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  • 2021-05-14 发布

黑龙江省大庆实验中学高考数学一模试卷理科解析

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‎2016年黑龙江省大庆实验中学高考数学一模试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在题目给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求.‎ ‎1.设全集I=R,集合A={y|y=log3x,x>3},B={x|y=},则(  )‎ A.A⊆BB.A∪B=AC.A∩B=∅D.A∩(∁IB)≠∅‎ ‎2.设i为虚数单位,则复数=(  )‎ A.﹣4﹣3iB.﹣4+3iC.4+3iD.4﹣3i ‎3.在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且c=,B=45°则S=2,则b等于(  )‎ A. B. C.25D.5‎ ‎4.某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛,要求每位同学仅报一科,每科至少有一位同学参加,且甲、乙不能参加同一学科,则不同的安排方法有(  )‎ A.36种B.30种C.24种D.6种 ‎5.已知α、β、γ为互不重合的三个平面,命题p:若α⊥β,β⊥γ,则α∥γ;命题q:若α上不共线的三点到β的距离相等,则α∥β.对以上两个命题,下列结论中正确的是(  )‎ A.命题“p且q”为真B.命题“p或¬q”为假 C.命题“p或q”为假D.命题“¬p且¬q”为假 ‎6.如果实数x,y满足不等式组,目标函数z=kx﹣y的最大值为6,最小值为0,则实数k的值为(  )‎ A.1B.2C.3D.4‎ ‎7.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p (p≠0),发球次数为X,若X的数学期望EX>1.75,则p的取值范围是(  )‎ A.(0,)B.(,1)C.(0,)D.(,1)‎ ‎8.把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起,形成的三棱锥C﹣ABD的主视图与俯视图如图所示,则左视图的面积为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.如图,在由x=0,y=0,x=及y=cosx围成区域内任取一点,则该点落在x=0,y=sinx及y=cosx围成的区域内(阴影部分)的概率为(  )‎ A.1﹣B.﹣1C. D.3﹣2‎ ‎10.若A,B,C是圆x2+y2=1上不同的三个点,O是圆心,且,存在实数λ,μ使得=,实数λ,μ的关系为(  )‎ A.λ2+μ2=1B. C.λ•μ=1D.λ+μ=1‎ ‎11.设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=a2=1,{nSn+(n+2)an}为等差数列,则an=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.定义区间[x1,x2]长度为x2﹣x1,(x2>x1),已知函数f(x)= (a∈R,a≠0)的定义域与值域都是[m,n],则区间[m,n]取最大长度时a的值为(  )‎ A. B.a>1或a<﹣3C.a>1D.3‎ ‎ ‎ 二、填空题::本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.如图是判断“实验数”的流程图,在[30,80]内的所有整数中,“实验数”的个数是      .‎ ‎14.已知向量=(m,1),=(4﹣n,2),m>0,n>0,若∥,则+的最小值      .‎ ‎15.双曲线C:的左右焦点分别为F1、F2,过F1的直线与双曲线左右两支分别交于A、B两点,若△ABF2是等边三角形,则双曲线C的离心率为      .‎ ‎16.在正项等比数列{an}中,,a6+a7=3,则满足a1+a2+…+an>a1a2…an的最大正整数n的值为      .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin2+sinAsinB=.‎ ‎(1)求角C的大小; ‎ ‎(2)若b=4,△ABC的面积为6,求边c的值.‎ ‎18.如图是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市,并停留3天.‎ ‎(1)求此人到达当日空气质量重度污染的概率;‎ ‎(2)设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数,求ξ的分布列与数学期望.‎ ‎19.如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2,AD=1,PD⊥底面ABCD.‎ ‎(1)证明:PA⊥BD;‎ ‎(2)若PD=AD,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.‎ ‎20.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=4,椭圆C:,A为椭圆右顶点.过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B,C两点,直线AB与圆O的另一交点为P,直线PD与圆O的另一交点为Q,其中.设直线AB,AC的斜率分别为k1,k2.‎ ‎(1)求k1k2的值;‎ ‎(2)记直线PQ,BC的斜率分别为kPQ,kBC,是否存在常数λ,使得kPQ=λkBC?若存在,求λ值;若不存在,说明理由;‎ ‎(3)求证:直线AC必过点Q.‎ ‎21.已知函数f(x)=alnx+1(a>0).‎ ‎(1)当a=1且x>1时,证明:f(x)>3﹣;‎ ‎(2)若对∀x∈(1,e),f(x)>x恒成立,求实数a的取值范围;‎ ‎(3)当a=时,证明: f(i)>2(n+1﹣).‎ ‎ ‎ ‎[选修4-1:几何证明选讲]‎ ‎22.如图,⊙O的半径OB垂直于直径AC,M为AO上一点,BM的延长线交⊙O于N,过N点的切线交CA的延长线于P.‎ ‎(Ⅰ)求证:PM2=PA•PC;‎ ‎(Ⅱ)若⊙O的半径为2,OA=OM,求MN的长.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎23.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为它与曲线C:(y﹣2)2﹣x2=1交于A、B两点.‎ ‎(1)求|AB|的长;‎ ‎(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点P的极坐标为,求点P到线段AB中点M的距离.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎24.设函数f(x)=|x﹣1|+|x﹣a|(a∈R)‎ ‎(1)当a=4时,求不等式f(x)≥5的解集;‎ ‎(2)若f(x)≥4对x∈R恒成立,求a的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2016年黑龙江省大庆实验中学高考数学一模试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在题目给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求.‎ ‎1.设全集I=R,集合A={y|y=log3x,x>3},B={x|y=},则(  )‎ A.A⊆BB.A∪B=AC.A∩B=∅D.A∩(∁IB)≠∅‎ ‎【考点】集合的包含关系判断及应用.‎ ‎【分析】根据对数函数的单调性便可解出A={x|x>1},利用被开方数大于等于0,求出B,从而找出正确选项.‎ ‎【解答】解:A={y|y=log3x,x>3}={y|y>1},B={x|y=}={x|x≥1},‎ ‎∴A⊆B,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎2.设i为虚数单位,则复数=(  )‎ A.﹣4﹣3iB.﹣4+3iC.4+3iD.4﹣3i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算.‎ ‎【分析】利用复数的运算法则即可得出.‎ ‎【解答】解:原式==﹣4﹣3i,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎3.在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且c=,B=45°则S=2,则b等于(  )‎ A. B. C.25D.5‎ ‎【考点】解三角形.‎ ‎【分析】由S==2,得a=1,再直接利用余弦定理求得b.‎ ‎【解答】解:由S===2,得a=1‎ 又由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=1+32﹣2×=25,所以b=5‎ 故选D ‎ ‎ ‎4.某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛,要求每位同学仅报一科,每科至少有一位同学参加,且甲、乙不能参加同一学科,则不同的安排方法有(  )‎ A.36种B.30种C.24种D.6种 ‎【考点】计数原理的应用.‎ ‎【分析】先不考虑学生甲,乙不能同时参加同一学科竞赛,从4人中选出两个人作为一个元素,同其他两个元素在三个位置上排列,其中有不符合条件的,即甲乙两人在同一位置,去掉即可.‎ ‎【解答】解:从4人中选出两个人作为一个元素有C42种方法,‎ 同其他两个元素在三个位置上排列C42A33=36,‎ 其中有不符合条件的,‎ 即学生甲,乙同时参加同一学科竞赛有A33种结果,‎ ‎∴不同的参赛方案共有 36﹣6=30,‎ 故选:B ‎ ‎ ‎5.已知α、β、γ为互不重合的三个平面,命题p:若α⊥β,β⊥γ,则α∥γ;命题q:若α上不共线的三点到β的距离相等,则α∥β.对以上两个命题,下列结论中正确的是(  )‎ A.命题“p且q”为真B.命题“p或¬q”为假 C.命题“p或q”为假D.命题“¬p且¬q”为假 ‎【考点】平面与平面之间的位置关系.‎ ‎【分析】根据平面平行的判断方法,我们对已知中的两个命题p,q进行判断,根据判断结合和复合命题真值表,我们对四个答案逐一进行判断,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:∵当α⊥β,β⊥γ时,‎ α与γ可能平行与可能垂直 故命题p为假命题 又∵若α上不共线的三点到β的距离相等时 α与β可能平行也可能相交,‎ 故命题q也为假命题 故命题“p且q”为假,命题“p或¬q”为真,命题“p或q”为假,命题“¬p且¬q”为真 故选C ‎ ‎ ‎6.如果实数x,y满足不等式组,目标函数z=kx﹣y的最大值为6,最小值为0,则实数k的值为(  )‎ A.1B.2C.3D.4‎ ‎【考点】简单线性规划.‎ ‎【分析】首先作出其可行域,再由题意讨论目标函数在哪个点上取得最值,解出k.‎ ‎【解答】解:作出其平面区域如右图:‎ A(1,2),B(1,﹣1),C(3,0),‎ ‎∵目标函数z=kx﹣y的最小值为0,‎ ‎∴目标函数z=kx﹣y的最小值可能在A或B时取得;‎ ‎∴①若在A上取得,则k﹣2=0,则k=2,此时,‎ z=2x﹣y在C点有最大值,z=2×3﹣0=6,成立;‎ ‎②若在B上取得,则k+1=0,则k=﹣1,‎ 此时,z=﹣x﹣y,在B点取得的应是最大值,‎ 故不成立,‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎7.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p (p≠0),发球次数为X,若X的数学期望EX>1.75,则p的取值范围是(  )‎ A.(0,)B.(,1)C.(0,)D.(,1)‎ ‎【考点】相互独立事件的概率乘法公式;离散型随机变量的期望与方差.‎ ‎【分析】根据题意,首先求出X=1、2、3时的概率,进而可得EX的表达式,由题意EX>1.75,可得p2﹣3p+3>1.75,解可得p的范围,结合p的实际意义,对求得的范围可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,学生发球次数为1即一次发球成功的概率为p,即P(X=1)=p,‎ 发球次数为2即二次发球成功的概率P(X=2)=p(1﹣p),‎ 发球次数为3的概率P(X=3)=(1﹣p)2,‎ 则Ex=p+2p(1﹣p)+3(1﹣p)2=p2﹣3p+3,‎ 依题意有EX>1.75,则p2﹣3p+3>1.75,‎ 解可得,p>或p<,‎ 结合p的实际意义,可得0<p<,即p∈(0,)‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎8.把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起,形成的三棱锥C﹣ABD的主视图与俯视图如图所示,则左视图的面积为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图.‎ ‎【分析】画出几何体的图形,根据三视图的特征,推出左视图的形状,然后求解即可.‎ ‎【解答】解:在三棱锥C﹣ABD中,‎ C在平面ABD上的射影为BD的中点,‎ 左视图的面积等于,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎9.如图,在由x=0,y=0,x=及y=cosx围成区域内任取一点,则该点落在x=0,y=sinx及y=cosx围成的区域内(阴影部分)的概率为(  )‎ A.1﹣B.﹣1C. D.3﹣2‎ ‎【考点】定积分在求面积中的应用;几何概型.‎ ‎【分析】根据积分的几何意义求出阴影部分的面积,利用几何概型的概率公式即可得到结论.‎ ‎【解答】解:由x=0,y=0,x=及y=cosx围成区域内围成的区域面积S==sinx|,‎ 由x=0,y=sinx及y=cosx围成的区域面积S==(sinx+cosx)|=,‎ ‎∴根据根据几何概型的概率公式可得所求的概率P=,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎10.若A,B,C是圆x2+y2=1上不同的三个点,O是圆心,且,存在实数λ,μ使得=,实数λ,μ的关系为(  )‎ A.λ2+μ2=1B. C.λ•μ=1D.λ+μ=1‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用;向量的共线定理;数量积判断两个平面向量的垂直关系.‎ ‎【分析】由A,B,C是圆x2+y2=1上不同的三个点,可得,又,所以对两边平方即可得到结论.‎ ‎【解答】解:∵,两边平方得:‎ ‎∵‎ ‎∴λ2+μ2=1‎ 故选A ‎ ‎ ‎11.设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=a2=1,{nSn+(n+2)an}为等差数列,则an=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】数列递推式.‎ ‎【分析】设bn=nSn+(n+2)an,由已知得b1=4,b2=8,从而bn=nSn+(n+2)an=4n,进而得到是以为公比,1为首项的等比数列,由此能求出.‎ ‎【解答】解:设bn=nSn+(n+2)an,‎ ‎∵数列{an}的前n项和为Sn,且a1=a2=1,‎ ‎∴b1=4,b2=8,‎ ‎∴bn=b1+(n﹣1)×(8﹣4)=4n,‎ 即bn=nSn+(n+2)an=4n 当n≥2时,‎ ‎∴,即,‎ ‎∴是以为公比,1为首项的等比数列,‎ ‎∴,∴.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎12.定义区间[x1,x2]长度为x2﹣x1,(x2>x1),已知函数f(x)= (a∈R,a≠0)的定义域与值域都是[m,n],则区间[m,n]取最大长度时a的值为(  )‎ A. B.a>1或a<﹣3C.a>1D.3‎ ‎【考点】函数的值域;函数的定义域及其求法.‎ ‎【分析】得出,故m,n是方程)=﹣=x的同号的相异实数根,即a2x2﹣(a2+a)x+1=0的同号的相异实数根得出mn=,只需△=a2(a+3)(a﹣1)>0,a>1或a<﹣3,利用函数求解n﹣m==,n﹣m取最大值为.此时a=3,‎ ‎【解答】解:设[m,n]是已知函数定义域的子集.‎ x≠0,[m,n]⊆(﹣∞,0)或[m,n]⊆(0,+∞),‎ 故函数f(x)=﹣在[m,n]上单调递增,则,‎ 故m,n是方程)=﹣=x的同号的相异实数根,‎ 即a2x2﹣(a2+a)x+1=0的同号的相异实数根 ‎∵mn=‎ ‎∴m,n同号,只需△=a2(a+3)(a﹣1)>0,‎ ‎∴a>1或a<﹣3,n﹣m==,‎ n﹣m取最大值为.此时a=3,‎ 故选:D ‎ ‎ 二、填空题::本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.如图是判断“实验数”的流程图,在[30,80]内的所有整数中,“实验数”的个数是 12 .‎ ‎【考点】程序框图.‎ ‎【分析】从程序框图中得到实验数的定义,找出区间中被3整除的数;找出被12整除的数;找出不能被6整除的数得到答案.‎ ‎【解答】解:由程序框图知实验数是满足:能被3整除不能被6整除或能被12整除的数,‎ 在[30,80]内的所有整数中,所有的能被3整除数有:‎ ‎30,33,36,39,42,45,48,51,54,57,60,63,66,69,72,75,78共有17个数,‎ 在这17个数中能被12 整除的有36,48,60,72,共4个数,‎ 在这17个数中不能被6 整除的有33,39,45,51,57,63,69,75,共计8个数,‎ 所以在[30,80]内的所有整数中“试验数”的个数是12个.‎ 故答案为:12.‎ ‎ ‎ ‎14.已知向量=(m,1),=(4﹣n,2),m>0,n>0,若∥,则+的最小值 frac{9}{2} .‎ ‎【考点】基本不等式;平面向量共线(平行)的坐标表示.‎ ‎【分析】由∥,可得:n+2m=4.再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.‎ ‎【解答】解:∵∥,∴4﹣n﹣2m=0,即n+2m=4.‎ ‎∵m>0,n>0,‎ ‎∴+=(n+2m)=≥=,当且仅当n=4m=时取等号.‎ ‎∴+的最小值是.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎15.双曲线C:的左右焦点分别为F1、F2,过F1的直线与双曲线左右两支分别交于A、B两点,若△ABF2是等边三角形,则双曲线C的离心率为 sqrt{7} .‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中,|AF1|=2a,|AF2|=4a,由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°,利用余弦定理算出c=a,结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率.‎ ‎【解答】解:根据双曲线的定义,可得|BF1|﹣|BF2|=2a,‎ ‎∵△ABF2是等边三角形,即|BF2|=|AB|‎ ‎∴|BF1|﹣|BF2|=2a,即|BF1|﹣|AB|=|AF1|=2a 又∵|AF2|﹣|AF1|=2a,‎ ‎∴|AF2|=|AF1|+2a=4a,‎ ‎∵△AF1F2中,|AF1|=2a,|AF2|=4a,∠F1AF2=120°‎ ‎∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1|•|AF2|cos120°‎ 即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×(﹣)=28a2,解之得c=a,‎ 由此可得双曲线C的离心率e==‎ 故答案为:‎ ‎ ‎ ‎16.在正项等比数列{an}中,,a6+a7=3,则满足a1+a2+…+an>a1a2…an的最大正整数n的值为 12 .‎ ‎【考点】等比数列的前n项和;一元二次不等式的解法;数列的函数特性;等差数列的前n项和.‎ ‎【分析】设正项等比数列{an}首项为a1,公比为q,由题意可得关于这两个量的方程组,解之可得数列的通项公式和a1+a2+…+an及a1a2…an的表达式,化简可得关于n的不等式,解之可得n的范围,取上限的整数部分即可得答案.‎ ‎【解答】解:设正项等比数列{an}首项为a1,公比为q,‎ 由题意可得,解之可得:a1=,q=2,‎ 故其通项公式为an==2n﹣6.‎ 记Tn=a1+a2+…+an==,‎ Sn=a1a2…an=2﹣5×2﹣4…×2n﹣6=2﹣5﹣4+…+n﹣6=.‎ 由题意可得Tn>Sn,即>,‎ 化简得:2n﹣1>,即2n﹣>1,‎ 因此只须n>,即n2﹣13n+10<0‎ 解得<n<,‎ 由于n为正整数,因此n最大为的整数部分,也就是12.‎ 故答案为:12‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin2+sinAsinB=.‎ ‎(1)求角C的大小; ‎ ‎(2)若b=4,△ABC的面积为6,求边c的值.‎ ‎【考点】正弦定理;三角函数中的恒等变换应用.‎ ‎【分析】(1)利用降幂公式,两角和与差的余弦函数公式,三角形内角和定理,诱导公式化简已知等式,可求cosC的值,结合C的范围可求C的值.‎ ‎(2)利用三角形面积公式可求a的值,结合余弦定理即可求得c的值.‎ ‎【解答】解:(1)sin2+sinAsinB=.‎ ‎⇒,‎ ‎⇒,‎ ‎⇒,‎ ‎⇒,‎ ‎⇒,‎ ‎⇒,‎ ‎⇒,‎ ‎(2)∵,,‎ ‎∴,‎ ‎∵c2=a2+b2﹣2abcosC=10,‎ ‎∴.‎ ‎ ‎ ‎18.如图是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市,并停留3天.‎ ‎(1)求此人到达当日空气质量重度污染的概率;‎ ‎(2)设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数,求ξ的分布列与数学期望.‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差;等可能事件的概率.‎ ‎【分析】(1)设Ai表示事件“此人于2月i日到达该市”依题意知p(Ai)=,设B为事件“此人到达当日空气质量重度污染”,则B=A1∪A2∪A3∪A7∪A12,由此能求出此人到达当日空气质量重度污染的概率.‎ ‎(2)由题意可知,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,分别求出P(ξ=0),P(ξ=1),P(ξ=2),P(ξ=3),由此能求出ξ的分布列和ξ的期望.‎ ‎【解答】解:(1)设Ai表示事件“此人于2月i日到达该市”(i=1,2,…,12).‎ 依题意知,p(Ai)=,且Ai∩Aj=Φ(i≠j).‎ 设B为事件“此人到达当日空气质量重度污染”,‎ 则B=A1∪A2∪A3∪A7∪A12,‎ 所以P(B)=(A1∪A2∪A3∪A7∪A12)‎ ‎=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A7)+P(A12)=.‎ 即此人到达当日空气质量重度污染的概率为.‎ ‎(2)由题意可知,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,‎ P(ξ=0)=P(A4∪A8∪A9)=P(A4)+P(A8)+P(A9)=,‎ P(ξ=2)=P(A2∪A11)=P(A2)+P(A11)=,‎ P(ξ=3)=P(A1∪A12)=P(A1)+P(A12)=,‎ P(ξ=1)=1﹣P(ξ=0)﹣P(ξ=2)﹣P(ξ=3)=1﹣=,‎ ‎∴ξ的分布列为:‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 故ξ的期望Eξ=.‎ ‎ ‎ ‎19.如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2,AD=1,PD⊥底面ABCD.‎ ‎(1)证明:PA⊥BD;‎ ‎(2)若PD=AD,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.‎ ‎【考点】用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的性质;二面角的平面角及求法.‎ ‎【分析】(1)由余弦定理得BD=,由勾股定理,得BD⊥AD,由线线面垂直得BD⊥PD,从而BD⊥平面PAD,由此能证明PA⊥BD.‎ ‎(2)以D为原点,DA为x轴,DB为y轴,DP为z轴,建立空间直角坐标系,分别求出平面APB的法向量和平面PBC的法向量,由此能求出二面角A﹣PB﹣C的余弦值.‎ ‎【解答】(1)证明:因为∠DAB=60°,AB=2,AD=1,‎ 由余弦定理得BD==,‎ ‎∴BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD,‎ ‎∵PD⊥底面ABCD,BD⊂平面ABCD,‎ ‎∴BD⊥PD,又AD∩PD=D,‎ ‎∴BD⊥平面PAD,又PA⊂平面PAD,‎ ‎∴PA⊥BD.‎ ‎(2)解:以D为原点,DA为x轴,DB为y轴,DP为z轴,‎ 建立空间直角坐标系,‎ 由已知得A(1,0,0),P(0,0,1),B(0,,0),C(﹣1,,0),‎ ‎=(1,0,﹣1),=(0,,﹣1),=(﹣1,,﹣1),‎ 设平面APB的法向量=(x,y,z),‎ 则,取y=,得=(3,,3),‎ 设平面PBC的法向量=(a,b,c),‎ 则,取b=,得=(0,,3),‎ 设二面角A﹣PB﹣C的平面角为θ,由图象知θ为钝角,‎ ‎∴cosθ=﹣|cos<>|=﹣||=﹣||=﹣.‎ ‎∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为﹣.‎ ‎ ‎ ‎20.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=4,椭圆C:,A为椭圆右顶点.过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B,C两点,直线AB与圆O的另一交点为P,直线PD与圆O的另一交点为Q,其中.设直线AB,AC的斜率分别为k1,k2.‎ ‎(1)求k1k2的值;‎ ‎(2)记直线PQ,BC的斜率分别为kPQ,kBC,是否存在常数λ,使得kPQ=λkBC?若存在,求λ值;若不存在,说明理由;‎ ‎(3)求证:直线AC必过点Q.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】(1)设B(x0,y0),则C(﹣x0,﹣y0),代入椭圆方程,运用直线的斜率公式,化简即可得到所求值;‎ ‎(2)联立直线AB的方程和圆方程,求得P的坐标;联立直线AB的方程和椭圆方程,求得B的坐标,再求直线PQ,和直线BC的斜率,即可得到结论;‎ ‎(3)讨论直线PQ的斜率不存在和存在,联立直线PQ的方程和椭圆方程,求得Q的坐标,可得AQ的斜率,即可得证.‎ ‎【解答】解:(1)设B(x0,y0),则C(﹣x0,﹣y0),,‎ 所以; ‎ ‎(2)联立得,‎ 解得,‎ 联立得,‎ 解得,‎ 所以,,‎ 所以,‎ 故存在常数,使得. ‎ ‎(3)证明:当直线PQ与x轴垂直时,,‎ 则,所以直线AC必过点Q.‎ 当直线PQ与x轴不垂直时,直线PQ方程为:,‎ 联立,‎ 解得,‎ 所以,‎ 故直线AC必过点Q.‎ ‎ ‎ ‎21.已知函数f(x)=alnx+1(a>0).‎ ‎(1)当a=1且x>1时,证明:f(x)>3﹣;‎ ‎(2)若对∀x∈(1,e),f(x)>x恒成立,求实数a的取值范围;‎ ‎(3)当a=时,证明: f(i)>2(n+1﹣).‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用.‎ ‎【分析】(1)当a=1且x>1时,构造函数m(x)=lnx+﹣2,利用函数单调性和导数之间的关系即可证明:f(x)>3﹣;‎ ‎(2)根据函数最值和函数导数之间的关系将不等式恒成立问题进行转化,求实数a的取值范围;‎ ‎(3)根据函数的单调性的性质,利用放缩法即可证明不等式.‎ ‎【解答】(1)证明:要证f(x)>3﹣,即证lnx+﹣2>0,‎ 令m(x)=lnx+﹣2,‎ 则m'(x)=,‎ ‎∴m(x)在(1,+∞)单调递增,m(x)>m(1)=0,‎ ‎∴lnx+﹣2>0,‎ 即f(x)>3﹣成立.‎ ‎(2)解法一:由f(x)>x且x∈(1,e),可得a,‎ 令h(x)=,则h'(x)=,‎ 由(1)知lnx﹣1+>1+=,‎ ‎∴h'(x)>0函数,h(x)在(1,e)单调递增,当x∈(1,e)时,h(x)<h(e)=e﹣1,‎ 即a≥e﹣1.‎ 解法二:令h(x)=alnx+1﹣x,则h'(x)=,‎ 当a>e时,h'(x)>0,函数h(x)在(1,e)上是增函数,有h(x)>h(1)=0,‎ 当1<a≤e时,∵函数h(x)在(1,a)上递增,在(a,e)上递减,‎ 对∀x∈(1,e),f(x)>x恒成立,只需h(e)≥0,即a≥e﹣1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 当a≤1时,函数h(x)在(1,e)上递减,对∀x∈(1,e),f(x)>x恒成立,只需h(e)≥0,‎ 而h(e)=a+1﹣e<0,不合题意,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 综上得对∀x∈(1,e),f(x)>x恒成立,a≥e﹣1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣】‎ ‎【解法三:由f(x)>x且x∈(1,e)可得 由于表示两点A(x,lnx),B(1,0)的连线斜率,‎ 由图象可知y=在(1,e)单调递减,‎ 故当x∈(1,e)时,,‎ ‎∴0,‎ 即a≥e﹣1.‎ ‎(3)当a=时,f(x)=,则f(i)=ln(n+1)!+n,‎ 要证f(i)>2(n+1﹣),即证lni>2n+4﹣4,‎ 由(1)可知ln(n+1)>2﹣,‎ 又n+2=(n+1)+1>2>,‎ ‎∴,‎ ‎∴ln(n+1)>2﹣,‎ ‎∴ln2+ln3+…+ln(n+1)=2n+4﹣4,‎ 故f(i)>2(n+1﹣).得证.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-1:几何证明选讲]‎ ‎22.如图,⊙O的半径OB垂直于直径AC,M为AO上一点,BM的延长线交⊙O于N,过N点的切线交CA的延长线于P.‎ ‎(Ⅰ)求证:PM2=PA•PC;‎ ‎(Ⅱ)若⊙O的半径为2,OA=OM,求MN的长.‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段.‎ ‎【分析】(Ⅰ)做出辅助线连接ON,根据切线得到直角,根据垂直得到直角,即∠ONB+∠BNP=90°且∠OBN+∠BMO=90°,根据同角的余角相等,得到角的相等关系,得到结论.‎ ‎(Ⅱ)本题是一个求线段长度的问题,在解题时,应用相交弦定理,即BM•MN=CM•MA,代入所给的条件,得到要求线段的长.‎ ‎【解答】(Ⅰ)证明:连接ON,因为PN切⊙O于N,‎ ‎∴∠ONP=90°,‎ ‎∴∠ONB+∠BNP=90°‎ ‎∵OB=ON,‎ ‎∴∠OBN=∠ONB 因为OB⊥AC于O,‎ ‎∴∠OBN+∠BMO=90°,‎ 故∠BNP=∠BMO=∠PMN,PM=PN ‎∴PM2=PN2=PA•PC ‎(Ⅱ)∵OM=2,BO=2,BM=4‎ ‎∵BM•MN=CM•MA=(2+2)(2﹣2)(2﹣2)=8,‎ ‎∴MN=2‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎23.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为它与曲线C:(y﹣2)2﹣x2=1交于A、B两点.‎ ‎(1)求|AB|的长;‎ ‎(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点P的极坐标为,求点P到线段AB中点M的距离.‎ ‎【考点】直线的参数方程;点到直线的距离公式;柱坐标刻画点的位置.‎ ‎【分析】(Ⅰ)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t2﹣12t﹣5=0,求出t1+t2和t1•t2,根据|AB|‎ ‎=•|t1﹣t2|=5,运算求得结果.‎ ‎(Ⅱ)根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为 =. 由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|=•||,运算求得结果.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t2﹣12t﹣5=0,‎ 设A,B对应的参数分别为 t1 和t2,则 t1+t2=,t1•t2 =﹣. ‎ 所以|AB|=•|t1﹣t2|=5 =. ‎ ‎(Ⅱ)易得点P在平面直角坐标系下的坐标为(﹣2,2),‎ 根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为 =. ‎ 所以由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|=•||=.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎24.设函数f(x)=|x﹣1|+|x﹣a|(a∈R)‎ ‎(1)当a=4时,求不等式f(x)≥5的解集;‎ ‎(2)若f(x)≥4对x∈R恒成立,求a的取值范围.‎ ‎【考点】带绝对值的函数;绝对值不等式.‎ ‎【分析】(Ⅰ)不等式即|x﹣1|+|x﹣4|≥5,等价于,或,或,分别求出每个不等式组的解集,再取并集即得所求.‎ ‎(Ⅱ)因为f(x)=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|,由题意可得|a﹣1|≥4,与偶此解得 a的值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)当a=4时,不等式f(x)≥5,即|x﹣1|+|x﹣4|≥5,等价于 ‎,,或,或.‎ 解得:x≤0或 x≥5.‎ 故不等式f(x)≥5的解集为 {x|x≤0,或 x≥5 }. …‎ ‎(Ⅱ)因为f(x)=|x﹣1|+|x﹣a|≥|(x﹣1)﹣(x﹣a)|=|a﹣1|.(当x=1时等号成立)‎ 所以:f(x)min=|a﹣1|.…‎ 由题意得:|a﹣1|≥4,解得 a≤﹣3,或a≥5. …‎ ‎ ‎ ‎2016年7月14日