北京市朝阳区高三高考模拟数学试题 15页

理科数学 2018年高三北京市朝阳区2018届高三(一模)数学(理)试题 ‎ 理科数学 考试时间：____分钟 题型 单选题 填空题 总分 得分 单选题 （本大题共8小题，每小题____分，共____分。） ‎ ‎1．已知全集为实数集，集合，，则 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎2．复数满足，则在复平面内复数所对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎3．直线的参数方程为（为参数），则的倾斜角大小为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎4．已知为非零向量，则“”是“与夹角为锐角”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎5．某单位安排甲、乙、丙、丁4名工作人员从周一到周五值班，每天有且只有1人值班，每人至少安排一天且甲连续两天值班，则不同的安排方法种数为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎6．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎7．庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”．庙会大多在春节、元宵节等节日举行．庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）．今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：‎ 甲说：“我或乙能中奖”；‎ 乙说：“丁能中奖”；‎ 丙说：“我或乙能中奖”；‎ 丁说：“甲不能中奖”．‎ 游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎8．在平面直角坐标系xOy中，已知点,，动点满足,其中，则所有点构成的图形面积为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ 填空题 （本大题共12小题，每小题____分，共____分。） ‎ ‎9．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为________．‎ ‎10．若三个点中恰有两个点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为_____________．‎ ‎11．函数（）的部分图象如图所示，则____；函数在区间上的零点为____．‎ ‎12．已知点，若点是圆上的动点，则面积的最小值为____．‎ ‎13．等比数列满足如下条件：①；②数列的前项和．‎ 试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式____．‎ ‎14．已知，函数当时，函数的最大值是____；若函数的图象上有且只有两对点关于轴对称，则的取值范围是____．‎ ‎15． (本小题满分13分)‎ 在中，已知，．‎ ‎（Ⅰ）若，求的面积；‎ ‎（Ⅱ）若为锐角，求的值．‎ ‎16．(本小题满分14分)‎ 如图1，在矩形中，，，为的中点，为中点．将沿折起到，使得平面平面（如图2）．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎17．(本小题满分13分)‎ 某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．‎ 某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：‎ ‎（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？‎ ‎（Ⅱ）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生中随机选出1人，从选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率；‎ ‎（Ⅲ）从选考方案确定的8名男生中随机选出2名，‎ 设随机变量 求的分布列及数学期望．‎ ‎18． (本小题满分13分)‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（ⅱ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若，求证：．‎ ‎19． (本小题满分14分)‎ 已知椭圆的离心率为，且过点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于两点，直线过坐标原点且与直线的斜率互为相反数．若直线与椭圆交于两点且均不与点重合，设直线与轴所成的锐角为，直线与轴所成的锐角为，判断与大小关系并加以证明．‎ ‎20． (本小题满分13分)‎ 已知集合是集合的一个含有8个元素的子集．‎ ‎（Ⅰ）当时，‎ 设，‎ ‎（i）写出方程的解；‎ ‎（ii）若方程至少有三组不同的解，写出的所有可能取值；‎ ‎（Ⅱ）证明：对任意一个，存在正整数，使得方程至少有三组不同的解．‎ 答案 单选题 ‎ ‎1.  C 2.  A 3.  C 4.  B 5.  B 6.  D 7.  A 8.  C ‎ 填空题 ‎ ‎9.  ‎ ‎4‎ ‎10.  ‎ ‎11.  ‎ ‎12.  ‎ ‎2‎ ‎13.  ‎ ‎14.  ‎ ‎15.  ‎ ‎（Ⅰ）由，得，‎ 因为，所以.‎ 因为，所以．‎ 故的面积．         ………………….7分 ‎（Ⅱ）因为，且为锐角，所以.‎ 所以．………….13分 ‎16.  ‎ ‎（Ⅰ）由已知，‎ 因为为中点，所以．‎ 因为平面平面，且平面平面，‎ 平面，所以平面．‎ 又因为平面，所以．                  ………….5分 ‎（Ⅱ）设为线段上靠近点的四等分点，为中点．‎ 由已知易得．‎ 由（Ⅰ）可知，平面，‎ 所以，.‎ 以为原点，所在直线分别为轴 建立空间直角坐标系（如图）．‎ 因为，，‎ 所以．‎ 设平面的一个法向量为，‎ 因为，‎ 所以   即 取，得．‎ 而.‎ 所以直线与平面所成角的正弦值  ……….10分 ‎（Ⅲ）在线段上存在点，使得平面.‎ 设，且，则，．‎ 因为，所以，‎ ‎    所以，‎ 所以，．‎ 若平面，则.即.‎ 由（Ⅱ）可知，平面的一个法向量，‎ 即，解得，‎ 所以当时，平面．                            ……….14分 ‎17.  ‎ ‎（Ⅰ）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有4人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有6人，‎ 该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有人．‎ ‎……….3分 ‎（Ⅱ）由数据可知，选考方案确定的8位男生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为；‎ 选考方案确定的10位女生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为．‎ 所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为．…….8分 ‎（Ⅲ）由数据可知，选考方案确定的男生中有4人选择物理、化学和生物；有2人选择物理、化学和历史；有1人选择物理、化学和地理；有1人选择物理、化学和政治．‎ 由已知得的取值为．‎ ‎，‎ ‎，‎ 或.‎ 所以的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ 所以．                                  …….13分 ‎18.  ‎ 当时，.‎ ‎.‎ ‎（ⅰ）可得，又，所以在点（）处的切线方程为.‎ ‎….3分 ‎（ⅱ）在区间（）上，且，则.‎ 在区间（）上，且，则.‎ 所以的单调递增区间为（），单调递减区间为（）.   ….8分 ‎（Ⅱ）由，，等价于，等价于.‎ 设，只须证成立.‎ 因为，，‎ 由，得有异号两根.‎ 令其正根为，则.‎ 在上，在上.‎ 则的最小值为 ‎.‎ 又，，‎ 所以.‎ 则.‎ 因此，即.所以 所以.                                          ….….13分 ‎19.  ‎ Ⅰ）由题意得解得，，．‎ 故椭圆的方程为．              ….….5分 ‎（Ⅱ）．‎ 证明如下：‎ 由题意可设直线的方程为，直线的方程为，设点，，，．‎ 要证，即证直线与直线的斜率之和为零，即 ．‎ 因为 ‎．‎ 由 得，‎ 所以，．‎ 由得，所以．‎ 所以．‎ ‎．‎ 所以．                                     ….….14分 ‎20.  ‎ ‎（Ⅰ）（ⅰ）方程的解有：．……2分 ‎（ii）以下规定两数的差均为正，则：‎ 列出集合的从小到大8个数中相邻两数的差：1，3，2，4，2，3，1；‎ 中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）：4，5，6，6，5，4；‎ 中间相隔二数的两数差：6，9，8，9，6；‎ 中间相隔三数的两数差：10，11，11，10；‎ 中间相隔四数的两数差：12，14，12；‎ 中间相隔五数的两数差：15，15；‎ 中间相隔六数的两数差：16‎ 这28个差数中，只有4出现3次、6出现4次，其余都不超过2次，‎ 所以的可能取值有4，6．…………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）证明：不妨设，记，，共13个差数．假设不存在满足条件的，则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6，从而 ‎.  …………①‎ 又 ‎，这与①矛盾！‎ 所以结论成立．……………………………………………………………………13分