全国高考文科数学试题及答案广东卷二次校对 9页

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）‎ 数学（文史类）试题 本试卷共21题，满分150分。考试用时120分钟。‎ 参考公式：球的体积，其中R为球的半径。‎ 锥体的体积公式为，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。‎ 一组数据x1，x2，…，xn的标准差，其中表示这组数据的平均数。‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1．设i为虚数单位，则复数= ‎ ‎ A．-4-3i B．-4+3i C．4+3i D．4-3i ‎2．设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,3,5} 则CUM=‎ ‎ A．{2,4,6} B．{1,3,5} C．{1,2,4} D．U ‎3．若向量=（1,2），=（3,4），则=‎ ‎ A．（4,6） B．（-4，-6） C．（-2，-2） D．（2,2）‎ ‎4．下列函数为偶函数的是 ‎ A．y=sinx B．y= C．y= D．y=ln ‎5．已知变量x,y满足约束条件 x +y≤1，则z =x +2y的最小值为 ‎ x–y≤1‎ ‎ x +1≥0‎ ‎ A．3 B．‎1 ‎ C．-5 D．-6‎ ‎6．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝，则AC＝‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 ‎ A．72π B．48π C．30π D．24π ‎8．在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y-5=0与圆x²+y²=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于 ‎ A． B． C． D．1‎ ‎9．执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为 ‎ A．105 B．‎16 ‎ C．15 D．1‎ ‎10．对任意两个非零的平面向量α和β，定义。若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角，且a·b和b·a都在集合中，则 ‎ A． B． C．1 D． ‎ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。‎ ‎（一）必做题（11~13题）‎ ‎11．函数y=的定义域为__________。‎ ‎12．若等比数列{an}满足a‎2a4=，则 ‎13．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为__________。（从小到大排列）‎ ‎（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为，则曲线C1与C2的交点坐标为_______。‎ ‎15．（几何证明选讲选做题）如图3所示，直线PB与圆O想切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA=∠DBA，若AD=m，AC=n，则AB=_________。‎ ‎ ‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 已知函数，x∈R，且。‎ ‎（1）求A的值；‎ ‎（2）设，，，求cos（α＋β）的值。‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4‎ 所示，其中成绩分组区间是：[50,60][60,70][70,80][80,90‎ ‎][90,100]。‎ ‎（1）求图中a的值；‎ ‎（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；‎ ‎（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成 绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数。‎ 分数列 ‎[50,60）‎ ‎[60,70）‎ ‎[70,80）‎ ‎[80,90）‎ x:y ‎1:1‎ ‎2:1‎ ‎3:4‎ ‎4:5‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF=AB，PH为△PAD边上的高。‎ ‎ （1）证明：PH⊥平面ABCD；‎ ‎ （2）若PH=1，AD=，FC=1，求三棱锥E-BCF的体积；‎ ‎ （3）证明：EF⊥平面PAB。‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn=2Sn-n2，n∈N﹡。‎ ‎ （1）求a1的值；‎ ‎ （2）求数列{an}的通项公式。‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C1：的左焦点为F1（-1,0），且点P（0,1）在C1上。‎ ‎ （1）求椭圆C1的方程；‎ ‎ （2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程。‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 设0＜a＜1，集合, ‎ ‎（1）求集合D（用区间表示）‎ ‎（2）求函数在D内的极值点。‎ 参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．D ‎2．A ‎3．【答案】A ‎【解析】因为=+=,所以选 A．‎ ‎【考点定位】本题考查平面向量的坐标运算（加法）,属基础题．‎ ‎4．【答案】D ‎【解析】观察可得:四个选项的定义域均为R,且只有函数y=ln是偶函数,故选D．‎ ‎【考点定位】本题考查函数的性质（奇偶性）,属基础题．‎ ‎5．C ‎6．B ‎7．C ‎8．【答案】B ‎【解析】因为弦心距为,所以弦AB的长等于,故选 B．‎ ‎【考点定位】本题考查直线与圆相交的位置关系,属中档题．‎ ‎9．C ‎10．D 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。‎ ‎11．【答案】‎ ‎【解析】要使函数有意义,须满足且,解得定义域为．‎ ‎【考点定位】本题考查函数的定义域,属容易题．‎ ‎12．【答案】‎ ‎【解析】因为是等比数列,所以,所以=．‎ ‎【考点定位】本题考查等比数列的性质, 属容易题．‎ ‎13．答案】1，2，2，3‎ ‎【解析】由题意知：x2+x3=4，x1+x4=4，容易得答案．‎ ‎【考点定位】本题考查平均数与中位数及标准差的求解．‎ ‎（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14．（2，1）‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】由弦切角定理知: ∠PBA=∠ACB,又因为∠PBA=∠DBA，所以∠DBA =∠ACB,所以,,解得AB=．‎ ‎【考点定位】本题考查三角形相似与弦切角定理．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ ‎16.解：(1)。‎ ‎(2)，，。‎ ‎，，，‎ ‎17.解：(1)。‎ ‎(2)平均分为。‎ ‎(3)数学成绩在内的人数为人，数学成绩在外的人数为人。‎ 答：(1)；(2)这100名学生语文成绩的平均分为；(3)数学成绩在外的人数为人。‎ ‎18.(1)证明：平面，面，又平面，‎ 平面。‎ ‎(2)是中点点到面的距离，‎ 三棱锥的体积。‎ ‎(3)取的中点为，连接。‎ ‎，又平面，平面平面平面，‎ 又平面平面，平面面，‎ 点是棱的中点，又，得：平面。‎ ‎19.解:(1)在中，令。‎ ‎(2)，相减得：，，‎ 相减得：，，，得，‎ ‎，得：数列是以为首项，为公比的等比数列，‎ ‎。‎ ‎20.解：(1)由题意得：，故椭圆的方程为：。‎ ‎(2)①当直线的斜率不存在时，设直线，直线与椭圆相切，直线与抛物线相切，得：不存在。‎ ②当直线的斜率存在时，设直线，直线与椭圆相切两根相等；直线与抛物线相切两根相等 ‎，解得：或。‎ ‎21.解：(1)对于方程，判别式。‎ 因为，所以。‎ 当时，，此时，所以；‎ 当时，，此时，所以；‎ 当时，，设方程的两根为且，‎ 则，，‎ ‎，，所以，此时，‎ 综上可知，当时，；‎ 当时，；当时，。‎ ‎(2)，由，‎ 由或，所以函数在区间和上为递增，在区间上为递减。‎ 当时，因为，所以在内有极大值点和极小值点；‎ 当时，，所以在内有极大值点；‎ 当时，‎ ‎，‎ 在内有极大值点。‎ 综上可知：当时，在内有极大值点；当时，在内有极大值点和极小值点。‎