2008高考数学文科试题及答案广东卷 36页

‎ 2008年全国高考数学试题（文科）广东卷 一．选择题：共10个小题，每小题5分，满分50分，每小题只有一个答案是符合要求的 ‎ ‎1．第二十九届夏季奥林匹克运动会将于‎2008年8月8日在北京举行，若集合，集合，集合，则下列关系正确的是 A．AB      B．BC C．.A∩B=C D．.B∪C=A ‎2．已知0＜a＜2，复数z=a+i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是 A．(1,) B． (1,) C．(1,3) D．(1,5)‎ ‎3．已知平面向量,,且,则 A． B． C． D．‎ ‎4．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S1=4,S4=20,则该数列的公差d=‎ A．7 B．‎6 C．3 D．2‎ ‎5．已知函数，x∈R,则是 ‎　A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 ‎　C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 ‎6．经过圆x2+2x+y2=0的圆心G，且与直线x+y=0垂直的直线方程是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△CHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为 ‎8．命题“若函数(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则＜‎0”‎的逆否命题是 ‎　A．若＜0，则函数（a＞0,a≠1）在其定义域内不是减函数 ‎　B．若≥0，则函数（a＞0,a≠1）在其定义域内不是减函数 ‎　C．若＜0，则函数（a＞0,a≠1）在其定义域内是减函数 ‎　D．若≥0，则函数（a＞0,a≠1）在其定义域内是减函数 ‎9．设a∈R，若函数y=e5+ax,x∈R有大于零的极值点，则 ‎　A．a＜ B．a＞ C．a＞ D．a＜‎ ‎10．设a, b∈R，若＞0，则下列不等式中正确的是 A．＞0 B．a3+b3＜‎0 ‎ C．b+a＞0 D．＜0‎ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.‎ ‎（一）必做题（11-13题）‎ ‎11．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为，，由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在的人数是　　　.‎ ‎ 图3‎ ‎12.若变量x，y满足则z=3x+2y的最大值是________。‎ ‎ 图4‎ ‎13.阅读图4的程序框图，若输入m=4,n=3,则输出a=_______,i=________。‎ ‎ （注：框图中的赋值符号“＝”，也可以写成“←”或“：＝”）‎ ‎（二）选择题（14-15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C1与C2的极坐标方向分别为，（≥0，0≤θ<），则曲线C1与C2交点的极坐标为________.‎ ‎15.（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切点，切点为A，PA＝2.AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1，则圆O的半径R=________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎16.（本小题满分13分）‎ ‎ 已知函数f(x)=Asin(x+)(A>0,0<<),xR的最大值是1，其图像经过点M.‎ (1) 求f(x)的解析式；‎ (2) 已知，且f()=，f()=，求f()的值.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层‎2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？‎ ‎（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝）‎ ‎18.（本小题满分14分）‎ 如图5所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD=60°,∠BDC=45°,△ADP～△BAD.‎ ‎(1)求线段PD的长；‎ ‎(2)若PC=R，求三棱锥P-ABC的体积.‎ ‎ 图5‎ ‎19.（本小题满分13分）‎ 某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：‎ 初一年级 初二年级 初三年级 女生 ‎373‎ x y 男生 ‎377‎ ‎370‎ z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.‎ （1） 求x的值；‎ （2） 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？‎ （3） 已知y245,z245,求初三年级中女生比男生多的概率.‎ ‎20.（本小题满分14分）‎ 设，椭圆方程为=1，抛物线方程为x2=8(y-b).如图6所示，过点F（0,b+2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点，‎ ‎（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； 图6‎ ‎（2）设分别是椭圆的左右端点，试探究在抛物线上是否存在点,使为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必求出这些点的坐标）。‎ ‎21．（本小题满分14分）设数列满足， ，数列满足b1=1,bn(n=2,3,…)是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有 ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎(2)记，求数列的前n项和Sn.‎ ‎2008年全国高考数学试题（文科）‎ 广东卷参考答案 一．选择题 DBCCD AABAC 二．填空题 11．13； 12．70； 13．12，3； 14．； 15．‎ 三．解答题：‎ ‎ 16．解：（1）依题意知，，又 ‎ 所以 即，因此 ‎ （2）因为，且 ‎ 所以 ‎ 。‎ ‎ 17．解：设楼房每平方米的平均综合费为元，则 ‎ ‎ ‎ ，令得 ‎ 当时，，当时，‎ ‎ 因此，当时，取最小值 ‎ 答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。‎ ‎ 18．解：（1）因为是园的直径，所以 ‎ 又△ADP～△BAD.‎ ‎ 所以 ‎ ‎ （2）在中，‎ ‎ 因为 ‎ ‎ 所以 又 ‎ 所以底面 ‎ ‎ ‎ 三棱锥体积为 ‎ 19.解：（1）因为，所以 ‎ （2）初三年级人数为 ‎ 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为 ‎ 名 ‎ （3）设初三年级女生比男生多的事件为,初三年级女生男生数记为 ‎ ，由（2）知，且 ‎ 基本事件共有共11个，‎ ‎ 事件包含的基本事件有 共5个，所以 ‎ 20.解：（1）由得，当时，，‎ ‎ 所以点坐标为 ‎ ，过点的切线方程为 ‎ 即，令得，所以 坐标为 ‎ 由椭圆方程得坐标为，所以 ‎ 因此所求椭圆和抛物线的方程分别为 ‎ （2）因为过作轴的垂线与抛物线的交点只有一个,所以以为直角的直角三角形只有一个，同理以为直角的直角三角形也只有一个；‎ ‎ 若以为直角，设，而 由得，即 ‎ 关于的一元二次方程只有一解，所以有两解，即以为直角的直角三角形有两个，‎ ‎ 因此抛物线上共存在4个点使为直角三角形。‎ ‎21.解：（1）由得 ‎ ‎ 又，所以是以1为首项，为公比的等比数列 ‎ 所以，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由，得，由得 ……‎ 同理可得，为偶数时，，为奇数时，‎ 所以 ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎ 当n为奇数时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当n为偶数时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 令 …………①‎ ‎ ①得…………②‎ ‎ ①②得 ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ 因此 绝密☆启用前 试卷类型：A ‎ ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) ‎ 数学(文科）‎ 本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。‎ 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。‎ ‎2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎ 4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。‎ ‎ 5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。‎ 参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．‎ 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5分，满分50分.每小题给出得四个选项中，只有一项十符合题目要求得. ‎ ‎1.已知全集U=R，则正确表示集合M= {－1，0，1} 和N= { x |x+x=0} 关系的韦恩（Venn）图是 ‎2.下列n的取值中，使=1(i是虚数单位）的是 A. n=2 B. n=‎3 C. n=4 D. n=5‎ ‎3.已知平面向量a= ，b=， 则向量 ‎ A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 ‎4.若函数是函数的反函数，且，则 A． B． C． D．2 ‎ ‎5.已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则=‎ A. B. C. D.2 ‎ ‎6.给定下列四个命题：‎ ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；‎ ‎③垂直于同一直线的两条直线相互平行；‎ ‎④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. ‎ 其中，为真命题的是 A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ ‎ ‎7.已知中，的对边分别为a,b,c若a=c=且，则b= ‎ A.2 B．4＋ C．4— D．‎ ‎8.函数的单调递增区间是 ‎ A. B.(0,3) C.(1,4) D. ‎ ‎9．函数是 ‎ A．最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 ‎10．广州2010年亚运会火炬传递在A、B、C、D、E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离（单位：百公里）见下表.若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是 A. B‎.21 C.22 D.23‎ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。‎ ‎（一）必做题（11－13题）‎ ‎11.某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：‎ 队员i ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 三分球个数 图1是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填 ，输出的s= ‎ ‎(注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”)‎ ‎ 图1‎ ‎12．某单位200名职工的年龄分布情况如图2，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 。若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取 人. ‎ ‎ 图 2‎ ‎13．以点（2，）为圆心且与直线相切的圆的方程是 .‎ ‎ (二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14．（坐标系与参数方程选做题）若直线（t为参数）与直线垂直，则常数= .‎ ‎15.(几何证明选讲选做题)如图3，点A、B、C是圆O上的点，且AB=4，，则圆O的面积等于 . ‎ ‎ 图3 ‎ 三、解答题，本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ ‎16.（本小题满分12分）‎ 已知向量与互相垂直，其中 ‎（1）求和的值 ‎（2）若，,求的值 ‎17.（本小题满分13分）‎ 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.‎ ‎（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图 ‎（2）求该安全标识墩的体积 ‎（3）证明:直线BD平面PEG ‎18.（本小题满分13分）‎ 随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图7.‎ ‎(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;‎ ‎(2)计算甲班的样本方差 ‎(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于‎173cm的同学,求身高为‎176cm的同学被抽中的概率.‎ ‎19.（本小题满分14分）‎ 已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.‎ ‎(1)求椭圆G的方程 ‎(2)求的面积 ‎(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.‎ ‎20.（本小题满分14分）‎ 已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前n项和为,数列的首项为c，且前n项和满足－=+（n2）.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）若数列{前n项和为，问>的最小正整数n是多少?‎ ‎21.（本小题满分14分）‎ 已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在=－1处取得最小值m－1(m).设函数 ‎(1)若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值 ‎(2) 如何取值时,函数存在零点,并求出零点.‎ 参考答案 一、‎ ‎1. B 2. C 3. C 4. A 5. B 6. D 7.A 8. D 9．A 10．B 二、‎ ‎11.,‎ ‎12． 37, 20‎ ‎13．‎ ‎14． ‎ ‎15.‎ ‎16. ‎ ‎【解析】（１）,,即 又∵, ∴,即,∴‎ 又　,‎ ‎(2) ∵‎ ‎ , ,即 ‎ 又 , ∴‎ ‎17.‎ ‎【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.‎ ‎　　　（２）该安全标识墩的体积为：‎ ‎　　　　　　　　‎ ‎　　　（３）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO.‎ ‎ 由正四棱锥的性质可知,平面EFGH , ‎ ‎ 又 平面PEG ‎ 又 平面PEG；‎ ‎18. ‎ ‎【解析】（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于之间，而乙班身高集中于 之间。因此乙班平均身高高于甲班;‎ ‎ (2) ‎ ‎ 甲班的样本方差为 ‎ ＝57‎ ‎ （3）设身高为‎176cm的同学被抽中的事件为A；‎ ‎ 从乙班10名同学中抽中两名身高不低于‎173cm的同学有：（181，173） （181，176）‎ ‎ （181，178） （181，179） （179，173） （179，176） （179，178） （178，173）‎ ‎ (178, 176) （176，173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件；‎ ‎ ；‎ ‎19.【解析】（1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c;‎ ‎ 则 , 解得 , ‎ ‎ 所求椭圆G的方程为：.‎ ‎(2 )点的坐标为 ‎ ‎ ‎（3）若，由可知点（6，0）在圆外，‎ ‎ 若，由可知点（-6，0）在圆外；‎ ‎ 不论K为何值圆都不能包围椭圆G.‎ ‎20.【解析】（1）,‎ ‎ ,,‎ ‎ .‎ 又数列成等比数列， ，所以 ；‎ 又公比，所以 ；‎ ‎ ‎ 又,, ；‎ 数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ， ‎ 当， ；‎ ‎()；‎ ‎（2）‎ ‎ ；‎ ‎ 由得，满足的最小正整数为112.‎ ‎21.【解析】（1）设，则；‎ ‎ 又的图像与直线平行 ‎ ‎ 又在取极小值， ，‎ ‎ ， ；‎ ‎ ， 设 ‎ 则 ‎ ；‎ ‎ （2）由，‎ ‎ 得 ‎ ‎ 当时，方程有一解，函数有一零点；‎ ‎ 当时，方程有二解，若，，‎ ‎ 函数有两个零点；若，‎ ‎ ，函数有两个零点；‎ ‎ 当时，方程有一解, , 函数有一零点本资料由《七彩教育网》www.7caiedu.cn 提供！‎ 绝密★启用前 试卷类型：B ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)‎ 数学(文科)‎ 本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。‎ 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。‎ ‎ 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。‎ ‎ 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎ 4．作答选做题时。请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。‎ ‎ 5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。‎ 参考公式：锥体的体积公式V=Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。 ‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若集合A=｛0，1，2，3｝，B=｛1，2，4｝，则集合AB= ( A )‎ A．｛0，1，2，3，4｝ B．｛1，2，3，4｝ C．｛1，2｝ D．｛0｝‎ ‎2．函数，的定义域是 ( B )‎ ‎ A．(2，) B．(1,) C．[1，) D．[2，)‎ ‎3．若函数与的定义域均为，则 ( D )‎ ‎ A．与均为偶函数 B．为奇函数，为偶函数 ‎ C．与均为奇函数 D．为偶函数，为奇函数 ‎4．已知数列{}为等比数列,是它的前n项和，若,且与的等差中项为，则S5= ( C )‎ w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎ A．35 B．‎33 C．31 D．29‎ ‎5．若向量=(1,1)，=(2，5)，=(3,)满足条件(8—)·=30，则= ( C )‎ ‎ A．6 B．‎5 C．4 D．3‎ ‎6．若圆心在轴上、半径为的圆位于轴左侧,且与直线相切,则圆的方程是( D ) o*m ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ( B )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．“>‎0”‎是“>‎0”‎成立的 (A )‎ ‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎ C．非充分非必要条件 D．充要条件 ‎9．如图1，为正三角形，，，则多面体的正视图(也称主视图)是 ( D )‎ ‎10．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算和如下: ( A )‎ 那么d ‎ A．a B．b C．c D．d 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． ‎ ‎（一）必做题(11～13题)‎ ‎11．某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，‎ ‎ 对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民 的月均用水量分别为，…， (单位：吨)．根据图2所示的程序框图，若，，，分别为1，，，，则输出的结果s为 1.5 .‎ ‎12．某市居民2005～2009年家庭年平均收入x（单位：万元）与年平均支出Y（单位：万元）的统计资料如下表所示：w_w w. k#s5_u.c o*m 年份 ‎2005‎ ‎2006‎ ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ 收入x ‎11.5‎ ‎12.1‎ ‎13‎ ‎13.3‎ ‎15‎ 支出Y ‎6.8‎ ‎8.8‎ ‎9.8‎ ‎10‎ ‎12‎ 根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是 13 ，家庭年平均收入与年平均支出有 正 线性相关关系.‎ ‎13．已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=,A+C=2B,则sinA= . w_w w. k#s5_u.c o*m ‎（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14．（几何证明选讲选做题）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB， CB⊥AB，AB=AD=a，CD=，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF= .‎ ‎15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，）（） ‎ 中，曲线与的交点的极坐标为 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 设函数，，，且以为最小正周期．‎ ‎（1）求；w_w w. k#s5_u.c o*m ‎（2）求的解析式；‎ ‎（3）已知，求的值．w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎16.解：（1）由已知可得：‎ ‎（2）∵的周期为，即 ∴ 故 ‎ （3）∵‎ ‎ ∴由已知得：即 ‎ ∴故的值为或 ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎ 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎（1）由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？w. k#s5_u.c o*m ‎（2）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？‎ ‎（3）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率。w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎17．解：（1）画出二维条形图，通过分析数据的图形，或者联列表的对角线的乘积的差的绝对值来分析，得到的直观印象是收看新闻节目的观众与年龄有关；‎ ‎（2）在100名电视观众中，收看新闻的观众共有45人，其中20至40岁的观众有18人，大于40岁的观众共有27人。‎ 故按分层抽样方法，在应在大于40岁的观众中中抽取人。‎ ‎（3）法一：由（2）可知，抽取的5人中，年龄大于40岁的有3人，分别记作1，2，3；20岁至40岁的观众有2人，分别高为，若从5人中任取2名观众记作 ‎，则包含的总的基本事件有：共10个。其中恰有1名观众的年龄为20岁至40岁包含的基本事件有：共6个。‎ 故(“恰有1名观众的年龄为20至40岁”)=；‎ 法二：(“恰有1名观众的年龄为20至40岁”)=‎ ‎18.(本小题满分14分) w_w w. k#s5_u.c o*m 如图4，是半径为的半圆，为直径，点为弧AC的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足平面，=. ‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求点到平面的距离. w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎18．法一：（1）证明：∵点B和点C为线段AD的三等分点， ∴点B为圆的圆心 又∵E是弧AC的中点，AC为直径， ∴即 ‎ ∵平面，平面， ∴‎ ‎ 又平面，平面且 ∴平面 ‎ 又∵平面， ∴‎ ‎（2）解：设点B到平面的距离（即三棱锥的高）为.‎ ‎ ∵平面, ∴FC是三棱锥F-BDE的高，且三角形FBC为直角三角形 ‎ 由已知可得，又 ∴‎ ‎ 在中，，故,‎ ‎ ∴,‎ ‎ 又∵平面，故三角形EFB和三角形BDE为直角三角形,‎ ‎ ∴，在中，, ∴,‎ ‎ ∵即，故,‎ 即点B到平面的距离为.‎ ‎ 法二：向量法，此处略，请同学们动手完成。‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64‎ 个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐? w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎19．解：设应当为该儿童分别预订个单位的午餐，个单位的晚餐，所花的费用为，则依题意得：‎ ‎ 满足条件即，‎ ‎ 目标函数为，‎ ‎ 作出二元一次不等式组所表示的平面区域（图略），把变形为，得到斜率为，在轴上的截距为，随变化的一族平行直线。‎ ‎ 由图可知，当直线经过可行域上的点M时截距最小，即最小.‎ ‎ 解方程组：, 得点M的坐标为 所以，22‎ 答：要满足营养要求，并花费最少，应当为该儿童分别预订4个单位的午餐，3个单位的晚餐，此花的费用最少为22元.‎ ‎20.（本小题满分14分）‎ 已知函数对任意实数均有，其中常数为负数，且在区间上有表达式.w_w w. k#s5_u.c o*m ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）写出在上的表达式，并讨论函数在上的单调性；‎ ‎（3）求出在上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值. w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎20．解：（1）∵，且在区间[0,2]时 ‎∴‎ 由得 ‎∴‎ ‎（2）若，则 ‎ ‎ ‎ ∴当时，‎ 若，则 ∴‎ ‎ ∴‎ ‎ 若，则 ∴‎ ‎ ∴‎ ‎∵‎ ‎∴当时，‎ ‎∵,∴当时，，由二次函数的图象可知，为增函数；‎ ‎ 当时，，由二次函数的图象可知，当时，为增函数，当时，为减函数；‎ 当时，，由二次函数的图象可知，当时，为减函数；当时，为增函数；‎ 当时，，由二次函数的图象可知，为增函数。‎ ‎（3）由（2）可知，当时，最大值和最小值必在或处取得。（可画图分析）‎ ‎∵，，，‎ ‎∴当时，;‎ 当时，‎ 当时，.‎ ‎21.（本小题满分14分）w_w w. k#s5_u.c o*m 已知曲线，点是曲线上的点（n=1,2,…）.‎ ‎（1）试写出曲线在点处的切线的方程，并求出与轴的交点的坐标；‎ ‎（2）若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值，试求点的坐标；w_w*w.k_s_5 u.c*o*m ‎（3）设与为两个给定的不同的正整数，与是满足（2）中条件的点的坐标，‎ 证明：‎ ‎21．解：（1），设切线的斜率为，则 ‎ ‎ ‎∴曲线在点处的切线的方程为：‎ 又∵点在曲线上, ∴‎ ‎∴曲线在点处的切线的方程为：即 令得，∴曲线在轴上的交点的坐标为 ‎（2）原点到直线的距离与线段的长度之比为：‎ ‎ ‎ 当且仅当即时，取等号。此时，‎ 故点的坐标为 ‎（3）证法一：要证 只要证 只要证 ‎，又 所以：‎ 证法二：由上知，只需证，‎ 又，故只需证，可用数学归纳法证明之（略）.‎ ‎2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）‎ 数学（文科）‎ ‎ 本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎ 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将字迹的姓名和考生号、实施号、座位号填写在答题卡上用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。‎ ‎ 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把大题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。‎ ‎ 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须卸载答题卡个题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎ 4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选作题地题号对应的信息点，再作答，漏凃，错涂、多涂。答案无效。‎ ‎ 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。‎ 参考公式：锥体体积公式V=Sh,其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。‎ ‎ 线性回归方程中系数计算公式 ‎ 样本数据x1,x2,……，xa的标准差，‎ ‎ 其中表示样本均值。‎ ‎ N是正整数，则 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设复数z满足iz=1，其中i为虚数单位，则 ‎ ‎ A．-i B．i C．-1 D．1‎ ‎2．已知集合A=为实数，且，B=且则AB的元素个数为 ‎ A．4 B．‎3 ‎ C．2 D．1‎ ‎3．已知向量a=（1,2），b=（1,0），c=（3,4）。若为实数，（），则=‎ ‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎4．函数的定义域是 ‎ A． B．（1，+）‎ ‎ C．（-1，1）∪（1，+∞） D．（-，+）‎ ‎5．不等式2x2-x-1>0的解集是 ‎ A． B．（1， +） ‎ ‎ C．（-，1）∪（2，+） D．‎ ‎6．已知平面直角坐标系上的区域D由不等式 给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则z=·的最大值为 ‎ A．3 B．‎4 ‎ C．3 D．4‎ ‎7．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有 ‎ A．20 B．‎15 ‎ C．12 D．10‎ ‎8．设圆C与圆x2+（y-3）2=1外切，与直线y =0相切，则C的圆心轨迹为 ‎ A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆 ‎9．如图1-3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰三角形和菱形，则该几何体体积为 ‎ A． B．‎4 ‎ C． D．2‎ ‎10．设f（x），g（x），h（x）是R上的任意实值函数，如下定义两个函数和；对任意x ∈，（f·g）（x）=；（f·g）（x）=‎ ‎．则下列恒等式成立的是 ‎ A．‎ ‎ B．‎ ‎ C．‎ ‎ D．‎ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。‎ ‎11．已知是同等比数列，a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q=______‎ ‎12．设函数,若,则f（-a）=_______‎ ‎13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y 之间的关系：‎ 时间 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 命中率 ‎0．4‎ ‎0．5‎ ‎0．6‎ ‎0．6‎ ‎0．4‎ ‎ 小李这5天的平均投篮命中率为_________;用线性回归分析的方法，预测小李每月6号打篮球6小时的投篮命中率为________．‎ ‎（二）选择题（14-15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为（0<）和（t），它们的交点坐标为 。‎ ‎15．（集合证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2．E,F分别为AD，BC上点，且EF=3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分为12分）‎ ‎ 已知函数，R。‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设，f（3）=,f（3+2）=．求sin（ ）的值 ‎17．（本小题满分13分）‎ ‎ 在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分。用xn表示编号为n（n=1,2,…,6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：‎ 编号n ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 成绩xn ‎70‎ ‎76‎ ‎72‎ ‎70‎ ‎72‎ ‎（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s;‎ ‎（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率。‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ ‎ 图5所示的集合体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的．A，A′，B，B′分别为,,,的中点，分别为的中点．‎ ‎（1）证明：四点共面；‎ ‎（2）设G为A A′中点，延长到H′，使得．证明：‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ ‎ 设a＞0,讨论函数f（x）=lnx+a（1-a）x2-2（1-a）的单调性。‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ ‎ 设b>0，数列}满足a1=b,‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明：对于一切正整数n，‎2ab+1‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ ‎ 在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，设是上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP ‎（1）当点P在上运动时，求点M的轨迹E的方程；‎ ‎（2）已知T（1，-1），设H是E 上动点,求+的最小值，并给出此时点H的坐标；‎ ‎（3）过点T（1，-1）且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线的斜率k的取值范围。‎ 参考答案 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算，共10小题，每小题5分，满分50分。‎ A卷：1—5DBCBA 6—10CADCB 二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性。共5小题，每小题5分，满分20分，其中14—15题是选做题，考生只能选做一题。‎ ‎11．2 12．-9 13．0.5，0.53 14． 15．7：5‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ ‎ 解：（1）‎ ‎ ；‎ ‎ （2）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故 ‎17．（本小题满分13分）‎ ‎ 解：（1）‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ （2）从5位同学中随机选取2位同学，共有如下10种不同的取法：‎ ‎ {1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，‎ ‎ 选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于（68，75）的取法共有如下4种取法：‎ ‎ {1，2}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，‎ ‎ 故所求概率为 ‎18．（本小题满分13分）‎ ‎ 证明：（1）中点，‎ ‎ ‎ ‎ 连接BO2‎ ‎ 直线BO2是由直线AO1平移得到 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 共面。‎ ‎ （2）将AO1延长至H使得O1H=O‎1A，连接 ‎//‎ ‎ 由平移性质得=HB ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ ‎ 解：函数的定义域为 ‎ ‎ ‎ 当的判别式 ‎ ‎ ‎ ①当有两个零点，‎ ‎ ‎ ‎ 且当内为增函数；‎ ‎ 当内为减函数；‎ ‎ ②当内为增函数；‎ ‎ ③当内为增函数；‎ ‎ ④当 ‎ 在定义域内有唯一零点，‎ ‎ 且当内为增函数；当时，内为减函数。 的单调区间如下表：‎ ‎ （其中）‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ ‎ 解：（1）由 ‎ ‎ ‎ 令 ‎ 当 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ①当 ‎ ②当时，‎ ‎ ‎ ‎ （2）当 ‎ 只需 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 综上所述 ‎21．（本小题满分14分）‎ ‎ 解：（1）如图1，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q，‎ ‎ ‎ ‎ 因此即 ‎ ①‎ ‎ 另一种情况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧）。‎ ‎ MQ为线段OP的垂直平分线，‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ 因此M在轴上，此时，记M的坐标为 ‎ 为分析的变化范围，设为上任意点 ‎ 由 ‎ （即）得，‎ ‎ ‎ ‎ 故的轨迹方程为 ‎ ②‎ ‎ 综合①和②得，点M轨迹E的方程为 ‎ ‎ ‎（2）由（1）知，轨迹E的方程由下面E1和E2两部分组成（见图3）：‎ ‎ ；‎ ‎ ‎ ‎ 当时，过Ｔ作垂直于的直线，垂足为，交E1于。‎ ‎ 再过H作垂直于的直线，交 ‎ 因此，（抛物线的性质）。‎ ‎ （该等号仅当重合（或H与D重合）时取得）。‎ ‎ 当时，则 ‎ 综合可得，|HO|+|HT|的最小值为3，且此时点H的坐标为 ‎ （3）由图3知，直线的斜率不可能为零。‎ ‎ 设 ‎ 故的方程得：‎ ‎ 因判别式 ‎ 所以与E中的E1有且仅有两个不同的交点。‎ ‎ 又由E2和的方程可知，若与E2有交点，‎ ‎ 则此交点的坐标为有唯一交点，从而表三个不同的交点。‎ ‎ 因此，直线的取值范围是