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  • 2021-05-14 发布

2015高考数学人教A版本(12-1几何证明选讲)一轮复习学案

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‎【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 12-1几何证明选讲课后强化作业 新人教A版 基础巩固强化 一、选择题 ‎1.如图,CD是圆O的切线,切点为C,点A、B在圆O上,BC=1,∠BCD=30°,则圆O的面积为(  )‎ A.     B.π    ‎ C.     D.2π ‎[答案] B ‎[解析] ∠A=∠BCD=30°,由=2R,得R=1,所以圆O的面积为πR2=π.‎ ‎2.(文)如图,在△ABC中,∠A=90°,正方形DEFG的边长是‎6cm,且四个顶点都在△ABC的各边上,CE=‎3 cm,则BC的长为(  )‎ A.‎12cm    B.‎21cm    ‎ C.‎18cm    D.‎‎15cm ‎[答案] B ‎[解析] ∵四边形DEFG是正方形,∴∠GDB=∠FEC=90°,GD=DE=EF=‎6 cm,又∵∠B+∠C=90°,∠B+∠BGD=90°,∴∠C=∠BGD,∴△BGD△FCE,‎ ‎∴=,即BD==‎12cm,‎ ‎∴BC=BD+DE+EC=‎21cm.‎ ‎ (理)如图所示,矩形ABCD中,AB=12,AD=10,将此矩形折叠使点B落在AD边的中点E处,则折痕FG的长为(  )‎ A.13 B. C. D. ‎[答案] C ‎[解析] 过点A作AH∥FG交DG于H,则四边形AFGH为平行四边形.∴AH=FG.‎ ‎∵折叠后B点与E点重合,折痕为FG,‎ ‎∴B与E关于FG对称.‎ ‎∴BE⊥FG,∴BE⊥AH.‎ ‎∴∠ABE=∠DAH,‎ ‎∴Rt△ABERt△DAH.‎ ‎∴=.‎ ‎∵AB=12,AD=10,AE=AD=5,‎ ‎∴BE==13,‎ ‎∴FG=AH==.‎ ‎3.(文)如图,四边形ABCD中,DF⊥AB,垂足为F,DF=3,AF=2FB=2,延长FB到E,使BE=FB,连接BD,EC.若BD∥EC,则四边形ABCD的面积为(  )‎ A.4 B.5 ‎ C.6 D.7‎ ‎[答案] C ‎[解析] 由条件知AF=2,BF=BE=1,‎ ‎∴S△ADE=AE×DF=×4×3=6,‎ ‎∵CE∥DB,∴S△DBC=S△DBE,∴S四边形ABCD=S△ADE=6.‎ ‎(理)已知矩形ABCD,R、P分别在边CD、BC上,E、F分别为AP、PR的中点,当P在BC上由B向C运动时,点R在CD上固定不变,设BP=x,EF=y,那么下列结论中正确的是(  )‎ A.y是x的增函数 B.y是x的减函数 C.y随x的增大先增大再减小 D.无论x怎样变化,y为常数 ‎[答案] D ‎[解析] ∵E、F分别为AP、PR中点,∴EF是△PAR的中位线,∴EF=AR,∵R固定,∴AR是常数,即y为常数.‎ 二、填空题 ‎4.(文)(2013·广东)如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使BC=CD,过C作圆O的切线交AD于E.若AB=6,ED=2,则BC=________.‎ ‎[答案] 2 ‎[解析] 连接OC,则OC⊥CE,∠OCA+∠ACE=90°,‎ ‎∵∠OAC=∠OCA,∴∠OAC+∠ACE=90°.易知Rt△ACB≌Rt△ACD,则∠OAC=∠EAC.∴∠EAC+∠ACE=90°,∴∠AEC=90°,在Rt△ACD中,由射影定理得:CD2=ED·AD ①,又CD=BC,AD=AB,将AB=6,ED=2代入①式,得CD==2,∴BC=2.‎ ‎(理)如图所示,在矩形ABCD中,AE⊥BD于E,S矩形=‎40cm2,S△ABES△DBA=15,则AE的长为________.‎ ‎[答案] ‎‎4cm ‎[解析] ∵∠BAD=90°,AE⊥BD,∴△ABE△DBA,‎ ‎∴S△ABES△DBA=AB2DB2.‎ ‎∵S△ABES△DBA=15,∴AB2DB2=15,‎ ‎∴ABDB=1.‎ 设AB=k,则DB=k,AD=2k,‎ ‎∵S矩形=‎40cm2,∴k·2k=40,∴k=2,‎ ‎∴BD=k=10,AD=4,S△ABD=BD·AE=20,‎ ‎∴×10×AE=20,∴AE=‎4cm.‎ ‎5.(文)‎ 如图,割线PBC经过圆心O,OB=PB=1,OB绕点O逆时针旋转120°到OD,连PD交圆O于点E,则PE=________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] ∵∠POD=120°,OD=OB=1,PO=2,‎ ‎∴PD==,‎ 由相交弦定理得,PE·PD=PB·PC,‎ ‎∴PE===.‎ ‎(理)(2013·广州调研)如图,已知AB是⊙O的一条弦,点P为AB上一点,PC⊥OP,PC交⊙O于点C,若AP=4,PB=2,则PC的长是________.‎ ‎[答案] 2 ‎[解析] 如图,延长CP交⊙O于点D,因为PC⊥OP,所以P是弦CD的中点,由相交弦定理知PA·PB=PC2,即PC2=8,故PC=2.‎ ‎6.(文)(2013·广东梅州联考)如图,PAB、PCD为⊙O的两条割线,若PA=5,AB=7,CD=11,AC=2,则BD等于________.‎ ‎[答案] 6‎ ‎[解析] 设PC=x,则PD=PC+CD=x+11,‎ 由割线定理知PC·PD=PA·PB,‎ ‎∴x(x+11)=5×(5+7)=60,‎ ‎∵x>0,∴x=4.∴PC=4,PD=15.‎ ‎∵∠PAC=∠PDB,∠P为公共角,‎ ‎∴△PAC∽△PDB,∴=,‎ ‎∴BD===6.‎ ‎(理)‎ ‎(2012·天津十二校联考)如图所示,EA是圆O的切线,割线EB交圆O于点C,C在直径AB上的射影为D,CD=2,BD=4,则EA=________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 解法1:根据题意可得BC2=CD2+BD2=22+42=20,即BC=2.由射影定理得BC2=AB·BD,即20=4AB,解得AB=5,所以AC==,设EA=x,EC=y,根据切割线定理可得x2=y(y+2),即x2=y2+2y,在Rt△ACE中,x2=y2+()2,故2y=5,解得y=,故x2=+5=,得x=,即EA=.‎ 解法2:连AC,∵AB为直径,∴∠ACB=90°,CD⊥AB,CD=2,BD=4,∴AD= ‎=1,‎ 又EA切⊙O于A,∴∠EAB=90°,‎ ‎∴△EAB△CDB,∴=,∴AE==.‎ ‎7.(文)(2013·惠州三调)如图,PA切圆O于点A,割线PBC经过圆心O,OB=PB=1,OA绕点O逆时针旋转60°到OD,则PD的长为________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 由图可知,PA2=PB·PC=PB·(PB+BC)=3,∴PA=,∴∠AOP=60°,‎ 又∠AOD=60°,∴∠POD=120°,∵PO=2,OD=1,‎ ‎∴cos∠POD==-,∴PD=.‎ ‎(理)(2013·天津)如图,在圆内接梯形ABCD中,AB∥DC,过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E,若AB=AD=5,BE=4,则弦BD的长为________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 因为AE是圆的切线,又AD=AB,AB∥DC,所以∠BAE=∠ADB=∠ABD=∠BDC,所以AD=AB=BC=5.由切割线定理可得EA2=EB×EC=4×(5+4)=36,所以EA=6.又△BCD∽△EBA,所以=,则BD===.‎ ‎8.‎ 如图,在圆的内接四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠ABD=30°,∠BDC=45°,AD=1,则BC=________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 连接AC.因为∠ABC=90°,所以AC为圆的直径.又∠ACD=∠ABD=30°,所以AC=2AD=2.又∠BAC=∠BDC=45°,故BC=.‎ ‎9.(文)(2013·佛山二模)如图,PA与圆O相切于点A,PCB为圆O的割线,并且不过圆心,已知∠BPA=30°,PA=2,PC=1,则圆O的半径等于________.‎ ‎[答案] 7‎ ‎[解析] ‎ 由已知可得,PA2=PC·PB,∴PB=12,‎ 如图,连接OA并反向延长,交圆于点E,交BC于D,因为∠BPA=30°,在Rt△APD中可以求得PD=4,DA=2,故CD=3,DB=8,记圆的半径为R,由于ED·DA=CD·DB,因此,(2R-2)×2=3×8,解得R=7.‎ ‎(理)(2013·湖北)如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D,点D在半径OC上的射影为E,若AB=3AD,则的值为________.‎ ‎[答案] 8‎ ‎[解析] 连接AC、BC,则AC⊥BC.‎ ‎∵AB=3AD,∴AD=AB,BD=AB,OD=AB.‎ 又AB是圆O的直径,OC是圆O的半径,∴OC=AB.‎ 在△ABC中,根据射影定理有:CD2=AD·BD=AB2.‎ 在△OCD中,根据射影定理有:OD2=OE·OC,CD2=CE·OC,可得OE=AB,CE=AB,∴=8.‎ 三、解答题 ‎10.(文)(2012·哈三中模拟)如图,⊙O是△ABC的外接圆,过⊙O上一点H作⊙O的切线,BC与这条线切线平行,AC、AB的延长线交这条切线于点E、F,连接AH、CH.‎ ‎(1)求证:AH平分∠EAF;‎ ‎(2)若CH=4,∠CAB=60°,求圆弧的长.‎ ‎[解析] (1)证明:连接OH,则OH⊥EF.‎ ‎∵EF∥BC,∴OH⊥BC,∴H为弧BC的中点,‎ ‎∴∠EAH=∠FAH,∴AH平分∠EAF.‎ ‎(2)连接CO、BO,∵∠CAB=60°,∴∠COB=120°,‎ ‎∴∠COH=60°,∴△COH为等边三角形,‎ ‎∴CO=CH=4,‎ 又∵∠BOC=120°,∴的长为.‎ ‎(理)(2013·长春第二次调研)如图,过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B,C两点,且AB=AC,作直线AF与圆E相切于点F,连接EF交BC于点D,已知圆E的半径为2,∠EBC=30°.‎ ‎(1)求AF的长;‎ ‎(2)求证:AD=3ED.‎ ‎[解析] (1)延长BE交圆E于点M,连接CM,则∠BCM=90°,又BM=2BE=4,∠EBC=30°,所以BC=2.‎ 又AB=AC,则AB=BC=,‎ 所以根据切割线定理得,AF2=AB·AC=×3=9,即AF=3.‎ ‎(2)过点E作EH⊥BC于点H,则EH==1,且△EDH与△ADF相似,‎ 从而有==,因此AD=3ED.‎ 能力拓展提升 一、填空题 ‎11.(文)‎ ‎(2013·广州联考)如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆上,CD⊥AB于D,且AD=5DB,设∠OCD=θ,则cos2θ=________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 设BD=1,则AD=5,∴OC=AB=(AD+DB)=3,∴OD=OB-BD=2,∴sinθ==,‎ ‎∴cos2θ=1-2sin2θ=1-2×()2=.‎ ‎(理)‎ 如图所示,已知圆O直径为,AB是圆O的直径,C为圆O上一点,且BC=,过点B的圆O的切线交AC延长线于点D,则DA=________.‎ ‎[答案] 3‎ ‎[解析] ∵AB为直径,‎ ‎∴∠ACB为直角,‎ ‎∵BC=,AB=,∴AC=2,‎ ‎∵DB与⊙O相切,∴∠DBA为直角,‎ 由射影定理BC2=AC·CD,∴CD=1,∴AD=3.‎ ‎12.(文)‎ ‎(2013·湖南)如图,在半径为的⊙O中,弦AB、CD相交于点P,PA=PB=2,PD=1,则圆心O到弦CD的距离为________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 由相交弦定理得AP·PB=DP·PC,从而PC==4,所以DC=5,所以圆心O到弦CD的距离等于=.‎ ‎(理)(2012·天津,13)如图,已知AB和AC是圆的两条弦,过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点F,AF=3,FB=1,EF=,则线段CD的长为________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 如图,由相交弦定理得AF·FB=EF·FC,‎ ‎∴FC==2,‎ ‎∵FC∥BD,∴=,BD==.‎ 又由切割线定理知BD2=DC·DA,‎ 又由DA=4CD知4DC2=BD2=,∴DC=.‎ 明确相交弦定理、切割弦定理等是解题的关键.‎ ‎13.(文)(2012·湖北理,15)如下图,点D在⊙O的弦AB上移动,AB=4,连接OD,过点D作OD的垂线交⊙O于点C,则CD的最大值为________.‎ ‎[答案] 2‎ ‎[解析] 解法1:∵CD⊥OD,∴OC2=OD2+CD2,当OD最小时,CD最大,而OE最小(E为AB的中点),‎ ‎∴CDmax=EB=2.‎ 解法2:由题意知,CD2=AD·DB≤()2==4.(当且仅当AD=DB时取等号).‎ ‎∴CDmax=2.‎ ‎(理)‎ ‎(2012·广州测试)如图,AB是圆O的直径,延长AB至C,使BC=2OB,CD是圆O的切线,切点为D,连接AD、BD,则的值为________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 连接OD,则OD⊥CD.设圆O的半径为r,则OA=OB=OD=r,BC=2r.所以OC=3r,CD==2r.‎ 由弦切角定理得,∠CDB=∠CAD,‎ 又∠DCB=∠ACD,所以△CDB△CAD.‎ 所以===.‎ 二、解答题 ‎14.(文)(2012·昆明一中测试)如图,已知A、B、C、D四点共圆,延长AD和BC相交于点E,AB=AC.‎ ‎(1)证明:AB2=AD·AE;‎ ‎(2)若EG平分∠AEB,且与AB、CD分别相交于点G、F,证明:∠CFG=∠BGF.‎ ‎[证明] (1)如图,连接BD.‎ 因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB=∠ADB.‎ 又因为∠BAD=∠EAB,所以△ABD△AEB,‎ 所以=,即AB2=AD·AE.‎ ‎(2)因为A、B、C、D四点共圆,所以∠ABC=∠EDF.‎ 又因为∠DEF=∠BEG,所以∠DFE=∠BGF.‎ 又因为∠DFE=∠CFG,所以∠CFG=∠BGF.‎ ‎(理)(2013·石家庄模拟)如图,过圆O外一点P作该圆的两条割线PAB和PCD ‎,分别交圆O于点A、B,C、D,弦AD和BC交于点Q,割线PEF经过点Q交圆O于点E、F,点M在EF上,且∠BAD=∠BMF.‎ ‎(1)求证:PA·PB=PM·PQ;‎ ‎(2)求证:∠BMD=∠BOD.‎ ‎[证明] (1)∵∠BAD=∠BMF,‎ ‎∴A、Q、M、B四点共圆,∴PA·PB=PM·PQ.‎ ‎(2)∵PA·PB=PC·PD,∴PC·PD=PM·PQ,‎ 又∠CPQ=∠MPD,∴△CPQ∽△MPD,‎ ‎∴∠PCQ=∠PMD,则∠BCD=∠DMF,‎ ‎∵∠BAD=∠BCD,‎ ‎∴∠BMD=∠BMF+∠DMF=2∠BAD,‎ 又∠BOD=2∠BAD,∴∠BMD=∠BOD.‎ ‎15.(文)(2013·黑龙江哈尔滨六校联考)如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,且AB是⊙O的直径,过点D的⊙O的切线与BA的延长线交于点M.‎ ‎(1)若MD=6,MB=12,求AB的长;‎ ‎(2)若AM=AD,求∠DCB的大小.‎ ‎[解析] (1)因为MD为⊙O的切线,由切割线定理知,‎ MD2=MA·MB.‎ 又MD=6,MB=12,MB=MA+AB,‎ 所以MA=3,AB=12-3=9.‎ ‎(2)因为AM=AD,所以∠AMD=∠ADM,连接DB,‎ 又MD为⊙O的切线,‎ 由弦切角定理知,∠ADM=∠ABD,‎ 又因为AB是⊙O的直径,所以∠ADB为直角,‎ 即∠BAD=90°-∠ABD.‎ 又∠BAD=∠AMD+∠ADM=2∠ABD,‎ 于是90°-∠ABD=2∠ABD,所以∠ABD=30°.‎ 所以∠BAD=60°.‎ 又四边形ABCD是圆内接四边形,‎ 所以∠BAD+∠DCB=180°.‎ 所以∠DCB=120°.‎ ‎(理)(2012·河南商丘模拟)如图,在△ABC和△ACD中,∠ACB=∠ADC=90°,∠BAC=∠CAD,⊙O是以AB为直径的圆,DC的延长线与AB的延长线交于点E.‎ ‎(1)求证:DC是⊙O的切线;‎ ‎(2)若EB=6,EC=6,求BC的长.‎ ‎[解析] (1)∵AB是⊙O的直径,∠ACB=90°,‎ ‎∴点C在⊙O上,‎ 连接OC,可得∠OCA=∠OAC=∠DAC,∴OC∥AD,‎ 又∵AD⊥DC,∴DC⊥OC,‎ ‎∵OC为半径,‎ ‎∴DC是⊙O的切线.‎ ‎(2)∵DC是⊙O的切线,‎ ‎∴EC2=EB·EA.‎ 又∵EB=6,EC=6,‎ ‎∴EA=12,AB=6.‎ ‎∵∠ECB=∠EAC,∠CEB=∠AEC,‎ ‎∴△ECB△EAC,‎ ‎∴==,∴AC=BC.‎ ‎∵AC2+BC2=AB2=36,∴BC=2.‎ 考纲要求 ‎1.了解平行截割定理.理解相似三角形的定义与性质.‎ ‎2.会证明并应用直角三角形射影定理.‎ ‎3.会证明并应用圆周角定理、圆的切线判定定理与性质定理.‎ ‎4.会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.‎ 补充说明 ‎1.与平行线分线段成比例定理有关的推论与结论 ‎(1)经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.‎ ‎(2)经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰.‎ ‎(3)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.‎ ‎(4)两条直线被三个平行平面所截得对应线段成比例.‎ ‎2.相似三角形 ‎(1)定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形,相似三角形对应边的比值叫做相似比.‎ ‎(2)预备定理:平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.‎ ‎(3)引理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.‎ ‎(4)直角三角形相似的判定 ‎①有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似.‎ ‎②两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.‎ ‎③斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.‎ ‎(5)有关结论:相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方;内切圆的直径比,周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.‎ 备选习题 ‎1.函数f(x)=(x-2010)(x+2011)的图象与x轴、y轴有三个交点,有一个圆恰好通过这三个点,则此圆与坐标轴的另一个交点是________.‎ ‎[答案] (0,1)‎ ‎[解析] f(x)的图象与x轴交于点A(-2011,0),B(2010,0),与y轴交于点C(0,-2010×2011),设经过A、B、C三点的圆与y轴另一个交点为D(0,y0),易知原点O在圆的内部,y0>0,由相交弦定理知,|OA|·|OB|=|OC|·|OD|,∴2011×2010=2010×2011y0,∴y0=1.‎ ‎2.‎ ‎(2013·北京西城模拟)如图,正△ABC的边长为2,点M、N分别是边AB、AC的中点,直线MN与△ABC的外接圆的交点为P、Q,则线段PM=________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 设PM=x,则QN=x,由相交弦定理可得PM·MQ=BM·MA即x·(x+1)=1,解得x=.‎ ‎3.如图,EB、EC是⊙O的两条切线,B、C是切点,A、D是⊙O上两点,如果∠E=46°,∠DCF=32°,则∠A的度数是________.‎ ‎[答案] 99°‎ ‎[解析] 连接OB、OC、AC,根据弦切角定理得,‎ ‎∠EBC=∠BAC,∠CAD=∠DCF,‎ 可得∠A=∠BAC+∠CAD=(180°-∠E)+∠DCF=67°+32°=99°.‎ ‎[点评] 可由EB=EC及∠E求得∠ECB,由∠ECB和∠DCF求得∠BCD,由圆内接四边形对角互补求得∠A.‎ ‎4.如图,圆O的直径AB=8,C为圆周上一点,BC=4,过C作圆的切线l,过A作直线l的垂线AD,D为垂足,AD与圆O交于点E,求线段AE的长.‎ ‎[解析] ‎ 连接OC、BE、AC,则BE⊥AE.‎ ‎∵BC=4,∴OB=OC=BC=4,即△OBC为正三角形,‎ ‎∴∠CBO=∠COB=60°,‎ 又直线l切⊙O于C,‎ ‎∴∠DCA=∠CBO=60°,‎ ‎∵AD⊥l,∴∠DAC=90°-60°=30°,‎ 而∠OAC=∠ACO=∠COB=30°,∴∠EAB=60°,‎ 在Rt△BAE中,∠EBA=30°,∴AE=AB=4.‎ ‎5.(2013·银川模拟)如图,△ABO三边上的点C、D、E都在⊙O上,已知AB∥DE,AC=CB.‎ ‎(1)求证:直线AB是⊙O的切线;‎ ‎(2)若AD=2,且tan∠ACD=,求⊙O的半径r的长.‎ ‎[解析] (1)∵AB∥DE,∴=,‎ 又OD=OE,∴OA=OB.‎ 如图,连接OC,∵AC=CB,∴OC⊥AB.‎ 又点C在⊙O上,∴直线AB是⊙O的切线.‎ ‎(2)如图,延长DO交⊙O于点F,连接FC.‎ 由(1)知AB是⊙O的切线,‎ ‎∴弦切角∠ACD=∠F,‎ ‎∴△ACD∽△AFC.‎ ‎∴tan∠ACD=tan∠F=,又∠DCF=90°,∴=.‎ ‎∴==,而AD=2,得AC=4.‎ 又AC2=AD·AF,‎ ‎∴2·(2+2r)=42,于是r=3.‎