高考数学总复习教案43平面向量的数量积及平面向量的应用举例 9页

第四章　平面向量与复数第3课时　平面向量的数量积及平面向量 的应用举例(对应学生用书(文)、(理)65～67页)‎ 考情分析 考点新知 ‎① 理解平面向量数量积的含义及其物理意义.‎ ‎②掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；能利用数量积表示两个向量夹角的余弦，会用数量积判断两个非零向量是否垂直．‎ 平面向量的数量积及其几何意义，数量积的性质及运算律，数量积的坐标表示.‎ ‎②了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题.‎ ‎1. (必修4P77练习第2(1)题改编)已知向量a和向量b的夹角为135°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a和向量b的数量积a·b＝________．‎ 答案：－3 解析：a·b＝|a|·|b|cos135°＝2×3×＝－3.‎ ‎2. (必修4P80练习第3题改编)已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为________．‎ 答案： 解析：∵ cos〈a，b〉＝＝，∴〈a，b〉＝.‎ ‎3. (必修4P81习题2.4第2题改编)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________．‎ 答案： 解析：|a－b|＝＝＝＝.‎ ‎4. (必修4P81习题2.4第3(1)题改编)已知两个单位向量e1、e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________．‎ 答案：－6‎ 解析：b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e.因为e1，e2为单位向量，〈e1，e2〉＝，所以b1·b2＝3－2×－8＝3－1－8＝－6.‎ ‎5. (必修4P84习题4改编)若平面四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是________．‎ 答案：菱形 解析：四边形ABCD满足＋＝0知其为平行四边形，(－)·＝0即· ‎＝0知该平行四边形的对角线互相垂直，从而该四边形一定是菱形．‎ ‎1. 向量数量积的定义 ‎(1) 向量a与b的夹角 ‎(2) 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，并规定零向量与任一向量的数量积为0.‎ ‎2. 向量数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ是a与b的夹角，则 ‎(1) e·a＝a·e.‎ ‎(2) a⊥b a·b＝0．‎ ‎(3) 当a与b同向时，a·b＝|a||b|；‎ 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；‎ 特殊的，a·a＝|a|2或|a|＝.‎ ‎(4) cosθ＝.‎ ‎(5) |a·b|≤|a|·|b|.‎ ‎3. 向量数量积的运算律 ‎(1) 交换律：a·b＝b·a.‎ ‎(2) 分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.‎ ‎(3) 数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．‎ ‎4. 平面向量数量积的坐标表示 ‎(1) 若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.故a⊥bx1x2＋y1y2＝0.‎ ‎(2) 设a＝(x，y)，则|a|＝．‎ ‎(3) 若向量a＝(x1，y1)与向量b＝(x2，y2)的夹角为θ，则有cosθ＝＝.‎ ‎[备课札记]‎ 题型1　向量平行与垂直的充分条件 例1　已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.‎ ‎(1) 若a⊥b，求x的值；‎ ‎(2) 若a∥b，求|a－b|的值．‎ 解：(1) 若a⊥b，‎ 则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，‎ 整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.‎ ‎(2) 若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，‎ 即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.‎ 当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(3，0)，a－b＝(－2，0)，‎ ‎∴ |a－b|＝＝2；‎ 当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，a－b＝(2，－4)，‎ ‎∴ |a－b|＝＝2.‎ 综上，可知|a－b|＝2或2.‎ 已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，x＝a＋(t2＋1)b，y＝－ka＋b，m∈R，k、t为正实数．‎ ‎(1) 若a∥b，求m的值；‎ ‎(2) 若a⊥b，求m的值；‎ ‎(3) 当m＝1时，若x⊥y，求k的最小值．‎ 解：(1) 因为a∥b，所以1·m－2·(－2)＝0，解得m＝－4.‎ ‎(2) 因为a⊥b，所以a·b＝0，‎ 所以1·(－2)＋2m＝0，解得m＝1.‎ ‎(3) 当m＝1时，a·b＝0.‎ 因为x⊥y，所以x·y＝0.‎ 则x·y＝－ka2＋a·b＋(t＋)b2＝0.‎ 因为t＞0，所以k＝t＋≥2，当t＝1时取等号，‎ 即k的最小值为2.‎ 题型2　向量的夹角与向量的模 例2　已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.‎ ‎(1) 求a与b的夹角θ；‎ ‎(2) 求|a＋b|；‎ ‎(3) 若＝a，＝b，求△ABC的面积．‎ 解：(1) ∵ (2a－3b)·(2a＋b)＝61，‎ ‎∴ 4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.‎ 又|a|＝4，|b|＝3，∴ 64－4a·b－27＝61，‎ ‎∴a·b＝－6.‎ ‎∴ cosθ＝＝＝－.‎ 又0≤θ≤π，∴θ＝.‎ ‎(2) 可先平方转化为向量的数量积．‎ ‎|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2‎ ‎＝42＋2×(－6)＋32＝13，‎ ‎∴ |a＋b|＝.‎ ‎(3) ∵ 与的夹角θ＝，‎ ‎∴∠ABC＝π－＝.‎ 又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，‎ ‎∴ S△ABC＝||||sin∠ABC＝×4×3×＝3.‎ 已知非零向量a、b、c满足a＋b＋c＝0 ，向量a、b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．‎ 答案：90°‎ 解析：由题意，得c＝－a－b，a·c＝－a2－a·b＝－|a|2－|a||b|cos120°＝－|a|2＋|a||b|＝－|a|2＋|a|·2|a|＝－|a|2＋|a|2＝0，所以a⊥c，即a与c的夹角为90°.‎ 题型3　平面向量与三角函数的交汇 例3　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(2a＋c)··＋c·＝0.‎ ‎(1) 求角B的大小；‎ ‎(2) 若b＝2，试求·的最小值．‎ 解：(1) 因为(2a＋c)·＋c·＝0，‎ 所以(2a＋c)accosB＋abccosC＝0，‎ 即(2a＋c)cosB＋bcosC＝0，‎ 所以(2sinA＋sinC)cosB＋sinBcosC＝0，‎ 即2sinAcosB＋sin(B＋C)＝0.‎ 因为sin(B＋C)＝sinA≠0，‎ 所以cosB＝－，所以B＝.‎ ‎(2) 因为b2＝a2＋c2－2accos，所以12＝a2＋c2＋ac≥3ac，即ac≤4，‎ 所以·＝accos＝－ac≥－2，当且仅当a＝c＝2时等号成立，‎ 所以·的最小值为－2.‎ ‎(2013·山东卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝.‎ ‎(1) 求a，c的值；‎ ‎(2) 求sin(A－B)的值．‎ 解：(1) 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，又a＋c＝6，b＝2，cosB＝，所以ac＝9，解得a＝3，c＝3.‎ ‎(2) 在△ABC中，sinB＝＝， 由正弦定理得sinA＝＝，因为a＝c，所以A为锐角，所以cosA＝＝，因此sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝. ‎ 例4　(2013·泰州市期末)已知向量a＝(cosλθ，cos(10－λ)θ)，b＝(sin(10－λ)θ，sinλθ)，λ、θ∈R.‎ ‎(1) 求|a|2＋|b|2的值；‎ ‎(2) 若a⊥b，求θ；‎ ‎(3) 若θ＝，求证：a∥b.‎ ‎(1) 解：∵ |a|＝，‎ ‎|b|＝，‎ ‎∴ |a|2＋|b|2＝2.‎ ‎(2) 解：∵ a⊥b，‎ ‎∴ cosλθ·sin(10－λ)θ＋cos(10－λ)θ·sinλθ＝0，‎ ‎∴ sin[(10－λ)θ＋λθ]＝0，∴ sin10θ＝0，‎ ‎∴ 10θ＝kπ，k∈Z，∴θ＝，k∈Z.‎ ‎(3) 证明：∵ θ＝，‎ cosλθ·sinλθ－cos(10－λ)θ·sin[(10－λ)θ]‎ ‎＝cos·sin－cos·sin ‎＝cos·sin－sin·cos＝0，∴ a∥b.‎ ‎(2013·陕西卷)已知向量a＝，b＝(sinx，cos2x)，x∈R, 设函数f(x)＝a·b. ‎ ‎(1) 求f (x)的最小正周期. ‎ ‎(2) 求f (x) 在上的最大值和最小值．‎ 解：(1) f(x)＝a·b＝cosx·sinx－cos2x＝sin2x－cos2x＝sin.最小正周期T＝＝π. ‎ 所以f(x)＝sin，最小正周期为π. ‎ ‎(2) 当x∈时，∈，由标准函数y＝sinx在上的图象知，‎ f(x)＝sin∈＝. ‎ 所以，f (x) 在上的最大值和最小值分别为1，－.‎ 探讨两个向量的夹角为钝角或锐角时，首先要理解和把握其充要条件．‎ ‎【示例】　(本题模拟高考评分标准，满分14分)‎ 设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．‎ 学生错解： ‎ 解： ∵ e1·e2＝|e1|·|e2|·cos60°＝2×1×＝1，‎ ‎∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)‎ ‎＝2te＋7te＋(2t2＋7)e1·e2‎ ‎＝8t＋7t＋2t2＋7＝2t2＋15t＋7.‎ 因为向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，所以(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，‎ 即2t2＋15t＋7<0，解得－7