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  • 2021-05-14 发布

2016年北京市高考数学试卷(理科)

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‎2016年北京市高考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.(5分)已知集合A={x||x|<2},B={﹣1,0,1,2,3},则A∩B=(  )‎ A.{0,1} B.{0,1,2} C.{﹣1,0,1} D.{﹣1,0,1,2}‎ ‎2.(5分)若x,y满足,则2x+y的最大值为(  )‎ A.0 B.3 C.4 D.5‎ ‎3.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入的a值为1,则输出的k值为(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎4.(5分)设,是向量,则“||=||”是“|+|=|﹣|”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.(5分)已知x,y∈R,且x>y>0,则(  )‎ A.﹣>0 B.sinx﹣siny>0 C.()x﹣()y<0 D.lnx+lny>0‎ ‎6.(5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为(  )‎ A. B. C. D.1‎ ‎7.(5分)将函数y=sin(2x﹣)图象上的点P(,t)向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′,若P′位于函数y=sin2x的图象上,则(  )‎ A.t=,s的最小值为 B.t=,s的最小值为 C.t=,s的最小值为 D.t=,s的最小值为 ‎8.(5分)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则(  )‎ A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 ‎ ‎ 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎9.(5分)设a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=  .‎ ‎10.(5分)在(1﹣2x)6的展开式中,x2的系数为  .(用数字作答)‎ ‎11.(5分)在极坐标系中,直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0与圆ρ=2cosθ交于A,B两点,则|AB|=  .‎ ‎12.(5分)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6=  .‎ ‎13.(5分)双曲线﹣=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=  .‎ ‎14.(5分)设函数f(x)=.‎ ‎①若a=0,则f(x)的最大值为  ;‎ ‎②若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是  .‎ ‎ ‎ 三、解答题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.‎ ‎15.(13分)在△ABC中,a2+c2=b2+ac.‎ ‎(Ⅰ)求∠B的大小;‎ ‎(Ⅱ)求cosA+cosC的最大值.‎ ‎16.(13分)A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如表(单位:小时):‎ A班 ‎6 6.5 7 7.5 8‎ B班 ‎6 7 8 9 10 11 12‎ C班 ‎3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5‎ ‎(Ⅰ)试估计C班的学生人数;‎ ‎(Ⅱ)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一个人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相对独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;‎ ‎(Ⅲ)再从A,B,C三班中各随机抽取一名学生,他们该周锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时),这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1,表格中数据的平均数记为μ0,试判断μ0和μ1的大小.(结论不要求证明)‎ ‎17.(14分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=.‎ ‎(Ⅰ)求证:PD⊥平面PAB;‎ ‎(Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;‎ ‎(Ⅲ)在棱PA上是否存在点M,使得BM∥平面PCD?若存在,求的值,若不存在,说明理由.‎ ‎18.(13分)设函数f(x)=xea﹣x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e﹣1)x+4,‎ ‎(Ⅰ)求a,b的值;‎ ‎(Ⅱ)求f(x)的单调区间.‎ ‎19.(14分)已知椭圆C:+=1(a>0,b>0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:|AN|•|BM|为定值.‎ ‎20.(13分)设数列A:a1,a2,…,aN (N≥2).如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有ak<an,则称n是数列A的一个“G时刻”,记G(A)是数列A的所有“G时刻”组成的集合.‎ ‎(Ⅰ)对数列A:﹣2,2,﹣1,1,3,写出G(A)的所有元素;‎ ‎(Ⅱ)证明:若数列A中存在an使得an>a1,则G(A)≠∅;‎ ‎(Ⅲ)证明:若数列A满足an﹣an﹣1≤1(n=2,3,…,N),则G(A)的元素个数不小于aN﹣a1.‎ ‎ ‎ ‎2016年北京市高考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.(5分)(2016•北京)已知集合A={x||x|<2},B={﹣1,0,1,2,3},则A∩B=(  )‎ A.{0,1} B.{0,1,2} C.{﹣1,0,1} D.{﹣1,0,1,2}‎ 解:∵集合A={x||x|<2}={x|﹣2<x<2},‎ B={﹣1,0,1,2,3},‎ ‎∴A∩B={﹣1,0,1}.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2016•北京)若x,y满足,则2x+y的最大值为(  )‎ A.0 B.3 C.4 D.5‎ 解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分).‎ 设z=2x+y得y=﹣2x+z,‎ 平移直线y=﹣2x+z,‎ 由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时,直线y=﹣2x+z的截距最大,‎ 此时z最大.‎ 由,解得,即A(1,2),‎ 代入目标函数z=2x+y得z=1×2+2=4.‎ 即目标函数z=2x+y的最大值为4.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2016•北京)执行如图所示的程序框图,若输入的a值为1,则输出的k值为(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 解:输入的a值为1,则b=1,‎ 第一次执行循环体后,a=﹣,不满足退出循环的条件,k=1;‎ 第二次执行循环体后,a=﹣2,不满足退出循环的条件,k=2;‎ 第三次执行循环体后,a=1,满足退出循环的条件,‎ 故输出的k值为2,‎ 故选:B ‎ ‎ ‎4.(5分)(2016•北京)设,是向量,则“||=||”是“|+|=|﹣|”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解:若“||=||”,则以,为邻边的平行四边形是菱形;‎ 若“|+|=|﹣|”,则以,为邻边的平行四边形是矩形;‎ 故“||=||”是“|+|=|﹣|”的既不充分也不必要条件;‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2016•北京)已知x,y∈R,且x>y>0,则(  )‎ A.﹣>0 B.sinx﹣siny>0 C.()x﹣()y<0 D.lnx+lny>0‎ 解:∵x,y∈R,且x>y>0,则,sinx与siny的大小关系不确定,<,即﹣<0,lnx+lny与0的大小关系不确定.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2016•北京)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为(  )‎ A. B. C. D.1‎ 解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,‎ 棱锥的底面面积S=×1×1=,‎ 高为1,‎ 故棱锥的体积V==,‎ 故选:A ‎ ‎ ‎7.(5分)(2016•北京)将函数y=sin(2x﹣)图象上的点P(,t)向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′,若P′位于函数y=sin2x的图象上,则(  )‎ A.t=,s的最小值为 B.t=,s的最小值为 C.t=,s的最小值为 D.t=,s的最小值为 解:将x=代入得:t=sin=,‎ 将函数y=sin(2x﹣)图象上的点P向左平移s个单位,‎ 得到P′(﹣s,)点,‎ 若P′位于函数y=sin2x的图象上,‎ 则sin(﹣2s)=cos2s=,‎ 则2s=+2kπ,k∈Z,‎ 则s=+kπ,k∈Z,‎ 由s>0得:当k=0时,s的最小值为,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2016•北京)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则(  )‎ A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 解:取两个球共有4种情况:‎ ‎①红+红,则乙盒中红球数加1个;‎ ‎②黑+黑,则丙盒中黑球数加1个;‎ ‎③红+黑(红球放入甲盒中),则乙盒中黑球数加1个;‎ ‎④黑+红(黑球放入甲盒中),则丙盒中红球数加1个.‎ 设一共有球2a个,则a个红球,a个黑球,甲中球的总个数为a,其中红球x个,黑球y个,x+y=a.‎ 则乙中有x个球,其中k个红球,j个黑球,k+j=x;‎ 丙中有y个球,其中l个红球,i个黑球,i+l=y;‎ 黑球总数a=y+i+j,又x+y=a,故x=i+j 由于x=k+j,所以可得i=k,即乙中的红球等于丙中的黑球.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎9.(5分)(2016•北京)设a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a= ﹣1 .‎ 解:(1+i)(a+i)=a﹣1+(a+1)i,‎ 若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,‎ 则a+1=0,‎ 解得:a=﹣1,‎ 故答案为:﹣1‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2016•北京)在(1﹣2x)6的展开式中,x2的系数为 60 .(用数字作答)‎ 解:(1﹣2x)6的展开式中,通项公式Tr+1=(﹣2x)r=(﹣2)rxr,‎ 令r=2,则x2的系数==60.‎ 故答案为:60.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)(2016•北京)在极坐标系中,直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0与圆ρ=2cosθ交于A,B两点,则|AB|= 2 .‎ 解:直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0化为y直线x﹣y﹣1=0.‎ 圆ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ,∴x2+y2=2x,配方为(x﹣1)2+y2=1,可得圆心C(1,0),半径r=1.‎ 则圆心C在直线上,∴|AB|=2.‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2016•北京)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6= 6 .‎ 解:∵{an}为等差数列,Sn为其前n项和.‎ a1=6,a3+a5=0,‎ ‎∴a1+2d+a1+4d=0,‎ ‎∴12+6d=0,‎ 解得d=﹣2,‎ ‎∴S6==36﹣30=6.‎ 故答案为:6.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)(2016•北京)双曲线﹣=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a= 2 .‎ 解:∵双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,‎ ‎∴渐近线互相垂直,则双曲线为等轴双曲线,即渐近线方程为y=±x,‎ 即a=b,‎ ‎∵正方形OABC的边长为2,‎ ‎∴OB=2,即c=2,‎ 则a2+b2=c2=8,‎ 即2a2=8,‎ 则a2=4,a=2,‎ 故答案为:2‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2016•北京)设函数f(x)=.‎ ‎①若a=0,则f(x)的最大值为 2 ;‎ ‎②若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是 (﹣∞,﹣1) .‎ 解:①若a=0,则f(x)=,‎ 则f′(x)=,‎ 当x<﹣1时,f′(x)>0,此时函数为增函数,‎ 当x>﹣1时,f′(x)<0,此时函数为减函数,‎ 故当x=﹣1时,f(x)的最大值为2;‎ ‎②f′(x)=,‎ 令f′(x)=0,则x=±1,‎ 若f(x)无最大值,则,或,‎ 解得:a∈(﹣∞,﹣1).‎ 故答案为:2,(﹣∞,﹣1)‎ ‎ ‎ 三、解答题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.‎ ‎15.(13分)(2016•北京)在△ABC中,a2+c2=b2+ac.‎ ‎(Ⅰ)求∠B的大小;‎ ‎(Ⅱ)求cosA+cosC的最大值.‎ 解:(Ⅰ)∵在△ABC中,a2+c2=b2+ac.‎ ‎∴a2+c2﹣b2=ac.‎ ‎∴cosB===,‎ ‎∴B=‎ ‎(Ⅱ)由(I)得:C=﹣A,‎ ‎∴cosA+cosC=cosA+cos(﹣A)‎ ‎=cosA﹣cosA+sinA ‎=cosA+sinA ‎=sin(A+).‎ ‎∵A∈(0,),‎ ‎∴A+∈(,π),‎ 故当A+=时,sin(A+)取最大值1,‎ 即cosA+cosC的最大值为1.‎ ‎ ‎ ‎16.(13分)(2016•北京)A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如表(单位:小时):‎ A班 ‎6 6.5 7 7.5 8‎ B班 ‎6 7 8 9 10 11 12‎ C班 ‎3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5‎ ‎(Ⅰ)试估计C班的学生人数;‎ ‎(Ⅱ)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一个人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相对独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;‎ ‎(Ⅲ)再从A,B,C三班中各随机抽取一名学生,他们该周锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时),这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1,表格中数据的平均数记为μ0,试判断μ0和μ1的大小.(结论不要求证明)‎ 解:(I)由题意得:三个班共抽取20个学生,其中C班抽取8个,‎ 故抽样比K==,‎ 故C班有学生8÷=40人,‎ ‎(Ⅱ)从从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一个人,‎ 共有5×8=40种情况,‎ 而且这些情况是等可能发生的,‎ 当甲锻炼时间为6时,甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有2种情况;‎ 当甲锻炼时间为6.5时,甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况;‎ 当甲锻炼时间为7时,甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况;‎ 当甲锻炼时间为7.5时,甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况;‎ 当甲锻炼时间为8时,甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有4种情况;‎ 故周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率P==;‎ ‎(Ⅲ)μ0>μ1.‎ ‎ ‎ ‎17.(14分)(2016•北京)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=.‎ ‎(Ⅰ)求证:PD⊥平面PAB;‎ ‎(Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;‎ ‎(Ⅲ)在棱PA上是否存在点M,使得BM∥平面PCD?若存在,求的值,若不存在,说明理由.‎ ‎(Ⅰ)证明:∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,‎ 且AB⊥AD,AB⊂平面ABCD,‎ ‎∴AB⊥平面PAD,‎ ‎∵PD⊂平面PAD,‎ ‎∴AB⊥PD,‎ 又PD⊥PA,且PA∩AB=A,‎ ‎∴PD⊥平面PAB;‎ ‎(Ⅱ)解:取AD中点为O,连接CO,PO,‎ ‎∵CD=AC=,‎ ‎∴CO⊥AD,‎ 又∵PA=PD,‎ ‎∴PO⊥AD.‎ 以O为坐标原点,建立空间直角坐标系如图:‎ 则P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,﹣1,0),C(2,0,0),‎ 则,,‎ 设为平面PCD的法向量,‎ 则由,得,则.‎ 设PB与平面PCD的夹角为θ,则=;‎ ‎(Ⅲ)解:假设存在M点使得BM∥平面PCD,设,M(0,y1,z1),‎ 由(Ⅱ)知,A(0,1,0),P(0,0,1),,B(1,1,0),,‎ 则有,可得M(0,1﹣λ,λ),‎ ‎∴,‎ ‎∵BM∥平面PCD,为平面PCD的法向量,‎ ‎∴,即,解得.‎ 综上,存在点M,即当时,M点即为所求.‎ ‎ ‎ ‎18.(13分)(2016•北京)设函数f(x)=xea﹣x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e﹣1)x+4,‎ ‎(Ⅰ)求a,b的值;‎ ‎(Ⅱ)求f(x)的单调区间.‎ 解:(Ⅰ)∵y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e﹣1)x+4,‎ ‎∴当x=2时,y=2(e﹣1)+4=2e+2,即f(2)=2e+2,‎ 同时f′(2)=e﹣1,‎ ‎∵f(x)=xea﹣x+bx,‎ ‎∴f′(x)=ea﹣x﹣xea﹣x+b,‎ 则,‎ 即a=2,b=e;‎ ‎(Ⅱ)∵a=2,b=e;‎ ‎∴f(x)=xe2﹣x+ex,‎ ‎∴f′(x)=e2﹣x﹣xe2﹣x+e=(1﹣x)e2﹣x+e,‎ f″(x)=﹣e2﹣x﹣(1﹣x)e2﹣x=(x﹣2)e2﹣x,‎ 由f″(x)>0得x>2,由f″(x)<0得x<2,‎ 即当x=2时,f′(x)取得极小值f′(2)=(1﹣2)e2﹣2+e=e﹣1>0,‎ ‎∴f′(x)>0恒成立,‎ 即函数f(x)是增函数,‎ 即f(x)的单调区间是(﹣∞,+∞).‎ ‎ ‎ ‎19.(14分)(2016•北京)已知椭圆C:+=1(a>0,b>0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:|AN|•|BM|为定值.‎ 解:(Ⅰ)由题意可得e==,‎ 又△OAB的面积为1,可得ab=1,‎ 且a2﹣b2=c2,‎ 解得a=2,b=1,c=,‎ 可得椭圆C的方程为+y2=1;‎ ‎(Ⅱ)证法一:设椭圆上点P(x0,y0),‎ 可得x02+4y02=4,‎ 直线PA:y=(x﹣2),令x=0,可得y=﹣,‎ 则|BM|=|1+|;‎ 直线PB:y=x+1,令y=0,可得x=﹣,‎ 则|AN|=|2+|.‎ 可得|AN|•|BM|=|2+|•|1+|‎ ‎=||=||‎ ‎=||=4,‎ 即有|AN|•|BM|为定值4.‎ 证法二:设P(2cosθ,sinθ),(0≤θ<2π),‎ 直线PA:y=(x﹣2),令x=0,可得y=﹣,‎ 则|BM|=||;‎ 直线PB:y=x+1,令y=0,可得x=﹣,‎ 则|AN|=||.‎ 即有|AN|•|BM|=||•||‎ ‎=2||‎ ‎=2||=4.‎ 则|AN|•|BM|为定值4.‎ ‎ ‎ ‎20.(13分)(2016•北京)设数列A:a1,a2,…,aN (N≥2).如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有ak<an,则称n是数列A的一个“G时刻”,记G(A)是数列A的所有“G时刻”组成的集合.‎ ‎(Ⅰ)对数列A:﹣2,2,﹣1,1,3,写出G(A)的所有元素;‎ ‎(Ⅱ)证明:若数列A中存在an使得an>a1,则G(A)≠∅;‎ ‎(Ⅲ)证明:若数列A满足an﹣an﹣1≤1(n=2,3,…,N),则G(A)的元素个数不小于aN﹣a1.‎ 解:(Ⅰ)根据题干可得,a1=﹣2,a2=2,a3=﹣1,a4=1,a5=3,a1<a2满足条件,2满足条件,a2>a3不满足条件,3不满足条件,‎ a2>a4不满足条件,4不满足条件,a1,a2,a3,a4,均小于a5,因此5满足条件,因此G(A)={2,5}.‎ ‎(Ⅱ)因为存在an>a1,设数列A中第一个大于a1的项为ak,则ak>a1≥ai,其中2≤i≤k﹣1,所以k∈G(A),G(A)≠∅;‎ ‎(Ⅲ)设A数列的所有“G时刻”为i1<i2<…<ik,‎ 对于第一个“G时刻”i1,有>a1≥ai(i=2,3,…,i1﹣1),则 ‎﹣a1≤﹣≤1.‎ 对于第二个“G时刻”i1,有>≥ai(i=2,3,…,i1﹣1),则 ‎﹣≤﹣≤1.‎ 类似的﹣≤1,…,﹣≤1.‎ 于是,k≥(﹣)+(﹣)+L+(﹣)+(﹣a1)=﹣a1.‎ 对于aN,若N∈G(A),则=aN.‎ 若N∉G(A),则aN≤,否则由(2)知,,L,aN,中存在“G时刻”与只有k个“G时刻”矛盾.‎ 从而k≥﹣a1≥aN﹣a1.‎ ‎ ‎