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- 2021-05-14 发布
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2012湖北高考
理科数学
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.方程的一个根是 ( )
A. B. C. D.
【测量目标】复数的一元二次方程求根.
【考查方式】给出一元二次方程,由求根公式求出它的根.
【难易程度】容易
【参考答案】A
【试题解析】根据复数求根公式:,所以方程的一个根为,答案为A.
2.命题“”的否定是 ( )
A. B.
C. D.
【测量目标】常用逻辑用语,含有一个量词的命题的否定.
【考查方式】给出了存在性命题,根据逻辑用语写出命题的否定.
【难易程度】容易
【参考答案】D
【试题解析】根据对命题的否定知,是把谓词取否定,然后把结论否定因此选D.
3.已知二次函数的图象如图所示,则它与轴所围图形的面积为 ( )
第4题图
A. B. C. D.
【测量目标】定积分的几何意义.
【考查方式】给出了二次函数的图象,求出函数解析式,由定积分的几何意义可求得面积.
【难易程度】容易
【参考答案】B
【试题解析】根据图像可得:,再由定积分的几何意义,可求得面积为
.
4.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( )
A. B. C. D.
第4题图
【测量目标】由三视图求几何体的体积.
【考查方式】给出了几何体的的三视图,确定其为圆柱,根据体积公式求出体积.
【难易程度】容易
【参考答案】B
【试题解析】显然有三视图我们易知原几何体为一个圆柱体的一部分,并且有正视图知是一个1/2的圆柱体,底面圆的半径为1,圆柱体的高为6,则知所求几何体体积为原体积的一半为.选B.
5.设,且,若能被13整除,则 ( )
A.0 B.1 C.11 D.12
【测量目标】二项式定理.
【考查方式】给出二项式,根据其展开式的系数求解.
【难易程度】中等
【参考答案】D
【试题解析】由于51=521,
又由于13|52,所以只需13|1+a,0a<13,所以a=12选D.
6.设是正数,且,,,
则 ( )
A. B. C. D.
【测量目标】不等式的基本性质.
【考查方式】给出含未知量的3个方程,根据柯西不等式的使用及其去等条件可得出答案.
【难易程度】中等
【参考答案】C
【试题解析】由于
等号成立当且仅当,则,
(步骤1)
所以由题知又(步骤2),
所以,答案选C.(步骤3)
7.定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列,仍是等比数列,则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数:
①; ②; ③; ④.
则其中是“保等比数列函数”的的序号为 ( )
A. ① ② B.③ ④ C.① ③ D.② ④
【测量目标】等比数列性质及函数计算.
【考查方式】给出了保等比数列的定义,判断所给4个函数是否为保等比数列.
【难易程度】中等
【参考答案】C
【试题解析】等比数列性质,,
① (步骤1)
(步骤2)
(步骤3)
选C.(步骤4)
8.如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB
内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 ( )
A. B.
C. D.
第8题
【测量目标】几何概型及平面图形面积公式.
【考查方式】给出扇形根据面积公式求出扇形面积以及阴影部分的面积,算出他们的比值即为概率.
【难易程度】中等
【参考答案】A
【试题解析】令,扇形OAB为对称图形,ACBD围成面积为,围成OC为,作对称轴OD,则过C点.即为以OA为直径的半圆面积减去三角形OAC的面积,
(步骤1) .在扇形OAD中为扇形面积减去三角形OAC面积和,,,扇形OAB面积,
选A.(步骤2)
第8题图
9.函数在区间上的零点个数为 ( )
A.4 B.5
C.6 D.7
【测量目标】三角函数的周期性以及函数零点的判断.
【考查方式】给出复合函数,根据函数周期性确定其在区间类的零点个数.
【难易程度】容易
【参考答案】C
【试题解析】,则或,又,
所以共有6个解.选C.
10.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积,求其直径
的一个近似公式. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据判断,下列近似公式中最精确的一个是 ( )
A. B. C. D.
【测量目标】球的体积公式以及估算.
【考查方式】根据球的体积估算圆周率.
【难易程度】中等
【参考答案】D
【试题解析】由,得,设选项中常数为,则(步骤1);A中代人得,B中代入得,C中代入得,D 中代人得由于D中值最接近的真实值,故选D.(步骤2)
二、填空题:本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.
(一)必考题(11—14题)
11.设的内角所对的边分别为 若,则角= .
【测量目标】余弦定理,解三角形.
【考查方式】给出三角形的各边关系,利用余弦定理求出角C.
【难易程度】容易
【参考答案】
【试题解析】由,得根据余弦定理
故.
12.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 .
第12题图
【测量目标】循环结构的程序框图.
【考查方式】给出程序框图,通过输入、赋值、输出语句,得出满足条件的s.
【难易程度】容易
【参考答案】9
【试题解析】程序在运行过程中各变量的值如下表示:
第一圈循环:当n=1时,得s=1,a=3.(步骤1)
第二圈循环: 当n=2时,得s=4,a=5 (步骤2)
第三圈循环:当n=3时,得s=9,a=7 (步骤3)
此时n=3,不再循环,所以解s=9 . (步骤4)
13.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,…,99.3位回文数有90个:101,111,121,…,191,202,…,999.则
(Ⅰ)4位回文数有 个;
(Ⅱ)位回文数有 个.
【测量目标】排列、组合及其应用.
【考查方式】根据回文数的定义求出4位回文数以及回文数的个数.
【难易程度】较难
【参考答案】(I)90;(II)
【试题解析】(Ⅰ)4位回文数只用排列前面两位数字,后面数字就可以确定,但是第一位不能为0,有9(1~9)种情况,第二位有10(0~9)种情况,所以4位回文数有种,答案:90.
(Ⅱ)法一、由上面多组数据研究发现,2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同,所以可以算出2n+2位回文数的个数.2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况,第一位不能为0有9种情况,后面n项每项有10种情况,所以个数为.
法二、可以看出2位数有9个回文数,3位数90个回文数.计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,……99”,因此四位数的回文数有90个,按此规律推导,而当奇数位时,可以看成在偶数位的最中间添加0~9这十个数,因,则答案为.
14.如图,双曲线的两顶点为虚轴两端点为两焦点为. 若以为直径的圆内切于菱形,切点分别为. 则
第14题图
(Ⅰ)双曲线的离心率 ;
(Ⅱ)菱形的面积与矩形的面积的比值 .
【测量目标】双曲线的标准方程、定义、离心率,以及一般平面几何图形的面积计算.
【考查方式】给出了双曲线和平面几何图形的位置关系求出离心率,根据面积公式求出面积比.
【难易程度】较难
【参考答案】(I),(II)
【试题解析】(Ⅰ)由于以为直径的圆内切于菱形,因此点到直线的距离为,又由于虚轴两端点为,因此的长为,那么在中,由三角形的面积公式知,(步骤1),又由双曲线中存在关系联立可得出,根据解出.(步骤2)
(II)菱形的面积,设矩形,,
∴(步骤3),∵,∴(步骤4)
∴面积,∴(步骤5)
∵∴(步骤6).
(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑. 如果全选,则按第15题作答结果计分.)
15.(选修4-1:几何证明选讲)
如图,点D在的弦AB上移动,,连接OD,过点D
作的垂线交于点C,则CD的最大值为 .
第15题图
【测量目标】直线与圆的位置关系.
【考查方式】根据直线与圆的位置关系,判断点D的位置从而求出线段最大值.
【难易程度】容易
【参考答案】2
【试题解析】(由于,因此,线段OC长为定值,
即需求解线段OD长度的最小值,根据弦中点到圆心的距离最短,此时D为AB的中点,点C与点B重合,因此
16.(选修4-4:坐标系与参数方程)
在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴
建立极坐标系. 已知射线与曲线(t为参数)
相交于A,B两点,则线段AB的中点的直角坐标为 .
【测量目标】平面直角坐标与极坐标系下的曲线方程交点.
【考查方式】给出了两曲线的极坐标方程,将它们化为一般方程并求出交点.
【难易程度】中等
【参考答案】
【试题解析】
在直角坐标系下的一般方程为,将参数方程(t为参数)转化为直角坐标系下的一般方程为表示一条抛物线(步
骤1),联立上面两个方程消去有,设两点及其中点的横坐标分别为(步骤2),则有韦达定理,又由于点点在直线上,因此的中点.(步骤3)
三、解答题:本大题共6小题,共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知向量,,设函数的图象关于直线对称,其中,为常数,且.
(Ⅰ)求函数的最小正周期;
(Ⅱ)若的图象经过点,求函数在区间上的取值范围.
【测量目标】平面向量的数量积运算,三角函数的变换及化简.
【考查方式】求出函数解析式,根据三角变换求得最小正周期和在特定区间类函数的取值范围.
【难易程度】容易
【试题解析】(I)因为
(步骤1).由直线是图象的一条对称轴,可,所以,即又所以k=1,故,所以的最小正周期为.
(步骤2)
(II)由的图象过点,得,(步骤3)
即即.
故(步骤4)
由有
所以,得
故函数在上的取值范围为.(步骤5)
18.(本小题满分12分)
已知等差数列前三项的和为,前三项的积为.
(Ⅰ)求等差数列的通项公式;
(Ⅱ)若,,成等比数列,求数列的前项和.
【测量目标】等差数列的通项,前n项和.
【考查方式】由等差数列的前三项和以及积的大小求出通项,由前三项成等比关系求出新数列的前n和.
【难易程度】容易
【试题解析】(I)设等差数列的公差为d,则,.
有题意得解得或(步骤1)
所以由等差数列通项公式可得
或
故或(步骤2)
(II)当时,分别为,不成等比数列.
当时,分别为成等比数列,满足条件.
故(步骤3)
记数列的前n项和为.
当n=1时,当n=2时,
当n,
=当时,
综上,.(步骤4)
19.(本小题满分12分)
如图1,,,过动点A作,垂足D在线段BC上且异于点B,连接AB,沿将△折起,使(如图2所示).
(Ⅰ)当的长为多少时,三棱锥的体积最大;
(Ⅱ)当三棱锥的体积最大时,设点,分别为棱,的中点,试在
棱上确定一点,使得,并求与平面所成角的大小.
图1 图2
第19题图
【测量目标】三棱锥的体积公式,均值不等式求最值,利用导数求函数的最值,空间直角坐标系的建立,平行与垂直关系的综合应用.
【考查方式】给出了空间几何体的边、角等,通过均值不等式或者导数求出体积的最大值,利用空间向量或者垂直与平行关系求得线面角的大小.
【难易程度】中等
【试题解析】(I)解法1:在如图1所示的△ABC中,设BD=x,则.
由知,△ADC为等腰直角三角形,所以AD=CD=3.(步骤1)由折起前平面BCD.又,所以于是
当且仅当即当x=1时,等号成立,
故当x=1,即BD=1时,三棱锥的体积最大.(步骤2)
解法2:
同解法1,得(步骤1)
令由,解得x=1.
当时,当时,.
所以当x=1,取1得最大值.
故当BD=1时,三棱锥的体积最大.(步骤2)
(II)解法1:以D为原点,建立如图a所示的空间直角坐标系.
由(I)知,当三棱锥的体积最大时,.
于是可得
且(步骤3)
设.因为等价于,即
,故(步骤4)
所以当DN=(即N是CD的靠近点D的一个四等分点)时,.
设平面的一个法向量为由,及
得可取.(步骤5)
即EN与平面BMN所成角的大小.(步骤6)
第19题图a
解法2:由(I)知,当三棱锥的体积最大时,(步骤3)
如图b,取CD的中点F,连接,EF,则AD.
由(I)知平面BCD,所以MF平面BCD.(步骤4)
如图c,延长FE至P点使得FP=DB,连接BP,DP,则四边形DBPF为正方形,
所以取DF得中点N,连接EN,又E为FP的中点,则DP,
所以因为平面BCD,又EN面BCD,所以.
又因为面BMF,所以ENBM..
因为当且仅当而点F是唯一的,所以点N是唯一的.
即当(即N是CD的靠近点D的一个四等分点),.
连接MN,ME,由计算得NB=NM=EB=EM=,
所以△NMB与△EMB是两个共底边的全等的等腰三角形,(步骤5)
如图在平面EGN中,过点E作EH于H,
则EH平面BMN.故是EN与平面BMN所成的角.
在△EGN中,易得EG=GN=NE=,所以△EGN是正三角形,
故即EN与平面BMN所成角的大小为.(步骤6)
图b
图c 图d
第19题图
20.(本小题满分12分)
根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:
降水量X
工期延误天数Y
0
2
6
10
历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9. 求:
(Ⅰ)工期延误天数的均值与方差;
(Ⅱ)在降水量X至少是的条件下,工期延误不超过6天的概率.
【测量目标】概率的加法公式与方差,条件概率.
【考查方式】给出了降水量与工期延误的关系,根据概率的加法公式以及方差公式求出延误天数的均值与方差、条件概率.
【难易程度】中等
【试题解析】(I)由已知条件和概率的加法公式有:
(步骤1)
所以Y的分布列为:
0
2
6
10
0.3
0.4
0.2
0.1
于是,
故工期延误天数Y的均值为3,方差9.8.(步骤2)
(II)由概率的加法公式,
又.
由条件概率,得
.
故在降水量X至少是300mm的条件下,工期延误不超过6天的概率是.(步骤3)
21.(本小题满分13分)
设是单位圆上的任意一点,l是过点A与x轴垂直的直线,D是直线l与x 轴的交点,点M在直线l上,且满足. 当点在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;
(Ⅱ)过原点且斜率为的直线交曲线C于P,Q两点,其中P在第一象限,它在y轴上的射影为点N,直线QN交曲线C于另一点H. 是否存在m,使得对任意的
k>0,都有?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
【测量目标】双曲线的标准方程,直线的方程,直线与双曲线的位置关系,双曲线中的定点问题.
【考查方式】给出了圆的方程以及直线与圆的位置关系,从而判断轨迹为何种曲线,根据直线与方程的联立求出满足条件的点.
【难易程度】较难
【试题解析】(I)如图1,设则由
可得所以 ①
因为A点在单位圆上运动,所以 ②
将①式代入②式即得所求曲线C的方程为,(步骤1)
因为所以
当0<m<1时,曲线C是焦点在x轴上的椭圆,
两焦点坐标分别为;(步骤2)
当m>1时,曲线C是焦点在y轴上的椭圆,
两焦点坐标分别为.(步骤3)
(II)解法1:如图2、3设则
直线QN的方程为,将其代入椭圆C的方程并整理可得
依题意可知此方程的两根为于是由韦达定理可得
,即(步骤4)
因为点H在直线QN上,所以
于是.
而等价于=
即,又m>0,得,
故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有.(步骤5)
第21题图1
解法2:如图2、3,,设则
因为P,H两点在椭圆C上,所以,两式相减可得
(步骤3)
依题意,由点P在第一象限可知,点H也在第一象限,且P,H不重合,
故,于是由③式可得
.(步骤4)
又Q,N,H三点共线,所以,即
于是由④式可得(步骤5)
而等价于=,即=,又m>0,得m=.
故存在m=,使得在其对应的椭圆上,对任意的k>0,都有.
(步骤6)
图2 图3
(0<m<1) (m>1)
第21题图
22.(本小题满分14分)
(Ⅰ)已知函数其中r为有理数,且. 求的
最小值;
(Ⅱ)试用(Ⅰ)的结果证明如下命题:
设,为正有理数. 若,则
(Ⅲ)请将(Ⅱ)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.
注:当为正有理数时,有求导公式.
【测量目标】利用导数求函数的单调区间及最值、解不等式问题,数学归纳法.
【考查方式】给出函数解析式,求其导数从而求出函数的最值.给出了参数的范围,利用问题(I)的结论以及导数解决不等式的证明.在利用(II)的命题根据数学归纳法得到命题的一般形式进行推广.
【难易程度】较难
【试题解析】(I)令,解得x=1.
当0<x<1时,所以f(x)在(0,1)内是减函数;
当x>1时,>0,所以f(x)在(0,1)内是增函数.
故函数在x=1处取得最小值(步骤1)
(II)由(I)知,当时,有,即
若中有一个不为0,则成立(步骤2);
若均不为0,又,可得,于是
在①中令可得
即,亦即.(步骤3)
综上,对为正有理数且,总有.②
(步骤3)
(III) (II)中命题的推广形式为:
设为非负实数,为正有理数.
若则.(步骤4)③
用数学归纳法证明如下:
(1)当时,有③成立.(步骤5)
(2)假设当时③成立,即若,非负实数,,为正有理数.且
则.
当时,已知,非负实数,,为正有理数
且此时,即,(步骤6)于是
,由归纳假设可得
从而(步骤7)
又因由②得
=+,
从而.(步骤7)
故当时,③成立.
由(1)(2)可知,对一切正整数,所推广的命题成立.
说明:(III)中如果推广形式中指出③式对成立,则后续证明不需要讨论的情况(步骤8)