+k+an+1﹣k=2an+1,可化为:an+1+k﹣an+1=an+1﹣an+1﹣k
所以 n≥8 时,an﹣6,an﹣3,an,an+3,an+6 成等差数列,且 an﹣6,an﹣2,an+2,an+6 也成
等差数列,
从而当 n≥8 时,2an=an﹣3+an+3=an﹣6+an+6,(*)且 an﹣2+an+2=an﹣6+an+6,
所以当 n≥8 时,2an=an﹣2+an+2,即 an+2﹣an=an﹣an﹣2,
于是得到当 n≥9 时,an﹣3,an﹣1,an+1,an+3 成等差数列,从而 an﹣3+an+3=an﹣1+an+1,
由(*)式可知:2an=an﹣1+an+1,即 an+1﹣an=an﹣an﹣1,
当 n≥9 时,设 d=an﹣an﹣1,
则当 2≤n≤8 时,得到 n+6≥8,从而由(*)可知,2an+6=an+an+12,得到 2an+7=an+1+an+13,
两式相减得:2(an+7﹣an+6)=an+1﹣an+(an+13﹣an+12),
则 an+1﹣an=2d﹣d=d,
因此,an﹣an﹣1=d 对任意 n≥2 都成立,
又由 Sn+k+Sn﹣k﹣2Sn=2Sk,可化为:(Sn+k﹣Sn)﹣(Sn﹣Sn﹣k)=2Sk,
当 k=3 时,(Sn+3﹣Sn)﹣(Sn﹣Sn﹣3)=9d=2S3;同理当 k=4 时,得到 16d=2S4,
两式相减得:2(S4﹣S3)=2a4=16d﹣9d=7d,解得 a4= d,
因为 a4﹣a3=d,解得 a3= d,同理 a2= d,a1= ,
则数列{an}为等差数列,由 a1=1 可知 d=2,
所以数列{an}的通项公式为 an=1+2(n﹣1)=2n﹣1.
点评:此题考查学生灵活运用数列的递推式化简求值,掌握确定数列为等差数列的方法,会
根据等差数列的首项和等差写出数列的通项公式,是一道中档题.
21.(10 分)(2011•江苏)A.选修 4﹣1:几何证明选讲
如图,圆 O1 与圆 O2 内切于点 A,其半径分别为 r1 与 r2(r1>r2 ).圆 O1 的弦 AB 交圆 O2
于点 C ( O1 不在 AB 上).求证:AB:AC 为定值.
B.选修 4﹣2:矩阵与变换
已知矩阵 ,向量 .求向量 ,使得 A2 = .
C.选修 4﹣4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆 (φ为参数)的右焦点,且与直线
(t 为参数)平行的直线的普通方程.
D.选修 4﹣5:不等式选讲(本小题满分 10 分)
解不等式:x+|2x﹣1|<3.
考点:椭圆的参数方程. 4664233
专题:数形结合;转化思想.
分析:A、如图,利用 EC∥DB,AB:AC=AD:AE=2r1:2r2,证出结论.
B、设向量 = ,由 A2 = ,利用矩阵的运算法则,用待定系数法可得 x 和 y 的
值,从而求得向量 .
C、把椭圆的参数方程化为普通方程,求出右焦点的坐标,把直线参数方程化为普通
方程,求出斜率,用点斜式
求得所求直线的方程.
D、原不等式可化为 ,或 ,分别解出这两个不等
式组的解集,
再把解集取并集.
解答:解:A、如图:连接 AO1 并延长,交两圆于 D,E,则 O2 在 AD 上,根据直径对的圆
周角等于 90°可得,∠ACE=∠ABD=90°,
∴EC∥DB,∴AB:AC=AD:AE=2r1:2r2=r1:r2 为定值.
B、A2= = ,设向量 = ,由 A2 = 可得
= ,∴ ,解得 x=﹣1,y=2,
∴向量 = .
C、椭圆 (φ为参数)的普通方程为 + =1,右焦点为(4,0),
直线 (t 为参数) 即 x﹣2 y+2=0,斜率等于 ,故所求的直线方程为
y﹣0= (x﹣4),即 x﹣2 y﹣4=0.
D、原不等式可化为 ,或 ,
解得 ≤x< ,或﹣2<x< ,故不等式的解集为 {x|﹣2<x< }.
点评:本题考查圆与圆的位置关系,参数方程与普通方程的互化,矩阵的运算法则,绝对值
不等式的解法.
22.(10 分)(2011•江苏) 如图,在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=2,AB=1,点 N
是 BC 的中点,点 M 在 CC1 上.设二面角 A1﹣DN﹣M 的大小为θ(1)当θ=90° 时,求 AM
的长;
(2)当 时,求 CM 的长.
考点:向量在几何中的应用. 4664233
专题:综合题;压轴题;转化思想.
分析:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,D﹣xyz,设 CM=t(0≤t≤2),通过 ,
求出平面 DMN 的法向量为 , , 求出平面 A1DN
的法向量为 ,推出 (1)利用θ=90°求出 M 的坐标,然后求出 AM
的长.
(2)利用 cos = 以及 ,求出 CM 的长.
解答:解:建立如图所示的空间直角坐标系,D﹣xyz,设 CM=t(0≤t≤2),则各点的坐标为
A(1,0,0),A1(1,0,2),
N( ,1,0),M(0,1,t);
所以 =( ,1,0). =(1,0,2), =(0,1,t)
设平面 DMN 的法向量为 =(x1,y1,z1),则 , ,
即 x1+2y1=0,y1+tz1=0,令 z1=1,则 y1=﹣t,x1=2t 所以 =(2t,﹣t,1),
设平面 A1DN 的法向量为 =(x2,y2,z2),则 , ,
即 x2+2z2=0,x2+2y2=0,令 z2=1 则 y2=1,x2=﹣2 所以 =(﹣2,1,1),
(1)因为θ=90°,所以 解得 t= 从而 M(0,1, ),
所以 AM=
(2)因为 , 所以,
cos = =
因为 =θ或π﹣θ,所以 = 解得 t=0 或 t=
根据图形和(1)的结论,可知 t= ,从而 CM 的长为 .
点评:本题是中档题,考查直线与平面,直线与直线的位置关系,考查转化思想的应用,向
量法解答立体几何问题,方便简洁,但是注意向量的夹角,计算数据的准确性.
23.(10 分)(2011•江苏)设整数 n≥4,P(a,b) 是平面直角坐标系 xOy 中的点,其中 a,
b
∈
{1,2,3,…,n},a>b.
(1)记 An 为满足 a﹣b=3 的点 P 的个数,求 An;
(2)记 Bn 为满足 是整数的点 P 的个数,求 Bn.
考点:数列递推式. 4664233
专题:综合题;压轴题;转化思想.
分析:(1)An 为满足 a﹣b=3 的点 P 的个数,显然 P(a,b)的坐标的差值,与 An 中元
素个数有关,直接写出 An 的表达式即可.
(2)设 k 为正整数,记 fn(k)为满足题设条件以及 a﹣b=3k 的点 P 的个数,讨论 fn
(k)≥1 的情形,推出 fn(k)=n﹣3k,根据 k 的范围 ,说明 n﹣1 是 3 的
倍数和余数,
然后求出 Bn.
解答:解:(1)点 P 的坐标中,满足条件:1≤b=a﹣3≤n﹣3,所以 An=n﹣3;
(2)设 k 为正整数,记 fn(k)为满足题设条件以及 a﹣b=3k 的点 P 的个数,只要讨
论 fn(k)≥1 的情形,由 1≤b=a﹣3k≤n﹣3k,
知 fn(k)=n﹣3k 且 ,设 n﹣1=3m+r,其中 m
∈
N+,r
∈
{0,1,2},则 k≤m,
所以
Bn= = =mn﹣ =
将 m= 代入上式,化简得 Bn=
所以 Bn=
2012 年全国普通高等院校招生考试·江苏省
数学试题
(必答题 1~20+理科附加题 21~23)
【数学 I (必答题):时间 120 分钟,满分 160 分】
一、填空题:本大题共 14 小题,每题 5 分,满分 70 分。
1. 已知集合 A={1,2,4},B={2,4,6},则 A B=________
2. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3:3:4,现用分层抽样的方法从该校
高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取_____名学生;
3. 设 a,b R,a+bi=11-7i
1-2i
(i 为虚数单位),则 a+b 的值为_______;
4. 如 图 是 一 个 算 法 的 流 程 图 , 则 输 出 的 k 的 值 是 ________ ;
N
开始
k←1
k2-5k+4>0 k←k+1
输出 k
结束 4 题图
Y
5. 函数 f(x)= 1-2log6x的定义域为_________;
6. 现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项,-3 为公比的等比数列,若从这 10 个数中
随机抽取一个数,则它小于 8 的概率是________;
7. 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,
则四棱锥 A-BB1D1D 的体积为___________cm3;
7题图
D
1
C
1
B
1
A
1
D
C
B
A
8. 在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线x2
m
- y2
m2+4=1 的离心率为 5,则 m 的值为_______;
9. 如图,在矩形ABCD中,AB= 2,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若AB→ ·AF→= 2,
则AE→ ·BF→的值是________;
10. 设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=
ax+1,-1 x<0
bx+2
x+1
, 0 x 1,其
中 a,b R;若 f(1
2)=f(3
2),则 a+3b 的值为________;
11. 设 为锐角,若 cos( +
6
)=4
5
,则 sin(2 +
12
)的值为___________;
12. 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2-8x+15=0,若直线 y=kx-2 上至少存
在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是________;
13. 已知函数 f(x)=x2+ax+b (a,b R)的值域为[0,+ ),若关于 x 的不等式 f(x)0)表示的曲线上,
其中 k 与发射方向有关;炮弹射程是指炮弹落地点的横坐标。
⑴求炮的最大射程;
⑵设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不
超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由。
18. (本小题满分 16 分)
若函数 y=f(x)在 x=x0 处取得极大值或极小值,则称 x0 为函数 y=f(x)的极值点。已知 a,b
是实数,1 和-1 是函数 f(x)=x3+ax2+bx 的两个极值点。
⑴求 a 和 b 的值;
⑵设函数 g(x)的导函数 g (x)=f(x)+2,求 g(x)的极值点;
⑶设 h(x)=f(f(x))-c,其中 c [-2,2],求函数 y=h(x)的零点个数;
19. (本小题满分 16 分)
如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆x2
a2+y2
b2=1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0),
F2(c,0);已知点(1,e)和(e, 3
2 )都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率。
⑴求椭圆的方程;
⑵设 A,B 椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF2 与直线 BF1 平行,AF2 与 BF1 交于
点 P;
①若 AF1-BF2= 6
2
,求直线 AF1 的斜率;
②求证:PF1+PF2 是定值;
20. (本小题满分 16 分)
已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足:an+1=an+bn
a2n+2n
,n N*;
⑴设 bn+1=1+bn
an
,n N*,求证:数列 (bn
an
)2 是等差数列;
⑵设 bn+1= 2·bn
an
,n N*,且{an}是等比数列,求 a1 和 b1 的值;
【数学 II(附加题)】
21.【选做题】在 A、B、C、D 四小题中选作两题。
A.[选修 4-1:几何证明选讲](本小题满分 10 分)
如图,AB 是圆 O 的直径,D,E 为圆 O 上位于 AB
异侧的两点,连结 BD 并延长至点 C,使 BD=DC,
连结 AC,AE,DE。
求证: E= C;
B
A
O
21-A题图
E
D
C
B.[选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)
已知矩阵 A 的逆矩阵 A-1=
-1
4
3
4
1
2
-1
2
,求矩阵 A 的特征值;
C.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)
在极坐标系中,已知圆 C 经过点 P( 2,
4
),圆心为直线 sin( -
3
)=- 3
2
与极轴的交点,
求圆 C 的极坐标方程;
D.[选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10 分)
已知实数 x,y 满足:|x+y|<1
3
,|2x-y|<1
6
;求证:|y|< 5
18
;
【必做题】22,23 为必答题,每题 10 分,满分 20 分。
22. (本小题满分 10 分)
设 为随机变量,从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条,当两棱相交时, =0;
当两条棱平行时, 的值为两条棱之间的距离;当两棱异面时, =1;
⑴求概率 P( =0);
⑵求 的分布列,并求其数学期望 E( );
23. (本小题满分 10 分)
设集合 Pn={1,2,…,n},n N*;记 f(n)为同时满足下列条件的集合 A 的个数:
①APn;②若 x A,则 2x A;③若 x ∁Pn
A,则 2x ∁Pn
A;
⑴求 f(4);
⑵求 f(n)的解析式(用 n 表示);
参考答案
一、填空题
题
号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1
2
1
3 14
答
案
{1,2,4,
6}
1
5 8 5 (0, 6] 3
5 6 2 2
-
10
17 2
50
4
3 9 [e,7
]
简析
1. 略
2. 略
3. a+bi=11-7i
1-2i
=(11-7i)(1+2i)
(1-2i)(1+2i)
=25+15i
5 =5+3i a+b=5+3=8
4. 略
5. 由题意,有 1-2log6x 0,即 log6x 1
2
,所以,00,b2=m2+4,所以,c2=a2+b2=m+m2+4=m2+m+4>0;
由离心率 e=c
a= 5, c2=5a2,所以,m2+m+4=5m, m2-4m+4=0 m=2;
9. 建立平面直角坐标系,利用向量坐标运算,可推得结果为 2;
10. 由周期性知有 f(1
2)=f(-1
2),又 f(-1)=f(-1+2)=f(1),联立解得 a=2,b=-4,
故 a+3b=-10
11. 由题意知,cos(2 +
3
)=2cos2( +
6
)-1= 7
25>0,故 sin(2 +
3
)= 1-cos22 =24
25
,
故 sin(2 +
12
)=sin[(2 +
3
)-
4
]=17 2
50
12. 考虑圆心在直线上的圆与已知圆相切情况,转而求已知圆圆心到直线距离为 2 时的 k 值,
从而得所求最大值为4
3
13. 由定义域和值域知,x=-a
2
时,fmin(x)=4b-a2
4
=0,即 4b-a2=0,
故 f(x)=x2+ax+a2
4=(x+a
2)2,由 f(x)0
y>0
,
线性规划求b
a=y
x
的最大最小,得所求为[e,7];
2013 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
参考公式:
样本数据 1 2, , , nx x x 的方差 2 2
1
1 ( )
n
i
i
s x xn
,其中
1
1 n
i
i
x xn
。
棱锥的体积公式: 1
3V Sh ,其中 S 是锥体的底面积,h 为高。
棱柱的体积公式:V Sh ,其中 S 是柱体的底面积,h 为高。
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案填写在答题卡的相应......
位置上...。
1、函数 3sin(2 )4y x 的最小正周期为 ▲ 。
2、设 2(2 )z i (i 为虚数单位),则复数 z 的模为 ▲ 。
3、双曲线
2 2
116 9
x y 的两条渐近线的方程为 ▲ 。
4、集合{-1,0,1}共有 ▲ 个子集。
5、右图是一个算法的流程图,则输出的 n 的值是 ▲ 。
6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位:环),结
果如下:
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ 。
7、现有某类病毒记作为 m nX Y ,其中正整数 , ( 7, 9)m n m n 可以任意选
取,则 ,m n 都取到奇数的概率为 ▲ 。
8、如图,在三棱柱 A1B1C1 -ABC 中,D、E、F 分别为 AB、AC、AA1 的中
点,设三棱锥 F-ADE 的体积为 1V ,三棱柱 A1B1C1 -ABC 的体积为 2V ,则 1V :
2V = ▲ 。
运动员 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次
甲 87 91 90 89 93
乙 89 90 91 88 92
9、抛物线 2y x 在 1x 处的切线与坐标轴围成三角形区域为 D(包含三角形内部与边界)。
若点 P(x,y)是区域 D 内的任意一点,则 2x y 的取值范围是 ▲ 。
10、设 D、E 分别是△ABC 的边 AB、BC 上的点,且 1 2,2 3AD AB BE BC 。若
1 2DE AB AC
( 1 、 2 均为实数),则 1 + 2 的值为 ▲ 。
11、已知 ( )f x 是定义在 R 上的奇函数。当 0x 时, 2( ) 4f x x x ,则不等式 ( )f x x
的解集用区间表示为 ▲ 。
12、在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 C 的方程为
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
,右焦点为 F,右
准线为 l ,短轴的一个端点为 B。设原点到直线 BF 的距离为 1d ,F 到 l 的距离为 2d 。若
2 16d d ,则椭圆 C 的离心率为 ▲ 。
13、在平面直角坐标系 xoy 中,设定点 A(a,a),P 是函数 1 ( 0)y xx
图象上的一动点。若
点 P、A 之间的最短距离为 2 2 ,则满足条件的实数 a 的所有值为= ▲ 。
14、在正项等比数列 na 中, 5 6 7
1 , 32a a a ,则满足 1 2 1 2n na a a a a a 的
最大正整数 n 的值为 ▲ 。
二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说
明、证明或演算步骤.
15、(本小题满分 14 分)
已知向量 (cos ,sin ), (cos ,sin ),0a b 。
(1)若| | 2a b ,求证: a b ;
(2)设 (0,1)c ,若 a b c ,求 , 的值。
16、(本小题满分 14 分)
如图,在三棱锥 S-ABC 中,平面 SAB 平面 SBC, BCAB ,AS=AB。过 A 作
SBAF ,垂足为 F,点 E、G 分别为线段 SA、SC 的中点。
求证:(1)平面 EFG//平面 ABC;
(2) BC SA 。
17、(本小题满分 14 分)
如图,在平面直角坐标系 xoy 中,点 A(0,3),直线 42: xyl ,设圆 C 的半径为 1,圆心
在直线l 上。
(1)若圆心 C 也在直线 1 xy 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程;
(2)若圆 C 上存在点 M,使 MA=2MO,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围。
18、(本小题满分 16 分)
如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径。一种是从 A 沿直线步行到 C,
另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C。
现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 米/分钟。在甲出发 2 分钟
后,乙从 A 乘坐缆车到 B,在 B 处停留 1 分钟后,再从 B 匀速步行到 C。假设缆车速度为
130 米 / 分 钟 , 山 路 AC 的 长 为 1260 米 , 经 测 量 ,
12 3cos ,cos13 5A C 。
(1)求索道 AB 的长;
(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步
行的速度应控制在什么范围内?
19、(本小题满分 16 分)
设 }a { n 是 首 项 为 a 、 公 差 为 d 的 等 差 数 列 )0( d , nS 为 其 前 n 项 和 。 记
2 ,n
n
nSb n Nn c
,其中 c 为实数。
(1)若 c=0,且 421 ,, bbb 成等比数列,证明: ),(2 NknSnS knk
(2)若 }b { n 为等差数列,证明:c=0。
20、(本小题满分 16 分)
设函数 axexgaxxxf x )(,ln)( ,其中 a 为实数。
(1)若 )(xf 在 ),1( 上是单调减函数,且 )(xg 在 ),1( 上有最小值,求 a 的取值范围;
(2)若 )(xg 在 ),1( 上是单调增函数,试求 )(xf 的零点个数,并证明你的结论。
21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题.......,.并在相应的答题区域内作答.............若
多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修 4 - 1:几何证明选讲](本小题满分 10 分)
如图,AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D、C,AC 经过圆心 O,且 BC=2OC。
求证:AC=2AD。
B.[选修 4 - 2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)
已知矩阵 1 0 1 2,0 2 0 6A B
,求矩阵 1A B .
C.[选修 4 - 4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)
在平面直角坐标系 xoy 中,直线l 的参数方程为 1
2
x t
y t
(t 为参数),曲线 C 的参数方程为
22tan
2tan
x
y
( 为参数)。试求直线l 和曲线 C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标。
D.[选修 4 - 5:不等式选讲](本小题满分 10 分)
已知 a ≥b >0,求证: 3 32a b ≥ 2 22ab a b 。
【必做题】第22 题、第23 题,每题10 分,共计20 分.请在答题卡指定区域内........作答,解答时应写
出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分 10 分)
如图,在直三棱柱 1 1 1A B C ABC 中,AB⊥AC,AB=AC=2, 1A A =4,点 D 是 BC 的中
点。
(1)求异面直线 1A B 与 1C D 所成角的余弦值;
(2)求平面 1ADC 与平面 1ABA 所成二面角的正弦值。
23.(本小题满分 10 分)
设数列 na :1,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4,…, 1 1( 1) , ( 1)
k
k kk k
个
,…
即 当 ( )2 2n k N (k-1)k (k+1)k 时 , 1( 1)k
na k 。 记
1 2n nS a a a ( )n N 。
对于l N ,定义集合 lP =﹛ n | nS 为 na 的整数倍, ,n N 且 1≤ n ≤l }
(1)求 11P 中元素个数;
(2)求集合 2000P 中元素个数。
参考答案
1.【答案】π
【解析】T=|2π
ω |=|2π
2 |=π.
2.【答案】5
【解析】z=3-4i,i2=-1,| z |= =5.
3.【答案】 xy 4
3
【解析】令: 0916
22
yx ,得 xxy 4
3
16
9 2
.
4.【答案】8
【解析】23=8.
5.【答案】3
【解析】n=1,a=2,a=4,n=2;a=10,n=3;a=28,n=4.
6.【答案】2
【解析】易得乙较为稳定,乙的平均值为: 905
9288919089 x .
方差为: 25
)9092()9088()9091()9090()9089( 22222
2 S .
7.
【答案】
63
20
【解析】m 取到奇数的有 1,3,5,7 共 4 种情况;n 取到奇数的有 1,3,5,7,9 共 5 种
情况,则 nm, 都取到奇数的概率为
63
20
97
54
.
8.
【答案】1:24
【解析】三棱锥 ADEF 与三棱锥 ABCA 1 的相似比为 1:2,故体积之比为
1:8.又因三棱锥 ABCA 1 与三棱柱 ABCCBA 111 的体积之比为 1:3.所
以,三棱锥 ADEF 与三棱柱 ABCCBA 111 的体积之比为 1:24.
9.
【答案】[—2,1
2 ]
【解析】抛物线 2xy 在 1x 处的切线易得为 y=2x—1,令 z= yx 2 ,y=—1
2 x+z
2
.
A
B
C
1A
D
E
F
1B
1C
y
x
l
B
FO
c
b a
画出可行域如下,易得过点(0,—1)时,zmin=—2,过点(1
2
,0)时,zmax=1
2
.
y
xO
y=2x—1
y=—1
2 x
10.
【答案】1
2
【解析】 )(3
2
2
1
3
2
2
1 ACBAABBCABBEDBDE
ACABACAB 213
2
6
1
所以,
6
1
1 ,
3
2
2 , 21 1
2
.
11.
【答案】(﹣5,0) ∪(5,﹢∞)
【解析】做出 xxxf 4)( 2 ( 0x )的图像,如下图所示。由于 )(xf 是定义在 R 上的奇
函数,利用奇函数图像关于原点对称做出 x<0 的图像。不等式 xxf )( ,表示函数 y= )(xf
的图像在 y=x 的上方,观察图像易得:解集为(﹣5,0) ∪(5,﹢∞)。
x
y
y=x
y=x2—4 x
P(5,5)
Q(﹣5, ﹣5)
12. 【答案】
3
3
【解析】如图,l:x=
c
a 2
, 2d =
c
a 2
-c=
c
b 2
,由
等面积得: 1d =
a
bc 。若 12 6dd ,则
c
b 2
= 6 a
bc ,整理得: 066 22 baba ,
两边同除以: 2a ,得: 066
2
a
b
a
b ,解之得:
a
b =
3
6 ,所以,离心率为:
3
31e
2
a
b .
13.
【答案】1 或 10
【解析】
14.
【答案】12
【解析】设正项等比数列 }{ na 首项为 a1,公比为 q,则:
3)1(
2
1
51
41
qqa
qa ,得:a1= 1
32
,
q=2,an=26-n.记 521 2
12
n
nn aaaT , 2
)1(
21 2
nn
nn aaa
. nnT ,
则 2
)1(
5 22
12 nnn
, 化 简 得 : 5
2
11
2
1 2
212
nnn , 当 52
11
2
1 2 nnn 时 ,
122
12113 n .当 n=12 时, 1212 T ,当 n=13 时, 1313 T ,故 nmax=12.
二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤.
15.
解:(1)a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ),
|a-b|2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=2-2(cosα·cosβ+sinα·sinβ)=2,
所以,cosα·cosβ+sinα·sinβ=0,
所以, ba .
(2)
�1sinsin
�0coscos
,①2+②2 得:cos(α-β)=-1
2
.
所以,α-β=
3
2 ,α=
3
2 +β,
带入②得:sin(
3
2 +β)+sinβ=
2
3 cosβ+1
2 sinβ=sin(
3
+β)=1,
所以,
3
+β=
2
.
所以,α=
6
5 ,β=
6
.
16.
证:(1)因为 SA=AB 且 AF⊥SB,
所以 F 为 SB 的中点.
又 E,G 分别为 SA,SC 的中点,
所以,EF∥AB,EG∥AC.
又 AB∩AC=A,AB 面 SBC,AC 面 ABC,
所以,平面 //EFG 平面 ABC .
(2)因为平面 SAB⊥平面 SBC,平面 SAB∩平面 SBC=BC,
AF 平面 ASB,AF⊥SB.
所以,AF⊥平面 SBC.
又 BC 平面 SBC,
所以,AF⊥BC.
又 AB⊥BC,AF∩AB=A,
所以,BC⊥平面 SAB.
又 SA 平面 SAB,
所以, SABC .
17. 解:(1)联立:
42
1
xy
xy ,得圆心为:C(3,2).
设切线为: 3 kxy ,
d= 1
1
|233|
2
r
k
k ,得:
4
30 kork .
故所求切线为: 34
30 xyory .
(2)设点 M(x,y),由 MOMA 2 ,知: 2222 2)3( yxyx ,
化简得: 4)1( 22 yx ,
即:点 M 的轨迹为以(0,1)为圆心,2 为半径的圆,可记为圆 D.
又因为点 M 在圆C 上,故圆 C 圆 D 的关系为相交或相切.
故:1≤|CD|≤3,其中 22 )32( aaCD .
解之得:0≤a≤12
5
.
A
B
C
S
G
F
E
x
y
A l
O
C
B
A
D
M
N
18.
解:(1)如图作 BD⊥CA 于点 D,
设 BD=20k,则 DC=25k,AD=48k,
AB=52k,由 AC=63k=1260m,
知:AB=52k=1040m.
(2)设乙出发 x 分钟后到达点 M,
此时甲到达 N 点,如图所示.
则:AM=130x,AN=50(x+2),
由余弦定理得:MN2=AM2+AN2-2 AM·ANcosA=7400 x2-14000 x+10000,
其中 0≤x≤8,当 x=35
37 (min)时,MN 最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短.
(3)由(1)知:BC=500m,甲到 C 用时:1260
50
=126
5 (min).
若甲等乙 3 分钟,则乙到 C 用时:126
5
+3=141
5 (min),在 BC 上用时:86
5 (min) .
此时乙的速度最小,且为:500÷86
5
=1250
43 m/min.
若乙等甲 3 分钟,则乙到 C 用时:126
5
-3=111
5 (min),在 BC 上用时:56
5 (min) .
此时乙的速度最大,且为:500÷56
5
=625
14 m/min.
故乙步行的速度应控制在[1250
43
,625
14 ]范围内.
19.
证:(1)若 0c ,则 dnaan )1( ,
2
]2)1[( adnnSn
,
2
2)1( adnbn
.
当 421 bbb ,, 成等比数列, 41
2
2 bbb ,
即:
2
3
2
2 daada ,得: add 22 ,又 0d ,故 ad 2 .
由此: anSn
2 , aknankSnk
222)( , aknSn k
222 .
故: knk SnS 2 ( *, Nnk ).
(2)
cn
adnn
cn
nSb n
n
2
2
2
2
2)1(
,
cn
adncadncadnn
2
2
2
2)1(
2
2)1(
2
2)1(
cn
adncadn
2
2
2)1(
2
2)1( . (※)
若 }{ nb 是等差数列,则 BnAnbn 型.
观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,
故有: 02
2)1(
2
cn
adnc
,即 02
2)1( adnc ,而
2
2)1( adn ≠0,
故 0c .
经检验,当 0c 时 }{ nb 是等差数列.
20.
解:(1) axxf 1)( ≤0 在 ),1( 上恒成立,则 a ≥
x
1 , )1( ,x .
故: a ≥1.
axg x e)( ,
若 1≤ a ≤e,则 axg x e)( ≥0 在 ),1( 上恒成立,
此时, axexg x )( 在 ),1( 上是单调增函数,无最小值,不合;
若 a >e,则 axexg x )( 在 )ln1( a, 上是单调减函数,在 )(ln ,a 上是单调
增函数, )ln()(min agxg ,满足.
故 a 的取值范围为: a >e.
(2) axg x e)( ≥0 在 ),1( 上恒成立,则 a ≤ex,
故: a ≤1
e
.
)0(11)( xx
axaxxf .
(ⅰ)若 0< a ≤1
e
,令 )(xf >0 得增区间为(0,1
a );
令 )(xf <0 得减区间为(1
a
,﹢∞).
当 x→0 时,f(x)→﹣∞;当 x→﹢∞时,f(x)→﹣∞;
当 x=1
a
时,f(1
a )=﹣lna-1≥0,当且仅当 a =1
e
时取等号.
故:当 a =1
e
时,f(x)有 1 个零点;当 0< a <1
e
时,f(x)有 2 个零点.
(ⅱ)若 a=0,则 f(x)=﹣lnx,易得 f(x)有 1 个零点.
(ⅲ)若 a<0,则 01)( axxf 在 )0( , 上恒成立,
即: axxxf ln)( 在 )0( , 上是单调增函数,
当 x→0 时,f(x)→﹣∞;当 x→﹢∞时,f(x)→﹢∞.
此时,f(x)有 1 个零点.
综上所述:当 a =1
e
或 a<0 时,f(x)有 1 个零点;当 0< a <1
e
时,f(x)有 2 个零点.
2014 年江苏省普通高等学校招生全国统一考试数学
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.........
1. 已知集合 A={ 4,3,1,2 }, }3,2,1{B ,则 BA ▲ .
2. 已知复数 2)i25( z (i 为虚数单位),则 z 的实部为 ▲ .
3. 右图是一个算法流程图,则输出的 n 的值是 ▲ .
4. 从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是
▲ .
5. 已知函数 xy cos 与 )2sin( xy (0≤ ),它们的图象有一个横坐标为
3
的交点,则 的值是 ▲ .
6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在
抽测的 60 株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于 100cm.
7. 在 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 }{ na
中, ,12 a 468 2aaa ,则 6a 的值是 ▲ .
8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为 1S , 2S ,体积分
别为 1V , 2V ,若它们的侧面积相等,且
4
9
2
1
S
S ,
则
2
1
V
V 的值是 ▲ .
9. 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 032 yx 被圆
4)1()2( 22 yx 截得的弦长为 ▲ .
10. 已知函数 ,1)( 2 mxxxf 若对于任意 ]1,[ mmx ,都有 0)( xf 成立,则实数 m 的取
值范围是 ▲ .
11. 在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线
x
baxy 2 (a,b 为常数) 过点 )5,2( P ,且该曲线在
点 P 处的切线与直线 0327 yx 平行,则 ba 的值是 ▲ .
开始
0n
1 nn
202 n
输出 n
结束
(第 3 题)
N
Y
组距
频率
10080 90 110 120 130
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
底部周长/cm
(第 6 题)
12. 如图,在平行四边形 ABCD 中,已知 8AB , 5AD ,
PDCP 3 , 2 BPAP ,则 ADAB 的值是 ▲ .
13. 已 知 )(xf 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 3 的 函 数 , 当 )3,0[x
时, |2
12|)( 2 xxxf .若函数 axfy )( 在区间 ]4,3[ 上有
10 个零点(互不相同),则实数 a 的取值范围是 ▲ .
14. 若△ ABC 的内角满足 CBA sin2sin2sin ,则 Ccos 的最小值是 ▲ .
二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域.......内作答,学科网解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 14 分)
已知 ),2( , 5
5sin .
(1)求 )4sin( 的值;
(2)求 )26
5cos( 的值.
16.(本小题满分 14 分)
如 图 , 在 三 棱 锥 ABCP 中 , D , E , F 分 别 为 棱 ABACPC ,, 的 中 点 . 已 知
ACPA , ,6PA
.5,8 DFBC
求证: (1)直线 //PA 平面 DEF ;
(2)平面 BDE 平面 ABC .
A B
D CP
(第 12 题)
17.(本小题满分 14 分)
如图,在平面直角坐标系 xOy 中, 21, FF 分别是椭圆 )0(12
3
2
2
ba
b
y
a
x 的左、右焦点,
顶点 B 的坐标为 ),0( b ,连结 2BF 并延长交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于
另一点 C,连结 CF1 .
(1)若点 C 的坐标为 )3
1,3
4( ,且 22 BF ,求椭圆的方程;
(2)若 ,1 ABCF 求椭圆离心率 e 的值.
18.(本小题满分 16 分)
如图,为了保护河上古桥 OA ,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形学科网保护区.规划
要求:新桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆.
且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m. 经测量,点 A 位于点 O 正
北方向 60m 处, 点 C 位于点 O 正东方向 170m 处(OC 为河岸), 3
4tan BCO 。
(1)求新桥 BC 的长;
(2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大?
170 m
60 m
东
北
O
A
B
M
C
(第 18 题)
F1 F2O x
y
B
C
A
(第 17 题)
19.(本小题满分 16 分)
已知函数 xxxf ee)( ,其中 e 是自然对数的底数.
(1)证明: )(xf 是 R 上的偶函数;
(2)若关于 x 的不等式 )(xmf ≤ 1e mx 在 ),0( 上恒成立,学科网求实数 m 的取值范
围;
(3)已知正数 a 满足:存在 ),1[0 x ,使得 )3()( 0
3
00 xxaxf 成立.试比较 1e a 与 1ea
的大小,并证明你的结论.
20.(本小题满分 16 分)
设数列 }{ na 的前 n 项和为 nS .若对任意正整数 n ,学科网总存在正整数 m ,使得 mn aS ,
则称 }{ na 是“H 数列”.
(1)若数列 }{ na 的前 n 项和 n
nS 2 ( n N ),证明: }{ na 是“H 数列”;
(2)设 }{ na 是等差数列,其首项 11 a ,公差 0d .若 }{ na 是“H 数列”,求 d 的值;
(3)证明:对任意的等差数列 }{ na ,总存在两个“H 数列” }{ nb 和 }{ nc ,使得 nnn cba
( n N )成立.
参考答案
一、填空题(每题 5 分,满分 70 分,将答案填在答题纸上).
1.【答案】{ 1,3}
【解析】由题意得 { 1,3}A B .
2.【答案】21
【解析】由题意 2 2(5 2 ) 25 2 5 2 (2 ) 21 20z i i i i ,其实部为 21.
【考点】复数的概念.
3.【答案】5
【解析】本题实质上就是求不等式 2 20n 的最小整数解.2 20n 整数解为 5n ,因此输
出的 5n
【考点】程序框图.
4.【答案】 1
3
【解析】从1,2,3,6 这 4 个数中任取 2 个数共有 2
4 6C 种取法,其中乘积为 6 的有1,6 和 2,3
两种取法,因此所求概率为 2 1
6 3P .
【考点】古典概型.
5.【答案】
6
【解析】由题意 cos sin(2 )3 3
,即 2 1sin( )3 2
, 2 ( 1)3 6
kk ,
( )k Z ,因为 0 ,所以
6
.
【考点】三角函数图象的交点与已知三角函数值求角.
6.【答案】24
【 解 析 】 由 题 意 在 抽 测 的 60 株 树 木 中 , 底 部 周 长 小 于 100cm 的 株 数 为
(0.015 0.025) 10 60 24 .
【考点】频率分布直方图.
7.【答案】4
【解析】设公比为 q ,因为 2 1a ,则由 8 6 42a a a 得 6 4 22q q a , 4 2 2 0q q ,
解得 2 2q ,所以 4
6 2 4a a q .
【考点】等比数列的通项公式.
8.【答案】 3
2
【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为 1 1r h、 , 2 2r h、 ,则 1 1 2 22 2rh r h , 1 2
2 1
h r
h r
,
又
2
1 1
2
2 2
9
4
S r
S r
,所以 1
2
3
2
r
r
,则
2 2 2
1 1 1 1 1 1 2 1
2 2 2
2 2 2 2 2 2 1 2
3
2
V r h r h r r r
V r h r h r r r
.
【考点】圆柱的侧面积与体积.
9.【答案】 2 55
5
【 解 析 】 圆 2 2( 2) ( 1) 4x y 的 圆 心 为 (2, 1)C , 半 径 为 2r , 点 C 到 直 线
2 3 0x y 的 距 离 为
2 2
2 2 ( 1) 3 3
51 2
d
, 所 求 弦 长 为
2 2 9 2 552 2 4 5 5l r d .
【考点】直线与圆相交的弦长问题.
10.【答案】 2( ,0)2
【解析】据题意
2 2
2
( ) 1 0,
( 1) ( 1) ( 1) 1 0,
f m m m
f m m m m
解得 2 02 m .
【考点】二次函数的性质.
11.【答案】 2
【解析】曲线 2 by ax x
过点 (2, 5)P ,则 4 52
ba ①,又 2' 2 by ax x
,所以
74 4 2
ba ②,由①②解得 1,
1,
a
b
所以 b=-2,a+b=-3.
【考点】导数与切线斜率.
12.【答案】22
【 解 析 】 由 题 意 , 1
4AP AD DP AD AB ,
3 3
4 4BP BC CP BC CD AD AB ,
所以 1 3( ) ( )4 4AP BP AD AB AD AB 2 21 3
2 16AD AD AB AB ,
即 1 32 25 642 16AD AB ,解得 22AD AB .
【考点】向量的线性运算与数量积.
13.【答案】 1(0, )2
【解析】作出函数 2 1( ) 2 , [0,3)2f x x x x 的图象,可见 1(0) 2f ,当 1x 时,
1( ) 2f x 极大 , 7(3) 2f ,方程 ( ) 0f x a 在 [ 3,4]x 上有 10 个零点,即函数 ( )y f x
和图象与直线 y a 在[ 3,4] 上有 10 个交点,由于函数 ( )f x 的周期为 3,因此直线 y a 与
函数 2 1( ) 2 , [0,3)2f x x x x 的应该是 4 个交点,则有 1(0, )2a .
【考点】函数的零点,周期函数的性质,函数图象的交点问题.
14.【答案】 6 2
4
【 解 析 】 由 已 知 sin 2 sin 2sinA B C 及 正 弦 定 理 可 得 2 2a b c ,
2 2 2
2 2 2
2( )2cos 2 2
a ba ba b cC ab ab
2 23 2 2 2 2 6 2 2 6 2
8 8 4
a b ab ab ab
ab ab
,当且仅当 2 23 2a b 即 2
3
a
b
时
等号成立,所以 cosC 的最小值为 6 2
4
.
【考点】正弦定理与余弦定理.
二、解答题 (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.)
15.
【答案】(1) 10
10
;(2) 3 3 4
10
.
【解析】(1)由题意 25 2 5cos 1 ( )5 5
,
所以 2 2 5 2 5 10sin( ) sin cos cos sin ( )4 4 4 2 5 2 5 10
.
(2)由(1)得 4sin 2 2sin cos 5
, 2 3cos2 2cos 1 5
,
所以 5 5 5 3 3 1 4 3 3 4cos( 2 ) cos cos2 sin sin 2 ( )6 6 6 2 5 2 5 10
.
【考点】同角三角函数的关系,二倍角公式,两角和与差的正弦、余弦公式.
16.
【解析】(1)由于 ,D E 分别是 ,PC AC 的中点,则有 //PA DE ,又 PA DEF 平面 ,
DE DEF 平面 ,所以 //PA DEF平面 .
(2)由(1) //PA DE ,又 PA AC ,所以 PE AC ,又 F 是 AB 中点,所以
1 32DE PA , 1 42EF BC , 又 5DF , 所 以 2 2 2DE EF DF , 所 以
DE EF , ,EF AC 是 平 面 ABC 内 两 条 相 交 直 线 , 所 以 DE ABC 平面 , 又
DE 平面 BDE ,所以平面 BDE 平面 ABC .
【考点】线面平行与面面垂直.
17.【解析】(1)由题意, 2 ( ,0)F c , (0, )B b , 2 2
2 2BF b c a ,又 4 1( , )3 3C ,
∴
2 2
2
4 1( ) ( )3 3 12 b
,解得 1b .∴椭圆方程为
2
2 12
x y .
(2)直线 2BF 方程为 1x y
c b
,与椭圆方程
2 2
2 2 1x y
a b
联立方程组,解得 A 点坐标为
2 3
2 2 2 2
2( , )a c b
a c a c
,则C 点坐标为
2 3
2 2 2 2
2( , )a c b
a c a c
,
1
3
32 2
2 2 3
2 2
2 2F C
b
ba ck a c a c cca c
,
又 AB
bk c
, 由 1FC AB 得
3
2 3 ( ) 12
b b
a c c c
, 即 4 2 2 42b a c c , ∴
2 2 2 2 2 4( ) 2a c a c c ,化简得 1
2
ce a
.
【考点】(1)椭圆标准方程;(2)椭圆离心率.
18.【解析】(1)如图,以 ,OC OA为 ,x y 轴建立直角坐标系,则 (170,0)C , (0,60)A ,由
题意 4
3BCk ,直线 BC 方程为 4 ( 170)3y x .又 1 3
4AB
BC
k k
,故直线 AB 方程
为 3 604y x , 由
4 ( 170)3
3 604
y x
y x
, 解 得 80
120
x
y
, 即 (80,120)B , 所 以
2 2(80 170) 120 150BC ( )m ;
(2)设OM t ,即 (0, )M t (0 60)t ,由(1)直线 BC 的一般方程为 4 3 680 0x y ,
圆 M 的半径为 3 680
5
tr
,由题意要求 80,
(60 ) 80,
r t
r t
,由于 0 60t ,因此
3 680
5
tr
680 3 31365 5
t t ,∴
3136 80,5
3136 (60 ) 80,5
t t
t t
∴10 35t ,所以当
10t 时, r 取得最大值130m ,此时圆面积最大.
【考点】解析几何的应用,直线方程,直线交点坐标,两点间的距离,点到直线的距离.
19.【解析】(1)证明:函数 ( )f x 定义域为 R ,∵ ( ) ( )x xf x e e f x ,∴ ( )f x 是偶
函数.
(2)由 ( ) 1xmf x e m 得 ( ( ) 1) 1xm f x e ,由于当 0x 时, 1xe ,因此
( ) 2x xf x e e ,即 ( ) 1 1 0f x ,所以 1 1
( ) 1 1
x x
x x
e em f x e e
2
1
1
x
x x
e
e e
,
令 2
1
1
x
x x
ey e e
,设 1 xt e ,则 0t ,
21 (1 ) 1 1t t ty t t
,∵ 0t ,∴ 1 2t t
( 1t 时等号成立),即 1 2 1 3y
, 1 03 y ,所以 1
3m .
(3)由题意,不等式 3( ) ( 3 )f x a x x 在 [1, ) 上有解,由 3( ) ( 3 )f x a x x 得
3 3 0x xax ax e e ,记 3( ) 3 x xh x ax ax e e , 2'( ) 3 ( 1) x xh x a x e e ,
显然 '(1) 0h ,当 1x 时, '( ) 0h x (因为 0a ),故函数 ( )h x 在[1, ) 上增函数,
( ) (1)h x h最小 ,于是 ( ) 0h x 在 [1, ) 上有解,等价于 1(1) 3 0h a a e e
,即
1 1( ) 12a e e
. 考 察 函 数 ( ) ( 1)ln ( 1),( 1)g x e x x x , 1'( ) 1eg x x
, 当
1x e 时, '( ) 0g x ,当1 1x e 时, '( ) 0g x ,当 1x e 时 '( ) 0g x ,即 ( )g x
在[1, 1]e 上是增函数,在 ( 1, )e 上是减函数,又 (1) 0g , ( ) 0g e , 1 1( ) 12 e e
,
所以当 1 1( )2 e x ee
时, ( ) 0g x ,即 ( 1)ln 1e x x , 1 1e xx e ,当 x e 时,
( ) 0g x ,,即 ( 1)ln 1e x x , 1 1e xx e ,因此当 1 1( )2 e a ee
时, 1 1a ee a ,
当 a e 时, 1 1a ee a ,当 a e 时, 1 1a ee a .
【考点】(1)偶函数的判断;(2)不等式恒成立问题与函数的交汇;(3)导数与函数的单调
性,比较大小.
20.【解析】(1)首先 1 1 2a S ,当 2n 时, 1 1
1 2 2 2n n n
n n na S S
,所以
1
2, 1,
2 , 2,n n
n
a
n
,所以对任意的 *n N , 2n
nS 是数列{ }na 中的 1n 项,因此数列{ }na
是“ H 数列”.
(2)由题意 1 ( 1)na n d , ( 1)
2n
n nS n d ,数列{ }na 是“ H 数列”,则存在 *k N ,
使 ( 1) 1 ( 1)2
n nn d k d , 1 ( 1) 12
n n nk d
,由于 ( 1) *2
n n N ,又 *k N ,
则 1n Zd
对一切正整数 n 都成立,所以 1d .
(3)首先,若 nd bn (b 是常数),则数列{ }nd 前 n 项和为 ( 1)
2n
n nS b 是数列{ }nd 中
的第 ( 1)
2
n n 项,因此{ }nd 是“ H 数列”,对任意的等差数列{ }na , 1 ( 1)na a n d ( d
是公差),设 1nb na , 1( )( 1)nc d a n ,则 n n na b c ,而数列{ }nb ,{ }nc 都是“ H
数列”,证毕.
【考点】(1)新定义与数列的项,(2)数列的项与整数的整除;(3)构造法.