走向高考2013高三数学人教A版总复习同步练习109随机变量的数字特征与正态分布理 14页

‎10-9随机变量的数字特征与正态分布(理)‎ 基础巩固强化 ‎1.(2011·烟台模拟)设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ<0)＝(　　)‎ A.＋p B.－p C．1－2p D．1－p ‎[答案]　B ‎[解析]　∵ξ～N(0,1)，‎ ‎∴P(ξ<－1)＝P(ξ>1)＝p，‎ ‎∴P(－1<ξ<0)＝[1－2p(ξ>1)]＝－p.‎ ‎2．(2012·浙江嘉兴模拟)甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生考试，若甲、乙能通过面试的概率都是，则面试结束后通过的人数X的数学期望是(　　)‎ A. B. ‎ C．1 D. ‎[答案]　A ‎[解析]　依题意，X的取值为0、1、2.‎ 且P(X＝0)＝(1－)×(1－)＝，‎ P(X＝1)＝×(1－)＋(1－)×＝，‎ P(X＝2)＝×＝.‎ 故X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝，选A.‎ ‎3．(2011·盐城模拟)某人射击一次击中的概率为，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎[答案]　A ‎[解析]　该人3次射击，恰有两次击中目标的概率是 P1＝C·()2·，‎ 三次全部击中目标的概率是P2＝C·()3，‎ 所以此人至少有两次击中目标的概率是 P＝P1＋P2＝C·()2·＋C·()3＝.‎ ‎4．(2011·福州调研)已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E(ξ)＝6.3，则a的值为(　　)‎ ξ ‎4‎ a ‎9‎ P ‎0.5‎ ‎0.1‎ b A.5 B．6 ‎ C．7 D．8‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由0.5＋0.1＋b＝1知，b＝0.4，‎ 由E(ξ)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3知，a＝7，故选C.‎ ‎5．(2012·杭州质检)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是(　　)‎ A．(0，) B．(，1)‎ C．(0，) D．(，1)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由已知条件可得P(X＝1)＝p，‎ P(X＝2)＝(1－p)p，‎ P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，‎ 则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>1.75，‎ 解得p>或p<，‎ 又由p∈(0,1)，可得p∈(0，)，故应选C.‎ ‎6．已知随机变量ξ，η满足ξ＝2η－1，且ξ～B(10，p)，若E(ξ)＝8，则D(η)＝(　　)‎ A．0.5 B．0.8 ‎ C．0.2 D．0.4‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵E(ξ)＝10p＝8，∴p＝0.8，∴D(ξ)＝10p(1－p)＝10×0.8×0.2＝1.6，又D(ξ)＝D(2η－1)＝4D(η)，∴D(η)＝0.4.‎ ‎7．(2011·滨州模拟)有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若ξ表示取到次品的件数，则E(ξ)＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　分布列如下：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎8．如果ξ～B(100，)，当P(ξ＝k)取得最大值时，k＝________.‎ ‎[答案]　50‎ ‎[解析]　P(ξ＝k)＝Ck·100－k ‎＝C100，由组合数的性质知，当k＝50时取到最大值．‎ ‎9．(2011·龙岩月考)袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数ξ的数学期望E(ξ)＝________.‎ ‎[答案]　1‎ ‎[解析]　P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，‎ ‎∴E(ξ)＝0×＋2×＝1.‎ ‎10．(2012·聊城市模拟)某学校数学兴趣小组有10名学生，其中有4名女学生；英语兴趣小组有5名学生，其中有3名女学生，现采用分层抽样方法，从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动．‎ ‎(1)求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数；‎ ‎(2)求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率；‎ ‎(3)记ξ表示抽取的3名学生中男学生数，求ξ的分布列及数学期望．‎ ‎[解析]　(1)因为数学兴趣小组人数：英语兴趣小组人数＝10:5＝2:1，从数学兴趣小组和英语兴趣小组中抽取3人，则抽取数学小组的人数为2人，英语小组的人数为1人．‎ ‎(2)从数学兴趣小组中抽取2人恰有一名女生的概率 P＝＝.‎ ‎(3)随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3.‎ P(ξ＝0)＝·＝；‎ P(ξ＝1)＝·＋·＝；‎ P(ξ＝2)＝·＋·＝；‎ P(ξ＝3)＝·＝，‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ 能力拓展提升 ‎11.(2011·温州十校联考)已知随机变量X～N(3,22)，若X＝2η＋3，则D(η)等于(　　)‎ A．0　　　　B．‎1　‎　　　C．2　　　　D．4‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由X＝2η＋3，得D(X)＝4D(η)，而D(X)＝22＝4，∴D(η)＝1.‎ ‎12．(2011·广州模拟)一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，射击停止后尚余子弹的数目X的期望值为(　　)‎ A．2.44 B．3.376 ‎ C．2.376 D．2.4‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　X的取值为3、2、1、0，‎ P(X＝3)＝0.6；‎ P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24；‎ P(X＝1)＝0.42×0.6＝0.096；‎ P(X＝0)＝0.43×0.6＋0.44＝0.064.‎ ‎∴E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.‎ ‎13．(2012·河北石家庄市模拟)有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．‎ 据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表：‎ 所用的时间(天数)‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ 通过公路1的频数 ‎20‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎20‎ 通过公路2的频数 ‎10‎ ‎40‎ ‎40‎ ‎10‎ 假设汽车A只能在约定日期(某月某日)的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发．‎ ‎(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径．‎ ‎(2)若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元(其他费用忽略不计)，此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，销售商将少支付给生产商2万元．如果汽车A、B长期按(1)中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．‎ ‎(注：毛利润＝销售商支付给生产商的费用－一次性费用)‎ ‎[解析]　(1)频率分布表，如下：‎ 所用的时间(天数)‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ 通过公路1的频率 ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ 通过公路2的频率 ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ 设A1、A2分别表示汽车A在前11天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；B1、B2分别表示汽车B在前12天出发选择公路1、2将货物运往城市乙．‎ P(A1)＝0.2＋0.4＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，‎ ‎∴汽车A应选择公路1.‎ P(B1)＝0.2＋0.4＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，‎ ‎∴汽车B应选择公路2.‎ ‎(2)设X表示汽车A选择公路1时，销售商付给生产商的费用，则X＝42,40,38,36.‎ X的分布列如下：‎ X ‎42‎ ‎40‎ ‎38‎ ‎36‎ P ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ E(X)＝42×0.2＋40×0.4＋38×0.2＋36×0.2＝39.2.‎ ‎∴汽车A选择公路1时的毛利润为39.2－3.2＝36.0(万元)‎ 设Y表示汽车B选择公路2时的毛利润，Y＝42.4，40.4，38.4,36.4.‎ 则分布列如下：‎ Y ‎42.4‎ ‎40.4‎ ‎38.4‎ ‎36.4‎ P ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ E(Y)＝42.4×0.1＋40.4×0.4＋38.4×0.4＋36.4×0.1＝39.4，‎ ‎∴汽车B选择公路2时的毛利润为39.4万元，‎ ‎∵36.0<39.4，‎ ‎∴汽车B为生产商获得毛利润更大．‎ ‎14．(2012·陕西理，20)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：‎ 办理业务所 需的时间(分)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 频率 ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 从第一个顾客开始办理业务时计时．‎ ‎(1)估计第三个顾客恰好等待4min开始办理业务的概率；‎ ‎(2)X表示至第2min末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．‎ ‎[分析]　(1)由表中所给出的数值，第三个顾客恰好等待4min开始办理业务应分三种情况，逐一列出后求出其概率．(2)从已知条件知，X的值为0人，1人，2人三种情况，特别当x ‎＝1时要注意再进行分类讨论．‎ ‎[解析]　设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：‎ Y ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4min开始办理业务”，则事件A对应三种情形：‎ ‎①第一个顾客办理业务所需的时间为1min，且第二个顾客办理业务所需的时间为3min；②第一个顾客办理业务所需的时间为3min，且第二个顾客办理业务所需的时间为1min；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2min.‎ 所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)‎ ‎＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.‎ ‎(2)X所有可能的取值为0,1,2.‎ X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2min，‎ 所以P(X＝0)＝P(Y>2)＝0.5；‎ X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1min且第二个顾客办理业务所需的时间超过1min，或第一个顾客办理业务所需的时间为2min，‎ 所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y>1)＋P(Y＝2)‎ ‎＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；‎ X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1min，‎ 所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.5‎ ‎0.49‎ ‎0.01‎ E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.‎ ‎15．设两球队A、B进行友谊比赛，在每局比赛中A队获胜的概率都是p(0≤p≤1)．‎ ‎(1)若比赛6局，且p＝，求其中A队至多获胜4局的概率是多少？‎ ‎(2)若比赛6局，求A队恰好获胜3局的概率的最大值是多少？‎ ‎(3)若采用“五局三胜”制，求A队获胜时的比赛局数ξ的分布列和数学期望．‎ ‎[解析]　(1)设“比赛6局，A队至多获胜4局”为事件A，‎ 则P(A)＝1－[P6(5)＋P6(6)]‎ ‎＝1－＝1－＝.‎ ‎∴A队至多获胜4局的概率为.‎ ‎(2)设“若比赛6局，A队恰好获胜3局”为事件B，则P(B)＝Cp3(1－p)3.‎ 当p＝0或p＝1时，显然有P(B)＝0.‎ 当02)＝0.023，则 P(－2≤ξ≤2)＝(　　)‎ A．0.477 B．0.628 ‎ C．0.954 D．0.977‎ ‎[答案]　C ‎[分析]　若ξ～N(μ，σ2)，则μ为其均值，图象关于x＝μ对称，σ为其标准差．‎ ‎[解析]　∵P(ξ>2)＝0.023，∴P(ξ<－2)＝0.023，‎ 故P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ>2)－P(ξ<－2)＝0.954.故选C.‎ ‎[点评]　考查其对称性是考查正态分布的主要方式．‎ ‎3．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a，b，c∈[0,1))，已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab的最大值为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　由条件知，‎3a＋b＝1，∴ab＝(‎3a)·b≤·2＝，等号在‎3a＝b＝，即a＝，b＝时成立．‎ ‎4．(2012·重庆理，17)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．‎ ‎(1)求甲获胜的概率；‎ ‎(2)求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与期望．‎ ‎[分析]　(1)“甲获胜”的含义是：第一次甲中，或者第一次甲、乙都不中、第二次甲中，或者第一、二次甲、乙都不中，第三次甲中．‎ ‎(2)“甲投球次数”ξ的取值为1、2、3，ξ＝1表示第一次甲中；ξ＝2表示第一次甲、乙都未中，第二次甲中；ξ＝3表示第一、二次甲、乙都不中，第三次甲中．‎ ‎[解析]　设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则 P(Ak)＝，P(Bk)＝，(k＝1,2,3)．‎ ‎(1)记“甲获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知 P(C)＝P(A1)＋P(1‎1A2)＋P(112‎2A3)‎ ‎＝P(A1)＋P(1)P(1)P(A2)＋P(1)P(1)P(2)P(2)P(A3)‎ ‎＝＋××＋()2×()2× ‎＝.‎ ‎(2)ξ的所有可能值为1,2,3.‎ 由独立性知 P(ξ＝1)＝P(A1)＋P(1B1)＝＋×＝，‎ P(ξ＝2)＝P(1‎1A2)＋P(112B2)‎ ‎＝××＋()2()2＝，‎ P(ξ＝3)＝P(1122)‎ ‎＝()2×()2＝.‎ 综上知，ξ的分布列为：‎ ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 从而，E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝(次)．‎ ‎[点评]　求事件发生的概率与分布列、期望是高考中的常见题型，求解时要弄清事件的性质以及可能性．‎