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- 2021-05-14 发布
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专题03 线性规划与三角函数(文)
一.线性规划小题
(一)命题特点和预测:分析近8年的高考试题发现,线性规划8年8考,每年1题,主要考查利用数形结合思想解简单的线性规划问题,是基础题,少数年份考线性规划应用题和含参数得线性规划问题,难度较大.2019年仍将重点考查目标函数为线性的规划问题,也可能考查含参数的线性规划问题和线性规划应用题,要做好这方面问题的复习和训练.
(二)历年试题比较:
年份
题目
答案
2018年
(14)若,满足约束条件,则的最大值为_____________.
6
2017年
(7)设x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为
A.0 B.1 C.2 D.3
D
2016年
(16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元。该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.
2015年
(15)若x,y满足约束条件,则z=3x+y的最大值为 .
4
2014年
(11)设,满足约束条件,且的最小值为7,则
A.-5 B.3 C.-5或3 D.5或-3
B
2013年
(14)设x,y满足约束条件则z=2x-y的最大值为______.
3
2012年
(5)已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,若点(x,y)在△ABC内部,则的取值范围是
(A)(1-,2) (B)(0,2)
(C)(-1,2) (D)(0,1+)
2011年
(14)若变量满足约束条件,则的最小值为 .
-6
【解析与点睛】
(2018年)【解析】根据题中所给的约束条件,画出其对应的可行域,如图所示:由可得,画出直线,将其上下移动,结合的几何意义,可知当直线过点B时,z取得最大值,由,解得,此时,故答案为6.
(2017年)【解析】如图,作出不等式组表示的可行域,则目标函数经过时z取得最大值,故,故选D.
【名师点睛】本题主要考查线性规划问题,首先由不等式组作出相应的可行域,并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围.
(2016年)【解析】设生产产品A、产品B分别为、件,利润之和为元,那么由题意得约束条件
即 目标函数.
作出二元一次不等式组①表示的平面区域,即可行域,如图中阴影部分所示.
将变形,得,作直线:并平移,当直线经过点时, 取得最大值.
解方程组,得的坐标为.
所以当,时,.
故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.
(2015年)【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,作出直线:,平移直线,当直线:z=3x+y过点A时,z取最大值,由解得A(1,1),∴z=3x+y的最大值为4.
(2014年)【解析】当>0时,作出可行域如图1中阴影部分所示,作出直线:,平移直线,由图知,:过点A时,取最小值;
当<0时,作出可行域如图2中阴影部分所示,作出直线:,平移直线,由图知,
无最小值;由解得A(,),故=7,解得=-5(舍)或=3,故选 B.
(2013年)【解析】画出可行域如图所示.
画出直线2x-y=0,并平移,当直线经过点A(3,3)时,z取最大值,且最大值为z=2×3-3=3.
(2012年)【解析】由题设知C(1+,2),作出直线:,平移直线,有图像知,直线过B点时,=2,过C时,=,∴取值范围为(1-,2),故选A.
(2011年)【解析】作出可行域与目标函数,由图知,目标函数过A点时,取最小值,解得A(4,-5), =-6.
(三)命题专家押题
题号
试 题
1.
若,满足约束条件,则的最大值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.
设,满足约束条件,则的最小值是__________.
3
若满足,则的取值范围为______.
4
若变量,满足约束条件,则的最大值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5
已知实数满足,则的取值范围是()
A. B. C. D.
6
已知实数满足 则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7
设m为实数,若,则m的最大值是____.
8
若,满足不等式组,则成立的概率为
A. B. C. D.
9
某企业生产甲、乙两种产品均需要,两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )
甲
乙
原料限额
(吨)
3
2
10
(吨)
1
2
6
A.10万元 B.12万元 C.13万元 D.14万元
10
若变量,满足约束条件,且最小值为7,则的值为( )
A.1 B.2 C.-2 D.-1
【详细解析】
1.【答案】D
【解析】由题意,作出约束条件所表示的平面区域,如图所示,目标函数,可化为直线,当经过点A时,直线在y轴上的截距最大,此时目标函数取得最大值,又由,解得,即,所以目标函数的的最大值为,故选D.
2.【答案】4
【解析】画出可行域如图(阴影部分),由得,平移直线,由图象可知当直线经过点A时,直线在y轴的截距最小,此时z最小.由,解得,即A(1,2),代入目标函数得z=2×1+2=4.即目标函数的最小值为4.
3.【答案】[1,2]
【解析】作出可行域如下图阴影部分所示,令,则,可知的取值范围即为直线在轴截距的取值范围由平移可知如图,当直线经过点时,截距最小;当与重合时,截距最大,
,,
4.【答案】D
【解析】作可行域,如图,则直线过点A(-1,-1)时取最小值-4,过点时取最大值2,因此的最大值是4,选D.
5.【答案】B
【解析】画出可行域如下图所示,表示可行域内点到原点距离的平方,由图可知,最短距离平方为,最大距离平方为,故取值范围是,故选B.
6.【答案】D
【解析】作出不等式组对应的平面区域,如图阴影部分所示:z表示动点P(x,y)与定点A(3,1
)连线的斜率.当连线经过B时斜率最大,此时,解B(8,5)则z,当连线经过C时斜率最小,此时,解C(8,-1),则z,故的取值范围为,故选D
7.【答案】
【解析】设,, 显然点集表示以原点为圆心,5为半径的圆及圆的内部,点集是二元一次不等式组表示的平面区域,如图所示,作图可知,边界交圆于点,边界恒过原点,要求的最大值,故直线必须单调递减,因为,所以当过图中B点时,取得最大,联立方程组,解得,故,即。
8.【答案】A
【解析】作出不等式组表示的平面区域,如图所示,因为表示点与定点连线的斜率,所以成立的点只能在图中的内部(含边界),所以由几何概型得:成立的概率为,由,得,由,得,由,得,由,解得,由,解得,所以,
,所以成立的概率为,故选A.
9.【答案】D
【解析】设该企业生产甲产品x吨,乙产品y吨,利润为z万元,则约束条件为,且x,y≥0,目标函数z=3x+4y,作出不等式组对应的平面区域如图,由z=3x+4y,得y=-x+,平移直线y=-x+,由图象知当直线y=-x+经过点A时,y=-x+的截距最大,此时z最大,由即A(2,2),此时z=3×2+4×2=6+8=14(万元),即该企业生产甲产品2吨,乙产品2吨,利润为14万元,故选D.
10.【答案】B
【解析】由约束条件作出可行域如图,联立方程组求得A(2,1),B(4,5),C(1,2),化目标函数z=ax+3y为y.当a>0时,由图可知,当直线y过A或C时,直线在y轴上的截距最小,z有最小值.若过A,则2a+3=7,解得a=2;若过C,则a+6=7,解得a=1不合题意.
当a<0时,由图可知,当直线y过A或B时,直线在y轴上的截距最小,z有最小值.若过A
,则2a+3=7,解得a=2,不合题意;若过B,则4a+15=7,解得a=﹣2,不合题意.∴a的值为2,故选B.
二.三角函数小题
(一)命题特点和预测:分析近8年的高考题发现,8年17考,每年至少1题,多数年份是2小、3小,个别年份4小,主要考查三角函数定义、诱导公式、同角三角函数基本关系、和差倍半公式、图象变换、三角函数的图象与性质、利用正余弦定理解三角形及利用正余弦定理解与测量、航行有关的实际问题,难度一般为1个基础题、2个中档题、有时也会为难题.2019年高考仍将坚持至少1小、难度为1基础1(或2)中档、重点考查三角公式、图象变换、三角函数图象与性质、正余弦定理应用,可能在与其他知识交汇处命题,适度创新.
(二)历年试题比较:
年份
题目
答案
(8)已知函数,则
A. 的最小正周期为π,最大值为3
B. 的最小正周期为π,最大值为4
C. 的最小正周期为,最大值为3
D. 的最小正周期为,最大值为4
B
(11)已知角的顶点为坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边上有两点,,且,则
A. B. C. D.
B
(16)△的内角的对边分别为,已知
,,则△的面积为________.
2017年
(11)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。已知,a=2,c=,则C=
A. B. C. D.
B
(15)已知,tan α=2,则=__________。
2016年
(4)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知,,,则b=
(A) (B) (C)2 (D)3
D
(6)将函数y=2sin (2x+)的图像向右平移个周期后,所得图像对应的函数为
(A)y=2sin(2x+) (B)y=2sin(2x+) (C)y=2sin(2x–) (D)y=2sin(2x–)
D
(12)若函数在单调递增,则a的取值范围是
(A)(B)(C)(D)
C
(14)已知θ是第四象限角,且sin(θ+)=,则tan(θ–)= .
2015年
(8)函数的部分图像如图所示,则的单调递减区间为( )
(A) (B)
(C) (D)
D
2014年
(2)若,则
A
A. B. C. D.
(7)在函数①,② ,③,④中,最小正周期为的所有函数为
A. ②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①③
C
(16)如图,为测量山高,选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得 点的仰角,点的仰角以及;从点测得.已知山高,则山高________.
150
2013年
(9)函数=在的图像大致为
C
(10) 已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为,,,,=7,,则=
.10 .9 .8 .5
D
(16)设当=时,函数=取得最大值,则=______.
2012年
(9)已知>0,,直线=和=是函数图像的两条相邻的对称轴,则=
(A) (B) (C) (D)
A
2011年
(7)已知角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,终边在直线上,则=
B
(A) (B) (C) (D)
( 11).设函数=,则=
(A)在(0,)单调递增,其图像关于直线=对称
(B) 在(0,)单调递增,其图像关于直线=对称
(C) 在(0,)单调递减,其图像关于直线=对称
(D) 在(0,)单调递减,其图像关于直线=对称
D
(15)中,,AC=7,AB=5,则的面积为 .
【解析与点睛】
(2018年)(8)【解析】根据题意有,所以函数的最小正周期为,且最大值为,故选B.
(11)【解析】根据题的条件,可知三点共线,从而得到,因为,解得,即,所以,故选B.
(16)【解析】根据题意,结合正弦定理,可得,即,结合余弦定理可得,所以A为锐角,且,从而求得,所以△的面积为,故答案是.
(2017年)(11)【解析】由题意得,即,即= =0,所以,由正弦定理得,,即,所以,故选B.
(15)【解析】由得,又,所以,因为,所以,因为,所以
(2016年)(4)【解析】由余弦定理得,解得(舍去),选D.
(6)【解析】由题知,y=2sin (2x+)的周期为,将函数y=2sin (2x+)的图像向右平移个周期即个单位,所得图象对应的函数为=,故选D.
(12)【解析】=对恒成立,故,即恒成立,即对恒成立;设=(),所以,解得,故选C.
(14)【解析】由题意,解得
所以,
(2015年)【解析】由五点作图知,,解得,,所以,令,解得<<,,故单调减区间为(,),,故选D.
(2014年)(2)【解析】由知,在第一、第三象限,即(),∴,即在第一、第二象限,故只有,故选A.
(7)【解析】∵=,∴==;由图像知其周期为,由周期公式知,
为,为,故选C.
(16)【解析】在△ABC中,∠CAB=,∠ABC=,BC=100,则AC=;在△AMC中,,,则∠AMC=,由正弦定理得,,∴AM===,在△AMN中,,,则=150m.
(2013年)(9)【解析】显然是奇函数,故排除B,当时,<0,故排除A,∵==,由≥0解得,又∵,∴,同理,由≤0解得,或,
∴在[-,-]上是减函数,在[-,]上是增函数,在[,]上是减函数,
∴当=时,取最小值=,最小值点靠近-,故选.
(10)【解析】由及△ABC是锐角三角形得=,∵=7,,∴,即,解得或=(舍),故选.
(16)【解析】∵==,令=,,则==,当=,即=时,取最大值,此时=,∴===.
(2012年)(9)【解析】由题设知,=,∴=1,∴=(),∴=(),∵,∴=,故选A.
(2011年)(7)【解析】在直线取一点P(1,2),则=,则==,
∴==,故选B.
(11)【解析】===,
∵在(0,)上是增函数,值域为,在是减函数,∴在(0,)是减函数,又∵==0,不是最值,==是最小值,∴图像关于直线=对称,故选D.
(15)【解析】由余弦定理得,=,即
=,即,解得=3或=-8(舍),
===.
(三)命题专家押题
题号
试 题
1.
已知为角终边上一点,且,则( )
A. B. C. D.
2.
若,则( )
A. B. C. D.
3
在中,角的对边分别为,若.则角的大小为( )
A. B. C. D.
4
A.1 B.2 C.3 D.4
5
已知,则的值域为( )
A. B. C. D.
6
函数的最小正周期为π,若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数,则函数f(x)的图象( )
A.关于点对称 B.关于点对称
C.关于直线对称 D.关于直线对称
7
函数的部分图像如图所示,则函数的单调增区间为( )
A. B.
C. D.
8
在中,角,,所对的边分别为,,,若,且,,则的面积是__________.
9
已知函数和的图象的对称轴完全相同,则下列关于的说法正确的是( )
A.最大值为 B.在单调递减
C.是它的一个对称中心 D.是它的一条对称轴
10
已知函数,若对任意的,关于的方程总有两个不同的实数根,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【详细解析】
1.【答案】B
【解析】∵,∴,解得,又为角终边上一点,∴,∴,∴,故选B
2.【答案】D
【解析】∵,故选D
3.【答案】A
【解析】∵,∴由正弦定理可得:,∵,∴
,∵,,∴,∴,故选A.
4.【答案】D
【解析】,故选D.
5.【答案】B
【解析】因为,所以,由,得,所以,故选B
6.【答案】C
【解析】因为函数的最小正周期为π,所以,图象向左平移个单位后得到,由得到的函数是奇函数可得,即.令得,,故A,B均不正确;令得,,时可得C正确.故选C.
7.【答案】D
【解析】由图可知:图象过,,∵图象过,,因为 ,所以,,当时,函数单调递增,化简得,故选D.
8.【答案】
【解析】由题意,可知,由正弦定理得,即,又由在中,,则,即,又由,则,所以,由余弦定理得,即
,整理得,解得,所以的面积为.
9.【答案】D
【解析】和的图象的对称轴完全相同,周期相等,,令,得,由,得,所以, 且,得,,的最大值为4,错误;当时,,不是单调函数,错误;不在图象上,不是其对称中心,错误;因为为函数的最大值,所以是对称轴,正确,故选D.
10.【答案】B
【解析】由题意,函数,令,且,即,解得,又因为,且,所以要使得总有两个不同实数根时,即函数与的图象由两个不同的交点,结合图象,可得,所以实数m的取值范围是,故选B.