成都理工大学附中2014高三数学一轮高考单元辅导与训练单元检测推理与证明 6页

成都理工大学附中2019高三数学一轮高考单元辅导与训练单元检测：推理与证明 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷(选择题　共60分)‎ 一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．求形如的函数的导数，我们常采用以下做法：先两边同取自然对数得：,再两边同时求导得，于是得到：，运用此方法求得函数的一个单调递增区间是( )‎ A．(e,4) B．(3,6) C．(0,e) D．(2,3)‎ ‎【答案】C ‎2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于( )‎ A． B． C． D． ‎【答案】B ‎3．下面叙述正确的是( )‎ A．综合法、分析法是直接证明的方法 B．综合法是直接证法、分析法是间接证法 C．综合法、分析法所用语气都是肯定的 D．综合法、分析法所用语气都是假定的 ‎【答案】A[来源:Zxxk.Com]‎ ‎4．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是( )‎ A．假设三内角都不大于60度 B．假设三内角都大于60度 C．假设三内角至多有一个大于60度 D．假设三内角至多有两个大于60度 ‎【答案】B ‎5．现有两个推理：①在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；‎ ‎②由“若数列为等差数列，则有成立”类比“若数列为等比数列，则有成立”，则得出的两个结论( )‎ A． 只有①正确 B． 只有②正确 C． 都正确 D． 都不正确 ‎【答案】C ‎6．我们常用以下方法求形如的函数的导数：先两边同取自然对数得：，再两边同时求导得到：‎ ‎，于是得到：，运用此方法求得函数的一个单调递增区间是( )‎ A．（，4） B．（3，6） C.（0，） D．（2，3）‎ ‎【答案】C ‎7．在等差数列中，若，公差，则有，类经上述性质，在等比数列中，若，则的一个不等关系是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】Ｂ ‎8．观察下列等式，，，根据上述规律，( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎9．“金导电、银导电、铜导电、铁导电，所以一切金属都导电”，此推理方法是( )‎ A．类比推理 B．归纳推理 C．演绎推理 D．分析法 ‎【答案】B ‎10．在等差数列中，若，公差，则有，类比上述性质，在等比数列中，若，公比，则，，，的一个不等关系是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎11．我们把1，4，9，16，25，…这些数称为正方形数，这是因为这些数目的点可以排成正方形，则第n个正方形数是( )‎ A．n(n－1) B．n(n+1) C．n2 D．(n+1)2‎ ‎【答案】C ‎12．设为正整数,,经计算得 观察上述结果,可推测出一般结论( )‎ A． B． C． D．以上都不对 ‎【答案】B 第Ⅱ卷(非选择题　共90分)‎ 二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．用半径相同的小球，堆在一起，成一个 “正三棱锥” 型，第一层 1 个 ，第二层 3 个，则第三层有____________个，第 n 层有____________个。（设 n > 1 ，小球不滚动）‎ ‎【答案】9，‎ ‎14．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是 由6颗珠宝（图中圆圈表示珠宝）构成如图1所示的正六边形，第三件首饰如图2，第四件 首饰如图3，第五件首饰如图4，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量 的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第7件首饰上应有____________颗珠宝。‎ ‎【答案】91‎ ‎15．设函数,定义，如下：当时，；‎ 当且时，．观察:‎ 根据以上事实，由归纳推理可得：‎ 当时， . ‎ ‎【答案】‎ ‎16．若等差数列的首项为,公差为，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，且通项为．类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列的首项为，公比为，前项的积为Tn，则 ．‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．已知：‎ 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明。‎ ‎【答案】一般性的命题为 证明：左边 ‎ 所以左边等于右边 ‎18．已知，且，. ‎ 求证：对于，有.‎ ‎【答案】，； ，；‎ ‎ 在上为增函数，在上为减函数，‎ ‎ 又 ，‎ ‎ 在R上为减函数，且 ，‎ 从而 ‎19．已知△ABC的三边长为a、b、c，若成等差数列.求证：B不可能是钝角.‎ ‎【答案】 (用反证法证明1)∵，，成等差数列，∴， ∴b2≤ac 即ac－b2≥0.‎ 假设B是钝角，则cosB<0，由余弦定理可得，[来源:学&科&网Z&X&X&K]‎ 这与cosB<0矛盾，故假设不成立.∴B不可能是钝角.[来源:Z,xx,k.Com]‎ ‎(用反证法证明2)∵，，成等差数列，∴，‎ 假设B是钝角，则，则B是△ABC的最大内角，所以b>a，b>c，‎ ‎(在三角形中，大角对大边)，从而，这与矛盾，‎ 故假设不成立，因此B不可能是钝角.‎ ‎(用综合法证明) ∵，，成等差数列，∴，‎ 证明：∵，，成等差数列，∴，即‎2ac=b(a+c)，‎ 由余弦定理和基本不等式可得，‎ ‎，∵a，b，c为△ABC三边，∴a+c>b，[来源:1ZXXK]‎ ‎∴，∴cosB>0，∴∠B<900，因此B不可能是钝角.‎ ‎20．如图，已知矩形所在平面，分别是的中点．‎ 求证：（1）平面；（2）．‎ ‎【答案】（1）取的中点，连结．‎ 分别为的中点．‎ 为的中位线，‎ ‎，，而为矩形，‎ ‎，且．‎ ‎，且．‎ 为平行四边形，，而平面，平面，‎ 平面．‎ ‎(2）矩形所在平面，‎ ‎，而，与是平面内的两条直交直线，‎ 平面，而平面，‎ 又，．‎ ‎21．设，（其中，且）．‎ ‎(1）请你推测能否用来表示；‎ ‎(2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．‎ ‎【答案】（1）由，‎ 又，‎ 因此．‎ ‎(2）由，即，‎ 于是推测．‎ 证明：因为，（大前提）．‎ 所以，，，（小前提及结论）‎ 所以．‎ ‎22．设函数中，均为整数，且均为奇数．求证：无整数根．‎ ‎【答案】假设有整数根，则； 因为 均为奇数，所以为奇数，为偶数，即 同时为奇数 或 为偶数为奇数， ‎ ‎(1）当为奇数时，为偶数；[来源:学_科_网]‎ ‎(2）当为偶数时，也为偶数，‎ 即为奇数与矛盾.‎ 所以假设不成立。 无整数根.‎