最新全国各地高考数学试题汇编空间几何体的结构三视图和直观图 7页

空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积 题组一 一、选择题 ‎1．（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理）‎ 如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图象是 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎ ‎【分析】可以直接根据变化率的含义求解，也可以求出函数的解析式进行判断。‎ ‎【解析】容器是一个倒置的圆锥，由于水是均匀注入的，故水面高度随时间变化的变化率逐渐减少，表现在函数图象的切线上就是其切线的斜率逐渐减少，正确选项B。‎ ‎【考点】空间几何体、导数及其应用。‎ ‎【点评】本题在空间几何体三视图和函数的变化率交汇处命制，重点是对函数变化率的考查，这是一种回归基本概念的考查方式，值得注意。‎ ‎2．（浙江省温州市啸秋中学2011学年第一学期高三会考模拟试卷）如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为的 正方形，俯视图是一个直径为的圆，那么这个几何体的表面积为 A． B． C． D．‎ 答案 C.‎ ‎3．（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理）‎ 已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大（柱体体积=底面积高）时，其高的值为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎ ‎【分析】根据正六棱柱和球的对称性，球心必然是正六棱柱上下底面中心连线的中点，作出轴截面即可得到正六棱柱的底面边长、高和球的半径的关系，在这个关系下求函数取得最值的条件即可求出所要求的量。‎ ‎【解析】以正六棱柱的最大对角面作截面，如图。设球心为，正六棱柱的上下底面中心分别为，则是的中点。设正六棱柱的底面边长为，高为，则。正六棱柱的体积为，即，则，得极值点，不难知道这个极值点是极大值点，也是最大值点。故当正六棱柱的体积最大，其高为。‎ ‎【考点】空间几何体、导数及其应用。‎ ‎【点评】本题在空间几何体、导数的应用交汇处命制，解题的关键是建立正六棱柱体积的函数关系式。考生如果对选修系列四的《不等式选讲》较为熟悉的话，求函数的条件可以使用三个正数的均值不等式进行，‎ 即，等号成立的条件是，即。‎ ‎4．（北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考）如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为。则该几何体的俯视图可以是 （ ）‎ 答案 C.‎ ‎5. （广东省汕头英华外国语学校2011届高三第三次月考理）四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个点，则这四个点不共面的概 率为 （ ）A、 B、 C、 D、答案 D. 从10个不同的点中任取4个点的不同取法共有=210种，它可分为两类：4点共面与不共面．‎ ‎ 如图10，4点共面的情形有三种：‎ ‎ ①取出的4点在四面体的一个面内（如图中的AHGC在面ACD内），这样的取法有种；‎ A B C D E F G H 图10‎ ‎②取出的4面所在的平面与四面体的一组对棱平行（如图中的EFGH与AC、BD平行），这种取法有3种（因为对棱共3组，即AC与BD、BC与AD、AB与CD）；‎ ‎③取出的4点是一条棱上的三点及对棱中点（如图中的AEBG），这样的取法共6种．‎ 综上所述，取出4个不共面的点的不同取法的种数为-（+3+6）=141种．‎ 故所求的概率为，答案选D．‎ ‎6．（浙江省嘉兴一中2011届高三12月月考题文）若右图是一 ‎(A)圆锥(C)圆柱个几何体的三视图，则这个几何体是　　　　　　　（　　）‎ ‎（A）　圆锥　　　(B)棱柱　　（C）圆柱　　 (D)棱锥 答案 C.‎ 二、填空题 ‎7. （福建省惠安荷山中学2011届高三第三次月考理科试卷） 一个空间几何体的三视图及部分数据如上图所示，则这个几何体 的体积是 ___ ‎ 答案 ‎ ‎8.（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理）‎ 在中，若，则外接圆半径．‎ 运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为，则其外接球的半径= ． ‎ ‎【答案】。‎ ‎【分析】三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球，与以这三条侧棱为棱的长方体的外接球是相同的，这个长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径。‎ ‎【解析】作一个在同一个顶点处棱长分别为的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是，故这个长方体的外接球的半径是，这也是所求的三棱锥的外接球的半径。‎ ‎【考点】推理与证明。‎ ‎【点评】本题考查推理与证明中的类比推理。一般来说类比推理得到的结论未必正确，但出现在高考试题或者模拟试题中类比推理，不会设计成漫无目标的类比推理试题，而是设计成指向性很强的、能得到正确结论的类比问题。考生在解答这类试题时，一定要在得出结论的过程中注重演绎推理的应用，不要被表面现象所迷惑。‎ ‎9.（福建省三明一中2011届高三上学期第三次月考理）某几何体的三视图，其中正视图是腰长为的等腰三角形,‎ 侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积 是 ．‎ 答案 ‎ ‎10.（浙江省菱湖中学2011届高三上学期期中考试理） 若某几何体的三视图（单位：）如图所示，‎ 则此几何体的体积是 ．‎ 答案：12.‎ ‎11. （浙江省杭州宏升高复学校2011届高三第一次模拟考试试题理）‎ 一个几何体的三视图如图3所示，则该几何体的体积（单位：）图3‎ 为 ． ‎ 答案： ‎ ‎12．（浙江省诸暨中学2011届高三12月月考试题文）已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的 尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 .‎ 答案： .‎ ‎13. （浙江省嵊州二中2011届高三12月月考试题理） 已知右图的三视图中正方形的边长为，则该几何体的体积是 ‎ 答案 ‎ ‎14．（浙江省金丽衢十二校2011届高三第一次联考理）‎ 若某几何体的三视图（单位：）如右图所示，则该几何体的表面积为 ‎ ．‎ 答案 .‎ 三、简答题 ‎15.（福建省三明一中2011届高三上学期第三次月考理）(本题满分13分) ‎ A B C D E G F 如图，在六面体中，平面∥平面，‎ ‎⊥平面，,,‎ ‎∥．且,．‎ ‎ （Ⅰ）求证： ∥平面；‎ ‎ （Ⅱ）求二面角的余弦值；‎ ‎ （Ⅲ） 求五面体的体积．‎ 答案 (本题满分13分) 解法一 向量法 由已知，AD、DE、DG两两垂直，建立如图的坐标系，则A（0，0，2），‎ B（2，0，2），C（0，1，2），E（2，0，0），G（0，2，0），F（2，1，0）‎ ‎（Ⅰ），‎ ‎∴，所以BF∥CG．又BF平面ACGD，故 BF//平面ACGD …4分 ‎（Ⅱ），设平面BCGF的法向量为，‎ ‎ 则，令，则，而平面ADGC的法向量 ‎ ∴＝ 故二面角D-CG-F的余弦值为 ‎．9分 ‎ （Ⅲ）设DG的中点为M，连接AM、FM， 则＝‎ ‎ ＝＝＝．……………13分 A B C D E G F M N 解法二设DG的中点为M，连接AM、FM，则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，‎ 所以MF//DE，且MF＝DE又∵AB//DE，且AB＝DE ∴MF//AB，且MF＝AB ‎ ∴四边形ABMF是平行四边形，即BF//AM，‎ ‎ 又BF平面ACGD 故 BF//平面ACGD……………4分 ‎ （利用面面平行的性质定理证明，可参照给分）‎ ‎ （Ⅱ）由已知AD⊥面DEFG∴DE⊥AD ，DE⊥DG即DE⊥面ADGC ，‎ ‎ ∵MF//DE，且MF＝DE ， ∴MF⊥面ADGC ‎ 在平面ADGC中，过M作MN⊥GC，垂足为N，连接NF，则 ‎ 显然∠MNF是所求二面角的平面角．‎ ‎∵在四边形ADGC中，AD⊥AC，AD⊥DG，AC=DM＝MG＝1‎ A C D G M N ‎ ∴， ∴MN＝ 在直角三角形MNF中，MF＝2，MN ‎ ∴＝＝＝，＝‎ ‎ 故二面角D-CG-F的余弦值为 …………9分 ‎ （Ⅲ）＝＝‎ ‎ ＝＝．……………13分 ‎16．（福建省四地六校2011届高三上学期第三次联考试题理）（本题满分13分）‎ 一个多面体的直观图和三视图如下:‎ ‎ (其中分别是中点) (1)求证:平面;‎ ‎(2)求多面体的体积.‎ 答案 解：‎ ‎(1)由三视图知,该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱,且,‎ ‎,∴. ---2分 取中点,连,由分别是中点,可设:,‎ ‎∴面面 ∴面… ---8分 ‎(2)作于,由于三棱柱为直三棱柱 ‎ ‎∴面,‎ 且 ∴,---13分