- 698.00 KB
- 2021-05-14 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2016年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,2},B={2,3,4},那么A∪(∁UB)= .
2.已知(a﹣i)2=2i,其中i是虚数单位,那么实数a= .
3.从某班抽取5名学生测量身高(单位:cm),得到的数据为160,162,159,160,159,则该组数据的方差s2= .
4.同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次,则至少有两枚硬币正面向上的概率为 .
5.若双曲线x2+my2=1过点(﹣,2),则该双曲线的虚轴长为 .
6.函数f(x)=的定义域为 .
7.某算法流程图如图所示,该程序运行后,若输出的x=15,则实数a等于 .
8.若tanα=,tan(α﹣β)=﹣,则tan(β﹣2α)= .
9.若直线3x+4y﹣m=0与圆x2+y2+2x﹣4y+4=0始终有公共点,则实数m的取值范围是 .
10.设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1,S1,底面半径高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2,S2,若=,则的值为 .
11.已知函数f(x)=x3+2x,若f(1)+f(log3)>0(a>0且a≠1),则实数a的取值范围是 .
12.设公差为d(d为奇数,且d>1)的等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm﹣1=﹣9,Sm=0,其中m>3,且m∈N*,则an= .
13.已知函数f(x)=x|x2﹣a|,若存在x∈[1,2],使得f(x)<2,则实数a的取值范围是 .
14.在平面直角坐标系xOy中,设点A(1,0),B(0,1),C(a,b),D(c,d),若不等式2≥(m﹣2)•+m(•)•(•)对任何实数a,b,c,d都成立,则实数m的最大值是 .
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知向量=(cosB,cosC),=(4a﹣b,c),且∥.
(1)求cosC的值;
(2)若c=,△ABC的面积S=,求a,b的值.
16.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AA1=AB,D是AB的中点
(1)求证:BC1∥平面A1CD;
(2)若点P在线段BB1上,且BP=BB1,求证:AP⊥平面A1CD.
17.某经销商计划销售一款新型的空气净化器,经市场凋研发现以下规律:当每台净化器的利润为x(单位:元,x>0)时,销售量q(x)(单位:百台)与x的关系满足:若x不超过20,则q(x)=;若x大于或等于180,则销售为零;当20≤x≤180时.q(x)=a﹣b(a,b为实常数).
(1)求函数q(x)的表达式;
(2)当x为多少时,总利润(单位:元)取得最大值,并求出该最大值.
18.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: =1(a>b>0)的左,右焦点分别是F1,F2,右顶点、上顶点分别为A,B,原点O到直线AB的距离等于ab﹒
(1)若椭圆C的离心率等于,求椭圆C的方程;
(2)若过点(0,1)的直线l与椭圆有且只有一个公共点P,且P在第二象限,直线PF2交y轴于点Q﹒试判断以PQ为直径的圆与点F1的位置关系,并说明理由﹒
19.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,且对任意的正整数n,都有Sn+1=λSn+3n+1,其中常数λ>0.设bn=(n∈N*)﹒
(1)若λ=3,求数列{bn}的通项公式;
(2)若λ≠1且λ≠3,设cn=an+(n∈N*),证明数列{cn}是等比数列;
(3)若对任意的正整数n,都有bn≤3,求实数λ的取值范围.
20.已知函数f(x)=a•ex+x2﹣bx(a,b∈R,e=2.71828…是自然对数的底数),其导函数为y=f′(x).
(1)设a=﹣1,若函数y=f(x)在R上是单调减函数,求b的取值范围;
(2)设b=0,若函数y=f(x)在R上有且只有一个零点,求a的取值范围;
(3)设b=2,且a≠0,点(m,n)(m,n∈R)是曲线y=f(x)上的一个定点,是否存在实数x0(x0≠m),使得f(x0)=f′()(x0﹣m)+n成立?证明你的结论.
【选做题】在A,B,C,D四小题中只能选做两题,每小题0分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1:几何证明选讲]
21.已知△ABC内接于⊙O,BE是⊙O的直径,AD是BC边上的高.求证:BA•AC=BE•AD.
B.[选修4-2:矩阵与变换]
22.已知变换T把平面上的点(3,﹣4),(5,0)分别变换成(2,﹣1),(﹣1,2),试求变换T对应的矩阵M.
C.[选修4-4:坐标系与参数方程]
23.在平面直角坐标系xOy中,直线l过点M(1,2),倾斜角为﹒以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C:ρ=6cosθ﹒若直线l与圆C相交于A,B两点,求MA•MB的值.
D.[选修4-5:不等式选讲]
24.设x为实数,求证:(x2+x+1)2≤3(x4+x2+1)﹒
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
25.一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球,从中有放回地摸球,每次摸出一个,若有3次摸到红球即停止.
(1)求恰好摸4次停止的概率;
(2)记4次之内(含4次)摸到红球的次数为X,求随机变量X的分布列.
26.设实数a1,a2,…,an满足a1+a2+…+an=0,且|a1|+|a2|+…+|an|≤1(n∈N*且n≥2),令bn=(n∈N*).求证:|b1+b2+…+bn|≤(n∈N*).
2016年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,2},B={2,3,4},那么A∪(∁UB)= {1,2,5} .
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】先求出B的补集,再求出其与A的并集,从而得到答案.
【解答】解:∵U={1,2,3,4,5},又B={2,3,4},
∴(CUB)={1,5},
又A={1,2},∴A∪(CUB)={1,2,5}.
故答案为:{1,2,5}.
2.已知(a﹣i)2=2i,其中i是虚数单位,那么实数a= ﹣1 .
【考点】复数代数形式的混合运算.
【分析】直接化简方程,利用复数相等条件即可求解.
【解答】解:a2﹣2ai﹣1=a2﹣1﹣2ai=2i,a=﹣1
故答案为:﹣1
3.从某班抽取5名学生测量身高(单位:cm),得到的数据为160,162,159,160,159,则该组数据的方差s2= .
【考点】极差、方差与标准差.
【分析】求出数据的平均数,从而求出方差即可.
【解答】解:数据160,162,159,160,159的平均数是:160,
则该组数据的方差s2=(02+22+12+02+12)=,
故答案为:.
4.同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次,则至少有两枚硬币正面向上的概率为 .
【考点】古典概型及其概率计算公式.
【分析】由已知条件利用n次独立重复试验概率计算公式求解.
【解答】解:∵同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次,
∴至少有两枚硬币正面向上的概率为:
p==.
故答案为:.
5.若双曲线x2+my2=1过点(﹣,2),则该双曲线的虚轴长为 4 .
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】根据条件求出双曲线的标准方程即可得到结论.
【解答】解:∵双曲线x2+my2=1过点(﹣,2),
∴2+4m=1,即4m=﹣1,
m=﹣,
则双曲线的标准范围为x2﹣=1,
则b=2,
即双曲线的虚轴长2b=4,
故答案为:4.
6.函数f(x)=的定义域为 (0,1)∪(1,2) .
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】由对数式的真数大于0,分式的分母不等于0联立不等式组求得答案.
【解答】解:要使原函数有意义,则,解得:0<x<2,且x≠1.
∴函数f(x)=的定义域为:(0,1)∪(1,2).
故答案为:(0,1)∪(1,2).
7.某算法流程图如图所示,该程序运行后,若输出的x=15,则实数a等于 1 .
【考点】程序框图.
【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,即可解得a的值.
【解答】解:模拟执行程序,可得
n=1,x=a
满足条件n≤3,执行循环体,x=2a+1,n=2
满足条件n≤3,执行循环体,x=2(2a+1)+1=4a+3,n=3
满足条件n≤3,执行循环体,x=2(4a+3)+1=8a+7,n=4
不满足条件n≤3,退出循环,输出x的值为15.
所以:8a+7=15,解得:a=1.
故答案为:1
8.若tanα=,tan(α﹣β)=﹣,则tan(β﹣2α)= ﹣ .
【考点】两角和与差的正切函数.
【分析】根据题意,先有诱导公式可得tan(β﹣2α)=﹣tan(2α﹣β),进而结合正切的和角公式可得tan(β﹣2α)=﹣tan(2α﹣β)=﹣tan[(α﹣β)+α]=﹣,代入数据计算可得答案.
【解答】解:根据题意,tan(β﹣2α)=﹣tan(2α﹣β)=﹣tan[(α﹣β)+α]=﹣=﹣=﹣;
故答案为:﹣.
9.若直线3x+4y﹣m=0与圆x2+y2+2x﹣4y+4=0始终有公共点,则实数m的取值范围是 [0,10] .
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】圆x2+y2+2x﹣4y+4=0的圆心(﹣1,2),半径r=1,求出圆心(﹣1,2)到直线3x+4y﹣m=0的距离d,由直线3x+4y﹣m=0与圆x2+y2+2x﹣4y+4=0始终有公共点,得d≤r,由此能求出实数m的取值范围.
【解答】解:圆x2+y2+2x﹣4y+4=0的圆心(﹣1,2),半径r==1,
圆心(﹣1,2)到直线3x+4y﹣m=0的距离d==,
∵直线3x+4y﹣m=0与圆x2+y2+2x﹣4y+4=0始终有公共点,
∴,
解得0≤m≤10,
∴实数m的取值范围是[0,10].
故答案为:[0,10].
10.设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1,S1,底面半径高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2,S2,若=,则的值为 .
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】根据体积比得出a和r的关系,代入面积公式求出面积比即可.
【解答】解:圆锥的母线l==r.
V1=a3,S1=6a2,V2=,S2=πrl=πr2.
∵==,∴a=r.
∴==.
故答案为:.
11.已知函数f(x)=x3+2x,若f(1)+f(log3)>0(a>0且a≠1),则实数a的取值范围是 (0,1)∪(3,+∞) .
【考点】函数的值.
【分析】可判断函数f(x)=x3+2x是奇函数,且在R上是增函数,从而化简f(1)+f(log3)>0为log3>﹣1;从而解得.
【解答】解:∵函数f(x)=x3+2x是奇函数,且在R上是增函数,
∵f(1)+f(log3)>0,
∴f(log3)>﹣f(1)=f(﹣1),
∴log3>﹣1;
∴>1或3<a;
即a∈(0,1)∪(3,+∞);
故答案为:(0,1)∪(3,+∞).
12.设公差为d(d为奇数,且d>1)的等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm﹣1=﹣9,Sm=0,其中m>3,且m∈N*,则an= 3n﹣12 .
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】Sm﹣1=﹣9,Sm=0,其中m>3,可得:(m﹣1)a1+d=﹣9,ma1+d=0,化为:d=.由于m>3,且m∈N*,d为奇数,且d>1,通过分类讨论验证即可得出.
【解答】解:∵Sm﹣1=﹣9,Sm=0,其中m>3,
∴(m﹣1)a1+d=﹣9,
ma1+d=0,
可得:d=.
∵m>3,且m∈N*,d为奇数,且d>1,
∴d=3,m=7.
∴a1=﹣9.
∴an=﹣9+3(n﹣1)=3n﹣12.
故答案为:3n﹣12.
13.已知函数f(x)=x|x2﹣a|,若存在x∈[1,2],使得f(x)<2,则实数a的取值范围是 (﹣1,5) .
【考点】分段函数的应用.
【分析】由题意可得f(x)<2可得﹣2<x3﹣ax<2,即为﹣x2﹣<﹣a<﹣x2+,等价为(﹣x2﹣)min<﹣a<(﹣x2+)max,分别判断不等式左右两边函数的单调性,求得最值,解不等式即可得到a的范围.
【解答】解:当x∈[1,2]时,f(x)=|x3﹣ax|,
由f(x)<2可得﹣2<x3﹣ax<2,
即为﹣x2﹣<﹣a<﹣x2+,
设g(x)=﹣x2﹣,导数为g′(x)=﹣2x+,
当x∈[1,2]时,g′(x)≤0,
即g(x)递减,可得g(x)min=﹣4﹣1=﹣5,
即有﹣a>﹣5,即a<5;
设h(x)=﹣x2+,导数为g′(x)=﹣2x﹣,
当x∈[1,2]时,h′(x)<0,
即h(x)递减,可得h(x)max=﹣1+2=1.
即有﹣a<1,即a>﹣1.
综上可得,a的范围是﹣1<a<5.
故答案为:(﹣1,5).
14.在平面直角坐标系xOy中,设点A(1,0),B(0,1),C(a,b),D(c,d),若不等式2≥(m﹣2)•+m(•)•(•)对任何实数a,b,c,d都成立,则实数m的最大值是 ﹣1 .
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】根据条件可以求出向量的坐标,从而进行向量数量积的坐标运算便可求出的值,这样将这些值代入并整理便可得出c2+a2+d2+b2≥m(ac+bd+bc).
【解答】解:根据条件,
,,,代入并整理得:
c2+a2+d2+b2≥m(ac+bd+bc),
即c2+a2+d2+b2﹣m(ac+bd+bc)≥0恒成立,配方得:
(a﹣)2+(d﹣)2+(c2+b2﹣bc)≥0恒成立,
有(a﹣)2≥0,(d﹣)2≥0满足,
则要:(c2+b2﹣bc)≥0恒成立,
则有:,
解得﹣2≤m≤﹣1,
所以m最大值为﹣1.
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知向量=(cosB,cosC),=(4a﹣b,c),且∥.
(1)求cosC的值;
(2)若c=,△ABC的面积S=,求a,b的值.
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】(1)利用向量平行的坐标表示,正弦定理可得sinCcosB=(4sinA﹣sinB)cosC,利用三角形内角和定理,两角和的正弦函数公式可得sinA=4sinAcosC,结合sinA>0,即可解得cosC的值.
(2)由(1)结合同角三角函数基本关系式可求sinC的值,利用三角形面积公式可解得ab=2,结合余弦定理可求a2+b2=4,从而解得a,b的值.
【解答】(本题满分为14分)
解:(1)∵m∥n,
∴ccosB=(4a﹣b)cosC,…
由正弦定理,得sinCcosB=(4sinA﹣sinB)cosC,
化简,得sin(B+C)=4sinAcosC﹒…
∵A+B+C=π,
∴sinA=sin(B+C)﹒
又∵A∈(0,π),
∵sinA>0,
∴. …
(2)∵C∈(0,π),,
∴.
∵,
∴ab=2﹒①…
∵,由余弦定理得,
∴a2+b2=4,②…
由①②,得a4﹣4a2+4=0,从而a2=2,(舍负),
∴,
∴. …
16.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AA1=AB,D是AB的中点
(1)求证:BC1∥平面A1CD;
(2)若点P在线段BB1上,且BP=BB1,求证:AP⊥平面A1CD.
【考点】直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.
【分析】(1)连接AC1,设与CA1 交于O点,连接OD,由O为AC1 的中点,D是AB的中点,可得OD∥BC1,即可证明BC1∥平面A1CD.
(2)由题意,取A1B1 的中点O,连接OC1,OD,分别以OC1,OA1,OD为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设OA1=a,OC1=b,由题意可得各点坐标,可求=(b,﹣a,2),=(0.﹣a,2),=(0,﹣2a,﹣),由•=0, •=0,即可证明AP⊥平面A1CD.
【解答】证明:(1)如图,连接AC1,设与CA1 交于O点,连接OD,
∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,O为AC1 的中点,
∵D是AB的中点,
∴△ABC1中,OD∥BC1,
又∵OD⊂平面A1CD,
∴BC1∥平面A1CD.
(2)由题意,取A1B1 的中点O,连接OC1,OD,分别以OC1,OA1,OD为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设OA1=a,OC1=b,
则:由题意可得各点坐标为:A1(0,a,0),C(b,0,2a),D(0,0,2),P(0,﹣a,),A(0,a,2),
可得: =(b,﹣a,2),=(0.﹣a,2),=(0,﹣2a,﹣),
所以:由•=0,可得:AP⊥A1C,由•=0,可得:AP⊥A1D,
又:A1 C∩A1 D=A1,
所以:AP⊥平面A1CD.
17.某经销商计划销售一款新型的空气净化器,经市场凋研发现以下规律:当每台净化器的利润为x(单位:元,x>0)时,销售量q(x)(单位:百台)与x的关系满足:若x不超过20,则q(x)=;若x大于或等于180,则销售为零;当20≤x≤180时.q(x)=a﹣b(a,b为实常数).
(1)求函数q(x)的表达式;
(2)当x为多少时,总利润(单位:元)取得最大值,并求出该最大值.
【考点】函数解析式的求解及常用方法;函数的最值及其几何意义.
【分析】(1)分段函数由题意知分界点处函数值相等得到a,b
(2)总利润为每台的利润乘以销售量,分段函数每段求最大值,最后选择一个最大的为分段函数的最大值.
【解答】解:(1)由x=20和x=180时可以解得a,b
∴a=90,b=3
∴q(x)=
(2)设总利润为W(x)
则W(x)=
①当x∈(0,20]时,W(x)=1260﹣为单调递增,最大值为1200,此时x=20
②当x∈[20,180]时,W(x)=90x﹣3x,(W(x))′=90﹣
此时x∈[20,80]时,W(x)单调递增.x∈[80,180]时,W(x)单调递减
∴在x=80时取得最大为240000
综上所述:x=80时,总利润最大为240000元.
18.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: =1(a>b>0)的左,右焦点分别是F1,F2,右顶点、上顶点分别为A,B,原点O到直线AB的距离等于ab﹒
(1)若椭圆C的离心率等于,求椭圆C的方程;
(2)若过点(0,1)的直线l与椭圆有且只有一个公共点P,且P在第二象限,直线PF2交y轴于点Q﹒试判断以PQ为直径的圆与点F1的位置关系,并说明理由﹒
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(1)求得A,B的坐标,可得AB的方程,运用点到直线的距离公式和离心率公式,解方程可得a,b,进而得到椭圆方程;
(2)点F1在以PQ为直径的圆上﹒由题意可得直线l与椭圆相切且l的斜率存在,设直线l的方程为:y=kx+1,代入椭圆方程,运用判别式为0,解得k的值,可得P(﹣a2,b2),从而可得直线PF2的方程,求得Q的坐标,可得向量,的坐标,求出数量积为0,即可得到结论.
【解答】解:(1)由题意得点A(a,0),B(0,b),
直线AB的方程为,即ax+by﹣ab=0﹒
由题设,得,
化简,得a2+b2=1﹒①,
由,即为,即a2=3b2﹒②
由①②,解得,
可得椭圆C的方程为;
(2)点F1在以PQ为直径的圆上﹒
由题设,直线l与椭圆相切且l的斜率存在,设直线l的方程为:y=kx+1,
由,得(b2+a2k2)x2+2ka2x+a2﹣a2b2=0,(*)
则△=(2ka2)2﹣4(b2+a2k2)(a2﹣a2b2)=0,
化简,得1﹣b2﹣a2k2=0,所以,
由点P在第二象限,可得k=1,
把k=1代入方程(*),得x2+2a2x+a4=0,
解得x=﹣a2,从而y=b2,所以P(﹣a2,b2)﹒
从而直线PF2的方程为:,
令x=0,得,所以点﹒
从而,,
从而
=,
又a2+b2=1,a2=b2+c2,
∴﹒
所以点F1在以PQ为直径的圆上﹒
19.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,且对任意的正整数n,都有Sn+1=λSn+3n+1,其中常数λ>0.设bn=(n∈N*)﹒
(1)若λ=3,求数列{bn}的通项公式;
(2)若λ≠1且λ≠3,设cn=an+(n∈N*),证明数列{cn}是等比数列;
(3)若对任意的正整数n,都有bn≤3,求实数λ的取值范围.
【考点】数列递推式;等比关系的确定.
【分析】(1)利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出.
(2)利用递推关系、等比数列的定义及其通项公式即可得出;
(3)通过对λ分类讨论,利用数列的通项公式及其不等式的性质即可得出.
【解答】(1)解:∵,n∈N*,
∴当n≥2时,,
从而,n≥2,n∈N*﹒
又在中,令n=1,可得,满足上式,
∴,n∈N*﹒
当λ=3时,,n∈N*,
从而,即,
又b1=1,所以数列{bn}是首项为1,公差为的等差数列,
∴.
(2)证明:当λ>0且λ≠3且λ≠1时, =,
又,
∴{cn}是首项为,公比为λ的等比数列,﹒
(3)解:在(2)中,若λ=1,则cn=0也适合,∴当λ≠3时,.
从而由(1)和(2)可知:an=.
当λ=3时,,显然不满足条件,故λ≠3.
当λ≠3时,.
若λ>3时,,bn<bn+1,n∈N*,bn∈[1,+∞),不符合,舍去.
若0<λ<1时,,,bn>bn+1,n∈N*,且bn>0.
∴只须即可,显然成立.故0<λ<1符合条件;
若λ=1时,bn=1,满足条件.故λ=1符合条件;
若1<λ<3时,,,从而bn<bn+1,n∈N*,
∵b1=1>0.故,要使bn≤3成立,只须即可.
于是.
综上所述,所求实数λ的范围是.
20.已知函数f(x)=a•ex+x2﹣bx(a,b∈R,e=2.71828…是自然对数的底数),其导函数为y=f′(x).
(1)设a=﹣1,若函数y=f(x)在R上是单调减函数,求b的取值范围;
(2)设b=0,若函数y=f(x)在R上有且只有一个零点,求a的取值范围;
(3)设b=2,且a≠0,点(m,n)(m,n∈R)是曲线y=f(x)上的一个定点,是否存在实数x0(x0≠m),使得f(x0)=f′()(x0﹣m)+n成立?证明你的结论.
【考点】利用导数研究函数的单调性;导数的运算.
【分析】(1)求得f(x)的导数,由题意可得f′(x)≤0恒成立,即为﹣b≤ex﹣2x,令g(x)=ex﹣2x,求得导数,单调区间,可得极小值,且为最小值,即可得到b的范围;
(2)求得f(x)的解析式,令f(x)=0,可得﹣a=,设h(x)=,求得h(x)的导数和单调区间、极值,结合零点个数只有一个,即可得到a的范围;
(3)假设存在实数x0(x0≠m),使得f(x0)=f′()(x0﹣m)+n成立.求得f(x)的导数,化简整理可得=e,考虑函数y=ex的图象与y=lnx的图象关于直线y=x对称,上式可转化为=,设t=>1,上式即为lnt=,令m(t)=lnt﹣,t>1,求出导数,判断单调性即可判断不存在.
【解答】解:(1)函数f(x)=﹣ex+x2﹣bx的导数为f′(x)=﹣ex+2x﹣b,
函数y=f(x)在R上是单调减函数,可得f′(x)≤0恒成立,
即为﹣b≤ex﹣2x,令g(x)=ex﹣2x,
g′(x)=ex﹣2,当x>ln2时,g′(x)>0,g(x)递增;
当x<ln2时,g′(x)<0,g(x)递减.
则g(x)在x=ln2处取得极小值,且为最小值2﹣2ln2,
即有﹣b≤2﹣2ln2,即b≥2ln2﹣2,
则b的取值范围是[2ln2﹣2,+∞);
(2)由b=0,可得f(x)=a•ex+x2,
令f(x)=0,即有﹣a=,
设h(x)=,h′(x)=,
当0<x<2时,h′(x)<0,h(x)在(0,2)递减;
当x>2或x<0时,h′(x)>0,h(x)在(﹣∞,0),(2,+∞)递增.
可得h(x)在x=2处取得极大值,
且h(x)>0,x→+∞,h(x)→0,
由题意函数y=f(x)在R上有且只有一个零点,
则﹣a=0或﹣a>,
即为a=0或a<﹣,即a的取值范围是{0}∪(﹣∞,﹣);
(3)假设存在实数x0(x0≠m),使得f(x0)=f′()(x0﹣m)+n成立.
函数f(x)=a•ex+x2﹣bx的导数为f′(x)=aex+2x﹣b,
可得a•ex0+x02﹣bx0=(ae+x0+m﹣b)(x0﹣m)+a•em+m2﹣bm,
化简可得(x0﹣m)(+x0+m﹣b)=(ae+x0+m﹣b)(x0﹣m),
由a≠0,x0≠m,可得=e,
上式的几何意义为函数y=ex图象上两点的斜率等于中点处的切线的斜率,
考虑函数y=ex的图象与y=lnx的图象关于直线y=x对称,
上式可转化为=,
设x0>m>0,即有lnx0﹣lnm=,即ln=,
设t=>1,上式即为lnt=,
令m(t)=lnt﹣,t>1,则m′(t)=﹣=>0,
则m(t)在(1,+∞)递增,
即有m(t)>m(1)=0,则方程lnt=无实数解.
即有=不成立,
则=e不成立.
故不存在实数x0(x0≠m),使得f(x0)=f′()(x0﹣m)+n成立.
【选做题】在A,B,C,D四小题中只能选做两题,每小题0分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1:几何证明选讲]
21.已知△ABC内接于⊙O,BE是⊙O的直径,AD是BC边上的高.求证:BA•AC=BE•AD.
【考点】与圆有关的比例线段.
【分析】连结AE.证明△BEA∽△ACD,可得,即可证明BA•AC=BE•AD.
【解答】证明:连结AE.
∵BE是⊙O的直径,
∴∠BAE=90°. …
∴∠BAE=∠ADC. …
又∵∠BEA=∠ACD,
∴△BEA∽△ACD. …
∴,
∴BA•AC=BE•AD. …
B.[选修4-2:矩阵与变换]
22.已知变换T把平面上的点(3,﹣4),(5,0)分别变换成(2,﹣1),(﹣1,2),试求变换T对应的矩阵M.
【考点】几种特殊的矩阵变换.
【分析】先设出所求矩阵,利用待定系数法建立一个四元一次方程组,解方程组即可.
【解答】解:设,由题意,得,…
∴…
解得.…
即. …
C.[选修4-4:坐标系与参数方程]
23.在平面直角坐标系xOy中,直线l过点M(1,2),倾斜角为﹒以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C:ρ=6cosθ﹒若直线l与圆C相交于A,B两点,求MA•MB的值.
【考点】简单曲线的极坐标方程.
【分析】直线l的参数方程为为参数),圆C:ρ=6cosθ,即ρ2=6ρcosθ,把ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,代入可得直角坐标方程﹒直线l的参数方程代入圆C的普通方程,利用根与系数的关系、参数的意义即可得出.
【解答】解:直线l的参数方程为为参数),
圆C:ρ=6cosθ,即ρ2=6ρcosθ,把ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,代入可得直角坐标方程为:(x﹣3)2+y2=9﹒
直线l的参数方程代入圆C的普通方程,得,
设该方程两根为t1,t2,则t1•t2=﹣1﹒
∴MA•MB=|t1•t2|=1.
D.[选修4-5:不等式选讲]
24.设x为实数,求证:(x2+x+1)2≤3(x4+x2+1)﹒
【考点】不等式的证明.
【分析】利用作差法得出右﹣左=2x4﹣2x3﹣2x+2,只需证明恒大于等于零即可.
【解答】证明:右﹣左=2x4﹣2x3﹣2x+2
=2(x﹣1)(x3﹣1)=2(x﹣1)2(x2+x+1)
=,
所以(x2+x+1)2≤3(x4+x2+1)﹒
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
25.一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球,从中有放回地摸球,每次摸出一个,若有3次摸到红球即停止.
(1)求恰好摸4次停止的概率;
(2)记4次之内(含4次)摸到红球的次数为X,求随机变量X的分布列.
【考点】离散型随机变量及其分布列;古典概型及其概率计算公式.
【分析】(1)设事件“恰好摸4次停止”的概率为P,利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出恰好摸4次停止的概率.
(2)由题意,得X=0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列.
【解答】解:(1)设事件“恰好摸4次停止”的概率为P,
则. …
(2)由题意,得X=0,1,2,3,
,
,
,
,…
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
…
26.设实数a1,a2,…,an满足a1+a2+…+an=0,且|a1|+|a2|+…+|an|≤1(n∈N*且n≥2),令bn=(n∈N*).求证:|b1+b2+…+bn|≤(n∈N*).
【考点】数学归纳法;数列递推式.
【分析】按照数学归纳法的证题步骤:先证明n=2时命题成立,再假设当n=k时结论成立,去证明当n=k+1时,结论也成立,从而得出命题对任意n≥2,n∈N*,等式都成立
【解答】证明:(1)当n=2时,a1=﹣a2,
∴2|a1|=|a1|+|a2|≤1,即,
∴,即当n=2时,结论成立.
(2)假设当n=k(k∈N*且k≥2)时,结论成立,
即当a1+a2+…+ak=0,且|a1|+|a2|+…+|ak|≤1时,
有.
则当n=k+1时,由a1+a2+…+ak+ak+1=0,且|a1|+|a2|+…+|ak+1|≤1,
∵2|ak+1|=|a1+a2+…+ak|+|ak+1|≤a1|+|a2|+…+|ak+1|≤1,
∴,
又∵a1+a2+…+ak﹣1+(ak+ak+1)=0,且|a1|+|a2|+…+|ak﹣1|+|ak+ak+1|≤|a1|+|a2|+…+|ak+1|≤1,
由假设可得,
∴,
=,
=,
即当n=k+1时,结论成立.
综上,由(1)和(2)可知,结论成立.
2016年8月27日