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- 2021-05-14 发布
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2016年北京市高考数学试卷(理科)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.(5分)已知集合A={x||x|<2},B={﹣1,0,1,2,3},则A∩B=( )
A.{0,1} B.{0,1,2} C.{﹣1,0,1} D.{﹣1,0,1,2}
2.(5分)若x,y满足,则2x+y的最大值为( )
A.0 B.3 C.4 D.5
3.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入的a值为1,则输出的k值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.(5分)设,是向量,则“||=||”是“|+|=|﹣|”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.(5分)已知x,y∈R,且x>y>0,则( )
A.﹣>0 B.sinx﹣siny>0 C.()x﹣()y<0 D.lnx+lny>0
6.(5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.1
7.(5分)将函数y=sin(2x﹣)图象上的点P(,t)向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′,若P′位于函数y=sin2x的图象上,则( )
A.t=,s的最小值为 B.t=,s的最小值为
C.t=,s的最小值为 D.t=,s的最小值为
8.(5分)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( )
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球
D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.
9.(5分)设a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a= .
10.(5分)在(1﹣2x)6的展开式中,x2的系数为 .(用数字作答)
11.(5分)在极坐标系中,直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0与圆ρ=2cosθ交于A,B两点,则|AB|= .
12.(5分)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6= .
13.(5分)双曲线﹣=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a= .
14.(5分)设函数f(x)=.
①若a=0,则f(x)的最大值为 ;
②若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是 .
三、解答题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(13分)在△ABC中,a2+c2=b2+ac.
(Ⅰ)求∠B的大小;
(Ⅱ)求cosA+cosC的最大值.
16.(13分)A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如表(单位:小时):
A班
6 6.5 7 7.5 8
B班
6 7 8 9 10 11 12
C班
3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5
(Ⅰ)试估计C班的学生人数;
(Ⅱ)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一个人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相对独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;
(Ⅲ)再从A,B,C三班中各随机抽取一名学生,他们该周锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时),这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1,表格中数据的平均数记为μ0,试判断μ0和μ1的大小.(结论不要求证明)
17.(14分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=.
(Ⅰ)求证:PD⊥平面PAB;
(Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;
(Ⅲ)在棱PA上是否存在点M,使得BM∥平面PCD?若存在,求的值,若不存在,说明理由.
18.(13分)设函数f(x)=xea﹣x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e﹣1)x+4,
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间.
19.(14分)已知椭圆C:+=1(a>0,b>0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:|AN|•|BM|为定值.
20.(13分)设数列A:a1,a2,…,aN (N≥2).如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有ak<an,则称n是数列A的一个“G时刻”,记G(A)是数列A的所有“G时刻”组成的集合.
(Ⅰ)对数列A:﹣2,2,﹣1,1,3,写出G(A)的所有元素;
(Ⅱ)证明:若数列A中存在an使得an>a1,则G(A)≠∅;
(Ⅲ)证明:若数列A满足an﹣an﹣1≤1(n=2,3,…,N),则G(A)的元素个数不小于aN﹣a1.
2016年北京市高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.(5分)(2016•北京)已知集合A={x||x|<2},B={﹣1,0,1,2,3},则A∩B=( )
A.{0,1} B.{0,1,2} C.{﹣1,0,1} D.{﹣1,0,1,2}
解:∵集合A={x||x|<2}={x|﹣2<x<2},
B={﹣1,0,1,2,3},
∴A∩B={﹣1,0,1}.
故选:C.
2.(5分)(2016•北京)若x,y满足,则2x+y的最大值为( )
A.0 B.3 C.4 D.5
解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分).
设z=2x+y得y=﹣2x+z,
平移直线y=﹣2x+z,
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时,直线y=﹣2x+z的截距最大,
此时z最大.
由,解得,即A(1,2),
代入目标函数z=2x+y得z=1×2+2=4.
即目标函数z=2x+y的最大值为4.
故选:C.
3.(5分)(2016•北京)执行如图所示的程序框图,若输入的a值为1,则输出的k值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解:输入的a值为1,则b=1,
第一次执行循环体后,a=﹣,不满足退出循环的条件,k=1;
第二次执行循环体后,a=﹣2,不满足退出循环的条件,k=2;
第三次执行循环体后,a=1,满足退出循环的条件,
故输出的k值为2,
故选:B
4.(5分)(2016•北京)设,是向量,则“||=||”是“|+|=|﹣|”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解:若“||=||”,则以,为邻边的平行四边形是菱形;
若“|+|=|﹣|”,则以,为邻边的平行四边形是矩形;
故“||=||”是“|+|=|﹣|”的既不充分也不必要条件;
故选:D.
5.(5分)(2016•北京)已知x,y∈R,且x>y>0,则( )
A.﹣>0 B.sinx﹣siny>0 C.()x﹣()y<0 D.lnx+lny>0
解:∵x,y∈R,且x>y>0,则,sinx与siny的大小关系不确定,<,即﹣<0,lnx+lny与0的大小关系不确定.
故选:C.
6.(5分)(2016•北京)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.1
解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,
棱锥的底面面积S=×1×1=,
高为1,
故棱锥的体积V==,
故选:A
7.(5分)(2016•北京)将函数y=sin(2x﹣)图象上的点P(,t)向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′,若P′位于函数y=sin2x的图象上,则( )
A.t=,s的最小值为 B.t=,s的最小值为
C.t=,s的最小值为 D.t=,s的最小值为
解:将x=代入得:t=sin=,
将函数y=sin(2x﹣)图象上的点P向左平移s个单位,
得到P′(﹣s,)点,
若P′位于函数y=sin2x的图象上,
则sin(﹣2s)=cos2s=,
则2s=+2kπ,k∈Z,
则s=+kπ,k∈Z,
由s>0得:当k=0时,s的最小值为,
故选:A.
8.(5分)(2016•北京)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( )
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球
D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
解:取两个球共有4种情况:
①红+红,则乙盒中红球数加1个;
②黑+黑,则丙盒中黑球数加1个;
③红+黑(红球放入甲盒中),则乙盒中黑球数加1个;
④黑+红(黑球放入甲盒中),则丙盒中红球数加1个.
设一共有球2a个,则a个红球,a个黑球,甲中球的总个数为a,其中红球x个,黑球y个,x+y=a.
则乙中有x个球,其中k个红球,j个黑球,k+j=x;
丙中有y个球,其中l个红球,i个黑球,i+l=y;
黑球总数a=y+i+j,又x+y=a,故x=i+j
由于x=k+j,所以可得i=k,即乙中的红球等于丙中的黑球.
故选B.
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.
9.(5分)(2016•北京)设a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a= ﹣1 .
解:(1+i)(a+i)=a﹣1+(a+1)i,
若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,
则a+1=0,
解得:a=﹣1,
故答案为:﹣1
10.(5分)(2016•北京)在(1﹣2x)6的展开式中,x2的系数为 60 .(用数字作答)
解:(1﹣2x)6的展开式中,通项公式Tr+1=(﹣2x)r=(﹣2)rxr,
令r=2,则x2的系数==60.
故答案为:60.
11.(5分)(2016•北京)在极坐标系中,直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0与圆ρ=2cosθ交于A,B两点,则|AB|= 2 .
解:直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0化为y直线x﹣y﹣1=0.
圆ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ,∴x2+y2=2x,配方为(x﹣1)2+y2=1,可得圆心C(1,0),半径r=1.
则圆心C在直线上,∴|AB|=2.
故答案为:2.
12.(5分)(2016•北京)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6= 6 .
解:∵{an}为等差数列,Sn为其前n项和.
a1=6,a3+a5=0,
∴a1+2d+a1+4d=0,
∴12+6d=0,
解得d=﹣2,
∴S6==36﹣30=6.
故答案为:6.
13.(5分)(2016•北京)双曲线﹣=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a= 2 .
解:∵双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,
∴渐近线互相垂直,则双曲线为等轴双曲线,即渐近线方程为y=±x,
即a=b,
∵正方形OABC的边长为2,
∴OB=2,即c=2,
则a2+b2=c2=8,
即2a2=8,
则a2=4,a=2,
故答案为:2
14.(5分)(2016•北京)设函数f(x)=.
①若a=0,则f(x)的最大值为 2 ;
②若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是 (﹣∞,﹣1) .
解:①若a=0,则f(x)=,
则f′(x)=,
当x<﹣1时,f′(x)>0,此时函数为增函数,
当x>﹣1时,f′(x)<0,此时函数为减函数,
故当x=﹣1时,f(x)的最大值为2;
②f′(x)=,
令f′(x)=0,则x=±1,
若f(x)无最大值,则,或,
解得:a∈(﹣∞,﹣1).
故答案为:2,(﹣∞,﹣1)
三、解答题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(13分)(2016•北京)在△ABC中,a2+c2=b2+ac.
(Ⅰ)求∠B的大小;
(Ⅱ)求cosA+cosC的最大值.
解:(Ⅰ)∵在△ABC中,a2+c2=b2+ac.
∴a2+c2﹣b2=ac.
∴cosB===,
∴B=
(Ⅱ)由(I)得:C=﹣A,
∴cosA+cosC=cosA+cos(﹣A)
=cosA﹣cosA+sinA
=cosA+sinA
=sin(A+).
∵A∈(0,),
∴A+∈(,π),
故当A+=时,sin(A+)取最大值1,
即cosA+cosC的最大值为1.
16.(13分)(2016•北京)A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如表(单位:小时):
A班
6 6.5 7 7.5 8
B班
6 7 8 9 10 11 12
C班
3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5
(Ⅰ)试估计C班的学生人数;
(Ⅱ)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一个人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相对独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;
(Ⅲ)再从A,B,C三班中各随机抽取一名学生,他们该周锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时),这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1,表格中数据的平均数记为μ0,试判断μ0和μ1的大小.(结论不要求证明)
解:(I)由题意得:三个班共抽取20个学生,其中C班抽取8个,
故抽样比K==,
故C班有学生8÷=40人,
(Ⅱ)从从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一个人,
共有5×8=40种情况,
而且这些情况是等可能发生的,
当甲锻炼时间为6时,甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有2种情况;
当甲锻炼时间为6.5时,甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况;
当甲锻炼时间为7时,甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况;
当甲锻炼时间为7.5时,甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况;
当甲锻炼时间为8时,甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有4种情况;
故周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率P==;
(Ⅲ)μ0>μ1.
17.(14分)(2016•北京)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=.
(Ⅰ)求证:PD⊥平面PAB;
(Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;
(Ⅲ)在棱PA上是否存在点M,使得BM∥平面PCD?若存在,求的值,若不存在,说明理由.
(Ⅰ)证明:∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,
且AB⊥AD,AB⊂平面ABCD,
∴AB⊥平面PAD,
∵PD⊂平面PAD,
∴AB⊥PD,
又PD⊥PA,且PA∩AB=A,
∴PD⊥平面PAB;
(Ⅱ)解:取AD中点为O,连接CO,PO,
∵CD=AC=,
∴CO⊥AD,
又∵PA=PD,
∴PO⊥AD.
以O为坐标原点,建立空间直角坐标系如图:
则P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,﹣1,0),C(2,0,0),
则,,
设为平面PCD的法向量,
则由,得,则.
设PB与平面PCD的夹角为θ,则=;
(Ⅲ)解:假设存在M点使得BM∥平面PCD,设,M(0,y1,z1),
由(Ⅱ)知,A(0,1,0),P(0,0,1),,B(1,1,0),,
则有,可得M(0,1﹣λ,λ),
∴,
∵BM∥平面PCD,为平面PCD的法向量,
∴,即,解得.
综上,存在点M,即当时,M点即为所求.
18.(13分)(2016•北京)设函数f(x)=xea﹣x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e﹣1)x+4,
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间.
解:(Ⅰ)∵y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e﹣1)x+4,
∴当x=2时,y=2(e﹣1)+4=2e+2,即f(2)=2e+2,
同时f′(2)=e﹣1,
∵f(x)=xea﹣x+bx,
∴f′(x)=ea﹣x﹣xea﹣x+b,
则,
即a=2,b=e;
(Ⅱ)∵a=2,b=e;
∴f(x)=xe2﹣x+ex,
∴f′(x)=e2﹣x﹣xe2﹣x+e=(1﹣x)e2﹣x+e,
f″(x)=﹣e2﹣x﹣(1﹣x)e2﹣x=(x﹣2)e2﹣x,
由f″(x)>0得x>2,由f″(x)<0得x<2,
即当x=2时,f′(x)取得极小值f′(2)=(1﹣2)e2﹣2+e=e﹣1>0,
∴f′(x)>0恒成立,
即函数f(x)是增函数,
即f(x)的单调区间是(﹣∞,+∞).
19.(14分)(2016•北京)已知椭圆C:+=1(a>0,b>0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:|AN|•|BM|为定值.
解:(Ⅰ)由题意可得e==,
又△OAB的面积为1,可得ab=1,
且a2﹣b2=c2,
解得a=2,b=1,c=,
可得椭圆C的方程为+y2=1;
(Ⅱ)证法一:设椭圆上点P(x0,y0),
可得x02+4y02=4,
直线PA:y=(x﹣2),令x=0,可得y=﹣,
则|BM|=|1+|;
直线PB:y=x+1,令y=0,可得x=﹣,
则|AN|=|2+|.
可得|AN|•|BM|=|2+|•|1+|
=||=||
=||=4,
即有|AN|•|BM|为定值4.
证法二:设P(2cosθ,sinθ),(0≤θ<2π),
直线PA:y=(x﹣2),令x=0,可得y=﹣,
则|BM|=||;
直线PB:y=x+1,令y=0,可得x=﹣,
则|AN|=||.
即有|AN|•|BM|=||•||
=2||
=2||=4.
则|AN|•|BM|为定值4.
20.(13分)(2016•北京)设数列A:a1,a2,…,aN (N≥2).如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有ak<an,则称n是数列A的一个“G时刻”,记G(A)是数列A的所有“G时刻”组成的集合.
(Ⅰ)对数列A:﹣2,2,﹣1,1,3,写出G(A)的所有元素;
(Ⅱ)证明:若数列A中存在an使得an>a1,则G(A)≠∅;
(Ⅲ)证明:若数列A满足an﹣an﹣1≤1(n=2,3,…,N),则G(A)的元素个数不小于aN﹣a1.
解:(Ⅰ)根据题干可得,a1=﹣2,a2=2,a3=﹣1,a4=1,a5=3,a1<a2满足条件,2满足条件,a2>a3不满足条件,3不满足条件,
a2>a4不满足条件,4不满足条件,a1,a2,a3,a4,均小于a5,因此5满足条件,因此G(A)={2,5}.
(Ⅱ)因为存在an>a1,设数列A中第一个大于a1的项为ak,则ak>a1≥ai,其中2≤i≤k﹣1,所以k∈G(A),G(A)≠∅;
(Ⅲ)设A数列的所有“G时刻”为i1<i2<…<ik,
对于第一个“G时刻”i1,有>a1≥ai(i=2,3,…,i1﹣1),则
﹣a1≤﹣≤1.
对于第二个“G时刻”i1,有>≥ai(i=2,3,…,i1﹣1),则
﹣≤﹣≤1.
类似的﹣≤1,…,﹣≤1.
于是,k≥(﹣)+(﹣)+L+(﹣)+(﹣a1)=﹣a1.
对于aN,若N∈G(A),则=aN.
若N∉G(A),则aN≤,否则由(2)知,,L,aN,中存在“G时刻”与只有k个“G时刻”矛盾.
从而k≥﹣a1≥aN﹣a1.