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- 2021-05-14 发布
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高 考 四 元 聚 焦 理科数学
第一单元 集合与常用逻辑用语
1.(2019·泉州四校二次联考)设集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}，则P∪Q＝( B )
A．{3,0} B．{3,0,1}
C．{3,0,2} D．{3,0,1,2}
解析：因为P∩Q＝{0}，所以0∈P，即log2a＝0，得a＝1，
而0∈Q，所以b＝0，
所以P∪Q＝{3,0,1}．
2.(2019·韶关第一次调研)若集合M是函数y＝lg x的定义域，N是函数y＝的定义域，则M∩N等于( A )
A．(0,1] B．(0，＋∞)
C．∅ D．[1，＋∞)
解析：因为M＝(0，＋∞)，N＝(－∞，1]，所以M∩N＝(0,1]．
3.(2019·湖南省株洲市模拟)设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是( C )
A．1 B．3
C．4 D．8
解析：由题意可得集合B中一定有元素3,1和2不确定，故满足题意的集合B的个数为集合{1,2}的子集个数，即为22＝4，故选C.
4.(2019·安徽省望江县第三次月考)设全集U＝R，A＝{x|2x(x－2)<1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为( B )
A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2}
C．{x|00，得x<1，所以B＝{x|x<1}，
于是阴影部分表示的集合A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2}，故选B.
5.(2019·浙江宁波市期末)设集合A＝{(x，y)|x＋a2y＋6＝0}，B＝{(x，y)|(a－2)x＋3ay＋2a＝0}，若A∩B＝∅，则实数a的值为( C )
A．3或－1 B．0或3
C．0或－1 D．0或3或－1
解析：由集合A、B的意义可知，A∩B＝∅，则两直线平行，故＝≠，解得a＝－1，又经检验a＝0时也满足题意，故选C.
6.(2019·上海市七校联考)定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{3,6}，则集合A*B的所有元素之和为 21 .
解析： 由题得A*B＝{3,6,12}，故集合A*B的所有元素之和为21.
7.(原创)集合M＝{3,7，－4m}，N＝{－12,8}，若M∩N≠∅，则实数m的值为 3或－2 .
解析：由M∩N≠∅，可知－4m＝－12或－4m＝8，解得m＝3或m＝－2.
8.(改编)设全集U是实数集R，函数f(x)＝lg(2x－3)的定义域为集合A，B＝{x|y＝}．求：
(1)集合A，B；
(2)A∩B，A∪(∁UB)．
解析：(1)由2x－3>0，得x>，所以A＝{x|x>}．
由－1≥0，得≥0，解得13}，
所以A∩B＝{x|}．
9.已知集合A＝{x|10时，A＝{x|y2，则x>y”的逆否命题是( C )
A．“若xy，则x2>y2”
C．“若x≤y，则x2≤y2” D．“若x≥y，则x2≥y2”
2.“m＝1”是“直线x－y＝0和直线x＋my＝0互相垂直”的( C )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：若m＝1，则直线x－y＝0和直线x＋y＝0互相垂直．
又若x－y＝0与直线x＋my＝0互相垂直，
则1×1＋(－1)×m＝0，所以m＝1，
故“m＝1”是“直线x－y＝0和直线x＋my＝0互相垂直”的充要条件，所以选C.
3.(2019·长沙市六中周考)“a＝2”是函数f(x)＝lg(ax)在(0，＋∞)上单调递增的( A )
A．充分不必要条件 B．充分必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：若a＝2，则f(x)＝lg(2x)在(0，＋∞)上单调递增，
但f(x)＝lg(ax)在(0，＋∞)上单调递增，则a>0，故不能推出a＝2.
所以“a＝2”是“函数f(x)＝lg(ax)在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件．
4.给出下列命题，其中真命题的个数是( B )
①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；
②“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件；
③命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①中，否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，因此①错；
②中，x＝－1⇒x2－5x－6＝0，应为充分条件，因此②错；
③中，由于原命题是真命题，因此③说法正确．故选B.
5.(原创)命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”及其逆命题、否命题、逆否命题中正确的个数有 2 个．
解析：原命题和逆否命题正确，其他命题是错误的，所以填2.
6.(原创)若“|x－1|＜a”的充分条件是“|x－1|＜b”(其中a，b＞0)，则a、b之间的关系是 b≤a .
解析：由条件知|x－1|＜b的解集是|x－1|＜a的解集的子集，则b≤a.
7.(原创)命题“ax2－2ax＋3＞0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围是 [0,3) .
解析：当a＝0时，不等式3＞0，命题为真命题；
当a≠0时，由，解得0＜a＜3.
综上所述，实数a的取值范围是[0,3)．
8.设A＝{x|<0}，B＝{x||x－b|0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”
C．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件
D．若“am2sin x0”的否定是 ∀x∈(0，)，tan x≤sin x .
解析：特称命题的否定是全称命题，所以否定是为∀x∈(0，)，tan x ≤sin x.
6.“若x>4，则x>m”为真命题，则m的取值范围是 m≤4 .
解析：“若x>4，则x>m”为真命题，即x>4⇒x>m，
则{x|x>4}⊆{x|x>m}，所以m≤4.
7.(改编)已知命题p：∃x∈R，使sin x＝；命题q：∀x∈R，都有x2＋2ax＋a2＋1>0.给出下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；
③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．
其中正确命题的序号是 ②③ .(写出所有正确命题的序号)
解析：因为|sin x|≤1，所以命题p为假命题，又因为x2＋2ax＋a2＋1＝(x＋a)2＋1>0，所以命题q为真命题，綈p为真命题，綈q为假命题，因此②③正确．
8.已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－ln x－a≥0”与命题q：“∃x∈R，x2＋2ax－8－6a＝0”都是真命题，求实数a的取值范围．
解析：因为∀x∈[1,2]，x2－ln x－a≥0，
所以a≤x2－ln x，x∈[1,2]．
令f(x)＝x2－ln x，x∈[1,2]，则f′(x)＝x－，
因为f′(x)＝x－>0(x∈[1,2])，
所以函数f(x)在[1,2]上是增函数，
所以f(x)min＝，所以a≤.
又由命题q是真命题得Δ＝4a2＋32＋24a≥0，
解得a≥－2或a≤－4.
因为命题p与q均为真命题，
所以a的取值范围为(－∞，－4]∪[－2，]．
9.(2019·山东省莱州质检测)命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，命题q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
解析：当命题p为真时，Δ＝4a2－16<0，所以－21，所以a＜1.
因为p或q为真，p且q为假，所以p，q为一真一假．
当p真q假时，，所以1≤a<2，
当p假q真时，，所以a≤－2.
综上所述，实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[1,2)．
第二单元 函 数
1.下列图形中不能作为函数图象的是( D )
解析：根据函数定义，定义域内任何一个x取值，都有且只有唯一的y＝f(x)与之对应，故选D.
2.若函数y＝f(x)的定义域是[－1,1]，则函数y＝f(log2x)的定义域是( B )
A．[－1,1] B．[，2]
C．[，4] D．[1,4]
解析：由－1≤log2x≤1，得log2≤log2x≤log22，由y＝log2x在(0，＋∞)上递增，得≤x≤2，故选B.
3.若f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的表达式为( B )
A．g(x)＝2x＋1 B．g(x)＝2x－1
C．g(x)＝2x－3 D．g(x)＝2x＋7
解析：由g(x＋2)＝f(x)，得g(x)＝f(x－2)＝2(x－2)＋3＝2x－1.
4.(2019·广东中山市四校联考)函数y＝＋的定义域是 [1,2)∪(2,3) .
解析：由，
得1≤x<2或20，即a<0，b<0，
则函数y＝ax2＋bx对称轴方程为x＝－<0，且图象开口向下，故函数y＝ax2＋bx的减区间为[－，＋∞)，
所以y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是减函数，故选B.
3.(2019·广东省肇庆市第二次模拟)已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调递增函数，且满足f(3x－2)1
C．a≤1 D．a≥1
解析：因为f(x)＝|x|在区间[0，＋∞)上为增函数，而f(x)＝|x－a|的图象是由f(x)＝|x|的图象向左(右)平移|a|个单位得到的，所以f(x)＝|x－a|在区间[a，＋∞)上为增函数，由题意可知a≤1，故选C.
5.函数y＝()2x2－3x＋1的递减区间为 [，＋∞) .
解析：因为t＝2x2－3x＋1＝2(x－)2－，
所以t＝2x2－3x＋1在[，＋∞)上是增函数，(－∞，]上是减函数，
又y＝()t在R上是减函数，
所以y＝()2x2－3x＋1在[，＋∞)上是减函数．
6.(1)函数y＝x2＋bx＋c在[0，＋∞)上递增，则b的取值范围是 b≥0 ；
(2)函数y＝x2＋bx＋c的单调增区间是[0，＋∞)，则b的值为 0 .
7.(2019·日照市模拟)若f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 [4,8) .
解析：因为f(x)是R上的增函数，
所以，解得4≤a<8.
8.(2019·山东省德州市期末考试)已知函数f(x)是定义在R上的单调函数满足f(－3)＝2，且对任意的实数a∈R有f(－a)＋f(a)＝0恒成立．
(1)试判断f(x)在R上的单调性，并说明理由；
(2)解关于x的不等式f()＜2.
解析：(1)由f(－a)＋f(a)＝0可得f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，
由f(－3)＝2，得f(0)0，
所以，不等式的解集为{x|x<－1或x>0}．
9.判断函数f(x)＝(a≠0)在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．
解析：当a>0时，函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增；
当a<0时，函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．
证明：设－10，x2＋1>0，
所以当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上是减函数．
或用导数法：因为f′(x)＝(x>－1)，
当a>0时，f′(x)>0，f(x)在(－1，＋∞)上递增；
当a<0时，f′(x)<0，f(x)在(－1，＋∞)上递减．
1.若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则( C )
A．f(x)与g(x)均为偶函数
B．f(x)与g(x)均为奇函数
C．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
解析：f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，
g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，故选C.
2.(2019·广东省六校第四次联考)函数f(x)＝log2的图象( A )
A．关于原点对称 B．关于直线y＝－x对称
C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称
解析：因为f(－x)＝log2＝log2()－1＝－log2＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故函数f(x)的图象关于原点对称．
3.函数f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(m)＝2，则f(－m)的值为( B )
A．3 B．0
C．－1 D．－2
解析：因为f(m)＝m3＋sin m＋1＝2，所以m3＋sin m＝1，
所以f(－m)＝－m3－sin m＋1＝－1＋1＝0，故选B.
4.(改编)f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x∈R总有f(x＋)＝－f(x)，则f(－)的值为( A )
A．0 B．3
C. D．－
解析：由f(x)＝－f(x＋)，知函数f(x)的周期为3，
则f(－)＝f(－＋2×3)＝f()，
又函数f(x)是奇函数，
则f(－)＝－f()＝－f(－3)＝－f()，
故f()＝－f()，所以f(－)＝0，故选A.
5.设a为常数，函数f(x)＝x2－4x＋3，若f(x＋a)为偶函数，则a等于 2 .
解析：(方法一)因为f(x)＝(x－2)2－1，对称轴方程为x＝2，
又f(x＋a)为偶函数，其图象关于y轴对称，
所以需将f(x)图象向左平移2个单位长度，故a＝2.
(方法二)因为f(x)＝x2－4x＋3，
所以f(x＋a)＝x2＋(2a－4)x＋(a2－4a＋3)，
而f(x＋a)为偶函数，所以2a－4＝0，所以a＝2.
6.(2019·长沙月考)设f(x)是定义在实数集R上的函数，若函数y＝f(x＋1)为偶函数，且当x≥1时，有f(x)＝1－2x，则f()、f()、f()的大小关系是 f()>f()>f() .
解析：由已知得f(－x＋1)＝f(x＋1)，所以y＝f(x)的对称轴方程是x＝1，则f()＝f()．
当x≥1时，f(x)＝1－2x是递减的，所以当x<1时，f(x)递增，
故f()>f()>f()，即f()>f()>f()．
7.已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当00，
故xf(x)<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．
8.(2019·山东省聊城段考)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0.
解析：(1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，
即＝0，解得b＝1，则f(x)＝.
又由f(1)＝－f(－1)，知＝－，
解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝＝－＋.
易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，
又因为f(x)是奇函数，
从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－1)＝f(－2t2＋1)．
因为f(x)是减函数，
所以t2－2t>－2t2＋1，即3t2－2t－1>0，
解不等式可得t>1或t<－.
故不等式的解集为{t|t>1或t<－}．
9.已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f(x)在x∈[2，＋∞)时为增函数，求a的取值范围．
解析：(1)当a＝0时，f(x)＝x2.
对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
当a≠0时，f(x)＝x2＋(a≠0，x≠0)．
取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，
f(－1)－f(1)＝－2a≠0.
所以f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，
所以函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)函数f(x)在x∈[2，＋∞)时为增函数，等价于f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立．
故a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立，
所以a≤(2x3)min＝16.
所以a的取值范围是(－∞，16]．
第二单元 函 数
1.已知二次函数y＝x2－2ax＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a的取值范围是( A )
A．a≤2或a≥3 B．2≤a≤3
C．a≤－3或a≥－2 D．－3≤a≤－2
解析：由已知可得二次函数图象的对称轴方程为x＝a，又函数在(2,3)内单调，所以a≤2或a≥3，故选A.
2.二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点为(－1，－3)，则b与c的值是( D )
A．b＝2，c＝4 B．b＝2，c＝－4
C．b＝－2，c＝4 D．b＝－2，c＝－4
解析：由已知⇒，
故选D.
3.(2019·福建晋江市第二次联考)已知函数f(x)＝x|x－4|－5，则当方程f(x)＝a有三个不同实根时，实数a的取值范围是( A )
A．－5＜a＜－1 B．－5≤a≤－1
C．a＜－5 D．a＞－1
解析：因为f(x)＝，在同一坐标系中作出函数f(x)与y＝a的图象，它们的交点个数就是方程f(x)＝a的根的个数，因此由图易知当f(x)＝a有三个不同实根时，实数a的取值范围是－5＜a＜－1.
4.(改编)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)过A(－3,0)，B(1,0)，C(－4，y1)，D(4，y2)四点，则y1与y2的大小关系是( A )
A．y1＞y2 B．y1＝y2
C．y1＜y2 D．不能确定
解析：因为抛物线过A(－3,0)，B(1,0)两点，所以抛物线的对称轴为x＝＝－1，因为a＜0，抛物线开口向下，离对称轴远，函数值越小，比较可知D点离对称轴越较C点远，对应的纵坐标值小，即y1＞y2，故选A.
5.若函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则b＝ 6 .
解析：由已知⇒，故b的值是6.
6.设二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－3,2]上有最大值4，则实数a的值为 －3或 .
解析：因为f(x)的图象的对称轴为x＝－1.
若a<0，则f(x)max＝f(－1)＝－a＋1＝4，所以a＝－3；
若a>0，则f(x)max＝f(2)＝8a＋1＝4，所以a＝.
综上得a＝－3或.
7.(2019·江苏省无锡市五校联考)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)＝0，a>b>c，则的取值范围是 (－2，－) .
解析：由f(1)＝a＋b＋c＝0，a>b>c知a＞0，c＜0，b＝－a－c，于是有，所以>－2，且<－，
即－2<<－，故的取值范围是(－2，－)．
8.(2019·广东深圳12月)如图是一个二次函数y＝f(x)的图象．
(1)写出这个二次函数的零点；
(2)写出这个二次函数的解析式及x∈[－2,1]时函数的值域．
解析：(1)由图可知这个二次函数的零点为x1＝－3，x2＝1.
(2)可设两点式f(x)＝a(x＋3)(x－1)，
又f(x)的图象过点(－1,4)点，代入得a＝－1，
所以f(x)＝－x2－2x＋3.
当x∈[－2,1]时，f(x)在[－2，－1]上递增，在[－1,1]上递减，所以最大值为f(－1)＝4，
又f(－2)＝3，f(1)＝0，所以f(x)的最小值为0，
所以x∈[－2,1]时函数的值域为[0,4]．
9.(2019·山东省济南质检)二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图象恒在直线y＝2x＋m上方，试确定实数m的取值范围．
解析：(1)由f(0)＝1，可设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，
故f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b，
由题意得，解得，故f(x)＝x2－x＋1.
(2)由题意得，x2－x＋1>2x＋m在x∈[－1,1]上恒成立，
即x2－3x＋1>m对x∈[－1,1]恒成立，
设g(x)＝x2－3x＋1，则问题可转化为g(x)min＞m，
又g(x)在[－1,1]上递减，
故g(x)min＝g(1)＝－1，故m<－1.
1.(2019·广东省韶关市高三模拟)设a＝22.5，b＝2.50，c＝()2.5，则a，b，c的大小关系是( C )
A．a>c>b B．c>a>b
C．a>b>c D．b>a>c
解析：因为a＝22.5>22＝4，b＝2.50＝1，c＝()2.5<()2<，故选C.
2.(2019·山东省冠县武训二次质检)若f(x)是幂函数，且满足＝3，则f()＝( C )
A．3 B．－3
C. D．－
解析：设幂函数为y＝xα，则由＝3，得＝3，即2α＝3，所以α＝log23，所以f()＝()log23＝2－log23＝2log2＝，故选C.
3.(2019·新课标提分专家高考2月预测)若定义运算f(a*b)＝，则函数f(3x*3－x)的值域是( A )
A．(0,1] B．[1，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－∞，＋∞)
解析：当x＞0时，f(3x*3－x)＝3－x∈(0,1)；当x＝0时，f(30]
4.(2019·湖南省益阳第二次模拟)函数y＝(00，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)求f(x)的表达式；
(2)若不等式()x＋()x－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．
解析：(1)因为f(x)的图象过A(1,6)，B(3,24)，
则，
所以a2＝4，又a>0，所以a＝2，则b＝3.
所以f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知a＝2，b＝3，则x∈(－∞，1]时，
()x＋()x－m≥0恒成立，
即m≤()x＋()x在x∈(－∞，1]时恒成立．
又因为y＝()x与y＝()x均为减函数，
所以y＝()x＋()x也是减函数，
所以当x＝1时，y＝()x＋()x有最小值；
所以m≤，即m的取值范围是(－∞，]．
1.(改编)(log227)·(log38)＝( D )
A. B．3
C．6 D．9
解析：log227×log38＝×＝×＝9，故选D.
2.(改编)函数y＝log3的图象( A )
A．关于原点对称 B．关于直线y＝－x对称
C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称
解析：由于定义域为(－3,3)关于原点对称，又f(－x)＝－f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称，故选A.
3.(2019·唐山市期末统一考)函数y＝的定义域为( B )
A．(0,8] B．(－2,8]
C．(2,8] D．[8，＋∞)
解析：由，得，
所以－22ln x，即b0时，logm1；当m<0时，log2(－m)0的解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)，得2a＝1＋3，所以a＝2，即实数a的值为2.
(2)函数f(x)的值域为(－∞，－1]，则f(x)max＝－1，
所以y＝x2－2ax＋3的最小值为ymin＝2，
由y＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2，得3－a2＝2，
所以a2＝1，所以a＝±1.
(3)f(x)在(－∞，1]上为增函数，则y＝x2－2ax＋3在(－∞，1]上为减函数，且y>0，
所以⇒⇒1≤a<2.
所以实数a的取值范围是[1,2)．
9.(2019·山东省聊城)已知函数f(x)＝log2(1－x)，g(x)＝log2(1＋x)，令F(x)＝f(x)－g(x)．
(1)求F(x)的定义域；
(2)判断函数F(x)的奇偶性，并予以证明；
(3)若a，b∈(－1,1)，猜想F(a)＋F(b)与F()之间的关系并证明．
解析：(1)由题意可知，，解得－10，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a的值等于( D )
A. B.
C. D．2
解析：因为0≤x≤1，所以1≤x＋1≤2，
又f(x)是单调函数，f(0)＝loga1＝0，
所以f(1)＝loga2＝1，所以a＝2.
2.函数f(x)＝(x>0)的值域为( C )
A．(0，＋∞) B．(0，)
C．(0，] D．[，＋∞)
解析：因为f(x)＝>0，
而当x>0时，x＋≥2，x＋＋1≥3，
所以0<≤，故函数的值域为(0，]，选C.
3.(2019·山东省枣庄市上学期期末)函数y＝的值域是( C )
A．[0，＋∞) B．[0,2]
C．[0,2) D．(0,2)
解析：因为2x＞0，所以4－2x＜4，所以0≤<2，即值域为[0,2)．
4.已知函数f(x)＝(2a－1)x＋log(2a－1)(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为2a－1，则a的值为( B )
A．1 B.
C. D.
解析：无论2a－1＞1还是0＜2a－1＜1，函数最大值与最小值均在0或1取得，故(2a－1)0＋log(2a－1)1＋(2a－1)1＋log(2a－1)2＝2a－1，即log(2a－1)2＝－1，所以2a－1＝，即a＝.
5.函数y＝x＋的最小值为 1 .
解析：函数的定义域为[1，＋∞)，而它在定义域上递增，所以y的最小值是1.
6.(2019·北京市西城区丰台区一模)已知函数f(x)＝，则函数f(x)的值域为 [－，3] .
解析：当1≤x≤9时，函数f(x)＝x是增函数，所以1≤f(x)≤3；当－2≤x＜1时，f(x)＝x2＋x＝(x＋)2－，所以f(－)≤f(x)≤f(－2)，即－≤f(x)≤2，所以函数f(x)的值域为[－，3]．
7.若实数x、y满足x2＋4y2＝4x，则S＝x2＋y2的取值范围是 [0,16] .
解析：(方法一)S＝x2＋y2＝x2＋
＝x2＋x＝(x＋)2－.
又因为4y2＝4x－x2≥0，所以0≤x≤4，所以0≤S≤16.
(方法二)注意到x2＋4y2＝4x表示的是一个椭圆，中心是(2,0)，长半轴长是2，且过原点；x2＋y2表示的是椭圆上的点到原点的距离的平方，如右图． 易知0≤S≤16.
8.若函数f(x)＝(x－1)2＋a的定义域和值域都是[1，b](b＞1)，求a、b的值．
解析：因为函数f(x)在[1，b]上单调递增，
所以ymin＝a，ymax＝(b－1)2＋a，
即函数的值域为[a，(b－1)2＋a]．
又已知函数的值域为[1，b]，
故，解得(舍去)或.
所以，所求a的值为1，b的值为3.
9.已知函数y＝的定义域为R.当m变化时，若y的最小值为f(m)，求函数f(m)的值域．
解析：由题意知mx2－6mx＋m＋8≥0对x∈R恒成立，
所以m＝0或，所以m∈[0,1]．
(1)当m＝0时，y＝2，所以f(m)＝2.①
(2)当01时，显然不成立．若0－2，解得－0，
则f[f(x)]＝.
根据f[f(x)]的图象(如图)可知，①②正确．
8.已知函数f(x)＝.
(1)画出f(x)的图象；
(2)写出f(x)的单调递增区间．
解析：(1)函数f(x)的图象如图所示．
(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．
9.(2019·宁夏银川模拟)已知函数f(x)＝|x－3|＋|x＋1|.
(1)作出y＝f(x)的图象；
(2)解不等式f(x)≤6.
解析：(1)f(x)＝|x－3|＋|x＋1|
＝.
图象如图所示．
(2)(方法一)由f(x)≤6，
得当x≤－1时，
－2x＋2≤6，x≥－2，
所以－2≤x≤－1.
当－13时，2x－2≤6，x≤4，所以30，即f(－2)f(－1)<0，故选B.
3.(改编)函数f(x)＝(x2－1)cos 2x在区间[0,2π]上的零点个数为( B )
A．6 B．5
C．4 D．3
解析：由f(x)＝(x2－1)cos 2x＝0，得x2－1＝0或cos 2x＝0.
由x2－1＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)．
由cos 2x＝0，得2x＝kπ＋(k∈Z)，故x＝＋(k∈Z)．
又因为x∈[0,2π]，所以x＝，，，.
所以零点的个数为1＋4＝5个，故选B.
4.(2019·山东省5月冲刺)a是f(x)＝2x－logx的零点，若00 D．f(x0)的符号不确定
解析：函数f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上是单调递增的，这个函数有零点，则这个零点是唯一的，根据函数f(x)
是单调递增的，所以在(0，a)上，函数f(x)的函数值小于零，即f(x0)<0.
5.某同学在求方程lgx＝2－x的近似解(精确到0.1)时，设f(x)＝lgx＋x－2，发现f(1)<0，f(2)>0，他用“二分法”又取了4个值，通过计算得到方程的近似解为x≈1.8，那么他所取的4个值中的第二个值为 1.75 .
解析：按照“二分法”又取的第一个值是1.5，第二值是1.5与2的中间值1.75.
6.(2019·福建莆田市3月质量检查)函数f(x)＝所有零点的和等于 0 .
解析：当x＜0时，()x－2＝0，解得x＝－1；
当x≥0时，x－1＝0，得x＝1，所以所有零点之和为0.
7.(2019·浙江省重点中学协作体高三第二学期4月联考)函数f(x)＝，则函数y＝f[f(x)]＋1的所有零点所构成的集合为 {－3，，，－} .
解析：由y＝f[f(x)]＋1＝0，得f(x)＝－2或f(x)＝，于是x＝－3或或或－，经验证它们都是函数f(x)的零点，所以所有零点所构成的集合为{－3，，，－}．
8.已知函数f(x)＝2(m－1)x2－4mx＋2m－1.
(1)m为何值时，函数图象与x轴只有一个公共点．
(2)如果函数的一个零点在原点，求m的值．
解析：(1)由条件知当m＝1时，函数f(x)＝－4x＋1与x轴只有一个交点，满足条件；
当m≠1时，Δ＝(－4m)2－8(m－1)(2m－1)＝0，解得m＝.
综上知，当m＝1或时，函数f(x)的图象与x轴只有一个公共点．
(2)函数的一个零点在原点，即x＝0为f(x)＝0的一个根，
所以有2(m－1)×02－4m·0＋2m－1＝0，解得m＝.
9.证明：方程x2－x－3＝0在[－2,3]上恰有两个实数解．
证明：设f(x)＝x2－x－3＝(x－)2－，
由于f(－2)＝f(3)＝3>0，f()＝－<0，
因此函数f(x)在[－2，]，[，3]内至少有一个零点．
又因为函数f(x)在区间[－2，]上单调递减，在区间[，3]上单调递增，
故函数f(x)在[－2，]，[，3]上都只有一个零点，
从而函数f(x)在[－2,3]上恰有两个零点，
即方程x2－x－3＝0在[－2,3]上恰有两个实数解．
1.某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：T(t)＝t3－3t＋60(℃)，t＝0表示中午12：00，其后t取值为正，则该物体下午3点时的温度为( B )
A. 8 ℃ B. 78 ℃
C. 112 ℃ D. 18 ℃
解析：据题意，下午3时对应的t＝3，
所以T(3)＝78 ℃，故选B.
2.某旅店有客床100张，各床每天收费10元时可全部额满．若每床每天收费每提高2元，则减少10张客床租出，这样，为了减少投入多获利，每床每天收费应提高( C )
A．2元 B．4元
C．6元 D．8元
解析：设每床每天收费提高2x(x∈N*)，
则收入y＝(10＋2x)(100－10x)＝20(5＋x)(10－x)，
所以当x＝2或3时，y取最大值．
当x＝2时，y＝1120，当x＝3时，y＝1120.
为满足减少投入要求应在收入相同的条件下多空出床位，故x＝3，故选C.
3.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( C )
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
4.某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y万元与营运年数x (x∈N*)的关系式为y＝－x2＋12x－25，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为( C )
A．2 B．4
C．5 D．6
解析：平均利润＝
＝12－(x＋)
≤12－10＝2，
当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立，故选C.
5.1海里约合1852 m，根据这一关系，米数y关于海里x的函数解析式为 y＝1852x(x≥0) .
6.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝ 20 吨．
解析：(方法一)设总费用为y万元，则有
y＝·4＋4x≥2＝160，
当且仅当·4＝4x，即x＝20时，y取最小值．
(方法二)设总费用为y万元，则有
y＝·4＋4x＝＋4x(x>0)，
由y′＝－＋4＝0，得x＝20.
所以当x＝20时，y取最小值．
7.(2019·珠海质检)某种细胞在培养过程中正常情况下，时刻t(单位：分钟)与细胞数n(单位：个)的部分数据如下：
t
0
20
60
140
n
1
2
8
128
根据表中数据，推测繁殖到1000个细胞时的时刻t最接近于 200 分钟．
解析：由表格中所给数据可以得出n与t的函数关系为n＝2，令n＝1000，得2＝1000，又210＝1024，所以时刻t最接近200分钟．
8.商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数n是羊毛衫标价x的一次函数，标价越高，购买人数越少．已知标价为每件300元时，购买人数为零．标价为每件225元时，购买人数为75人．若这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的相同价格(标价)出售，问：
(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？
解析：(1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，
则n＝kx＋b(k<0)，
所以，所以，
所以n＝－x＋300.
y＝－(x－300)·(x－100)＝－(x－200)2＋10000，x∈(100,300]，
所以x＝200时，ymax＝10000，
即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．
(2)由题意得，
－(x－300)·(x－100)＝10000×75%，
所以x2－400x＋30000＝－7500，
所以x2－400x＋37500＝0，
所以(x－250)(x－150)＝0，所以x1＝250，x2＝150.
所以当商场以每件150元或250元出售时，可获得最大利润的75%.
9.经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足f(t)＝20－|t－10|(元)．
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．
解析：(1)y＝g(t)·f(t)
＝(80－2t)·(20－|t－10|)
＝(40－t)(40－|t－10|)
＝.
(2)当0≤t<10时，y的取值范围是[1200,1225]．
在t＝5时，y取得最大值为1225；
当10≤t≤20时，y的取值范围是[600,1200]，
在t＝20时，y取得最小值为600.
答：第5天，日销售额y取得最大值为1225元，第20天，y取得最小值600元．
第三单元 导数及其应用
1.下列求导运算正确的是( B )
A．(x＋)′＝1＋ B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cos x)′＝－2xsin x
解析：(x＋)′＝1－；(3x)′＝3x·ln 3；
(x2cos x)′＝(x2)′·cos x＋x2·(cos x)′
＝2xcos x－x2sin x，
所以A、C、D错．故选B.
2.若f′(x0)＝3，则 等于( B )
A．3 B．6
C．9 D．12
解析：
＝
＝ ＋
＝f′(x0)＋f′(x0)＝6，选B.
3.(2019·山东省日照市12月)设函数f(x)＝x2－6x，则f(x)在x＝0处的切线斜率为( D )
A．0 B．－1
C．3 D．－6
解析：f(x)在x＝0处的切线斜率为
f′(0)＝(2x－6)|x＝0＝－6.
4.已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象大致形状是( B )
解析：设二次函数y＝ax2＋b(a<0，b>0)，则y′＝2ax，又因为a<0，故选B.
5.(2019·安徽皖南联考)曲线f(x)＝sin x的切线的倾斜角α的取值范围是 [0，]∪[，π) .
解析：f′(x)＝cos x，而cos x∈[－1,1]，即－1≤tan α≤1，又α∈[0，π)，由正切函数图象得α∈[0，]∪[，π)．
6.(2019·广东省揭阳段考)如图，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f′(4)＝ .
解析：由图象知l过点(0,3)、(4,5)，因此可以求出切 线l在点(4,5)处的斜率，f′(4)＝＝.
7.(2019·广东省汕头市质量测评)设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝ 1 .
解析：由y′＝2ax，又点(1，a)在曲线y＝ax2上，
依题意得k＝y′|x＝1＝2a＝2，解得a＝1.
8.设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，试求a1＋a2＋…＋a99的值．
解析：因为y′＝(n＋1)xn，故y′|x＝1＝n＋1，
所以切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．
令y＝0，则xn＝，所以an＝lg.
所以a1＋a2＋…＋a99＝lg＋lg＋…＋lg＝lg＝－2.
9.已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.
(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；
(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P的直线方程．
解析：(1)由f(x)＝x3－3x，得f′(x)＝3x2－3，
过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0，
所以所求直线方程为y＝－2.
(2)设过P(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x0，y0)，
则f′(x0)＝3x－3，
又直线l过(x0，y0)，P(1，－2)，
故其斜率可表示为＝，
所以＝3x－3，
即x－3x0＋2＝3(x－1)·(x0－1)，
解得x0＝1(舍去)或x0＝－，
故所求直线的斜率为k＝3×(－1)＝－，
所以直线方程为y－(－2)＝－(x－1)，
即9x＋4y－1＝0.
1.(2019·广东韶关市调研)函数y＝xex的最小值是( C )
A．－1 B．－e
C．－ D．不存在
解析：y′＝ex＋xex，令y′＝0，则x＝－1.
当x＜－1时，y′<0；当x＞－1时，y′>0，
所以x＝－1时，ymin＝－，故选C.
2.(2019·安徽省“江南十校”3月联考)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的图象如图所示，则下列叙述正确的是( C )
A．f(b)>f(c)>f(d) B．f(b)>f(a)>f(e)
C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(e)>f(d)
解析：观察函数f(x)的特征图象可知函数f(x)在区间(－∞，c]上单调递增，由于a＜b＜c，所以f(c)>f(b)>f(a)，故选C.
3.(2019·山东省潍坊市三县10月联考)函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝( D )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：因为f′(x)＝3x2＋2ax＋3，且f(x)在x＝－3时取得极值，所以f′(－3)＝3×9＋2a×(－3)＋3＝0，解得a＝5，故选D.
4.(2019·江苏省南京市、盐城市第一次模拟)函数f(x)＝(x2＋x＋1)ex(x∈R)的单调减区间为 (－2，－1) .
解析：f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex
＝(x2＋3x＋2)ex(x∈R)，
令f′(x)<0，则x2＋3x＋2<0，
解得－20，
所以g(x)≥0或g(x)≤0在x∈[，]上恒成立，
由g(1)≥0或g()≤0，得00在(1，＋∞)恒成立，
所以f(x)的增区间为(1，＋∞)．
若a>0，则>1，
故当x∈(1，]，f′(x)＝≤0，
当x∈[，＋∞)时，f(x)＝≥0，
所以a＞0时，f(x)的减区间为(1，)，f(x)的增区间为[，＋∞)．
1.(2019·广东省深圳市期末)在半径为R的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱的体积的最大值是( A )
A.πR3 B.πR3
C.πR3 D.πR3 解析：设圆柱的高为h，
则圆柱的底面半径为，
圆柱的体积为V＝π(R2－h2)h＝－πh3＋πR2h(0b>c B．c>b>a
C．c>a>b D．a>c>b
解析：令F(x)＝x·f(x)，则F′(x)＝f(x)＋x·f′(x)，又由x<0时，F′(x)＝f(x)＋x·f′(x)<0，可知F(x)在(－∞，0)上为减函数．因为f(x)为R上的奇函数，所以F(x)＝x·f(x)为R上的偶函数，则F(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，图象关于y轴对称．因为1<30.3<<2,0a>b，故选C.
3.(2019·河北邢台市11月)已知函数f(x)＝x3＋x，则不等式f(2－x2)＋f(2x＋1)>0的解集是( D )
A．(－∞，－－1)∪(－1，＋∞)
B．(－－1，－1)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
D．(－1,3)
解析：因为f(－x)＝－x3－x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．又f′(x)＝x2＋1>0，所以函数f(x)为增函数，于是由f(2－x2)＋f(2x＋1)>0得f(2x＋1)>－f(2－x2)＝f(x2－2)，所以2x＋1>x2－2，解得－10，
当x∈(e2，＋∞)时，f′(x)<0，
所以f(x)max＝f(e2)＝，
故实数k的取值范围是(－∞，]．
6.某企业现有甲、乙两个项目的投资计划，若投资甲项目资金p万元，则获得利润p万元；若投资乙项目资金q万元，则获得利润ln q万元．已知该企业投资甲、乙两项目资金共10万元，且甲、乙两项目投入资金都不低于1万元，则甲项目投入 6 万元，乙项目投入 4 万元，能使企业获得的最大利润为 1.6 万元(精确到0.1，参考数据ln 2＝0.7)．
解析：设投入乙项目x万元，则甲项目投入(10－x)万元，且1≤x≤9，所获总利润y＝(10－x)＋ln x(1≤x≤9)，
所以y′＝－＋，由y′＝0，得x＝4.
而当x∈(1,4)时，y′>0；当x∈(4,9)时，y′<0，
所以当x＝4时，ymax＝＋×2×0.7＝1.56≈1.6.
故甲项目投入资金6万元，乙项目投入资金4万元，企业获得最大总利润1.6万元．
7.(2019·浙江台州市模拟)已知f(x)＝x3－3x＋m在区间[0,2]上任取三个数a，b，c，均存在以f(a)，f(b)，f(c)为边长的三角形，则m的取值范围是 (6，＋∞) .
解析：由f ′(x)＝3x2－3＝0得x1＝1，x2＝－1(舍去)，
所以函数f(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,2)上单调递增，
则f(x)min＝f(1)＝m－2，f(x)max＝f(2)＝m＋2，
由题意知，f(1)＝m－2>0，①
f(1)＋f(1)>f(2)，得到－4＋2m>2＋m，②
由①②得到m＞6为所求．
8.(2019·江西省上饶县第三次模拟)已知函数f(x)＝x2－ln x.
(1)若a＝1，证明f(x)没有零点；
(2)若f(x)≥恒成立，求a的取值范围．
解析：(1)当a＝1时，f(x)＝x2－ln x，
f′(x)＝x－.
由f′(x)＝0，得x＝1，可得f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
故f(x)的最小值f(x)min＝f(1)＝>0，
所以f(x)没有零点．
(2)f′(x)＝ax－＝，
(ⅰ)若a>0时，令f′(x)≥0，则x≥，
故f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，
故f(x)在(0，＋∞)上的最小值为f()＝＋ln a，
要使f(x)≥恒成立，只需＋ln a≥，得a≥1.
(ⅱ)若a≤0，f′(x)<0恒成立，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(1)＝≤0，
故不可能f(x)≥恒成立，
综上所述，实数a的取值范围是a≥1.
9.某工厂生产某种产品，每日的成本C(单位：元)与日产量x(单位：吨)满足函数关系式C＝10000＋20x，每日的销售额R(单位：元)与日产量x的函数关系式
R＝，
已知每日的利润y＝R－C，且当x＝30时，y＝－100.
(1)求a的值；
(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．
解析：(1)由题意可得
y＝.
因为x＝30时，y＝－100，
所以－100＝－×303＋a×302＋270×30－10000，
所以a＝3.
(2)当00)在一个周期内的图象，此函数的解析式可为( B )
A．y＝2sin(2x＋) B．y＝2sin(2x＋)
C．y＝2sin(－) D．y＝2sin(2x－)
解析：由于最大值为2，所以A＝2，
又＝－(－)＝⇒T＝π⇒＝π⇒ω＝2，
所以y＝2sin(2x＋φ)，
将x＝－代入得sin(－＋φ)＝1，
结合点的位置，知－＋φ＝2kπ＋⇒φ＝2kπ＋(k∈Z)，
所以函数的解析式可为y＝2sin(2x＋)，故选B.
3.把函数y＝cos x－sin x的图象向左平移m(m>0)个单位，所得的图象关于y轴对称，则m的最小正值是( D )
A. B.
C. D.
解析：y＝2cos(x＋)，向左平移m个单位得y＝2cos(x＋m＋)为偶函数，所以当x＝0时，cos(m＋)＝±1，m＋＝kπ，m＝－＋kπ(k∈Z)，取k＝1，得m的最小正值为，故选D.
4.(2019·山东省模拟)把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得的图象解析式为y＝sin x，则( B )
A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝－
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝
解析：把y＝sin x图象上所有点的横坐标缩小到原来的，得到的函数解析式是y＝sin 2x，再把这个函数图象向右平移，得到的函数图象的解析式是y＝sin 2(x－)＝sin(2x－)，与已知函数比较得ω＝2，φ＝－，故选B.
5.若f(x)＝sin(x＋)，x∈[0,2π]，关于x的方程f(x)＝m有两个不相等实数根x1，x2，则x1＋x2等于( A )
A.或 B.
C. D．不确定
解析：对称轴x＝＋kπ∈[0,2π]，
得对称轴x＝或x＝，
所以x1＋x2＝2×＝或x1＋x2＝2×＝，故选A.
6.如图是y＝sin(ωx＋φ)(|φ|<)的图象的一部分，则φ＝ ，ω＝ 2 .
解析：由图象可知T＝π，所以ω＝＝2，
当x＝－时，sin [2×(－)＋φ]＝0，
即φ－＝kπ，所以φ＝＋kπ，
又|φ|<，所以φ＝，故填φ＝，ω＝2.
7.(2019·江苏省无锡市五校联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…f(2019)＝ 2＋ .
解析：由图可得：T＝8，A＝2，φ可取0.
且f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)＝0，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝＋2.
8.已知函数f(x)＝a＋bsin x＋ccos x(b>0)的图象经过点A(0,1)，B(，1)，当x∈[0，]时，f(x)的最大值为2－1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)由f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位，再向上平移k(k>0)个单位得到一个奇函数y＝g(x)的图象，求出一个符合条件的φ与k的值．
解析：(1)由已知得⇒b＝c.
所以f(x)＝a＋bsin(x＋)，
最大值为 f()＝a＋b＝2－1，
所以a＝－1，b＝2，c＝2，
所以f(x)＝2sin(x＋)－1.
(2)取φ＝，k＝1，
则平移后得f(x)＝2sin x为奇函数．
9.(2019·东城二模)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中x∈R，A>0，ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示．
(1)求A，ω，φ的值；
(2)已知在函数f(x)图象上的三点M，N，P的横坐标分别为－1,1,3，求sin ∠MNP的值．
解析：(1)由图可知，A＝1，
f(x)的最小正周期T＝4×2＝8，
所以T＝＝8，故ω＝，
又f(1)＝sin(＋φ)＝1，且－<φ<，
所以＋φ＝，所以φ＝.
(2)因为f(－1)＝0，f(1)＝1，f(3)＝0，
所以M(－1,0)，N(1,1)，P(3,0)．
设Q(1,0)，在等腰三角形MNP中，设∠MNQ＝α，
则sin α＝，cos α＝，
所以sin ∠MNP＝sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝.
1.(2019·石家庄市质检)下列函数中，周期是π，又是偶函数的是( D )
A．y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝sin 2x D．y＝cos 2x
解析：周期是π的函数是y＝sin 2x和y＝cos 2x，其中y＝cos 2x是偶函数，故选D.
2.(2019·浙江省温州)函数y＝lg(sin2x－cos2x)的定义域是( D )
A．{x|2kπ－0，得cos 2x<0，
所以2x∈[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)，
即x∈[kπ＋，kπ＋](k∈Z)，故选D.
3.(改编)函数y＝sin2x－sin x＋2的最大值是( C )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：配方得y＝sin2x－sin x＋2＝(sin x－)2＋.
显然，当sin x＝－1时，ymax＝4，故选C.
4.(2019·广东省六校联合体联考)已知函数f(x)＝2cos(ωx－)与函数g(x)＝3sin(2x＋φ)(0<φ<)图象的对称中心完全相同，则函数f(x)图象的一条对称轴是( D )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
解析：由题意可知两函数的周期相同，所以ω＝2，
故f(x)＝2cos(2x－)．
令2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)图象的对称轴是x＝＋kπ，k∈Z.
当k＝0时，x＝，故选D.
5.(2019·太原市模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx－)(ω>0)在(0，)上单调递增，在(，2π)上单调递减，则ω＝( A )
A. B．1
C. D.
解析：由题意可知函数f(x)当x＝时取得最大值，则－＝2kπ＋，所以ω＝k＋(k∈Z)，故当k取0时可得ω＝，故选A.
6.设函数f(x)＝cos 3x，若f(x＋t)是奇函数，则t的一个可能值为 (满足＋即可) .
解析：因为f(x＋t)＝cos 3(x＋t)＝cos(3x＋3t)为奇函数，所以令3t＝＋kπ，k∈Z，
可得t＝＋，k∈Z，可取其中一个可能值t＝.
7.y＝的定义域为 [2kπ＋，2kπ＋](k∈Z) .
解析：要使函数有意义，2sin x－1≥0，即sin x≥.
由图象可知2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
8.(2019·陕西省长安第一次模拟)已知函数f(x)＝4cos xsin(x＋)－1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值．
解析：(1)因为f(x)＝4cos xsin(x＋)－1
＝4cos x(sin x＋cos x)－1
＝sin 2x＋2cos2x－1
＝sin 2x＋cos 2x
＝2sin(2x＋)，
所以f(x)的最小正周期为π.
(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤.
于是，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－1.
9.(2019·北京卷)已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求f(x)的单调递增区间．
解析：(1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．
因为f(x)＝
＝2cos x(sin x－cos x)
＝sin 2x－cos 2x－1
＝sin (2x－)－1.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)函数y＝sin x的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(x≠kπ，k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ)和(kπ，kπ＋](k∈Z)．
1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c＝，B＝，则b＝( A )
A. B．2
C．3 D．7
解析：由余弦定理，得b＝＝.
2.(2019·长春市第一次调研)在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，则C＝( C )
A.或 B.
C. D.
解析：由正弦定理得sin C＝＝，
又BC＝3，AB＝，所以A>C，则C为锐角，
所以C＝，故选C.
3.(2019·宁德质检)已知△ABC的面积为，AC＝，∠ABC＝，则△ABC的周长等于( A )
A．3＋ B．3
C．2＋ D.
解析：由题意可得AB·BC·sin ∠ABC＝，
即AB·BC·＝，所以AB·BC＝2.
再由余弦定理可得3＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos＝AB2＋BC2－2，
所以AB2＋BC2＝5，
所以(AB＋BC)2＝AB2＋BC2＋2AB·BC＝5＋4＝9，
所以AB＋BC＝3，
所以△ABC的周长等于AB＋BC＋AC＝3＋，故选A.
4.(2019·长春市第三次调研)若满足条件AB＝，C＝的三角形ABC有两个，则边长BC的取值范围是( C )
A．(1,2) B．(，)
C．(，2) D．(，2)
解析：若满足条件的三角形有两个，
则应＝sin C0，所以sin 3x B．4x0，所以f(x)为增函数．
又0f(0)＝0，
即4x－sin 3x>0，所以4x>sin 3x.
4.(2019·南通市教研室全真模拟)已知电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝Asin ωt，t∈[0，＋∞)，设ω＝100π，A＝5，则电流I(A)首次达到峰值时t的值为( C )
A. B.
C. D.
解析：易得周期T＝＝，则函数I＝Asin ωt，t∈[0，＋∞)首次达到峰值时t＝＝.
5.(2019·山东省冲刺预测)如图，在台湾“莫拉克”台风灾区的搜救现场，一条搜救狗沿正北方向行进x m发现生命迹象，然后向右转105°，行进10 m发现另一生命迹象，这时它向右转135°回到出发点，那么x＝ m.
解析：因为∠ABC＝180°－105°＝75°，∠BCA＝180°－135°＝45°，∠A＝180°－75°－45°＝60°，
所以＝，所以x＝ m.
6.(2019·长春市第四次调研测)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30 m，并在C测得塔顶A的仰角为60°，则塔的高度为 15 m.
解析：在△BCD中，根据正弦定理得，
BC＝·sin ∠CDB＝×sin 30°＝15，
在Rt△ABC中，AB＝BC·tan ∠ACB＝15×tan 60°＝15为所求．
7.(2019·无锡市第一次模拟)如图，两座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD的大小是 45° .
解析：tan ∠ADC＝tan ∠DAB＝＝＝3，
tan ∠DCA＝＝2，
所以tan ∠DAC＝tan(π－∠ADC－∠DCA)
＝－
＝－＝1，
而∠ADC＞45°，∠DCA＞45°，所以0°<∠DAC<90°，
所以∠DAC＝45°.
8.化工厂主控制表盘高1 m，表盘底边距地面2 m，问值班人员坐在什么位置看表盘看得最清楚？(设值班人员坐在椅子上时，眼睛距地面1.2 m)
解析：如图，设∠CAD＝β，
∠BAD＝α，∠BAC＝φ，
CD＝2－1.2＝0.8，
设AD＝x(x>0)，
则tan α＝＝＝；
tan β＝＝，
因为tan φ＝tan(α－β)＝
＝≤＝＝.
当x＝，即x＝1.2时，tan φ达到最大值，
因为φ是锐角，
所以tan φ最大时，视角φ最大，所以值班人员看表最清楚的位置为AD＝1.2 m，即表盘前1.2 m处．
9.(2019·石家庄市质检)某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝14，BC＝10，AC＝16，∠C＝∠D.
(1)求AB的长度；
(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低，请说明理由．
解析：(1)在△ABC中，由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C
＝162＋102－2×16×10cos C，①
在△ABD中，由余弦定理及∠C＝∠D整理得
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos D
＝142＋142－2×142cos C，②
由①②得：
142＋142－2×142cos C＝162＋102－2×16×10cos C，
解得cos C＝.
又因为∠C为三角形的内角，所以C＝60°，
又∠C＝∠D，AD＝BD，所以△ABD是等边三角形，
故AB＝14，即AB的长度为14.
(2)小李的设计符合要求，理由如下：
S△ABD＝AD·BDsin D，S△ABC＝AC·BCsin C，
因为AD·BD>AC·BC，sin D＝sin C，
所以S△ABD>S△ABC，
由已知建造费用与用地面积成正比，故选择△ABC建造环境标志费用较低，即小李的设计符合要求．
第五单元 平面向量与复数
1.(2019·福州市3月质检)在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且与点C不重合，若＝x＋(1－x)·，则实数x的取值范围是( A )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(0,1)
解析：＝x＋(1－x)可化为＝x，因为点O在线段BC的延长上，所以x∈(－∞，0)，故选A.
2.(2019·本溪、庄河联考)如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交其对角线于K，其中＝，＝，＝λ，则λ的值为( A )
A. B.
C. D.
解析：过点F作FG∥CD交AC于G，
则G是AC的中点，且＝＝，
所以＝＝×＝，则λ的值为，故选A.
3.(2019·吉林市3月预测)满足方程(3,1)x2＋(2，－1)x＋(－8，－6)＝0的实数x为( A )
A．－2 B．－3
C．3 D.
解析：由(3x2＋2x－8，x2－x－6)＝0，
则，解得x＝－2，故选A.
4.(2019·山东省日照市)如图所示，已知＝2，＝a，＝b，＝c，则下列等式中成立的是( A )
A．c＝b－a B．c＝2b－a
C．c＝2a－b D．c＝a－b
解析：由＝2，得＋＝2(＋)，
即2＝－＋3，即c＝b－a，故选A.
5.(2019·辽宁鞍山第二次模拟)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(－3，－5)，则＝ (1,3) .
解析：因为＝＋＝(－1，－1)，
所以＝＋＝(1,3)．
6.(2019·北京市石景山区一模)设向量a＝(cos θ，1)，b＝(1,3cos θ)，且a∥b，则cos 2θ＝ － .
解析：因为a∥b，所以cos θ·3cos θ－1＝0，
即3cos2θ＝1，cos2θ＝，
所以cos 2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－.
7.(2019·临沂二模)在△ABC中，已知D是边AB上的一点，若＝2，CD＝＋λ，则λ＝ .
解析：因为＝2，所以＝，
又＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝.
8.已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4以及点A(1,1)，M为圆上任意一点，点N在线段MA的延长线上，且MA＝2AN，求点N的轨迹方程．
解析：设N(x，y)，M(x1，y1)．
由题意可知，＝2，
所以(1－x1,1－y1)＝2(x－1，y－1)，
所以.
又M在圆C上，所以(x1－3)2＋(y1－3)2＝4，
将方程组代入上式，得x2＋y2＝1，
故点N的轨迹方程为x2＋y2＝1.
9.已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若＝＋λ(λ∈R)，试求：
(1)λ为何值时，点P在第三象限；
(2)点P到原点的最短距离．
解析：(1)设P(x，y)，
则＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)．
又＝＋λ
＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]
＝(3,1)＋λ(5,7)
＝(3＋5λ，1＋7λ)．
所以(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
即，所以，①
因为点P在第三象限，所以，
所以λ<－1，
故当λ<－1时，点P在第三象限．
(2)将①消去λ，得P点轨迹方程为直线7x－5y－15＝0，
所以点P到原点的最短距离为d＝＝.
1.(2019·辽宁卷)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量是( A )
A．(，－) B．(，－)
C．(－，) D．(－，)
解析：由已知，＝(3，－4)，且||＝5，
所以与同方向的单位向量为＝(，－)，故选A.
2.(2019·北京卷)已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k＝ 1 .
解析：因为a－2b＝(，3)，c＝(k，)，又因为a－2b与c共线，
(方法一)所以×－3k＝0⇒k＝1.
(方法二)所以a－2b＝λc⇔⇒.
3.(2019·江苏卷)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为 .
解析：＝＋
＝＋
＝＋(－)
＝－＋，
所以λ1＋λ2＝－＋＝. 4.(2019·山东卷)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈R)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知点C(c,0)，D(d,0)(c，d∈R)调和分割点A(0,0)，B(1,0)，则下面说法正确的是( D )
A．C可能是线段AB的中点
B．D可能是线段AB的中点
C．C，D可能同时在线段AB上
D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上
解析：由＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈R)知，四点A1，A2，A3，A4在同一条直线上．
因为C，D调和分割点A，B，所以A，B，C，D四点在同一直线上，又＋＝2，所以＋＝2，故选D.
5.(2019·全国卷)△ABC中，AB边的高为CD，若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则＝( D )
A.a－b B.a－b
C.a－b D.a－b
解析：由a·b＝0，知a⊥b，|AB|＝，
用等面积法求得|CD|＝.
所以|AD|＝＝，
又|AB|＝，所以＝＝(a－b)，故选D.
1.(2019·福建省泉州市3月质检)已知a＝(2,1)，b＝(－1，－3)，则|a－b|等于( C )
A. B.
C．5 D．25
解析：a－b＝(3,4)，|a－b|＝5，故选C.
2.(2019·安徽省皖北协助区高三联考)已知e1，e2是两夹角为120°的单位向量，a＝3e1＋2e2，则|a|等于( D )
A．4 B.
C．3 D.
解析：由题可知，e1·e2＝cos 120°＝－，
所以|a|＝＝＝＝，故选D.
3.(2019·延庆县第一次模拟)O是坐标原点，向量＝(－1,2)，n＝(1,2)，若n·＝4，则n·等于( A )
A．1 B．－1
C．7 D．－7
解析：(方法一)设B(x，y)，则由4＝n·＝(1,2)(x，y)＝x＋2y，得x＋2y＝4，
又＝(x＋1，y－2)，
所以n·＝(1,2)·(x＋1，y－2)＝x＋1＋2y－4＝x＋2y－3＝4－3＝1，故选A.
(方法二)n·＝n(－)＝n·－n·＝4－3＝1.
4.(2019·山东省青州市上期期中联考)O是△ABC所在平面内的一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状一定为( C )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．斜三角形
解析：由(－)·(＋－2)＝0，
得·(＋)＝0，
而＋与BC上的中线共线，
所以中线也与BC垂直，则AB＝AC，故选C.
5.(2019·吉林省长春市3月第二次调研)若圆O的半径为3，直径AB上一点D使＝3，E，F为另一直径的两个端点，则·＝( D )
A．－3 B．－4
C．－6 D．－8
解析：·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝1－9＝－8，故选D.
6.(2019·北京市东城区期末考试)已知向量a＝(3，－2)，b＝(3m－1,4－m)，若a⊥b，则m的值为 1 .
解析：因为a⊥b，所以a·b＝3(3m－1)＋(－2)(4－m)＝0，所以m＝1.
7.(2019·瑞安模拟)已知平面向量a，b，c不共线，且两两之间的夹角都相等，若|a|＝2，|b|＝2，|c|＝1，则a＋b＋c与a的夹角是 60° .
解析：因为(a＋b＋c)·a
＝a2＋a·b＋a·c
＝4＋2·2·cos 120°＋2·1·cos 120°
＝1，
|a＋b＋c|＝
＝
＝1，
所以cos 〈a＋b＋c，a〉＝＝，夹角为60°.
8.(2019·烟台市第二次模拟)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，|a－b|＝2.
(1)求a·b的值；
(2)求|a＋b|的值．
解析：(1)由|a－b|＝2得
|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝4＋1－2a·b＝4，
所以a·b＝.
(2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋2×＋1＝6，
所以|a＋b|＝.
9.已知A(1,0)，B(0,1)，C(2sin θ，cos θ)．
(1)若||＝||，求tan θ的值；
(2)若(＋2)·＝1，其中O为坐标原点，求sin 2θ.
解析：(1)＝(2sin θ－1，cos θ)，＝(2sin θ，cos θ－1)，
因为||＝||，所以2＝2，
所以(2sin θ－1)2＋cos2θ＝4sin2θ＋(cos θ－1)2，
化简得2sin θ＝cos θ，因为cos θ≠0，所以tan θ＝.
(2)＋2＝(1,2)，
由(＋2)·＝1，得2sin θ＋2cos θ＝1，
sin θ＋cos θ＝，所以(sin θ＋cos θ)2＝，sin 2θ＝－.
1.已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是( B )
A．[0，] B．[，π]
C．[，] D．[，π]
解析：依题意得，Δ＝|a|2－4a·b≥0⇒a·b≤|a|2，
所以cos 〈a，b〉＝≤＝，
所以〈a，b〉∈[，π]．
2.设a、b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有( A )
A．a⊥b B．a∥b
C．|a|＝|b| D．|a|≠|b|
解析：因为f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)
＝xa2－x2a·b＋a·b－xb2
＝－x2a·b＋(a2－b2)x＋a·b，
且f(x)的图象是一条直线，所以a·b＝0⇒a⊥b.
3.(2019·广东省中山市高三期末)如图，将45°的直角三角板ADC和30°的直角三角板ABC拼在一起组成平面四边形ABCD，其中45°的直角三角板的斜边AC与30°的直角三角板的30°所对的直角边重合，若＝x＋y，则x，y分别等于( B )
A.，1 B.，＋1
C．2， D.＋1，
解析：以DA，DC为x轴，y轴建立直角坐标系．
设||＝||＝1，则点C(0,1)，B(x，y)．
由题意知直线BC的倾斜角为45°，
所以kBC＝＝tan 45°＝1，
即x－y＋1＝0，只有B适合，故选B.
4.(2019·北京市东城区1月)在平面直角坐标系xOy中，已知向量与关于y轴对称，向量a＝(1,0)，则满足不等式2＋a·≤0的点A(x，y)的集合用阴影表示为( B )
解析：设点A(x，y)，则＝(x，y)，＝(－x，y)，
所以2＋a·＝x2＋y2－2x＝(x－1)2＋y2－1≤0，
所以点A(x，y)的集合为以(1,0)为圆心，1为半径的圆的内部，故选B.
5.(2019·烟台市第二次模拟)若向量a＝(，sin θ)，b＝(cos θ，)，且a∥b，则锐角θ等于( C )
A．15° B．30°
C．45° D．60°
解析：由条件知sin θcos θ－×＝0，
则sin 2θ＝1，因为θ为锐角，
则2θ＝90°，解得θ＝45°，故选C.
6.已知抛物线y2＝4x与直线y＝2x－4交于A、B两点，如果在该抛物线上存在点C，使＋＝λ(O为坐标原点)，则实数λ＝ .
解析：由题意，易得A(1，－2)，B(4,4)，
则有(5,2)＝λ(，m)，λ＝.
7.(2019·山东省青岛市高三期末)设i，j是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且＝－2i＋j，＝4i＋3j，则△AOB的面积等于 5 .
解析：由条件知||＝，||＝5，
由向量夹角公式得cos ∠AOB＝＝－，
所以sin ∠AOB＝，
所以S△ABC＝||||sin ∠AOB
＝××5×＝5.
8.(2019·山东济南市12月)已知平面向量a＝(，－1)，b＝(，)．
(1)若存在实数k和t，使x＝(t＋2)a＋(t2－t－5)b，y＝－ka＋4b，且x⊥y，试求出k关于t的函数关系式k＝f(t)；
(2)根据(1)的结论，试求出函数k＝f(t)在t∈(－2,2)上的最小值．
解析：(1)a·b＝0，且|a|＝2，|b|＝1，
所以x·y＝－(t＋2)·k·(a)2＋4(t2－t－5)·(b)2＝0，所以k＝f(t)＝(t≠－2)．
(2)k＝f(t)＝＝t＋2＋－5.
因为t∈(－2,2)，所以t＋2>0，
则k＝t＋2＋－5≥－3，当且仅当t＋2＝1，即t＝－1时取等号，所以k的最小值为－3.
9.已知向量a＝(sin α，cos α)，b＝(6sin α＋cos α，7sin α－2cos α)，设函数f(α)＝a·b.
(1)求函数f(α)的最大值；
(2)在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，f(A)＝6，且△ABC的面积为3，b＋c＝2＋3，求
a的值．
解析：(1)f(α)＝a·b
＝sin α(6sin α＋cos α)＋cos α(7sin α－2cos α)
＝6sin2α－2cos2α＋8sin αcos α
＝4(1－cos 2α)＋4sin 2α－2
＝4sin(2α－)＋2，
所以[f(α)]max＝4＋2.
(2)由(1)可得f(A)＝4sin(2A－)＋2＝6，
sin(2A－)＝.
因为0－λ(n≥2)⇒λ＞1－2n(n≥2)，要使n∈N*恒成立，则λ＞－3.
7.(2019·山东青岛市期末)对于正项数列{an}，定义Hn＝为{an}的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为Hn＝，则数列{an}的通项公式为an＝ .
解析：由Hn＝，可得
a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝＝，①
a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝，②
由①－②，得
nan＝－＝，
所以an＝.
8.(2019·北京市东城区一模)若对于正整数k，g(k)表示k的最大奇数因数，例如g(3)＝3，g(10)＝5.设Sn＝g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＋…＋g(2n)．
(1)求g(6)，g(20)的值；
(2)求S1，S2，S3的值．
解析：(1)g(6)＝3，g(20)＝5.
(2)S1＝g(1)＋g(2)＝1＋1＝2；
S2＝g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＝1＋1＋3＋1＝6；
S3＝g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＋g(5)＋g(6)＋g(7)＋g(8)＝1＋1＋3＋1＋5＋3＋7＋1＝22.
9.设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(n∈N*)，且a4＝54，求：
(1)a1的值；
(2)通项an.
解析：(1)因为S4＝，S3＝，
所以a4＝S4－S3＝27a1＝54，即a1＝2.
(2)因为Sn＝，所以Sn－1＝(n≥2)，
所以an＝3n－3n－1＝2·3n－1(n≥2)．
显然a1＝2满足an＝2·3n－1，
所以数列{an}的通项an＝2·3n－1(n∈N*)．
1.(2019·广东省惠州市第三次调研)设{an}是等差数列，且a2＋a3＋a4＝15，则这个数列的前5项和S5＝( D )
A．10 B．15
C．20 D．25
解析：由a2＋a3＋a4＝15知3a3＝15，所以a3＝5，所以S5＝5a3＝25，故选D.
2.(2019·太原市第二次模拟)已知数列{an}为等差数列，Sn是它的前n项和．若a1＝2，S3＝12，则S4＝( C )
A．10 B．16
C．20 D．24
解析：设公差为d，则S3＝3×2＋3d＝12，则d＝2，所以S4＝4×2＋6×2＝20，故选C.
3.(2019·浙江杭师大附中第三次模拟)若等差数列{an}满足anan＋1＝n2＋3n＋2，则公差为( C )
A．1 B．2
C．1或－1 D．2或－2
解析：anan＋1＝n2＋3n＋2＝(n＋1)(n＋2)，
则an＝n＋1或an＝－n－1，公差为1或－1，故选C.
4.(2019·山东省莱芜市上期末)等差数列{an}中，已知a1＝－6，an＝0，公差d∈N*，则n(n≥3)的最大值为( A )
A．7 B．6
C．5 D．8
解析：an＝a1＋(n－1)d＝0，所以d＝.
又d∈N*，所以n(n≥3)的最大值为7，故选A.
5.(2019·山东滨州期中联考)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a9＋a11＝30，那么S13的值是 130 .
解析：设公差为d，
则a1＋(a1＋8d)＋(a1＋10d)＝30，整理得a1＋6d＝10，
所以S13＝13a1＋d＝13(a1＋6d)＝130.
6.(2019·福建省泉州市3月质检)已知等差数列{an}，若a1＝3，前三项和为21，则a4＋a5＋a6＝ 57 .
解析：由条件知3×3＋3d＝21，d＝4，
所以a4＋a5＋a6＝3a1＋12d＝3×3＋4×12＝57.
7.(改编)在等差数列{an}中，a1＝－2019，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2019＝__－2019__.
解析：设公差为d，则
Sn＝na1＋，＝a1＋，
由－＝－＝d，所以d＝2，
所以S2019＝2019×(－2019)＋×2＝－2019.
8.(2019·北京市东城区上期期末考试)在等差数列{an}中，若a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn的最大值．
解析：(1)设等差数列的公差为d，则
由a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，
得，解得，
所以所求数列{an}的通项公式an＝20－3n.
(2)由，解得≤n≤，
因为n∈N*，所以n＝6，
故前n项和Sn的最大值为S6＝6×17＋×(－3)＝57.
9.(2019·山东省济宁市重点中学上期期中)设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.
(1)若S5＝5，求S6及a1；
(2)求d的取值范围．
解析：(1)由题意知S6＝＝－3，
所以a6＝S6－S5＝－8.
所以，解得a1＝7，
所以S6＝－3，a1＝7.
(2)(方法一)因为S5S6＋15＝0,
所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，
即2a＋9da1＋10d2＋1＝0.
故(4a1＋9d)2＝d2－8. 所以d2≥8.
故d的取值范围为d≤－2或d≥2.
(方法二)因为S5S6＋15＝0,
所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，
即2a＋9da1＋10d2＋1＝0.
看成关于a1的一元二次方程，因为有根，
所以Δ＝81d2－8(10d2＋1)＝d2－8≥0，解得d≤－2或d≥2.
1.(2019·广东惠州市第二次调研)设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则＝( B )
A．31 B．15
C．16 D．32
解析：＝＝[1－()4]·24＝24－1＝15，故选B.
2.(2019·黄冈市上期期末考试)已知等比数列{an}的公比q＝2，其前4项和S4＝60，则a2等于( A )
A．8 B．6
C．－8 D．－6
解析：S4＝60，q＝2⇒＝60⇒a1＝4，故a2＝8，故选A.
3.(2019·湖北省荆门、天门等八市3月联考)如果数列a1，，，…，，…是首项为1，公比为－的等比数列，则a5等于( A )
A．32 B．64
C．－32 D．－64
解析：a5＝a1××××＝aq1＋2＋3＋4＝(－)10＝32.
4.(2019·南宁市第三次适应性测试)已知数列{an}是正项等比数列，若a2＝2,2a3＋a4＝16，则数列{an}的通项公式为( C )
A．2n－2 B．22－n
C．2n－1 D．2n
解析：设等比数列的首项及公比分别为a1，q，
则，由此可解得，
故数列的通项公式为an＝2n－1，故选C.
5.(改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2019＝3S2019＋2019，a2019＝3S2019＋2019，则公比q＝( A )
A．4 B．1或4
C．2 D．1或2
解析：由a2019＝3S2019＋2019与a2019＝3S2019＋2019相减得，a2019－a2019＝3a2019，即q＝4，故选A.
6.(2019·安徽省省城高三第三次联考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·2n－1＋，则a的值为( A )
A．－ B.
C．－ D.
解析：因为等比数列前n项和可写为形如Sn＝kqn－k，所以－＝，解得a＝－，故选A.
7.(2019·山东日照一次诊断)已知数列{an}为等比数列，且a5＝4，a9＝64，则a7＝ 16 .
解析：因为a5，a7，a9成等比数列，所以a＝a5·a9＝256.又a5，a7，a9符号相同，所以a7＝16.
8.已知数列{bn}(n∈N*)是递增的等比数列，且b1＋b3＝5，b1b3＝4.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)若an＝log2bn＋3，求证：{an}是等差数列．
解析：(1)由b1b3＝4，b1＋b3＝5知，b1、b3是方程x2－5x＋4＝0的两根．
又bn＋1>bn，所以b1＝1，b3＝4，
所以b＝b1b3＝4，得b2＝2，所以q＝2，
故bn＝b1·qn－1＝2n－1.
(2)证明：由(1)知，an＝log2bn＋3＝log22n－1＋3＝n＋2.
因为an＋1－an＝n＋1＋2－(n＋2)＝1，
所以数列{an}是首项为3，公差为1的等差数列．
9.(2019·山东省日照市高三12月)已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝2an＋2.
(1)求证：数列{an＋2}是等比数列(要求指出首项与公比)；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
解析：(1)由an＋1＝2an＋2，得an＋1＋2＝2an＋4，
即an＋1＋2＝2(an＋2)，即＝2(n∈N*)．
又由a1＝2，得a1＋2＝4，
所以数列{an＋2}是以4为首项，以2为公比的等比数列．
(2)由(1)知an＋2＝4·2n－1＝2n＋1，
所以an＝2n＋1－2.
所以Sn＝22＋23＋…＋2n＋1－2n＝－2n＝2n＋2－2n－4.
1.(2019·三明市上学期联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a2、a4是方程x2－x－2＝0的两个根，S5＝( A )
A. B．5
C．－ D．－5
解析：a2、a4是方程x2－x－2＝0的两个根，a2＋a4＝1，S5＝＝，故选A.
2.(2019·石家庄市质检)已知各项均为正数的等比数列{an}，a1·a9＝16，则a2·a5·a8的值( D )
A．16 B．32
C．48 D．64
解析：等比数列{an}，a1·a9＝a2·a8＝a＝16，各项均为正数，所以a5＝4，所以a2·a3·a8＝a＝43＝64，即a2·a5·a8的值为64，故选D.
3.(2019·山西省大同市高三学情调研)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝( D )
A．9 B．16
C．36 D．45
解析：由等差数列的性质可知a7＋a8＋a9＝2(S6－S3)－S3＝2×27－9＝45，故选D.
4.(2019·长春市调研测试)等差数列{an}的公差为3，若a2，a4，a8成等比数列，则a4＝( C )
A．8 B．10
C．12 D．16
解析：令首项为a，
根据条件有(a＋9)2＝(a＋3)(a＋21)⇒a＝3，
a4＝3＋3×3＝12，故选C.
5.(2019·湖南省长沙市第二次模拟)在等比数列{an}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝60，则a7＋a8＝ 240 .
解析：由等比数列性质知a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，由已知条件知公比为2，
所以a7＋a8＝(a1＋a2)·q3＝30×23＝240.
6.(2019·温州十校联合体期末联考)已知1，a1，a2,9成等差数列，1，b1，b2，b3,9成等比数列，且a1，a2，b1，b2，b3都是实数，则(a2－a1)b2＝ 8 .
解析：由1，a1，a2,9成等差数列，可得a2－a1＝，
由1，b1，b2，b3,9成等比数列，
可得b2＞0，且b2＝3，所以(a2－a1)b2＝8.
7.(2019·浙江杭州市七校联考)已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，若{}为等差数列，则a11＝ .
解析：由等差数列的性质知，，成等差数列，
则＝＋，
即＝＋，解得a11＝.
8.(2019·金华十校期末联考)已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和为14，且a1，a3，a7恰为等比数列{bn}的前三项．
(1)分别求数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn；
(2)记为数列{anbn}的前n项和为Kn，设cn＝，求证：cn＋1＞cn(n∈N*)．
解析：(1)设公差为d，则，
解得d＝1或d＝0(舍去)，a1＝2，
所以an＝n＋1，Sn＝，bn＝2n，Tn＝2n＋1－2.
(2)因为Kn＝2·21＋3·22＋…＋(n＋1)·2n，①
故2Kn＝2·22＋3·23＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1，②
①－②，得
－Kn＝2·21＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)·2n＋1，
所以Kn＝n·2n＋1，则cn＝＝，
cn＋1－cn＝－＝＞0，
所以cn＋1＞cn(n∈N*)．
9.等差数列{an}是递增数列，前n项和为Sn，且a1，a3，a9成等比数列，S5＝a.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前99项的和．
解析：(1)设数列{an}的公差为d(d>0)．
因为a1，a3，a9成等比数列，所以a＝a1a9，
所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，所以d2＝a1d.
因为d>0，所以a1＝d.①
因为S5＝a，所以5a1＋·d＝(a1＋4d)2.②
由①②解得a1＝d＝.
所以an＝＋(n－1)×＝n(n∈N*)．
(2)bn＝
＝·
＝(1＋－)．
所以b1＋b2＋b3＋…＋b99
＝(1＋1－＋1＋－＋1＋－＋…＋1＋－)
＝(99＋1－)
＝275＋2.75＝277.75.
第六单元 数列与算法
1.设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝( D )
A．11 B．5
C．－8 D．－11
解析：通过8a2＋a5＝0，设公比为q，将该式转化为8a2＋a2q3＝0，解得q＝－2，代入所求式可知答案选D.
2.(2019·安徽省城名校第四次联考)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S10等于( A )
A. B.
C. D.
解析：S10＝＋＋＋…＋＋
＝[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)]
＝(1＋－－)
＝.
故选A.
3.(2019·山东省莱芜市高三上期末)已知数列{an}是首项为2，公差为1的等差数列，数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，则数列{abn}前10项的和等于( D )
A．511 B．512
C．1023 D．1033
解析：an＝2＋(n－1)×1＝n＋1，bn＝1×2n－1＝2n－1，
依题意得Mn＝a1＋a2＋a4＋…＋a2n－1
＝(1＋1)＋(2＋1)＋…＋(2n－1＋1)
＝2n－1＋n，
M10＝210＋10－1＝1033，故选D.
4.(改编)数列{(3n－1)·4n－1}的前n项和Sn＝( A )
A．(n－)·4n＋ B．(n－)·4n＋1＋
C．(n－)·4n－1＋ D．(n－)·4n＋
解析：Sn＝2×1＋5×4＋8×42＋…＋(3n－1)·4n－1，①
4Sn＝4×2＋5×42＋…＋(3n－1)·4n，②
②－①得：
3Sn＝－2－3(4＋42＋…＋4n－1)＋(3n－1)·4n
＝2＋(3n－2)4n，
所以Sn＝(n－)·4n＋，故选A.
5.(2019·福建省泉州市3月质检)已知等差数列{an}中，a5＝1，a3＝a2＋2，则S11＝ 33 .
解析：d＝2，a6＝3，S11＝＝11a6＝33.
6.(2019·山东诸城月考)已知数列{an}对于任意p，q∈N*，有apaq＝ap＋q，若a1＝，则S9＝ .
解析：由题意得an＋1＝ana1，＝a1＝，
an＝a1()n－1＝()n，
因此S9＝1－()9＝.
7.如果有穷数列a1，a2，…，am(m为正整数)满足条件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，即ai＝am＋1－i(i＝1,2，…，m)，则称其为“对称”数列．例如：1,2,5,2,1，与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在2019项的“对称”
数列{cn}中，c1006，c1007，…，c2019是以1为首项，2为公差的等差数列，则数列{cn}的所有项的和为 2×10062－1 .
解析：由题意得
S2019－S1005＝1006c1006＋×2
＝1006＋1006×1005
＝10062.
由对称数列得知，S1005＝(S2019－S1005)－c1006＝10062－1，
所以S2019＝2×10062－1.
8.已知数列{an}为等差数列，且a1＝1，{bn}为等比数列，数列{an＋bn}的前三项依次为3,7,13，求
(1)数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)数列{an＋bn}的前n项和Sn.
解析：(1)设公差为d，公比为q.
因为⇒b1＝2，d＝2，q＝2，
所以an＝2n－1，bn＝2n.
(2)Sn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)
＝n＋
＝n2＋2n＋1－2.
9.(2019·山东济宁模拟)已知等差数列{an}，a3＝3，a2＋a7＝12.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝n2an，求数列{bn}的前n项和．
解析：(1)由已知a2＋a7＝12可得a4＋a5＝12，
又因为a3＝3，所以a3＋a4＋a5＝15，所以a4＝5，
所以d＝a4－a3＝2，所以an＝2n－3.
(2)由(1)可知bn＝n22n－3，
设数列的前n项和为Tn，
所以Tn＝1·2－1＋2·21＋3·23＋…＋n·22n－3，①
4Tn＝1·21＋2·23＋…＋(n－1)22n－3＋n·22n－1，②
①－②，可得
－3Tn＝2－1＋21＋23＋…＋22n－3－n·22n－1
＝－n·22n－1，
所以Tn＝＋.
1.(2019·浙江省富阳市质检){an}是等比数列，其中a3，a7是关于x的方程x2－2xsin α－sin α＝0的两根，且(a3＋a7)2＝2a3a7＋6，则锐角α的值为( C )
A. B.
C. D.
解析：由条件知(2sin α)2＝2(－sin α)＋6，
即2sin2α＋sin α－3＝0，解得sin α＝，
所以α＝，故选C.
2.(改编)在△ABC中，∠B＝，三边长a，b，c成等差数列，且a，，c成等比数列，则b的值是( D )
A. B.
C. D.
解析：由条件知a＋c＝2b，ac＝6，
则由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－3ac，代入化简得b2＝6，即b＝，故选D.
3.(2019·大庆铁人期末)已知各项均不为零的数列{an}，定义向量cn＝(an，an＋1)，bn＝(n，n＋1)，n∈N*.下列命题中真命题是( A )
A．若∀n∈N*总有cn∥bn成立，则数列{an}是等差数列
B．若∀n∈N*总有cn∥bn成立，则数列{an}是等比数列
C．若∀n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等差数列
D．若∀n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等比数列
解析：当cn∥bn时，(n＋1)an－nan＋1＝0，则＝，所以数列{}为常数列，设此常数为k，则＝k，即an＝kn，易知数列{an}是等差数列，故选A.
4.(2019·仙桃市五月模拟)已知f(x)＝sin 2x，若等差数列{an}的第5项的值为f′()，则a1a2＋a2a9＋a9a8＋a8a1＝( B )
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：因为f′(x)＝2cos 2x，所以a5＝f′()＝2cos＝1，
所以a1a2＋a2a9＋a9a8＋a8a1＝(a1＋a9)(a8＋a2)＝2a5·2a5＝4，故选B.
5.(改编)五位同学围成一圈依次循环报数，规定，第一位同学首次报出的数为2，第二位同学首次报出的数为3，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字，则第2019次被报出的数为 8 .
解析：设五位同学依次报出的数字构成的数列为{an}，则a1＝2，a2＝3，a3＝6，a4＝8，a5＝8，a6＝4，a7＝2，a8＝8，……易知此{an}是周期为6的数列，所以a2019＝a6×335＋4＝a4＝8.
6.(2019·江苏泰兴市上期中模拟)王老师从2013年1月1日开始每年的1月1日到银行新存入a元(一年定期)，若年利率r保持不变，且每年到期存款及利息均自动转为新的一年定期，到2020年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可以取回 元．
解析：复利问题，本题为等比数列模型．
a(1＋r)7＋a(1＋r)6＋…＋a(1＋r)＝＝.
7.(2019·杭州第一次模拟)设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，则a1＋a2＋…＋a99的值为 －2 .
解析：切线的斜率k＝y′|x＝1＝(n＋1)xn|x＝1＝n＋1，
则切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，
令y＝0，则xn＝，所以an＝lg＝lg n－lg(n＋1)，
于是a1＋a2＋…＋a99＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…(lg 99－lg 100)＝－lg 100＝－2.
8.(改编)对正整数n，设抛物线y2＝2(2n＋1)x，过P(2n,0)任作直线l交抛物线于An，Bn两点，设an＝n·n，则数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
解析：(1)设直线方程为x＝ty＋2n，代入抛物线方程得
y2－2(2n＋1)ty－4n(2n＋1)＝0，
设An(xn1，yn1)，B(xn2，yn2)，
则n·n＝xn1xn2＋yn1yn2
＝(t2＋1)yn1yn2＋2nt(yn1＋yn2)＋4n2，
用韦达定理代入得
·＝－4n(2n＋1)(t2＋1)＋4n(2n＋1)t2＋4n2
＝－4n2－4n，
故＝－2n.
(2)数列的前n项和
Sn＝－2n＋×(－2)＝－n(n＋1)．
9.某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件；若做广告宣传，广告费为n千元比广告费为n－1千元时多卖出(n∈N*)件．
(1)试写出销售量Sn与n的函数关系式；
(2)当a＝10，b＝4000时，厂家应生产多少件这种产品，做几千元的广告，才能获利最大？
解析：(1)设S0表示广告费为0元时的销售量．
由题意知Sn－Sn－1＝，Sn－1－Sn－2＝，…，S2－S1＝，S1－S0＝，
将上述各式相加得，
Sn＝b＋＋＋…＋＝＝b·(2－)．
(2)当a＝10，b＝4000时，设获利为Tn元．
由题意知Tn＝10Sn－1000n＝40000·(2－)－1000n.
欲使Tn最大，
则，代入解得.所以n＝5，此时S5＝7875.
即厂家应生产7875件这种产品，做5千元的广告，才能获利最大．
1.(改编)计算机执行下面的程序段后，输出的结果是( D )
A．2019,2019 B．2019,2019
C．2019,2019 D．2019,2019
解析：X＝1＋2019＝2019；Y＝2019－1＝2019，故选D.
2.(2019·粤西北九校联考)执行如图的程序框图，若输出的n＝5，则输入整数p的最小值是( C )
A．6 B．7
C．8 D．15
解析：执行如图的程序框图n＝1，S＝1；n＝2，S＝3；n＝3，S＝7；n＝4，S＝15；n＝5输出，则p＝8，故选C.
3.(2019·安庆第二次模拟)用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x4＋3x3＋2x2＋6x＋1，当x＝0.5时的值，需要做乘法的次数是( C )
A．9 B．14
C．4 D．5
解析：v1＝3x＋3，v2＝v1x＋2，v3＝v2x＋6，v4＝v3x＋1，共需4次乘法，故选C.
4.(2019·石家庄市模拟)已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的b值为16，则循环体的判断框内①处应填( B )
A．2 B．3
C．5 D．7
解析：当a＝1时，进入循环，此时b＝21＝2；
当a＝2时，再进入循环，此时b＝22＝4；
当a＝3时，再进入循环，此时b＝24＝16，
所以当a＝4时，应跳出循环，得循环满足的条件为a≤3，故选B.
5.把五进制数123(5)化为二进制数为 100110 (2)．
解析：123(5)＝1×52＋2×51＋3×50＝25＋10＋3＝38.
所以123(5)＝100110(2)．
6.(2019·安徽省六校联考)执行如图所示的程序框图，若输入x＝4，则输出y的值为 － .
解析：第1次循环后，y＝1，x＝1；第2次循环后，y＝－，x＝－；第3次循环时，y＝－，|x－y|＝<1，跳出循环．
7.(2019·江苏省无锡市五校联考)下图给出了一个算法流程图．若给出实数a，b，c为a＝4，b＝x2，c＝2x2－3x＋2，输出的结果为b，则实数x的取值范围是 {x|x＝2或－2≤x≤1} .
解析：流程图的算法功能是求实数a，b，c的最小者，
则b≤a，b≤c，即，
解得x＝2或－2≤x≤1.
8.到银行办理个人异地汇款(不超过100万元)时，银行收取一定的手续费．规定汇款不超过100元时收取1元手续费；超过100元但不超过5000元时按汇款额的1%收取；超过5000元，一律收取50元手续费，设计算法求汇款额为x元时，银行收取手续费y元，只画出流程图．
解析：要计算手续费，首先要建立汇款额与手续费之间的函数关系式，依题意知
y＝.
流程图如图所示：
9.用分期付款的方式购买价格为1150元的冰箱，如果购买时先付150元，以后每月付50元，加上欠款利息．若一个月后付第一个月的分期付款，月利率为1%，那么购冰箱的钱全部付清后，实际付了多少元？请画出程序框图，并写出程序．
解析：购买时付款150元，余款20次付清，每次的付款数组成一个数列{an}，
a1＝50＋(1150－150)×1%＝60，
a2＝50＋(1150－150－50)×1%＝59.5，
an＝50＋[1150－150－50(n－1)]×1%
＝60－(n－1)(n＝1,2，…，20)．
所以a20＝50.5，
S总＝150＋60＋59.5＋…＋50.5＝1255.
购冰箱的钱全部付清后，实际付了1255元．
第七单元 不等式
1.(2019·福建省莆田市3月质检)p：x＞0，y＞0，q：xy＞0，则p是q的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：因为xy＞0等价于x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，所以p是q的充分不必要条件，故选A.
2.(2019·山东省苍山县上学期期末检测)若a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( A )
A．ab≤1 B．ab≥1
C．a2＋b2≥4 D．a2＋b2≤4
解析：由a＋b＝2≥2，得ab≤1，故选A.
3.若<<0，有下面四个不等式：①|a|>|b|；②ab3，不正确的不等式的个数是( C )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由<<0，知b0，b>0，则＋＋2的最小值是( C )
A．2 B．2
C．4 D．5
解析：因为＋＋2≥2＋2≥4，当且仅当a＝b，＝1时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取最小值4，故选C.
5.(2019·福建省厦门市3月质检)设x＞0，y＞0，xy＝4，则S＝＋的最小值为 4 .
解析：因为x＞0，y＞0，xy＝4，
所以S＝＋≥2＝2＝4.
6.(2019·山东省济宁第三次检测)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于 9 .
解析：原不等式恒成立等价于m≤(＋)(2a＋b)的最小值，而(＋)(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，所以m≤9，故m的最大值为9.
7.设f(x)＝ax2＋bx且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是 [5,10] .
解析：(待定系数法)
f(1)＝a＋b，f(－1)＝a－b.
设f(－2)＝4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
所以，解得，
所以f(－2)＝3(a－b)＋(a＋b)，
又因为1≤a－b≤2，所以3≤3(a－b)≤6，
因为2≤a＋b≤4，所以5≤3(a－b)＋(a＋b)≤10，
即5≤f(－2)≤10.
8.(1)求函数y＝x(a－2x)(x∈(0，)，a为大于0的常数)的最大值；
(2)设x＞－1，求函数y＝的最值．
解析：(1)y＝x(a－2x)＝×2x(a－2x)
≤×[]2＝，
当且仅当x＝时取等号，故函数的最大值为.
(2)因为x>－1，所以x＋1>0，
设x＋1＝z＞0，则x＝z－1，
所以y＝＝＝z＋＋5
≥2＋5＝9，
当且仅当z＝2，即x＝1时上式取等号，
所以当x＝1时，函数y有最小值9，无最大值．
9.某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过a m，房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？
分析：用长度x表示出造价，利用基本不等式求最值即可，还应注意定义域00，所以y＝900(x＋)＋5800在(0，a]上是减函数，
所以当x＝a时，y有最小值900(a＋)＋5800.
综上，若a≥4，当x＝4时，有最小值13000元；若a<4，当x＝a时，有最小值为900(a＋)＋5800元．
1.(2019·山东省阳信市期末)不等式2>的解集为( B )
A．(－，1) B．(－∞，1)∪(，＋∞)
C．(1，) D．(－∞，－)∪(1，＋∞)
解析：不等式2>⇔>0⇔(x－1)(2x－3)>0，解得x<1或x>，故选B.
2.(2019·山东聊城模拟)已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集是B，不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＋b等于( A )
A．－3 B．1
C．－1 D．3
解析：由题意，A＝{x|－10的解集是(－∞，－1)∪(，＋∞)，则a＝ 2 .
解析：由不等式判断可得a≠0且不等式等价于a(x＋1)·(x－)>0，由解集特点可得a>0且＝，故a＝2.
6.(2019·厦门市期末质检)已知函数f(x)＝，则不等式f(x)＞f(1)的解集是 {x|x<1或x>2} .
解析：f(1)＝4，若x>1，则2x>4⇒x>2；
若x≤1，则x2－6x＋9>4⇒x>5或x<1⇒x<1，
所以不等式f(x)＞f(1)的解集是{x|x<1或x>2}．
7.(2019·安徽省“江南十校”3月高三联考)定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在(0,2]上的图象如图所示，则不等式f(x)>x的解集为 [－2，－)∪(0，) .
解析：画出y＝f(x)与y＝x的图象如图，
解出坐标为(，)和(－，－)，
由图知，解集为[－2，－)∪(0，)． 8.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)对一切x∈R都有f(2＋x)＝f(2－x)，解不等式f[log(x2＋x＋)]0.
(1)当a＝2时，求此不等式的解集；
(2)当a>－2时，求此不等式的解集．
解析：(1)当a＝2时，不等式可化为>0，
所以不等式的解集为{x|－22}．
(2)当a>－2时，不等式可化为>0.
当－21}；
当a＝1时，不等式的解集为{x|x>－2且x≠1}；
当a>1时，不等式的解集为{x|－2a}．
1.若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x＋y＋m＝0的两侧，则m的取值范围是( C )
A．m<－5或m>10 B．m＝－5或m＝10
C．－52 B．a<－2
C．－22
解析：，解得a＞2，故选A.
2.(2019·郑州市高三第二次质量预测)若向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)相互垂直，则9x＋3y的最小值为( D )
A．12 B．2
C．3 D．6
解析：依题意得知4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2，
9x＋3y＝32x＋3y≥2＝2＝2＝6，
当且仅当2x＝y＝1时取等号，
因此9x＋3y的最小值是6，故选D.
3.(2019·湖北省部分重点中学起点考试)直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，MN≥2，则k的取值范围是( A )
A．[－，0] B．(－∞，－]∪[0，＋∞)
C．[－，] D．[－，0]
解析：由条件知点到直线的距离d≤＝1，
则d≤≤1，解得－≤k≤0，故选A.
4.(2019·天津市第三次模拟)已知函数f(x)＝a|x|，a＞1，则满足f(2x－1)0,2n－2>0，
因为4＝(m－2)(n－1)≤()2，所以m＋n≥7，故填7.
8.购买某种汽车，购车的总费用(包括缴税)为5万元，每年应交保险费及汽油费合计6000元，汽车的维修费平均为：第一年1000元，第二年2019元，……依等差数列逐年递增．问这种汽车使用多少年报废合算？(商品的最佳更换年限应该是使每年平均消耗费用最低的年限；年平均消耗费用＝年平均成本费的分摊＋年均维修费的分摊)
解析：设这种汽车使用n年报废合算，则每年的维修费用平均为1000n.
由题意可知，每年的平均消耗费用
f(n)＝
＝＋500n＋6500
≥2＋6500
＝16500，
当且仅当＝500n，即n＝10时，等号成立．
故这种汽车使用10年报废合算．
9.(2019·株洲市质量统一检测)已知函数f(x)＝ln(x－1)－k(x－1)＋1.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)≤0恒成立，试确定实数k的取值范围．
解析：(1)函数f(x)的定义域为(1，＋∞)，
f′(x)＝－k.
因为x>1，所以>0，因此
①当k≤0时，f ′(x)>0，则f(x)在(1，＋∞)上是增函数；
②当k>0时，令f ′(x)＝0，即－k＝0，
得x＝1＋.
当x∈(1,1＋)时，f ′(x)>0；
当x∈(1＋，＋∞)，f ′(x)<0.
则f(x)在(1,1＋)上是增函数，在(1＋，＋∞)上是减函数．
(2)当k≤0时，f(2)＝1－k>0，故f(x)≤0不能恒成立，所以只需考虑k>0.
当k>0时，由(1)知[f(x)]max＝f(1＋)＝－lnk.
要使f(x)≤0恒成立，则－lnk≤0，得k≥1.
故实数k的取值范围为[1，＋∞)．
第八单元 推理与证明
1.(2019·山东省潍坊市三县高三10月联合考试)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)
①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；
③“若a，b∈R，则a－b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0⇒a＞b”．
其中类比得到的结论正确的个数是( C )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：因为虚数不能比较大小，所以③错误，故选C.
2.(2019·衡水调研卷)已知an＝()n，把数列{an}的各项排成如下的三角形：
a1
a2 a3 a4
a5 a6 a7 a8 a9
记A(s，t)表示第s行的第t个数，则A(11,12)＝( D )
A．()67 B．()68
C．()111 D．()112
解析：该三角形数阵每行所对应元素的个数为1,3,5…，那么第10行的最后一个数为a100，第11行的第12个数为a112，即A(11,12)＝()112，故选D.
3.(2019·福建福州模拟)“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝()x是指数函数(小前提)，所以y＝()x是增函数(结论)”，上面推理的错误是( A )
A．大前提错导致结论错
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提错都导致结论错
解析：y＝ax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错，故选A.
4.(2019·广东省肇庆市第一次模拟)设M为平面内一些向量组成的集合，若对任意正实数λ和向量a∈M，都有λa∈M，则称M为“点射域”，则下列平面向量的集合为“点射域”的是( B )
A．{(x，y)|y≥x2}
B．{(x，y)|}
C．{(x，y)|x2＋y2－2y≥0}
D．{(x，y)|3x2＋2y2－12<0}
解析：由题知不可能是曲边界的区域，如果边界为曲边区域，当向量a∈M，对任意正实数λ所得的向量λa不能再通过平移到原区域内，所以排除A、C、D，易知B正确．
5.(2019·韶关一调)在平面△ABC中的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比＝，将这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中，平面DEC平分二面角ACDB且与AB交于E，则类比的结论为 ＝ .
解析：此类问题由平面类比空间，应该面积类比体积，长度类比面积，由＝，类比得＝. 6.已知＝2，＝3，＝4，…，若＝6(a，t均为正实数)．类比以上等式可推测a，t的值，则a＋t＝ 41 .
解析：由推理可得a＝6，t＝62－1，故a＋t＝41.
7.(2019·南通市教研室数学全真模拟)记Sk＝1k＋2k＋3k＋…＋nk，当k＝1,2,3，…时，观察下列等式：
S1＝n2＋n，
S2＝n3＋n2＋n，
S3＝n4＋n3＋n2，
S4＝n5＋n4＋n3－n，
S5＝An6＋n5＋n4＋Bn2，
可以推测，A－B＝ .
解析：观察知A＝，对于S5，可令n＝1得S5＝1，即有＋＋＋B＝1，所以B＝－，所以A－B＝.
8.在△ABC中，∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，用类比的方法猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想．
解析：如图，由平面类比到空间，有下列猜想：
“在三棱锥PABC中，三个侧面PAB，PBC，PCA两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1”
证明：设P在平面ABC上的射影为O，记PO＝h，PC⊥PA且PC⊥PB⇒PC⊥PM(M为CO与AB的交点)，且∠PMC＝α，cos α＝sin ∠PCO＝，
同理cos β＝，cos γ＝，
又PA·PB·PC＝(PA·PBcos α＋PB·PCcos β＋PC·PAcos γ)·h，
即(＋＋)h＝1，
即cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
9.(2019·山东省诸城市高三10月模拟)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
(1)求f(5)的值；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式．
解析：(1)f(5)＝41.
(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4，
所以f(n＋1)－f(n)＝4n.
由f(n＋1)－f(n)＝4n⇒f(n＋1)＝f(n)＋4n⇒
f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)
＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)
＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)
＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4(n－n＋2)＋4
＝2n2－2n＋1.
1.(2019·山东省青岛市3月统一质量检测)已知函数f(x)＝，则f[f(－1)]＝( B )
A. B．2
C．1 D．－1
解析：f[f(－1)]＝f(1)＝2，故选B.
2.(2019·天津南开模拟)p＝＋，q＝·(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p，q的大小为( B )
A．p≥q B．p≤q
C．p>q D．不确定
解析：q＝
≥
＝＋
＝p.
故选B.
3.(2019·山东省济宁第三次模拟)已知a，b，c都是正数，则三数a＋，b＋，c＋( D )
A．都大于2 B．都小于2
C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2
解析：假设a＋<2，b＋<2，c＋<2，
则a＋＋b＋＋c＋<6，
而a＋＋b＋＋c＋＝a＋＋b＋＋c＋≥2＋2＋2＝6，矛盾，所以a＋，b＋，c＋中至少有一个不小于2，故选D.
4.已知a，b是非零实数，且a>b，则下列不等式中成立的是( D )
A.<1 B．a2>b2
C．|a＋b|>|a－b| D.>
5.若x>1，则x与ln x的大小关系为 x>ln x .
解析：画出图形，易知x>ln x.
6.若a＋b>a＋b，则a、b应满足的条件是 a≥0，b≥0，且a≠b .
解析：由已知，a－a＋b－b>0，
则a(－)＋b(－)>0，
即(－)(a－b)>0，
即(－)2(＋)>0，
故a≥0，b≥0，且a≠b.
7.已知函数f(x)＝x2－ln x，则f(x)的零点有 0 个．
解析：因为f(x)＝x2－ln x，x>0，
所以f′(x)＝x－，
由f′(x)＝0，得x＝1，于是可得f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
故f(x)的最小值f(1)＝>0，所以f(x)的零点有0个．
8.若x，y都是正实数，且x＋y>2，求证：<2或<2中至少有一个成立．
证明：假设<2和<2都不成立，
则有≥2和≥2同时成立．
因为x>0且y>0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x，
两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，
所以x＋y≤2，这与已知条件x＋y>2矛盾，
因此<2和<2中至少有一个成立．
9.(2019·北京市门头沟区一模)数列{an}满足a1＝，an＋1＝(n＝1,2，…)．
(1)求a2，a3；
(2)求证：a1＋a2＋…＋an＝－.
解析：(1)由a1＝，an＋1＝(n＝1,2，…)，
得a2＝，a3＝.
(2)证明：由an＋1＝，
知＝－＋1，－1＝(－1)，
所以＝＝－an，
即an＝－，
从而a1＋a2＋…＋an
＝－＋－＋…＋－
＝－＝－.
1.用数学归纳法证明不等式2n>n2(其中n∈N*，n≥n0)时，初始值n0＝( C )
A．1 B．3
C．5 D．6
解析：易知n＝1,2,3,4时，不等式均不成立，但当n＝5时成立，因此初值n0＝5.
2.(2019·新课标提分专家高考2月预测)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左边应在n＝k的基础上加上( D )
A．k2＋1
B．(k＋1)2
C.
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
解析：当n＝k时，左边＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左边＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…十(k＋1)2，所以当n＝k＋1时，左边应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2，故选D.
3.用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2中，首先当n＝1时，左边＝1，右边＝1，命题成立；假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立；当n＝k＋1时，1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝＝(k＋1)2，命题成立，得到n∈N*命题成立，则以下说法正确的是( C )
A．验证n＝1错误
B．假设错误
C．从n＝k到n＝k＋1推理错误
D．以上都不对
解析：由数学归纳法第二步中没有用到归纳假设，推理错误．
4.(2019·山东省聊城市五校上期期末联考)某个命题与正整数有关，若当n＝k(k∈N*)时该命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝4时该命题不成立，那么可推得( D )
A．当n＝5时，该命题不成立
B．当n＝5时，该命题成立
C．当n＝3时，该命题成立
D．当n＝3时，该命题不成立
解析：由题意可知，P(n)对n＝3不成立(否则n＝4也成立)，同理可推得P(n)对n＝3，n＝2，n＝1也不成立，故选D.
5.观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2,1＋＋＋…＋>，…，由此猜测第n个不等式为 1＋＋＋…＋>(n∈N*) .
解析：3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1,31＝25－1，
可猜测：1＋＋＋…＋>.
6.用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为 (k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6 .
解析：由数学归纳法的两个步骤和配凑法得知．
7.(2019·山东省青州市上期期中)已知f(n)＝＋＋＋…＋，则f(n)中共有 n2－n＋1 项，且当n＝2时，f(
2)＝ ＋＋ .
解析：f(n)的表达式的分母是由n开始，一直到n2结束，因此f(n)的项数有n2－n＋1项，且当n＝2时，其分母就是由2开始，4结束，即f(2)＝＋＋.
8.(改编)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝can＋cn＋1(2n＋1)(n∈N*)，其中实数c≠0.求{an}的通项公式．
解析：由a1＝1，a2＝ca1＋c2·3＝3c2＋c＝(22－1)c2＋c，
a3＝ca2＋c3·5＝8c3＋c2＝(32－1)c3＋c2，
a4＝ca3＋c4·7＝15c4＋c3＝(42－1)c4＋c3，
猜测an＝(n2－1)cn＋cn－1，n∈N*.
下面用数学归纳法证明：当n＝1时，等式成立；
假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即ak＝(k2－1)ck＋ck－1，
则当n＝k＋1时，
ak＋1＝cak＋ck＋1(2k＋1)
＝c[(k2－1)ck＋ck－1]＋ck＋1(2k＋1)
＝(k2＋2k)ck＋1＋ck
＝[(k＋1)2－1]ck＋1＋ck.
综上，an＝(n2－1)cn＋cn－1对任何n∈N*都成立．
9.(2019·江苏省苏州市调研)设f(n)＝nn＋1，g(n)＝(n＋1)n，n∈N*.
(1)当n＝1,2,3,4时，比较f(n)与g(n)的大小；
(2)根据(1)的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．
解析：(1)f(1)＜g(1)，f(2)＜g(2)，f(3)＞g(3)，f(4)＞g(4)．
(2)猜想：当n≥3，n∈N*时，有nn＋1＞(n＋1)n，
证明：①当n＝3，猜想成立，
②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时猜想成立，
即kk＋1＞(k＋1)k，>1，
因为(k＋1)2＞k(k＋2)，>，
所以＝()k·>()k·k＝>1，
由①②知，对一切n≥3，n∈N*时，nn＋1＞(n＋1)n都成立．
第九单元 立体几何初步与空间向量
1.(2019·湖北省黄冈中学高三五月模拟)下列关于斜二测画法下的直观图的说法正确的是( D )
A．互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线
B．梯形的直观图可能是平行四边形
C．矩形的直观图可能是梯形
D．正方形的直观图可能是平行四边形
解析：由斜二测画法的规则可知答案为D.
2.(2019·山东省济宁第三次质检)在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( B )
解析：由于球与侧棱不相交，因此截面图不可能存在截面圆与三角形都相切，排除A，D，又圆锥的高一定过球心，因此在截面图中三角形的高一定过截面圆的圆心，排除C，故选B.
3.(2019·昌平二模)已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有( C )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：由三视图知几何体是一个四棱锥，它的一个侧面与底面垂直，且此侧面的顶点在底面上的射影为对应底边的中点，易知其有两个侧面是直角三角形，故选C.
4.已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为 a2 .
5.(2019·福建省泉州市3月质量检查)一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥俯视图的面积为 1 .
解析：该三棱锥俯视图为直角三角形，两直角边分别为1,2，其面积为×1×2＝1.
6.(2019·广东佛山市质检)一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中满足条件的序号是 ②③ .
解析：由三视图的成图原则可知，正视图的长度、侧视图的宽度不一样，故俯视图不可能为正方形和圆．
7.如图，四边形ABCD在斜二测画法下的直观图是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为，则原四边形的面积是 8 .
8.如图是一个几何体的正视图和俯视图．
(1)试判断该几何体是什么几何体；
(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积．
解析：(1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥．
(2)该几何体的侧视图如右图．
其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图正六边形对边的距离，即BC＝a.
AD是正六棱锥的高，即AD＝a，
所以该平面图形的面积S＝·a·a＝a2.
9.某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，求a＋b的最大值．
解析：如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA＝，PC⊥平面ABCD，则PD为PA的正视图，AC为俯视图，PB为侧视图，由PD＝知AD＝1.
设PC＝h，由，得a2＋b2＝8.
因为≥()2，所以a＋b≤2＝4.
1.已知某球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半径是( B )
A. B．3
C．4 D．5
解析：设球的半径为R，则πR3＝4πR2，所以R＝3.
2.(2019·重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( C )
A. B.
C．200 D．240
解析：由三视图可知该几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底边为2，下底边为8的等腰梯形，所以底面面积为(2＋8)×4＝20，所以V＝20×10＝200.故选C.
3.(2019·山东省日照市高三12月)一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，已知这个球的表面积是12π，那么这个正方体的体积是( C )
A. B．4
C．8 D．24
解析：设球的半径为R，则4πR2＝12π，从而R＝，所以正方体的体对角线为2，故正方体的棱长为2，体积为23＝8，故选C.
4.如图，一个简单组合体的正(主)视图和侧(左)视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形，俯视图是一个半径为的圆(包括圆心)．则该组合体的表面积等于( C )
A．15π B．18π
C．21π D．24π
解析：由题意可知，该组合体的下面为圆柱体，上面为圆锥体，由相应几何体的面积计算公式得，该组合体的表面积为：S＝πr2＋2πrh＋πrl＝π()2＋2π××2＋π××2＝21π.
5.(2019·南通市教研室全真模拟)某圆锥的侧面展开图是半径为1 m的半圆，则该圆锥的体积是 m3.
解析：设圆锥的底面圆的半径为r，高为h，
则由2πr＝π得r＝，h＝＝，
所以该圆锥的体积V＝π×()2×＝(m3)．
6.若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 .
解析：可知凸多面体可分为两个同底(底面为边长为1的正方形)等高(高为)的正四棱锥，其体积为V＝2××1×1×＝.
7.(2019·上海市高三下七校联考)已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝1，AB＝BC＝2，则球O的表面积为 9π .
解析：由题知：△SAC，△SAB，△SBC均为直角三角形，O是SC的中点，从而OB＝OA＝SC＝OS＝OC＝，所以球O的表面积为9π.
8.下图是一个几何体的三视图(单位：cm)，试画出它的直观图，并计算这个几何体的体积与表面积．
解析：这个几何体的直观图如图所示．
因为V长方体＝10×8×15＝1200(cm3)，
又V半球＝×πR3
＝×π×()3
＝π(cm3)，
所以所求几何体体积为
V＝V长方体＋V半球＝1200＋π(cm3)．
因为S长方体全＝2×(10×8＋8×15＋10×15)＝700(cm2)，
故所求几何体的表面积S表面积＝S长方体全＋S半球－S半球底＝700＋π(cm2)．
9.正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切， 求棱锥的表面积和球的半径．
解析：过PA与球心O作截面PAE与平面PCB交于PE，与平面ABC交于AE，因△ABC是正三角形，易知AE即是△ABC中BC边上的高，又是BC边上的中线，作为正三棱锥的高PD通过球心，且D是三角形△ABC的重心，据此根据底面边长为2，
即可算出DE＝AE＝××2＝，
PE＝＝.
由△POF∽△PED，知＝，
所以＝，r＝－2，
所以S表＝S侧＋S底
＝3××2×＋×(2)2
＝9＋6.
1.(2019·山东省青岛市上期期末检测)已知a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为( B )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：①b，c可能异面，也可能垂直；②b，c可能异面，也可能平行，故选B.
2.若直线l与平面α不平行，则下列结论正确的是( D )
A．α内的所有直线都与直线l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内的直线与l都相交
D．直线l与平面α有公共点
解析：A中过公共点的直线与直线l相交，不异面，A错误；B、C中l在α内时，α内有无数多条直线与l平行，B、C错误；直线l与平面α不平行，则直线l与α相交或在平面α内，即l与α有一个或无穷多个公共点，D正确，故选D.
3.正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( A )
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
解析：因为A1B∥D1C，D1C∩EF＝E，又EF∥D1B，所以E，F，A1，B四点共面，所以EF与A1B相交，选A.
4.(2019·唐山市高三上期期末统考)四棱锥PABCD的所有侧棱长都为，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为( A )
A. B.
C. D.
解析：因为CD∥AB，则CD与PA所成的角就是∠PAB，由余弦定理得
cos ∠PAB＝＝＝.
5.(2019·浙江瑞安期末质检)在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P、Q分别是AB、AA1、C1D1、CC1的中点，给出以下四个结论：①AC1⊥MN；②AC1∥平面MNPQ；③AC1与PM相交；④NC1与PM异面．其中正确结论的序号是 ①③④ .
解析：由图形可以观察出AC1与平面MNPQ相交于正方体中心，易知①③④正确．
6.如图，ABCDA1B1C1D1是长方体，其中AA1＝a，∠BAB1＝∠B1A1C1＝30°，则AB与A1C1所成的角为 30° ，AA1与B1C所成的角为 45° .
解析：因为AB∥A1B1，所以∠B1A1C1是AB与A1C1所成的角，所以AB与A1C1所成的角为30°.
因为AA1∥BB1，所以∠BB1C是AA1与B1C所成的角．
由已知条件可以得出BB1＝a，AB1＝A1C1＝2a，AB＝a，
所以B1C1＝a，
所以四边形BB1C1C是正方形，所以∠BB1C＝45°.
7.(2019·泉州四校二次联考)四棱锥PABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其正视图与侧视图都是腰长为a的等腰直角三角形，则在四棱锥PABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有 6 对．
解析：因为四棱锥PABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其正视图与侧视图都是腰长为a的等腰直角三角形，所以PA⊥BC，PA⊥CD，AB⊥PD，BD⊥PA，BD⊥PC，AD⊥PB，共6对．
8.在长方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是AD、AB的中点．求证：直线D1M、A1A、B1N三线共点．
证明：连接MN、B1D1、BD.
因为M、N分别是AD、AB的中点，
所以MN綊BD.
又B1D1綊BD，
所以MN綊D1B1.
所以四边形MNB1D1为梯形．
延长D1M、B1N相交于P点．
因为点P在直线D1M上，
所以点P在平面A1ADD1内．
同样，点P在平面A1ABB1内．
所以点P在平面A1ADD1和平面A1ABB1的交线A1A上，
故D1M、A1A、B1N三线共点．
9.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别为A1B1，BB1，CC1的中点．
(1)求异面直线D1P与AM所成的角；
(2)求异面直线CN与AM所成角的余弦值．
解析：(1)连接A1N、NP.
由NP綊A1D1，知四边形A1NPD1为平行四边形，
所以A1N∥D1P，
所以AM与A1N相交所成锐角(或直角)即为异面直线D1P与AM所成之角．
在正方形A1ABB1中M为A1B1中点，N为B1B中点，由平面几何知识知AM⊥A1N.
所以异面直线D1P与AM所成之角为90°.
(2)在平面ABB1A1内作NQ∥AM交AB于Q，
则∠QNC(或补角)为异面直线AM与CN所成之角．
连接CQ，因为AB＝1，
则BQ＝，QC＝，NC＝，QN＝AM＝，
cos ∠QNC＝＝＝.
1.(2019·山东省高考冲刺预测)设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( B )
A．m∥β且l1∥α B．m∥l1且n∥l2
C．m∥β且n∥β D．m∥β且n∥l2
解析：m∥l1且n∥l2，m，n⊂α，l1，l2为β内两条相交直线，则可得α∥β；若α∥β，l1，l2为β内两条相交直线，则不一定有m∥l1且n∥l2，故选B.
2.已知两个不重合的平面α和β，下面给出四个条件：
①α内有无穷多条直线均与平面β平行；
②平面α，β均与平面γ平行；
③平面α，β与平面γ都相交，且其交线平行；
④平面α，β与直线l所成的角相等．
其中能推出α∥β的是( B )
A．① B．②
C．①和③ D．③和④
解析：①中也存在α，β相交的可能，故不正确；②符合平面平行的传递性，故正确；③中平面α，β，γ可能两两相交，故不正确；④中平面α，β也可能相交，故选B.
3.已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，则下列四个命题中真命题的是( C )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，m∥n，则n∥α
C．若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n
D．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β
解析：A中m，n还可能相交、异面，假命题；B中直线n可能在α内，不正确；D中，若m，n都与α，β的交线l平行，满足条件，但α，β可相交，不正确，故选C.
4.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( A )
A．有无数条 B．有2条
C．有1条 D．不存在
解析：延长D1F交DC的延长线于G，连接EG交BC于H，其反向延长线交DA于R，连接FH，D1R，则平面D1GR即为D1EF平面，由平面ADD1A1与平面BCC1B1平行的性质知FH∥D1R，因为在平面ADD1A1内无数条与D1R平行的直线，所以这无数条直线与平面D1EF都平行，故选A.
5.若三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系是 三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交 .(写出一种可能的情形即可)
解析：可将三个平面视为三条直线，考虑三条直线分平面为几部分来考虑．
6.已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：
①若m⊂α，n∥α，则m∥n；
②m∥α，m∥β，则α∥β；
③若α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥β；
④若m⊥α，m⊥β，则α∥β.
其中正确命题的序号有 ④ .
7.考察下列三个命题，请在“________”处添加一个条件，构成真命题(其中l，m为直线，α、β为平面)，则：
①⇒l∥α；②⇒l∥α；③⇒α∥β.
解析：①②根据直线与平面平行的判定定理知均需要强调直线l在平面外，均添加l⊄α；③根据两个平面平行的判定定理知须强调两条直线相交，故添加a∩b＝A.
8.如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH. 求证：AP∥GH.
证明：如图所示，连接AC.
设AC交BD于O，连接MO.
因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点．
又因为M是PC的中点，所以MO∥PA.
又因为MO⊂平面BDM，PA⊄平面BDM，
所以PA∥平面BDM，
平面BDM∩平面APG＝GH，所以AP∥GH.
9.(原创)如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．
(1)求证：BE∥平面DMF；
(2)求证：平面BDE∥平面MNG.
证明：(1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，
连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，
又BE⊄平面EMF，MO⊂平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，
又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，
所以BD∥MN，
又MN⊄平面MNG，BD⊂平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，
所以平面BDE∥平面MNG.
第九单元 立体几何初步与空间向量
1.设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：
①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β； ②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；
③l∥α，l⊥β⇒α⊥β.
其中正确的命题有( C )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：对于①，α与β可能平行、相交或垂直，故①错；②③正确，故选C.
3.(2019·辽宁鞍山五模)已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是( C )
A．l∥m，l⊥α B．l⊥m，l⊥α
C．l⊥m，l∥α D．l∥m，l∥α
解析：对于A，由l∥m，l⊥α，则m⊥α，与已知矛盾；对于B，由l⊥m，l⊥α，可知m∥α或m⊂α，与已知矛盾；对于D，由l∥m，l∥α可知m∥α或m⊂α，与已知矛盾．由此排除A，B，D，故选C.
4.(2019·浙江省高考5月份押题)已知直线l，m与平面α，β，γ满足β∩γ＝l，l∥α，m⊂α，m⊥γ，则有( B )
A．α⊥γ且m∥β B．α⊥γ且l⊥m
C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ
解析：m⊂α，m⊥γ⇒α⊥γ，又l⊂γ⇒m⊥l，故选B.
5.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则BC与AC的位置关系是 垂直 .
解析：因为PB⊥α，所以PB⊥AC.
又因为PC⊥AC，且PC∩PB＝P，
所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC.
6.已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： ①③④⇒②或②③④⇒① .
7.(2019·皖南八校第二次联考)已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有 2 个．
解析：若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题．
8.如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别为AB、PC的中点．
(1)证明：AB⊥MN；
(2)若平面PDC与平面ABCD成45°角，连接AC，取AC的中点O，证明平面MNO⊥平面PDC.
证明：(1)因为N为PC的中点，
所以ON∥PA.
而PA⊥平面ABCD，所以ON⊥平面ABCD.
所以ON⊥AB.
又四边形ABCD为矩形，M为AB的中点，
所以OM⊥AB，所以AB⊥平面OMN，
所以AB⊥MN.
(2)PA⊥平面ABCD，AD⊥DC，则PD⊥DC.
故∠PDA为平面PDC与平面ABCD所成锐二面角的平面角，即∠PDA＝45°，所以PA＝AD＝BC.
连接MC，
由Rt△BCM≌RtAPM知，MC＝MP，所以MN⊥PC.
因为AB⊥MN，所以MN⊥CD，
又PC∩CD＝C，所以MN⊥平面PCD，
所以平面MNO⊥平面PCD.
9.(2019·黑龙江省绥棱县上期期末)棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点．
(1)求证：AE⊥DA1；
(2)求在线段AA1上找一点G，使AE⊥平面DFG.
解析：(1)连接AD1，BC1，
由正方体的性质可知，
DA1⊥AD1，DA1⊥AB，
又AB∩AD1＝A，
所以DA1⊥平面ABC1D1，
又AE⊂平面ABC1D1，
所以AE⊥DA1.
(2)所求G点即为A1点，证明如下：
由(1)知AE⊥DA1，
取CD的中点H，连接AH，EH，
由平面几何知识易得DF⊥AH，
又DF⊥EH，AH∩EH＝H，所以DF⊥平面AHE，
所以DF⊥AE，
又因为DF∩A1D＝D，
所以AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.
第九单元 立体几何初步与空间向量
1.(改编)如图所示，已知四面体ABCD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AC的中点，则(＋＋＋)化简的结果为( C )
A. B.
C. D.
解析：(＋＋＋)＝(＋＋)＝(＋)＝×2＝，故选C.
2.以下四个命题中正确的是( B )
A．若＝＋，则P、A、B三点共线
B．若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底
C．|(a·b)·c|＝|a||b||c|
D．△ABC为等腰直角三角形的充要条件是·＝0
3.若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a∥b，则( C )
A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝－
C．x＝，y＝－ D．x＝－，y＝
解析：因为a∥b，所以＝＝，
所以x＝，y＝－.
4.(2019·舟山月考)平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量、、两两的夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||等于( A )
A．5 B．6
C．4 D．8
解析：设＝a，＝b，＝c，
则＝a＋b＋c，2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝25，因此||＝5，故选A.
5.已知A(－1，－2,6)，B(1,2，－6)，O为坐标原点，则向量与夹角是 180° .
解析：＝－，故夹角为180°.
6.(2019·吉林省油田高中上期期末)已知向量F1＝(1,2，－3)，F2＝(－2,3，－1)，F3＝(3，－4,5)，若F1，F2，F3共同作用在一个物体上，使物体从点M1(1，－2,1)移到点M2(3,1,2)，则合力所做的功为 8 .
解析：合力F＝F1＋F2＋F3＝(2,1,1)，
位移＝(2,3,1)，
则合力所做的功为W＝F·＝8.
7.(2019·海南部分重点中学联考)已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝且λ＞0，则λ＝ 3 .
解析：由题意λa＋b＝(4,1－λ，λ)，
所以16＋(λ－1)2＋λ2＝29(λ＞0)⇒λ＝3.
8.(2019·河北省保定模拟)已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：
(1)a，b，c；
(2)(a＋c)与(b＋c)所成角的余弦值．
解析：(1)因为a∥b，
所以＝＝，解得x＝2，y＝－4，
这时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)，
又因为b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，
解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．
(2)由(1)得a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，
设(a＋c)与(b＋c)所成角为θ，
因此cos θ＝＝－.
9.已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．
(1)求|2a＋b|；
(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点)．
解析：(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，
故|2a＋b|＝＝5.
(2)＝＋＝＋t＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)．
若⊥b，则·b＝0，
所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝.
因此存在点E，使得⊥b，此时E点的坐标为(－，－，)．
1.已知直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，下列结论成立的是( C )
A．若a∥n，则a∥α B．若a·n＝0，则a⊥α
C．若a∥n，则a⊥α D．若a·n＝0，则a∥α
解析：由方向向量和平面法向量的定义可知应选C.对于选项D，直线a⊂平面α也满足a·n＝0.
2.已知α，β是两个不重合的平面，其法向量分别为n1，n2，给出下列结论：
①若n1∥n2，则α∥β； ②若n1∥n2，则α⊥β；
③若n1·n2＝0，则α⊥β； ④若n1·n2＝0，则α∥β.
其中正确的是( A )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
3.(原创)已知A(3，－2,1)，B(4，－5,3)，则与向量平行的一个向量的坐标是( C )
A．(，1,1) B．(－1，－3,2)
C．(－，，－1) D．(，－3，－2)
解析：＝(1，－3,2)＝－2(－，，－1)，
所以与向量平行的一个向量的坐标是(－，，－1)，故选C.
4.设l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于 2 .
5.设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝ 4 .
解析：因为α∥β，所以(－2，－4，k)＝λ(1,2，－2)，
所以－2＝λ，k＝－2λ，所以k＝4.
6.已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)．若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x＝ ，y＝ － ，z＝ 4 .
解析：由已知，
解得x＝，y＝－，z＝4.
7.(原创)若a＝(2,1，－)，b＝(－1,5，)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为 2 .
解析：因为a·b＝(2,1，－)·(－1,5，)＝0，
所以a⊥b，又|a|＝2，|b|＝，
所以以a，b为邻边的平行四边形的面积为
|a|·|b|＝2×＝2.
8.如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE.
证明：如图，连接OP，因为PA＝PC，AB＝BC，所以PO⊥AC，BO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，所以可以以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.
则O(0,0,0)，A(0，－8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)， F(4,0,3)．由题意，得G(0,4,0)．
因为＝(8,0,0)，＝(0，－4,3)，
设平面BOE的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则，即，
取y＝3，则z＝4，所以n＝(0,3,4)．
由＝(－4,4，－3)，得n·＝0.
又直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE.
9.(2019·陕西省西安市名校第一次质检改编)如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．
(1)求证：PB∥平面EFH；
(2)求证：PD⊥平面AHF.
证明：建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
所以A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，H(1，0,0)．
(1)因为＝(2,0，－2)，＝(1,0，－1)，
所以＝2，
因为PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，
所以PB∥平面EFH.
(2)因为＝(0,2，－2)，＝(1,0,0)，＝(0,1,1)，
所以·＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，
·＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0，
所以PD⊥AF，PD⊥AH，
又因为AF∩AH＝A，所以PD⊥平面AHF.
1.已知二面角αlβ的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角是( B )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
2.(2019·东北三省四市教研协作体第二次调研测)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成的角的余弦值为( C )
A. B.
C. D.
解析：令AB＝1，则AA1＝2，连接A1B.因为CD1∥A1B，异面直线BE与CD1所成的角即A1B与BE所成的角．
在△A1BE中，由余弦定理易得cos ∠A1BE＝，故选C.
3.如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a＝(0,2,1)，b＝(，，)，那么这条斜线与平面的夹角是( D )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
解析：cos θ＝＝，因此a与b的夹角为30°.
4.(2019·河北省普通高中质量检测)三棱锥PABC的两侧面PAB、PBC都是边长为2a的正三角形，AC＝a，则二面角APBC的大小为( D )
A．90° B．30°
C．45° D．60°
解析：取PB的中点为M，连接AM，CM，则AM⊥PB，CM⊥PB，所以∠AMC为二面角APBC的平面角．在等边△PAB与等边△PBC中知AM＝CM＝a，即△AMC为正三角形，所以∠AMC＝60°，故选D.
5.(2019·江西省吉安市二模)已知正六棱锥的底面边长为1，体积为，其侧棱与底面所成的角等于 .
解析：设正六棱锥的高为h，侧棱与底面所成的角为θ，
则×6××12×h＝，解得h＝，
于是tan θ＝，故θ＝.
6.(2019·福建省福州市3月质检)已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为( D )
A. B.
C. D.
解析：由题意知该三棱锥是正三棱锥，如图，故顶点S在底面上的射影是底面正三角形的中心O，则AO＝×＝，所以cos ∠SAO＝＝＝，故选D.
7.(2019·海南海口4月检测)正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABD1B1的大小为 120° .
解析：以D为坐标原点建立空间直角坐标系，如图．
设A(1,0,0)，则D1(0,0,1)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，
则＝(－1,1,0)为平面BB1D1的一个法向量，
设n＝(x，y，z)为平面ABD1的一个法向量，
则n·＝0，n·＝0，
又＝(－1,0,1) ，＝(0,1,0)，
所以，所以，
令x＝1，则z＝1，所以n＝(1,0,1)，
所以cos〈，n〉＝＝＝－，
所以〈，n〉＝120°，
故二面角ABD1B1的大小为120°.
8.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点．设GF、C1E与AB所成的角分别为α，β，求α＋β.
解析：建立空间直角坐标系如图．设正方体的棱长为2.
则B(2,0,0)，A(2,2,0)，G(0,0,1)，F(1,1,0)，C1(0,0,2)，E(1,2,1)．
则＝(0,2,0)，＝(1,1，－1)，＝(1,2，－1)，
所以cos 〈，〉＝，cos 〈，〉＝，
所以cos α＝，cos β＝，sin β＝，
所以α＋β＝90°.
9.(2019·广东省高州市二模)已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠DBC＝120°，求：
(1)直线AD与平面BCD所成角的大小；
(2)二面角ABDC的余弦值．
解析：(1)如图，在平面ABC内，过A作AH⊥BC，垂足为H，则AH⊥平面DBC，
所以∠ADH即为直线AD与平面BCD所成的角，
由题设知△AHB≌△AHD，
则DH⊥BH，AH＝DH，所以∠ADH＝45°.
所以直线AD与平面BCD所成的角为45°.
(2)过H作HR⊥BD，垂足为R，连接AR，
则由AH⊥平面BCD，
所以AH⊥BD，AH∩HR＝H，
所以BD⊥平面AHR，所以BD⊥AR.
故∠ARH为二面角ABDC的平面角的补角，
设BC＝a，则由题设知，AH＝DH＝a，BH＝.
在△HDB中，HR＝a，
所以tan ∠ARH＝＝2，
故二面角ABDC的余弦值的大小为－.
1.在长方体ABCDA1B1C1D1中，若AB＝BC＝a，AA1＝2a，则点A到直线A1C的距离为( C )
A.a B.a
C.a D.a
解析：如图，点A到直线A1C的距离，即为Rt△A1AC斜边上的高AE.
由AB＝BC＝a，得AC＝a.
又AA1＝2a，
所以A1C＝a，
所以AE＝＝a.
2.若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则直线A1C1到底面ABCD的距离为( D )
A. B．1
C. D.
解析：直线A1C1∥平面ABCD，A1C1到底面ABCD的距离即为正棱柱的高h，tan 60°＝，所以h＝，故选D.
3.(改编)已知l1、l2是两条异面直线，α、β、γ是三个互相平行的平面，l1、l2分别交α、β、γ于A、B、C和D、E、F，AB＝4，BC＝12，DF＝10，则DE＝( C )
A. B.
C. D.
解析：由面面平行的性质定理可得＝，
所以＝，即＝，
所以DE＝2.5，故选C.
4.在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量n＝(2，－2,1)，已知P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于( B )
A．4 B．2
C．3 D．1
解析：因为＝(－1,3,2)是平面OAB的一条斜线上的向量，n＝(2，－2,1)为平面OAB的一个法向量，
所以d＝＝＝2，
故选B.
5.设P是60°的二面角αlβ内一点，PA⊥平面α，PB⊥平面β，A、B分别为垂足，PA＝4，PB＝2.则AB的长是 2 .
解析：因为PA⊥α，PB⊥β，所以∠APB＝120°.
又PA＝4，PB＝2，
所以AB＝＝2.
6.(2019·北海市第二次质检)在等边△ABC中，M，N分别为AB，AC上的点，满足AM＝AN＝2，沿MN将△AMN折起，使得平面AMN与平面MNCB所成的二面角为60°，则A点到平面MNCB的距离为 .
解析：在△ABC中，过A点作AF⊥BC交BC于F点，交MN于E点，由题意知折叠后∠AEF即为平面AMN与平面MNCB所成的二面角的平面角，故∠AEF＝60°，过A点作AH⊥EF于H点，则AH即为A点到平面MNCB的距离，因为AE＝，所以AH＝AE·sin 60°＝.
7.(2019·安徽怀宁检测)在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0(A，B，C，D∈R，且A，B，C不同时为零)，点P(x0，y0，z0)到平面α的距离为d＝，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于 .
解析：如图，以底面中心O为原点建立空间直角坐标系Oxyz，则A(1,1,0)，B(－1,1,0)，P(0,0,2)．
设平面PAB的方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0，将以上3个坐标代入计算得A＝0，B＝－D，C＝－D，所以－Dy－Dz＋D＝0，即2y＋z－2＝0，所以d＝＝.
8.如图，正方体的棱长为1，C、D、M分别为三条棱的中点，A、B是顶点，求点M到截面ABCD的距离．
解析：设点M到截面ABCD的距离为h.
连接AC、AM，作CF⊥AB，垂足为F，连接CM.
VCABM＝S△ABM·CM＝××1＝.
又VMABC＝··AB·CF·h
＝××××h＝，
故由VCABM＝VMABC，得＝，所以h＝.
9.(2019·广东省珠海市上期期末)矩形ABCD中，2AB＝AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起到△A′BE的位置，使A′C＝A′D，F、G分别是BE、CD的中点．
(1)求证：A′F⊥CD；
(2)设AB＝2，求四棱锥A′BCDE的体积．
解析：(1)证明：矩形ABCD中，因为F、G分别是BE、CD的中点，
所以FG∥BC，所以FG⊥CD.
因为A′C＝A′D，所以A′G⊥CD，又FG∩A′G＝G，
所以CD⊥平面A′GF，所以CD⊥A′F.
(2)因为AB＝2，所以BC＝4，ED＝2，
在等腰直角三角形△A′BE中，A′F＝且A′F⊥BE，
因为CD⊥A′F且BE、CD不平行，
所以A′F⊥平面BCDE.
所以几何体A′BCDE的体积
VA′BCDE＝A′F·S四边形BCDE＝×××2＝2.
第十单元 解析几何
1.(改编)已知过点P(－4，m＋1)和Q(m－1,6)的直线斜率等于1，那么m的值为( A )
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
解析：由斜率公式得k＝＝1，解得m＝1，故选A.
2.(2019·烟台调研)过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为( B )
A．x－y－3＝0 B．x＋y－3＝0
C．x＋y＋3＝0 D．x－y＋3＝0
解析：由两点式得：＝，即x＋y－3＝0，故选B.
3.(2019·海南嘉积中学期末)直线l与直线y＝1，直线x＝7分别交于P，Q两点，PQ的中点为M(1，－1)，则直线l的斜率是( D )
A. B.
C．－ D．－
解析：因为PQ的中点为M(1，－1)，
所以由条件知P(－5,1)，Q(7，－3)，
所以k＝＝－，故选D.
4.已知直线x＝2及x＝4与函数y＝log2x图象的交点分别为A，B，与函数y＝lg x图象的交点分别为C、D两点，则直线AB与CD( D )
A．相交，且交点在第一象限
B．相交，且交点在第二象限
C．相交，且交点在第四象限
D．相交，且交点在坐标原点
解析：由图象可知直线AB与CD相交，两直线方程分别为AB：y＝x，CD：y＝x，则其交点为坐标原点，故选D.
5.(2019·贵阳模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是 k＞或k＜－1 .
解析：设直线l的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－，令－3＜1－＜3，解不等式可得k＞或k＜－1.
6.(2019·济南模拟)过点(1,3)作直线l，若经过点(a,0)和(0，b)，且a∈N*，b∈N*，则可作出的直线l有 2 条．
解析：由题意＋＝1，所以(a－1)(b－3)＝3，
此方程有两组正整数解或，有2条．
7.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直线坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为n＝(1，－2)的直线(点法式)方程为1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1,2,3)且法向量为n＝(－1，－2,1)的平面(点法式)方程为 x＋2y－z－2＝0 (请写出化简后的结果)．
解析：所求方程为(－1)×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0，化简即得x＋2y－z－2＝0.
8.等腰△ABC的顶点为A(－1,2)，又直线AC的斜率为，点B的坐标为(－3,2)，求直线AC、BC及∠A的平分线所在的直线方程．
解析：由点斜式得直线AC的方程为y＝x＋2＋.
因为AB∥x轴，又△ABC是以A为顶点的等腰三角形且直线AC的倾斜角为，
所以直线BC的倾斜角α为或.
①当α＝时，直线BC的方程为y＝x＋2＋.
又∠A的平分线的倾斜角为，
所以∠A的平分线所在直线的方程为y＝－x＋2－.
②当α＝时，直线BC的方程为y＝－x＋2－3.
又∠A的平分线的倾斜角为，
所以∠A的平分线所在直线的方程为y＝x＋2＋.
9.已知两点A(－1,2)，B(m,3)．
(1)求直线AB的方程；
(2)已知实数m∈[－－1，－1]，求直线AB的倾斜角α的取值范围．
解析：(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1；
当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝(x＋1)．
(2)①当m＝－1时，α＝；
②当m≠－1时，m＋1∈[－，0)∪(0，]，
所以k＝∈(－∞，－]∪[，＋∞)，
所以α∈[，)∪(，]．
综合①②知，直线AB的倾斜角α∈[，].
1.(2019·东城二模)“a＝3”是“直线ax＋3y＝0与直线2x＋2y＝3平行”的( C )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：当两条直线平行时，由a×2－3×2＝0，得a＝3；当a＝3时，两直线显然平行，故选C.
2.(2019·四川宜宾市高三调研)过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为( A )
A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0
解析：根据已知直线方程知所求直线的斜率为，所以所求直线方程为y－3＝(x－2)，即x－2y＋4＝0，故选A.
3.(2019·山东省济南市3月模拟)直线l1：kx＋(1－k)y－3＝0和l2：(k－1)x＋(2k＋3)y－2＝0互相垂直，则k＝( C )
A．－3或－1 B．3或1
C．－3或1 D．－1或3
解析：若k＝1，直线l1：x＝3，l2：y＝满足两直线垂直；若k≠1，直线l1，l2的斜率分别为k1＝，k2＝，由k1·k2＝－1，得k＝－3，综上知k＝1或k＝－3，故选C.
4.(2019·山东省济宁市上期期末检测)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则直线xsin A＋ay＋c＝0与直线bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是( B )
A．平行 B．垂直
C．重合 D．相交但不垂直
解析：由正弦定理，得＝，
即－·＝－1，
而－与分别为两条直线的斜率，故两条直线垂直，故选B.
5.(2019·石家庄质检)若函数y＝ax＋8与y＝－x＋b的图象关于直线y＝x对称，则a＋b＝ 2 .
解析：直线y＝ax＋8关于y＝x对称的直线方程为x＝ay＋8，所以x＝ay＋8与y＝－x＋b为同一直线，故得，所以a＋b＝2.
6.(改编)点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则P点坐标为 (1,2)或(2，－1) .
解析：设P点坐标为(a,5－3a)，
由题意知：＝，解之得a＝1或a＝2，
所以P点坐标为(1,2)或(2，－1)．
7.(2019·广东省深圳3月模拟)已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是 2 .
解析：由已知两条直线平行得－＝－，解得m＝8，
所以直线6x＋my＋14＝0为3x＋4y＋7＝0，
故两平行线间的距离为＝2.
8.(改编)已知直线l1经过点A(0，－1)和点B(－，1)，直线l2经过点M(1,1)和点N(0，－2)．
(1)若l1与l2没有公共点，求实数a的值；
(2)若l1与l2所成角为直角，求实数a的值．
解析：l1的斜率kAB＝＝－，
l2的斜率kMN＝＝3.
(1)由题意知，l1∥l2，所以kAB＝kMN，
即－＝3，所以a＝－6.
(2)由题意知，l1⊥l2，
所以kAB·kMN＝－1，即－×3＝－1，所以a＝.
9.已知点P(2，－1)．
(1)求过点P且与原点距离为2的直线l的方程；
(2)求过点P且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
解析：(1)①当l的斜率k不存在时显然成立，此时l的方程为x＝2.
②当l的斜率k存在时，
设l：y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0，
由点到直线的距离公式得＝2，解得k＝，
所以l：3x－4y－10＝0.
故所求l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
(2)数形结合可得，过点P且与原点O距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线．
由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－＝2.
由直线方程的点斜式得直线l的方程为y＋1＝2(x－2)，
即2x－y－5＝0，
即直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O距离最大的直线，最大距离为＝.
1.(2019·山东省莱芜市上期期末)点P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25内弦AB的中点，则直线AB的方程为( C )
A．x＋y－1＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x－y－3＝0 D．2x－y－5＝0
解析：由圆的方程知圆心坐标为(1,0)，圆心与P点的连线的斜率为－1，所以直线AB的斜率为1，又过点P(2，－1)，所以直线AB的方程为x－y－3＝0，故选C.
2.(2019·北京市东城区上期期末)在平面直角坐标系内，若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则实数a的取值范围为( D )
A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0，
即(x＋a)2＋(y－2a)2＝4表示以(－a,2a)为圆心，2为半径的圆，当－a<－2且2a＞0，即a>2时，曲线C
上所有的点均在第二象限内，故选D.
3.(2019·博恩第六次模拟)已知A、B、C是圆O：x2＋y2＝1上不同的三个点，且·＝0，存在实数λ，μ满足＝λ＋μ，则点(λ，μ)与圆的位置关系是( B )
A．在单位圆外 B．在单位圆上
C．在单位圆内 D．无法确定
解析：因为点A、B、C在单位圆上，
故|OC|＝1，于是有|OC|2＝1，
即(λ＋μ)2＝1，展开得λ2＋μ2＝1，
所以点(λ，μ)在圆x2＋y2＝1上，故选B.
4.圆心在原点且与直线x＋2y＝4相切的圆的方程是 x2＋y2＝ .
解析：由题意，半径R＝＝，
所以圆的方程为x2＋y2＝，故填x2＋y2＝.
5.(2019·北京市海淀区一模)以抛物线y2＝4x上的点(x0,4)为圆心，并过此抛物线焦点的圆的方程是 (x－4)2＋(y－4)2＝25 .
解析：抛物线的焦点为(1,0)，准线为x＝－1，
根据点(x0,4)在抛物线上知42＝4x0，解得x0＝4，
所以圆心为(4,4)，半径为x0＋1＝5，
故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－4)2＝25.
6.(2019·广东高州市第一次模拟)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是 (x－2)2＋(y＋1)2＝1 .
解析：设圆上任一点为Q(s，t)，PQ的中点为A(x，y)，
则，解得，
将其代入圆的方程，
得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
整理得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
7.(2019·浙江省温州市2月适应性测试)若x2＋y2－4x＋2my＋m＋6＝0与y轴的两交点位于原点的同侧，则实数m的取值范围是 m>3或－63或－60)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B为切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( C )
A．4 B．2
C．2 D.
解析：因为四边形PACB的最小面积是2，此时切线长为2，所以圆心到直线的距离为，即d＝＝，解得k＝2，故选C.
5.(2019·三明市上期联考)经过点P(2，－3)作圆x2＋2x＋y2＝24的弦AB，使得点P平分弦AB，则弦AB所在直线的方程为 x－y＋5＝0 .
解析：点P在圆内，则过点P且被点P平分的弦所在的直线和圆心与P的连线垂直．又圆心与P的连线的斜率是－1，则所求直线的斜率为1，且过点P(2，－3)，则所求直线方程是x－y－5＝0.
6.(2019·武昌区高三5月调研)在圆x2＋y2＝4上，与直线l：4x＋3y－12＝0的距离最小值是 .
解析：圆的半径是2，圆心O(0,0)到l：4x＋3y－12＝0的距离是d＝＝，所以在圆x2＋y2＝4上，与直线l：4x＋3y－12＝0的距离最小值是d－r＝－2＝.
7.(2019·浙江省名校新高考研究联盟第二次联考)已知直线y＝x＋b交圆x2＋y2＝1于A、B两点，且∠AOB＝60°(O为原点)，则实数b的值为 ± .
解析：如图易得d＝＝||，
所以b＝±.
8.已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，P点的坐标为(2，－1)，过点P作圆C的切线，切点为A、B.
(1)求直线PA、PB的方程；
(2)求过P点的圆的切线长；
(3)求直线AB的方程．
解析：(1)如图，设过P点的圆的切线方程为y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0.
因为圆心(1,2)到切线的距离为，即＝，
所以k2－6k－7＝0，解得k＝7或k＝－1，
所以所求的切线方程为7x－y－15＝0或x＋y－1＝0.
(2)连接PC，CA.
在Rt△PCA中，|PA|2＝|PC|2－|CA|2＝8，
所以过P点的圆C的切线长为2.
(3)由，解得A(，)．
又由，解得B(0,1)，
所以直线AB的方程为x－3y＋3＝0.
9.(2019·丰台区高三期末考试)在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线x－y－4＝0相切．
(1)求圆O的方程；
(2)直线l：y＝kx＋3与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点M，使得四边形OAMB为菱形？若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由．
解析：(1)设圆O的半径为r，因为直线x－y－4＝0与圆O相切，
所以r＝＝2，
所以圆O的方程为x2＋y2＝4.
(2)(方法一)因为直线l：y＝kx＋3与圆O交于A，B两点，所以圆心O到直线l的距离d＝<2，
解得k>或k<－.
假设存在点M，使得四边形OAMB为菱形，
则OM与AB互相垂直且平分，
所以原点O到直线l：y＝kx＋3的距离为
d＝|OM|＝1，
所以圆心O到直线l的距离d＝＝1，
解得k2＝8，即k＝±2，经验证满足条件，
所以存在点M，使得四边形OAMB为菱形．
(方法二)记OM与AB交于点C(x0，y0)．
因为直线l的斜率为k，显然k≠0，
所以直线OM的方程为y＝－x，
由，解得，
所以点M的坐标为(，)．
因为点M在圆上，
所以()2＋()2＝4，解得k2＝8，
即k＝±2，经验证满足条件，
所以存在点M，使得四边形OAMB为菱形．
第十单元 解析几何
1.(2019·衡水调研)椭圆＋＝1(a>b>0)上任一点到两焦点的距离分别为d1，d2，焦距为2c.若d1,2c，d2成等差数列，则椭圆的离心率为( A )
A. B.
C. D.
解析：由d1＋d2＝2a＝4c，所以e＝＝，故选A.
2.(2019·福建省宁德市质量检查)已知方程＋＝1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是( B )
A．k>1或k<3 B．11 D．k<3
解析：因为方程＋＝1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆，所以，解得1b>0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.
(1)求椭圆C的焦距；
(2)如果＝2，求椭圆C的方程．
解析：(1)设椭圆C的焦距为2c.
由已知可得F1到直线l的距离为c＝2，
故c＝2.所以椭圆C的焦距为4.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意知y1<0，y2>0.
直线l的方程为y＝(x－2)．
联立，得方程组，
消去x，得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0，
解得y1＝，y2＝.
因为＝2，所以－y1＝2y2，
即＝2×，得a＝3.
而a2－b2＝4，所以b＝.
故椭圆C的方程为＋＝1.
9.(2019·广东省江门市第一次模拟)已知椭圆C的中心在原点，长轴在x轴上，经过点A(0,1)，离心率e＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线ln：y＝(n∈N*)与椭圆C在第一象限内相交于点An(xn , yn)，记an＝x，试证明：对∀n∈N*，a1·a2·…·an>.
解析：(1)依题意，设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
则，解得，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由，得x＝，
an＝x＝，
所以a1·a2·…·an＝×××…×＝>.
1.(2019·泉州四校二次联考)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( C )
A．2 B．2
C．4 D．4
解析：双曲线的方程2x2－y2＝8可化为－＝1，则a＝2，故实轴长2a＝4，故选C.
2.(2019·北京市西城区第一学期期末)若双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(3,0)，则实数k＝( B )
A. B.
C. D.
解析：因为双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(3,0)，故1＋＝9，所以k＝，故选B.
3.(2019·四川省成都4月模拟)已知定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为( C )
A. B.
C. D．5
解析：由|PA|－|PB|＝3知P点的轨迹是以A，B为焦点的双曲线一支(以B为焦点的一支)，因为2a＝3,2c＝4，所以a＝，c＝2，所以|PA|min＝a＋c＝，故选C.
4.(2019·唐山市上期期统考)已知双曲线的渐近线为y＝±x，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( D )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：根据题意设双曲线方程为x2－＝λ(λ>0)，即－＝1，
则a2＝λ，b2＝3λ，
所以c2＝a2＋b2＝4λ＝16⇒λ＝4，
所以双曲线方程为－＝1，故选D.
5.(2019·山东省青岛市3月质量检测)已知双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，则它的离心率为 2 .
解析：由题知＝，则()2＝3，故e＝＝2.
6.(2019·广东省高州市第一次模拟)已知F1、F2是双曲线－＝1的焦点，PQ是过焦点F1的弦，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ|的值是 16 .
解析：由双曲线方程得，2a＝8.
由双曲线的定义得|PF2|－|PF1|＝2a＝8，①
|QF2|－|QF1|＝2a＝8，②
①＋②，得
|PF2|＋|QF2|－(|PF1|＋|QF1|)＝16，
所以|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝16.
7.(2019·武昌区2月调研)双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为 .
解析：双曲线右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，双曲线一条渐近线的斜率是，直线FB的方程是y＝(x－5)，与双曲线方程联立解得点B的纵坐标为－，故△AFB的面积为×|AF||yB|＝×2×＝.
8.求与圆(x＋2)2＋y2＝2外切，并且过定点B(2,0)的动圆圆心M的轨迹方程．
解析：圆(x＋2)2＋y2＝2的圆心为A(－2,0)，半径为.
设动圆圆心为M，半径为r.
由已知条件，知⇒|MA|－|MB|＝，
所以点M的轨迹为以A、B为焦点的双曲线的右支，
且a＝，c＝2，所以b2＝.
所以M点的轨迹方程为－＝1(x>0)．
9.已知两定点F1(－，0)，F2(，0)，满足条件||－||＝2的点P的轨迹是曲线E，直线y＝kx－1与曲线E交于A、B两点．
(1)求k的取值范围；
(2)如果||＝6，求k的值．
解析：(1)由双曲线的定义可知，曲线E是以F1(－，0)，F2(，0)为焦点的双曲线的左支，且c＝，a
＝1，易知b＝1，
故双曲线E的方程为x2－y2＝1(x＜0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意建立方程组：
，消去y得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
又已知直线与双曲线的左支交于A、B两点，有
，解得－＜k＜－1.
(2)因为|AB|＝·|x1－x2|
＝·
＝·
＝2.
依题意得2＝6，
整理后得28k4－55k2＋25＝0，
所以k2＝或k2＝，但－＜k＜－1，所以k＝－.
1.抛物线y＝4x2的准线方程为( D )
A．x＝－1 B．y＝－1
C．x＝－ D．y＝－
2.(2019·山东省莱芜市上期末)正三角形一个顶点是抛物线x2＝2py(p>0)的焦点，另两个顶点在抛物线上，则满足此条件的正三角形共有( C )
A．0个 B．1个
C．2个 D．4个
解析：由抛物线的对称性可知，另两个顶点一组在焦点的下方，一组在焦点的上方，共有两组，故选C.
3.(2019·郑州市第一次质量预测)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为( C )
A．y2＝9x B．y2＝6x
C．y2＝3x D．y2＝x
解析：分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为E，D，如图．
因为|BC|＝2|BF|，由抛物线的定义可知|BF|＝|BD|，∠BCD＝30°.
又|AE|＝|AF|＝3，所以|AC|＝6，
即F为AC的中点，所以p＝|EA|＝，
故抛物线的方程为y2＝3x，故选C.
4.(2019·山东省临沂市3月一模)若抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程为 y2＝8x .
解析：由条件知－＝－2，所以p＝4，
故抛物线的方程为y2＝8x.
5.(2019·皖南八校第二次联考)抛物线x2＝ay过点A(1，)，则点A到此抛物线的焦点的距离为 .
解析：由已知可得1＝a，所以a＝4，所以x2＝4y.
由抛物线的定义可知点A到焦点的距离等于A到准线的距离：
yA＋＝＋1＝.
6.(2019·衡水调研卷)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为 y2＝±8x .
解析：由题可知抛物线的焦点坐标为(，0)，于是过焦点且斜率为2的直线l的方程为y＝2(x－)，令x＝0，可得A点坐标为(0，－)，所以S△OAF＝··＝4，所以a＝±8，故抛物线的方程为y2＝±8x.
7.(2019·山西大学附中第二学期3月考)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N
为抛物线上的一点，且满足|NF|＝|MN|，则∠NMF＝ .
解析：过N作NQ⊥准线于Q，则|NQ|＝|NF|.
因为|NF|＝|MN|，
所以|NQ|＝|MN|，
所以cos∠QNM＝＝，所以∠QNM＝，
所以∠NMF＝∠QNM＝.
8.(2019·重庆市七区第一次联考)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F在x轴上．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程．
解析：(1)由题意，可设抛物线C的标准方程为y2＝2px，
因为点A(2,2)在抛物线C上，所以p＝1，
所以抛物线C的标准方程为y2＝2x.
(2)由(1)可得焦点F的坐标为(，0)，
又直线OA的斜率为1，
所以与直线OA垂直的直线的斜率为－1.
所以过点F，且与直线OA垂直的直线的方程为y－0＝－1(x－)，即x＋y－＝0.
9.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设点C是抛物线上的动点，若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦AB的长为4，求证：圆C过定点．
解析：(1)由抛物线的定义得＋4＝5，则p＝2，
所以抛物线的标准方程为y2＝4x.
(2)证明：设圆心C的坐标为(，y0)，半径为r.
因为圆C在y轴上截得的弦长为4，
所以r2＝4＋()2，
故圆C的方程为(x－)2＋(y－y0)2＝4＋()2，
整理得(1－)y－2yy0＋(x2＋y2－4)＝0，①
对于任意的y0∈R，方程①均成立．
故有，解得.
所以圆C过定点(2,0)．
第十单元 解析几何
1.过点(0,2)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有( C )
A．1条 B．2条
C．3条 D．无数条
解析：易知y轴与抛物线切于原点满足条件；直线y＝2与抛物线的对称轴平行也满足条件；另外画出图形，易知有一条直线与抛物线切于x轴上方，故这样的直线有3条．选C.
2.直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( A )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
3.(2019·湖北省武昌区元月调研)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( A )
A．(1,2) B．(1,2]
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：双曲线渐近线斜率小于直线的斜率，
即3.
6.(2019·浙江省杭州市5月份押题)过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的直线与抛物线交于A、B两点，|AB|＝3，且AB中点的纵坐标为，则p的值为 .
解析：设直线方程为x＝my＋，
代入抛物线方程得y2－2mpy－p2＝0，
则，
又|AB|＝·
＝·，
即⇒p＝.
7.(2019·安徽省蚌埠市3月第二次质检)已知两定点M(－2,0)，N(2,0)，若直线上存在点P，使得|PM|－|PN|＝2，则称该直线为“A型直线”，给出下列直线：①y＝x＋1；②y＝x＋2；③y＝－x＋3；④y＝－2x.其中是“A型直线”的序号是 ①③ .
解析：由条件知考虑给出直线与双曲线x2－＝1右支的交点情况，作图易知①③直线与双曲线右支有交点，故填①③.
8.椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B两点，C是线段AB的中点．若|AB|＝2，直线OC的斜率为，求椭圆的方程．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆的方程并作差，
得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
而＝－1，＝kOC＝，
代入上式可得b＝a.
又|AB|＝|x2－x1|＝2，即|x2－x1|＝2，
其中x1、x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，
则|x2－x1|2＝()2－4·＝4，
将b＝a代入，得a＝，b＝，
所以所求椭圆的方程是＋y2＝1.
9.(2019·西城二模)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．
(1)若＝2，求直线AB的斜率；
(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．
解析：(1)依题意F(1,0)，设直线AB方程为x＝my＋1，
将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2－4my－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，①
因为＝2，所以y1＝－2y2，②
联立①和②，消去y1，y2，得m＝±，
所以直线AB的斜率是±2.
(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB，
因为2S△AOB＝2×·|OF|·|y1－y2|
＝＝4.
所以m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.
1.(2019·安徽省皖南八校联考)若动点P到定点F(1，－1)的距离与到直线l：x－1＝0的距离相等，则动点P的轨迹是( D )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．直线
解析：因为定点F(1，－1)在直线l：x－1＝0上，所以轨迹为过F(1，－1)与直线l垂直的一条直线，故选D.
2.(2019·山西省太原五中高三9月)实数变量m，n满足m2＋n2＝1，则坐标(m＋n，mn)表示的点的轨迹是( D )
A．抛物线 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．抛物线的一部分
解析：设x＝m＋n，y＝mn，
则x2＝(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn＝1＋2y，
且由于m，n的取值都有限制，
因此变量x的取值也有限制，
所以点(m＋n，n)的轨迹为抛物线的一部分，故选D.
3.(2019·昌平区期末)一圆形纸片的圆心为点O，点Q是圆内异于O点的一定点，点A是圆周上一点．把纸片折叠使点A与Q重合，然后展平纸片，折痕与OA交于P点．当点A运动时点P的轨迹是( B )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析：由条件知|PA|＝|PQ|，
则|PO|＋|PQ|＝|PO|＋|PA|＝R(R＞|OQ|)，
所以点P的轨迹是椭圆，故选B.
4.(2019·甘肃省天水市预测)已知点A(－1,0)和圆x2＋y2＝2上一动点P，动点M满足2＝，则点M的轨迹方程是( C )
A．(x－3)2＋y2＝1 B．(x－)2＋y2＝1
C．(x－)2＋y2＝ D．x2＋(y－)2＝
解析：设M(x，y)，P(x0，y0)，
由2＝，则2(－1－x,0－y)＝(x0＋1，y0－0)，
即(－2－2x，－2y)＝(x0＋1，y0)，
所以.
又点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，
所以x＋y＝2，即(－2x－3)2＋(－2y)2＝2，
化简得(x－)2＋y2＝，故选C.
5.平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹方程为 x＋2y－5＝0 .
解析：设C(x，y)，
则＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1,3)．
因为＝λ1＋λ2，所以.
又λ1＋λ2＝1，所以x＋2y－5＝0.
6.(2019·洛阳模拟)设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是 x2＋3y2＝1(x>0，y>0) .
解析：设A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0，
由＝2，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，
即a＝x>0，b＝3y>0.
因为点Q与点P关于y轴对称，所以点Q(－x，y)，
故由·＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，
即ax＋by＝1.
将a＝x，b＝3y代入上式得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x>0，y>0)．
7.(2019·广东高州市模拟)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是 (x－2)2＋(y＋1)2＝1 .
解析：设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，
则，即，
代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
8.已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P为椭圆C上的动点，M为过点P且垂直于x轴的直线上的点，＝e(e为椭圆C的离心率)，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
解析：(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，
由已知得，解得，所以b2＝7，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设M(x，y)，P(x，y1)，其中x∈[－4,4]．
由已知得＝e2.
而e＝，故16(x2＋y)＝9(x2＋y2)．①
由点P在椭圆C上得y＝，代入①式并化简得9y2＝112，
所以点M的轨迹方程为y＝±(－4≤x≤4)，轨迹是两条平行于x轴的线段．
9.(2019·广东省肇庆市第一次模拟)已知圆C与两圆x2＋(y＋4)2＝1，x2＋(y－2)2＝1外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点M(x，y)的距离的最小值为m，点F(0,1)与点M(x，y)的距离为n.
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；
(2)求满足条件m＝n的点M的轨迹Q的方程．
解析：(1)两圆半径都为1，两圆心分别为C1(0，－4)、C2(0，2)，由题意得CC1＝CC2，
可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线，C1C2的中点为(0，－1)，直线C1C2的斜率等于零，故圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线，其方程为y＝－1，
即圆C的圆心轨迹L的方程为y＝－1.
(2)因为m＝n，所以M(x，y)到直线y＝－1的距离与到点F(0,1)的距离相等，故点M的轨迹Q是以y＝－1为准线，点F(0,1)为焦点，顶点在原点的抛物线，
而＝1，即p＝2，所以，轨迹Q的方程是x2＝4y.
1.已知λ∈R，则不论λ取何值，曲线C：λx2－x－λy＋1＝0恒过定点( D )
A．(0,1) B．(－1,1)
C．(1,0) D．(1,1)
解析：由λx2－x－λy＋1＝0，得λ(x2－y)－(x－1)＝0.
依题设，即，
可知不论λ取何值，曲线C过定点(1,1)．
2.若点A的坐标为(3,2)，F为抛物线y2＝2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使|PA|＋|PF|取最小值，P点的坐标为( B )
A．(3,3) B．(2,2)
C．(，1) D．(0,0)
解析：如图，根据抛物线的定义可知|PF|等于点P到准线l的距离|PQ|.则当A、P′、Q′三点共线时|PA|＋|PF|最小，此时，可求得P′(2,2)．
3.(2019·山东省高考冲刺预测)过双曲线－＝1(a>0，b>0)上任意一点P，引与实轴平行的直线，交两渐近线于M、N两点，则·为定值( D )
A．a2b2 B．2ab
C．a2 D．－a2
解析：设P(x，y)，则M(y，y)，N(－y，y)，
于是·＝(y－x,0)·(－y－x,0)
＝(y－x)(－y－x)
＝(b2x2－a2y2)
＝＝a2，
所以·＝－·＝－a2，故选D.
4.(2019·山东省莱芜市上期末)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则·的最小值为( A )
A. B．3
C．8 D．15
解析：设P(x，y)，由题意得F(－2,0)，
所以·＝(x＋2，y)·(x，y)
＝x2＋2x＋y2
＝x2＋2x＋5
＝(x＋)2＋(－3b>0)与直线x＋y－1＝0相交于P、Q两点，且·＝0(O为坐标原点)．
(1)求证：＋等于定值；
(2)若椭圆离心率e∈[，]时，求椭圆长轴长的取值范围．
解析：(1)证明：由
⇒(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0.①
由Δ＞0⇒a2b2(a2＋b2－1)＞0，
因为a＞b＞0，所以a2＋b2＞1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1，x2是①的两根，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.②
由·＝0得，x1x2＋y1y2＝0，
即 2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，③
将②代入③得，a2＋b2＝2a2b2，所以＋＝2，为定值．
(2)由(1)a2＋b2＝2a2b2得2－e2＝2a2(1－e2)，
所以a2＝＝＋，
又≤e≤，所以≤a≤，长轴2a∈[，]．
9.(2019·山东省淄博市第一学期期中)已知点F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点F2的距离的最大值为＋1，且△PF1F2的最大面积为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点M的坐标为(，0)，过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B两点．对于任意的k∈R，·是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
解析：(1)由题意可知：
a＋c＝＋1，×2c×b＝1，
因为a2＝b2＋c2，所以a2＝2，b2＝1，c2＝1，
所以所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝k(x－1)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(，0)，
联立，消去y，得
(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
则.
因为＝(x1－，y1)，＝(x2－，y2)，
·＝(x1－)(x2－)＋y1y2
＝－(x1＋x2)＋x1x2＋＋y1y2
＝－(x1＋x2)＋x1x2＋＋k2(x1－1)(x2－1)
＝(－－k2)(x1＋x2)＋(1＋k2)x1x2＋k2＋
＝－.
对任意x∈R，有·＝－为定值．
第十一单元 计数原理
1.(改编)从2,3，…，8七个自然数中任取三个数组成有序数组a，b，c，且a＜b＜c，则不同的数组有( A )
A．35组 B．42组
C．105组 D．210组
解析：不同的数组有C＝35组．
2.(2019·黑龙江绥化市一模)有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花的不同摆放种数是( B )
A．12 B．24
C．36 D．48
解析：利用相邻问题捆绑法，间隔问题插空法得：AAA＝24，故选B.
3.(2019·湖南省株洲市第一次模拟)6名学生中选出4人分别从事A、B、C、D四项不同的工作，若其中甲、乙两人不能从事A种工作，则不同的选派方案共有( B )
A．280种 B．240种
C．180种 D．96种
解析：从事A种工作有4种选择，从事B，C，D工作的有5×4×3＝60种选择，故共有4×60＝240，故选B.
4.(2019·北海市第二次质检)某化工厂生产中需依次投放2种化工原料，现已知有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放，则不同的投放方案有( C )
A．10种 B．12种
C．15种 D．16种
解析：依题意，可将所有的投放方案分成三类：(1)使用甲原料，有C×1＝3种投放方案；(2)使用乙原料，有6种投放方案；(3)甲、乙原料都不使用，有A＝6种投放方案，所以共有3＋6＋6＝15种投放方案，故选C.
5.(2019·粤西北九校联考)从8名女生4名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为 112 .
解析：根据分层抽样，抽取男生1人，女生2人，所以取2个女生1个男生的方法：CC＝112.
6.(2019·威海市模拟)将a，b，c三个字母填写到3×3方格中，要求每行每列都不能出现重复字母，不同的填写方法有 12 种．(用数值作答)
解析：先填第一行，则第一行有A＝6种，第二行第一列有2种，其余2列有唯一1种，第三列唯一确定1种，共有6×2＝12(种)．
7.(2019·上海市卢湾区第一次检测)将5,6,7,8四个数填入中的空白处以构成三行三列方阵，
若要求每一行从左到右、每一列从上到下依次增大，则满足要求的填法种数为( D )
A．24 B．18
C．12 D．6
解析：完成这件事情分成两步即可：第一步，从5,6,7,8四个数字中选两排在第一，二行的末尾并且小数排在第一行，大数排在第二行，共有C＝6种；第二步，从5,6,7,8四个数字中余下两个数字选两排在第一，二列的末尾并且小数排在第一列，大数排在第二列，共有C种，于是这种排列的方法共有6种，故选D.
8.中央电视台“正大综艺”节目的现场观众来自四个单位，分别在图中4个区域内坐定，有4种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两个区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同与否则不受限制，那么不同的着装方法共有多少种？
解析：(方法一)若每个区域服装颜色不相同，则有C·C·C·C＝24种，若Ⅰ、Ⅲ或Ⅱ、Ⅳ同色，另二区域不同色，则有2C×3×2＝48种；若Ⅰ、Ⅲ与Ⅱ、Ⅳ分别同色，则有C·A＝12种．故共有24＋48＋12＝84种．
(方法二)Ⅰ有4种可能，Ⅱ有3种可能，Ⅲ可与Ⅰ相同或不同，故共有4×3×3＋4×3×2×2＝84种方法．
9.6个学生按下列要求站成一排，求各有多少种不同的站法？
(1)甲不站排头，乙不能站排尾；
(2)甲、乙都不站排头和排尾；
(3)甲、乙、丙三人中任何两人都不相邻；
(4)甲、乙都不与丙相邻．
解析：(1)分两类：甲站排尾，有A种；甲站中间四个位置中的一个，且乙不站排尾，有AAA种．
由分类计数原理，共有A＋AAA＝504(种)．
(2)分两步：首先将甲、乙站在中间四个位置中的两个，有A种；再站其余4人，有A种．
由分步计数原理，共有A·A＝288(种)．
(3)分两步：先站其余3人，有A种；再将甲、乙、丙3人插入前后四个空当，有A种．
由分步计数原理，共有A·A＝144(种)．
(4)分三类：丙站首位，有AA种；丙站末位，有AA种；丙站中间四个位置中的一个，有AAA种．
由分类计数原理，共有2AA＋AAA＝288(种)．
1.(2019·广东省惠州市第四次调研一模)将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为( B )
A．10 B．20
C．30 D．40
解析：安排方法可分为3＋2及2＋3两类，则共有C×A＝20种分法，故选B.
2.(2019·郑州市第二次质量预测)1名老师和5位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法共有( C )
A．450 B．460
C．480 D．500
解析：依题意知1名老师和5位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法共有A·A种(注：A表示的是从这5位同学中任选2位在两端排列的方法数；A表示其余四人的排列方法数)，故选C.
3.(2019·东北三省四市教研协作体等值诊断)现有4名教师参加说题比赛，共有4道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一道题没有被这4位选中的情况有( B )
A．288种 B．144种
C．72种 D．36种
解析：首先选择题目，从4道题目中选出3道，选法为C，而后再将获得同一道题目的2位老师选出，选法为C，最后将3道题目，分配给3组老师，分配方式为A，即满足题意的情况共有CCA种，故选B.
4.(2019·南宁市第三次适应性测试)四个小朋友围成一个圈做游戏，现有四种不同的颜色衣服(每种颜色衣服数量不限)，要求相邻的两位小朋友穿的衣服颜色不相同，则不同的穿衣方法共有(仅考虑颜色不同)( B )
A．96种 B．84种
C．60种 D．48种
解析：若穿两种不同颜色衣服，则应有CA＝12种，若穿三种衣服，则应有2×CAA＝48种，若穿四种衣服，则应有A＝24，故总的不同穿衣的方法为84种，故选B.
5.(2019·潍坊市高考适应性训练)如图M，N，P，Q为海上四个小岛，现要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方法有( C )
A．8种 B．12种
C．16种 D．20种
解析：如图，M，N，P，Q共有6条线段(桥抽象为线段)，任取3条有C
＝20种方法，减去不合题意的4种，则不同的方法有16种，故选C.
6.(2019·广东省高考冲刺强化训练试卷)某公园有甲、乙、丙三条大小不同的游艇，甲可坐3人，乙可坐2人，丙只能坐1人．现在3个大人带2个小孩租游艇，但小孩不能单独坐游艇(即需要大人陪同)，则不同的坐法种数有( B )
A．21 B．27
C．33 D．34
解析：可按照大人带小孩的方式进行分类：当1个大人带2个小孩坐甲游艇时有C(1＋A)＝9种坐法，当2个大人带1个小孩坐甲游艇时有C·C＝6种坐法，当1个大人带1个小孩坐甲游艇时有CCC＝12种坐法，因此总共有9＋6＋12＝27种坐法，故选B.
7.(2019·上海市七校下期联考)如果一个正四位数的千位数a、百位数b、十位数c和个位数d满足关系(a－b)(c－d)<0，则称其为“彩虹四位数”，例如2019就是一个“彩虹四位数”，那么，正四位数中“彩虹四位数”的个数为 3645 .(直接用数字作答)
解析：构成“彩虹四位数”可以分为两类：一类是a>b且cd，此时共可得到36×45个“彩虹四位数”(首位不能为0)，据加法原理得：正四位数中“彩虹四位数”的个数为3645.
8.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间三个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，共有多少种坐法．
解析：“间接法”：从非前排的中间的三个座位的20个座位中选2个坐这两人共有A种坐法，而前排两人相邻有2×3A种坐法，后排两人左右相邻有11A种坐法，故共有A－2×3A－11A＝346种．
9.已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．
(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
解析：(1)先排前4次测试，只能取正品，有A种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有CA＝A种测法，再排余下4件的测试位置，有A种测法．
所以共有不同测试方法A·A·A＝103680种．
(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法A·(C·C)A＝576种．
1.(2019·北海市第二次质检)设(x＋2)(2x＋3)10＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为( B )
A．0 B．1
C．6 D．15
解析：令x＝－1，则1＝a0＋a1＋a2＋…＋a11，故选B.
2.(2019·广东省惠州市第二次调研)若(ax－1)5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值为( D )
A．－2 B．2
C. D．2
解析：(ax－1)5的展开式中含x3的项为C(ax)3(－1)2＝10a3x3，由题意得10a3＝80，所以a＝2，故选D.
3.(2019·河北名校俱乐部高三模拟)已知(＋)n的展开式中，各项系数之和大于8且小于32，则展开式中系数最大的项是( A )
A．6 B.
C．4x D.或4x
解析：由条件可得8<2n<32，所以n＝4，又二项式中两项系数均为1，所以展开式中系数最大的项就是二项式系数最大项，即为C()2()2＝6，故选A.
4.(2019·威海市模拟)设(x－)6的展开式中x3的系数为A，二项式系数为B，则A∶B＝( A )
A．4 B．－4
C．25 D．－25
解析：Tk＋1＝Cx6－k(－)k＝Cx6－(－2)k，
令6－＝3，即k＝2，所以T3＝Cx3(－2)2＝60x3，
所以x3的系数为A＝60，二项式系数为B＝C＝15，所以A∶B＝60∶15＝4，故选A.
5.(2019·湖南卷)(2－)6的二项展开式中的常数项为 －160 .(用数字作答)
解析：通项Tr＋1＝C(2)6－r(－)r＝C26－r(－1)rx3－r，
由题意知3－r＝0，r＝3，
所以二项展开式中的常数项为T4＝C23(－1)3＝－160.
6.(2019·山东省莱芜市上期末)在(2x－1)4(1＋2x)的展开式中，x3项的系数为 16 .
解析：C×22×2×(－1)2＋C×23×(－1)×1＝48－32＝16.
7.(2019·山东省高考冲刺预测)若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝ 70 .
解析：因为(1＋)5＝C()0＋C()1＋C()2＋C()3＋C()4＋C()5＝41＋29，由已知得a＝41，b＝29，所以a＋b＝70.
8.设m，n∈N，f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋x)n.
(1)当m＝n＝2019时，记f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2019x2019，求a0－a1＋a2－…－a2019；
(2)若f(x)展开式中x的系数是20，则当m、n变化时，试求x2系数的最小值．
解析：(1)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2019＝(1－2)2019＋(1－1)2019＝－1.
(2)因为2C＋C＝2m＋n＝20，
所以n＝20－2m，则x2的系数为
22C＋C＝4×＋＝2m2－2m＋(20－2m)(19－2m)＝4m2－41m＋190，
所以当m＝5，n＝10时，f(x)展开式中x2的系数最小，最小值为85.
9.已知在(－)n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
解析：(1)通项公式
Tr＋1＝Cx(－)rx－＝C(－)rx，
因为第6项为常数项，则r＝5时，有＝0，
所以n＝10.
(2)令＝2，得r＝(n－6)＝2，
所以所求的系数为C(－)2＝.
(3)根据通项公式，由题意得.
令＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－k，
因为r∈Z，所以k应为偶数，
所以k可取2,0，－2，即r可取2,5,8，
所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C(－)2x2，C(－)5，C(－)8x－2.
第十二单元 概率与统计、统计案例
1.(2019·安徽合肥市质检)在正四面体的6条棱中随机抽取2条，则其2条棱互相垂直的概率为( C )
A. B.
C. D.
解析：总的取法有15种，由正四面体的性质可知，对棱垂直，故互相垂直的有3种，所以所求概率为，故选C.
2.(2019·山东省高考冲刺预测5)容量为100的样本数据，依次分为8组，如下表：
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
10
13
3x
x
15
13
12
9
则第三组的频率是( B )
A．0.12 B．0.21
C．0.15 D．0.28
解析：因为10＋13＋3x＋x＋15＋13＋12＋9＝100，得x＝7，所以，第三组的频数3x＝21，于是，第三组的频率是＝0.21，故选B.
3.(2019·浙江省名校研究联盟第二次联考)从集合{1,2,3，…，10}中任取5个数组成集合A，则A中任意两个元素之和不等于11的概率为( C )
A. B.
C. D.
解析：分组考虑，和为11的有：(1,10)，(2,9)，(3,8)，(4,7)，(5,6)，若A中任意两个元素之和不等于11，则5个元素必须只有每组中的一个，故所求概率为P＝＝，故选C.
4.(2019·北京市石景山区高三一模)在区间[0,9]上随机取一实数x，则该实数x满足不等式1≤log2x≤2的概率为 .
解析：由1≤log2x≤2得2≤x≤4，
故所求概率为.
5.(2019·温州十校联合体期末联考)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{7,8}，现从A、B中各取一个数字，组成无重复数字的二位数，在这些二位数中，任取一个数，则恰为奇数的概率为 .
解析：由题意，所有无重复数字的两位数有3×2×2＝12个，其中奇数为17,71,27,81,83,37,73共7个，所以概率P＝.
6.(2019·北京市门头沟区一模)某单位招聘员工，从400名报名者中选出200名参加笔试，再按笔试成绩择优取40名参加面试，随机抽查了20名笔试者，统计他们的成绩如下：
分数段
[60,65)
[65,70)
[70,75)
[75,80)
人数
1
3
6
6
分数段
[80,85)
[85,90)
[90,95)
人数
2
1
1
由此预测参加面试所划的分数线是 80 .
解析：因为×20＝4，所以随机抽查了20名笔试者中的前4名进入面试，观察成绩统计表，预测参加面试所划的分数线是80分．
7.(2019·郑州市第一次质量预测)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y＝和曲线y＝x2围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是 .
解析：阴影部分的面积S1＝(－x2)dx＝(x－x3)|＝，而正方形AOBC的面积为1，故所求的概率为.
8.(2019·广东省华师附中等四校上期期末联考)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是.
(1)求n的值；
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率．
解析：(1)由题意可知：＝，解得n＝2.
(2)不放回地随机抽取2个小球的所有等可能基本事件为：(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12个，
事件A包含的基本事件为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个，所以P(A)＝＝.
9.设函数f(x)＝log2[x2－2(a－1)x＋b2]的定义域为D.
(1)若a是从1,2,3,4四个数中任取的一个数，b是从1,2,3三个数中任取一个数，求使D＝R的概率；
(2)若a是从区间[0,4]任取的一个数，b是从区间[0,3]任取的一个数，求使D＝R的概率．
解析：(1)定义域D＝{x|x2－2(a－1)x＋b2>0}．
将取的数组记作(a，b)，共有4×3＝12种可能．
要使D＝R，则Δ＝4(a－1)2－4b2<0，即|a－1|<|b|.
满足条件的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,2)，(2,3)，(3,3)，共6个基本事件，所以P(D＝R)＝＝.
(2)全部试验结果Ω＝{(a，b)|a∈[0,4]，b∈[0,3]}，
事件A＝{D＝R}对应区域为A＝{(a，b)||a－1|<|b|}，
则P(A)＝＝＝，
故D＝R的概率为.
1.(2019·广东省执信中学上期期末)某商场在春节举行抽奖促销活动，规则是：从装有编为0,1,2,3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖，则中奖的概率是( B )
A. B.
C. D.
解析：中一等奖的概率是＝，中二等奖的概率是＝，中三等奖的概率是＝，所以中奖的概率为＋＋＝，故选B.
2.(2019·太原市第一次模拟)甲乙两人各加工一个零件，若加工为一等品的概率分别是和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( D )
A. B.
C. D.
解析：设甲加工为一等品，乙加工为非一等品的事件为A，乙加工为一等品，甲加工为非一等品的事件为B，则两个零件中恰有一个一等品的概率为P(A)＋P(B)＝×＋×＝，故选D.
3.(2019·安徽省“江南十校”3月联考)现有甲、乙、丙、丁四名义工到三个不同的社区参加公益活动．若每个社区至少一名义工，则甲、乙两人被分到不同社区的概率为( B )
A. B.
C. D.
解析：甲、乙两人被分到同一社区的概率为＝，则甲、乙两人被分到不同社区的概率为1－＝，故选B.
4.(2019·浙江省重点中学协作体4月联考)在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为( C )
A. B.
C. D.
解析：设事件A发生的概率为P，事件A不发生的概率为P′，则有：1－(P′)3＝⇒P′＝，故P＝，则事件A恰好发生一次的概率为C××()2＝，故选C.
5.在一段时间内，甲去某地的概率为，乙去此地的概率为，假定两人的行动相互没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是 .
解析：至少有1人去此地包含有3个互斥事件，(1)甲去乙未去，(2)甲未去乙去，(3)甲、乙都去．
所以至少有1人去此地的概率为×(1－)＋×(1－)＋×＝.
6.(2019·安徽省马鞍山市4月第二次质量检测)甲乙两人向目标各射击一次(甲、乙相互没有影响)．甲的命中率为，乙的命中率为.已知目标被击中，则目标被甲击中的概率为 .
解析：设“甲命中”为事件A，“乙命中”为事件B，“目标被击中”为事件C，则P(A)＝，P(C)＝1－P()P()＝1－(1－)(1－)＝，则P(A|C)＝＝＝.
7.如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则：
(1)P(A)＝ ；
(2)P(B|A)＝ .
解析：(1)S圆＝π，S正方形＝()2＝2，
根据几何概型的求法有：P(A)＝＝；
(2)由∠EOH＝90°，S△EOH＝S正方形＝，
故P(B|A)＝＝＝.
8.一个袋子里装有大小、形状相同的3个红球和2个白球，如果不放回地依次抽取2个球，求：
(1)第1次抽到红球的概率；
(2)第1次和第2次都抽到红球的概率；
(3)在第1次抽到红球的条件下，第2次抽到红球的概率；
(4)抽到颜色相同的球的概率．
解析：设A＝{第1次抽到红球}，B＝{第2次抽到红球}，
则第1次和第2次都抽到红球为事件AB.
从第5个球中不放回地依次抽取2个球的事件数为n(Ω)＝A＝20，
(1)由分步计数原理，n(A)＝A·A＝12，
于是P(A)＝＝＝.
(2)P(AB)＝＝＝.
(3)(方法一)在第1次抽到红球的条件下，当第2次抽到红球的概率为
P(B|A)＝＝＝，
(方法二)P(B|A)＝＝＝.
(4)抽到颜色相同球的概率为
P＝P(两次均为红球)＋P(两次均为白球)
＝＋＝.
9.(2019·北京市西城区一模改编)乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．
(1)求甲以4比1获胜的概率；
(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率．
解析：(1)由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是，记“甲以4比1获胜”为事件A，
则P(A)＝C()3()4－3＝.
(2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B，
因为，乙以4比2获胜的概率为
P1＝C()3()5－3＝，
乙以4比3获胜的概率为
P2＝C()3()6－3＝，
所以P(B)＝P1＋P2＝.
1.(2019·泰安模拟)若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1Dξ2，故选A.
5.(2019·浙江省慈溪市5月模拟)某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市 20 家．
解析：n＝100×＝20.
6.(2019·嘉兴市高三教学测试)在一次运动员的选拔中，测得7名选手身高(单位：cm)分布的茎叶图如图所示．已知记录的平均身高为174 cm，但有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，那么x的值为 7 .
18
0 1
17
0 3 x
16
8 9
解析：将所有数据都减去170，根据平均数的计算公式可得＝4，解得x＝7.
7.(2019·南通市教研室模拟)给出如下10个数据：63,65,67,69,66,64,66,64,65,68.根据这些数据制作频率分布直方图，其中[64.5,66.5)这组所对应的矩形的高为 .
解析：落在区间[64.5,66.5)的数据依次为65,66,66,65，共4个，则矩形的高等于＝＝.
8.在某篮球比赛中，根据甲和乙两人的得分情况得到如图所示的茎叶图．
(1)从茎叶图的特征来说明他们谁发挥得更稳定；
(2)用样本的数字特征验证他们谁发挥得更好．
解析：(1)茎叶图的直观形状像横放的频率分布直方图，且保留了所有原始数据的信息，所以从数与形的特征来看，甲和乙的得分都是对称的，叶的分布是“单峰”的，但甲全部的叶都集中在茎2上，而乙只有的叶集中在茎2上，这说明甲发挥得更稳定．
(2)甲＝＝25，
乙＝＝25，
s＝[(20－25)2＋(21－25)2＋(25－25)2＋(26－25)2＋(27－25)2＋(28－25)2＋(28－25)2]≈9.14，
s＝[(17－25)2＋(23－25)2＋(24－25)2＋(25－25)2＋(26－25)2＋(29－25)2＋(31－25)2]≈17.43.
因为甲＝乙，sk)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是( A )
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过的0.1%的前提下，认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”
C．最多有99%的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”
D．最多有99%的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”
解析：由公式可计算K2＝＝≈18.18，即P(K2>10.828)＝0.001，所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”，故选A.
5.(2019·石家庄市质检)经调查某地若干户家庭的年收入x(万元)和年饮食支出y(万元)具有线性相关关系，并得到y关于x的线性回归直线方程：y＝0.245x＋0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加 0.245 万元．
解析：x变为x＋1，y＝0.245(x＋1)＋0.321＝0.245x＋0.321＋0.245，因此家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.245万元．
6.(2019·山东省淄博量检测)下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝0.7x＋0.35，那么表中m的值为 3 .
x
3
4
5
6
y
2.5
m
4
4.5
解析：由题意可得＝＝，所以＝0.7×＋0.35＝3.5，所以＝3.5，所以m＝3.
7.(2019·广东罗定市第二次模拟)某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽出20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2×2的列联表，根据列联表的数据，可以有 97.5
%的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.
超重
不超重
合计
偏高
4
1
5
不偏高
3
12
15
合计
7
13
20
独立性检验临界值表：
P(K2≥k0)
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
5.024
6.635
7.879
10.828
独立性检验随机变量K2值的计算公式：
K2＝，n＝a＋b＋c＋d.
解析：K2＝≈5.934＞5.024，
所以可以有97.5%的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系．
8.下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：
气温/℃
26
18
13
10
4
－1
杯数
20
24
34
38
50
64
(1)将上表中的数据制成散点图；
(2)你能从散点图中发现温度与卖出热茶的杯数近似成什么关系吗？
(3)如果近似成线性相关关系，请求出线性回归方程来近似地表示这种线性相关关系；
(4)如果某天的气温是－5 ℃时，用(3)的回归方程预测这天小卖部卖出热茶的杯数．
解析：(1)将表中的数据制成散点图，如图：
(2)从散点图中发现气温与卖出热茶的杯数近似成线性相关关系．
(3)线性回归方程是y＝－1.648x＋57.557.
(4)如果某天的气温是－5 ℃，用y＝－1.648x＋57.557预测这天小卖部卖出热茶的杯数约为
－1.648×(－5)＋57.557≈66.
9.(2019·辽宁卷改编)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷
体育迷
合计
男
女
10
55
合计
附：K2＝，
P(K2≥k)
0.05
0.01
k
3.841
6.635
解析：由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：
非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
由2×2列联表中数据代入公式计算，得：
K2＝
＝＝≈3.030.
因为3.030<3.841，
所以，没有理由认为“体育迷”与性别有关．
第十三单元 几何证明选讲
1.如图，△ADE∽△ACB，∠ADE＝∠C，那么下列比例式成立的是( A )
A.＝＝ B. ＝＝
C.＝＝ D.＝＝
解析：由△ADE∽△ACB，∠ADE＝∠C，可确定两个相似三角形的对应边，由此可知＝＝，故选A.
2.在△ABC中，DE∥BC，DE将△ABC分成面积相等的两部分，那么DE∶BC＝( C )
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶ D．1∶1
3.在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，过C作CE⊥BD于E，则BE＝( C )
A. B.
C. D.
解析：由直角三角形射影定理可知BC2＝BE·BD，
所以BE＝＝.
4.(改编)如图，在△ABC中，AE＝ED＝DC，FE∥MD∥BC，FD的延长线交BC的延长线于点N，且EF＝2，则BN＝( C )
A．7 B．6
C．8 D．12
解析：因为FE∥MD∥BC，AE＝ED＝DC，
所以＝＝，＝＝＝1，
所以EF＝CN，所以＝＝，
所以BN＝4EF＝8.
5.(2019·佛山模拟)如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，则AB的长为 .
解析：＝＝，＝＝.
因为BC＝3，DE＝2，DF＝1，解得AB＝.
6.(2019·广东高考冲刺)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC相交于O，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，则EF＝ 15 .
解析：由三角形相似可得＝，解得EO＝.
由对称性知OF＝OE，所以EF＝15.
7.(2019·洛阳模拟)如图，在直角梯形ABCD中，上底AD＝，下底BC＝3，与两底垂直的腰AB＝6，在AB上任取一点P，使△PAD和△PBC两个三角形能构成一对相似三角形，这样的点P有 2 个．
解析：设AP＝x.
(1)若△ADP∽△BPC，则＝，即＝，所以x2－6x＋9＝0，得x＝3.
(2)若△ADP∽△BCP，则＝，即＝，所以得x＝.
所以符合条件的点P有2个．
8.把一个面积为4的三角形ABC用以下方式生成一个新的三角形DEF：点D与点A关于点B对称，点E与点B关于点C对称，点F与点C关于点A对称，求三角形DEF的面积．
解析：连接AF，BD，CE，则S△DEF＝S△ECF＋S△FAD＋S△DBE＋S△ABC＝2S△ABC＋2S△ABC＋2S△ABC＋S△ABC＝28.
9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，求证：AD3＝BC·BE·CF.
证明：在Rt△ABC中，因为AD⊥BC，
所以AD2＝BD·DC，且AD·BC＝AB·AC.
在Rt△ABD和Rt△ADC中，因为DE⊥AB，DF⊥AC，
由射影定理，BD2＝BE·BA，DC2＝CF·AC，
所以BD2·DC2＝BE·BA·CF·AC＝BE·CF·AD·BC＝AD4，所以AD3＝BC·BE·CF.
1.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过点C的切线PC与AB的延长线交于点P，那么∠P等于( B )
A．15° B．20°
C．25° D．30° 解析：由已知，CO⊥CP，即∠OCP＝90°.
又∠COB＝2∠CAB＝70°，所以∠P＝90°－∠COB＝20°.
故选B.
2.已知AB与CD相交于圆内一点P，且∠APD＝30°，则弧AD与弧BC所成的圆心角的度数和为( C )
A．30° B．45°
C．60° D．180°
解析：特殊位置法：点P是圆心即可得正确答案为C.
3.点P为⊙O的弦AB上一点，且AP＝9，PB＝4，连接PO，作PC⊥OP交圆于C，则PC的长为( B )
A．4 B．6
C．8 D．9
解析：如右图．
因为OP⊥PC，
所以P为弦CD的中点，
故PC2＝PA·PB＝9×4，
即PC＝6(负值舍去)．
4.(2019·北京市房山区4月一模)如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，PA＝，PB＝1，则∠ABC＝( B )
A．70° B．60°
C．45° D．30°
解析：由切割线定理得PA2＝PB·PC.
因为PA＝，PB＝1，所以解得PC＝3，
即BC＝2，OA＝1，OP＝2，
因为OA⊥PA，所以∠P＝30°，∠AOB＝60°，
因为OA＝OB，所以∠ABC＝60°，故选B.
5.(2019·北京市西城区第一学期期末)如图，PA是圆O的切线，A为切点，PBC是圆O的割线．若＝，则＝ .
解析：根据切割线定理有
PA2＝PB·PC＝PB(PB＋BC)，＝，
PB2＋PB·BC－BC2＝0，
(2PB＋3BC)(2PB－BC)＝0，
所以＝－(舍去)，＝.
6.(2019·广东省惠州市第四次调研)如图，已知直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，以AC为直径作圆O交AB于D，则CD＝ .
解析：∠ADC为直径AC所对的圆周角，则∠ADC＝90°.
在Rt△ACB中，CD⊥AB.
由等面积法有AB·CD＝CA·CB，故得CD＝.
7.(2019·衡水调研)如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB，垂足为D，且AD＝5DB，设∠COD＝θ，则tan θ的值为 .
解析：设BD＝k(k>0)．
因为AD＝5DB，所以AD＝5k，AO＝OB＝＝3k，
所以OC＝OB＝3k，OD＝2k.
由勾股定理得，
CD＝＝＝k，
所以tan θ＝＝＝.
8.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝30°.
(1)求∠APB的大小；
(2)当OA＝3时，求AP的长．
解析：(1)因为在△ABO中，OA＝OB，∠OAB＝30°，
所以∠AOB＝180°－2×30°＝120°.
因为PA，PB是⊙O的切线，
所以OA⊥PA，OB⊥PB，
即∠OAP＝∠OBP＝90°，
所以∠APB＝60°.
(2)如图，过点O作OD⊥AB交AB于点D.
因为在△OAB中，OA＝OB，所以AD＝AB.
因为在Rt△AOD中，OA＝3，∠OAD＝30°，
所以AD＝OA·cos 30°＝，AP＝AB＝3.
9.(2019·吉林省长春市3月第二次调研)如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB＝2AC.
(1)求证：BE＝2AD；
(2)当AC＝1，EC＝2时，求AD的长．
解析：(1)证明：连接DE，因为ACED是圆的内接四边形，
所以∠BDE＝∠BCA，
又∠DBE＝∠CBA，
所以△BDE∽△BCA，
即有＝，而AB＝2AC，所以BE＝2DE，
又CD是∠ACB的平分线，
所以AD＝DE，从而BE＝2AD.
(2)由条件得AB＝2AC＝2，设AD＝t，
根据割线定理得BD·BA＝BE·BC，
即(AB－AD)·BA＝2AD·(2AD＋CE)，
所以(2－t)×2＝2t(2t＋2)，即2t2＋3t－2＝0，
解得t＝或t＝－2(舍去)，即AD＝.
第十四单元 坐标系与参数方程
1.在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，－)．若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是( C )
A．(1，－) B．(2，)
C．(2，－) D．(2，－)
2.(2019·丰台二模)在极坐标系中，圆ρ＝2sin θ的圆心的极坐标是( A )
A．(1，) B．(2，)
C．(1,0) D．(1，π)
解析：由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，
所以x2＋y2－2y＝0，其圆心坐标为(0,1)，
其极坐标为(1，)．
3.经过点P(2，)，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( B )
A．ρsin θ＝ B．ρcos θ＝
C．ρtan θ＝ D．ρcos θ＝2
4.(2019·北京市西城区1月期末考试)已知圆的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为( B )
A．ρ＝2cos θ B．ρ＝2sin θ
C．ρ＝－2cos θ D．ρ＝－2sin θ
解析：x2＋y2－2y＝0⇒x2＋(y－1)2＝1，该方程表示圆心为(0,1)，半径为1的圆，如图，在圆上任取一点M(ρ，θ)，则|OM|＝2sin θ，所以ρ＝2sin θ，故选B.
5.(2019·皖南八校第二次联考)极点到直线ρ＝(ρ∈R)的距离为 .
解析：由ρ＝⇒ρsin θ＋ρcos θ＝1⇒x＋y＝1，
故d＝＝.
6.(2019·广东省模拟)在极坐标系中，曲线ρcos2θ＝2sin θ的焦点的极坐标为 (，) .
解析：ρcos 2θ＝2sin θ⇔(ρcos θ)2＝2ρsin θ⇔x2＝2y，其焦点的直角坐标为(0，)，对应的极坐标为(，)．
7.(2019·广东省高三模拟)设过原点O的直线与圆C：(x－1)2＋y2＝1的一个交点为P，点M为线段OP的中点，则点M轨迹的极坐标方程是 ρ＝cos θ .
解析：圆(x－1)2＋y2＝1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，设点P的极坐标为(ρ1，θ1)，点M的极坐标为(ρ，θ)，因为点M为线段OP的中点，所以ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cos θ，所以点M轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ.
8.极坐标系中，A为曲线ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点，B为直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0上的动点，求|AB|的最小值．
解析：圆方程为(x＋1)2＋y2＝4，圆心(－1,0)，
直线方程为x＋y－7＝0，
圆心到直线的距离d＝＝4，
所以|AB|min＝4－2.
9.(2019·东北四校第一次模拟)在极坐标系中，曲线L：ρsin2θ＝2cos θ，过点A(5，α)(α为锐角且tan α＝)作平行于θ＝(ρ∈R)的直线l，且l与曲线L分别交于B，C两点．
(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L和直线l的普通方程；
(2)求|BC|的长．
解析：(1)由题意得，点A的直角坐标为(4,3)，
曲线L的普通方程为y2＝2x，
直线l的普通方程为y＝x－1.
(2)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
由联立得x2－4x＋1＝0，
由韦达定理得x1＋x2＝4，x1x2＝1，
由弦长公式得|BC|＝|x1－x2|＝2.
1.(2019·北京市海淀区高三5月二模)直线(t为参数)的倾斜角的大小为( D )
A．－ B.
C. D.
解析：将直线方程化为普通方程为y＝－x＋2，
则k＝－1＝tan θ，所以θ＝，故选D.
2.(2019·北京市石景山区一模)圆(θ为参数)的圆心坐标是( A )
A．(0,2) B．(2,0)
C．(0，－2) D．(－2,0)
解析：消去参数θ，得圆的方程为x2＋(y－2)2＝4，所以圆心坐标为(0,2)，故选A.
3.(2019·山西省太原市2月)参数方程(0≤t≤5)表示的曲线是( A )
A．线段 B．双曲线
C．圆弧 D．射线
解析：由参数方程消去t2有x－3y－5＝0，
又0≤t≤5，所以－1≤t2－1≤24，即－1≤y≤24，
故曲线是线段x－3y－5＝0(－1≤y≤24)．
4.(2019·江西省临川第二次模拟)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)，则直线l与曲线C相交所截的弦长为( B )
A. B.
C．2 D．3
解析：曲线C的普通方程是x2＋y2＝1，直线l的方程是3x－4y＋3＝0，圆心(0,0)到直线l的距离d＝，所以弦长为2＝，故选B.
5.(2019·广东省惠州市高三第四次调研一模)曲线(θ为参数)上一点P到点A(－2,0)、B(2,0)的距离之和为 8 .
解析：曲线表示椭圆，其标准方程为＋＝1.可知点A(－2,0)，B(2,0)为椭圆的焦点，故|PA|＋|PB|＝2a＝8.
6.(2019·广东省惠州市第二次调研)曲线(θ为参数)与直线y＝a有两个公共点，则实数a的取值范围是 (0,1] .
解析：曲线(θ为参数)为抛物线段y＝x2(－1≤x≤1)，借助图形直观易得04，所以直线l与圆C相离．
8.(2019·河北省唐山市第三次模拟)极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)．
(1)求C的直角坐标方程；
(2)直线l：(t为参数)与曲线C交于A、B两点，与y轴交于E，求|EA|＋|EB|.
解析：(1)在ρ＝2(cos θ＋sin θ)中，
两边同乘以ρ，得ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，
则C的直角坐标方程为x2＋y2＝2x＋2y，
即(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2－t－1＝0，
点E对应的参数t＝0，设点A、B对应的参数分别为t1、t2，
则t1＋t2＝1，t1t2＝－1，
所以|EA|＋|EB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝＝.
第十五单元 不等式选讲
1.已知a、b、c∈R，且a>b>c，则有( D )
A．|a|>|b|>|c| B．|ab|>|bc|
C．|a＋b|>|b＋c| D．|a－c|>|a－b|
解析：令a＝2，b＝1，c＝－6，则|a|＝2，|b|＝1，|c|＝6，
|b|<|a|<|c|，故排除A，
又因为|ab|＝2，|bc|＝6，|ab|<|bc|，故排除B.
又|a＋b|＝|2＋1|＝3，|b＋c|＝|1－6|＝5>|a＋b|，故排除C.
而a>c⇒a－c>0，①
a>b⇒a－b>0，②
b>c⇒－b<－c⇒a－b1成立的一个充分不必要条件是( D )
A．|a＋b|≥1 B．a≥1
C．|a|≥且b≥ D．b<－1
4.(2019·湖南省湘潭第三次模拟)对任意实数x，若不等式|x＋2|＋|x＋1|>k恒成立，则实数k的取值范围是( D )
A．k≥1 B．k>1
C．k≤1 D．k<1
解析：|x＋2|＋|x＋1|≥|x＋2－x－1|＝1，由已知得k＜1，故选D.
5.(2019·广东省肇庆市高三期末)不等式|3x－4|≤4的解集是 {x|0≤x≤} .
解析：由|3x－4|≤4，得－4≤3x－4≤4，即0≤x≤.
6.对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为 5 .
解析：根据条件有
|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－2)－2|
≤|(x－1)|＋2|(y－2)|＋2
≤1＋2＋2＝5.
7.(2019·广西铁一中第一次月考)不等式|2－x|} .
解析：因为|2－x|1，x>，
故所求的解集为{x|x>}．
8.解下列关于x的不等式：
(1)|2x＋1|＋|x－2|>4；
(2)1<|2x＋1|≤3.
解析：(1)原不等式等价于
或或，
即x<－1或12.
所以原不等式的解集为{x|x<－1或x>1}．
(2)原不等式可化为1<2x＋1≤3或－3≤2x＋1<－1，
即04 B．M<4
C．M≥4 D．M≤4
解析：(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)
＝[()2＋()2]·[()2＋()2]
≥[(x1＋x2)]2
＝(x1＋x2)2＝4.
5.(2019·福建省四地六校联考第三次模拟)函数y＝3＋4的最大值为 10 .
解析：y2＝(3＋4)2
≤(32＋42)·(x－1＋5－x)＝100，
所以y≤10，当＝，即x＝时等号成立．
6.若a，b，c≥0，a2＋b2＋c2＝3，则ab＋bc＋ca的最大值是 3 .
解析：不妨设a≥b≥c≥0，则b，c，a为乱序，于是由排序不等式知a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，所以ab＋bc＋ca≤3，即ab＋bc＋ca的最大值为3.
7.(2019·江苏省苏北四市第一次调研)若存在实数x使＋>a成立，则实数a的取值范围是 (－∞，8) .
解析：＋＝×＋1×，
由柯西不等式得，(×＋1×)2≤(3＋1)(x＋2＋14－x)＝64.
所以＋≤8，当且仅当x＝10时取等号．
8.设a，b，c∈R＋，求证：＋＋≥.
证明：运用柯西不等式，得
[(b＋c)＋(c＋a)＋(a＋b)](＋＋)≥(a＋b＋c)2.
所以＋＋≥.
9.已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．
(1)求m的值；
(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.
解析：(1)因为f(x＋2)＝m－|x|≥0，等价于|x|≤m，
由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}，
又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.
(2)证明：由(1)知＋＋＝1，
又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得
a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)(＋＋)
≥(·＋·＋·)2
＝9.
1.(改编)实数x＝(a2＋5)(a2－7)与y＝(a2＋3)(a2－5)的大小关系是( C )
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．不确定
解析：x－y＝(a2＋5)(a2－7)－(a2＋3)(a2－5)＝－20＜0，故选C.
2.(2019·河北省普通高中质量监测)已知－＜a＜0，M＝|a|－1，N＝a，那么( A )
A．M＜N B．M＞N
C．M＝N D．M与N的大小无法比较
解析：因－＜a＜0，故2a＋1＞0，
则N－M＝a－(|a|－1)＝a－(－a－1)＝2a＋1＞0，
即M＜N，故选A.
3.(2019·山东省潍坊市三县10月联考)设0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是( C )
A．ab＜b2＜1 B．logb＜loga＜0
C．2b＜2a＜2 D．a2＜ab＜1
解析：因为b＜a＜1，所以2b＜2a＜2，故选C.
4.已知x－y＜m－n，则下列不等式成立的是( A )
A.＜ B.＜
C.＜ D.＜
解析：由x－y＜m－n，
得x－m＜y－n，m－x＞n－y，
则＜，＞，
但＜与＜不一定成立，故选A.
5.比较大小：－4 < 3－2.
解析：(－4)－(3－2)＝3－7＝－＜0，所以－4＜3－2.
6.已知x＞3，y＞3，z＞3，则xy＋yz＋zx与xyz的大小关系 xy＋yz＋zx＜xyz .
解析：因为＝＋＋＜＋＋＝1.
7.设x>0，P＝2x＋2－x，Q＝(sin x＋cos x)2，则P与Q的大小关系是 P>Q .
解析：2x＋2－x≥2＝2(当且仅当x＝0时，等号成立)，而x>0，故P>2，Q＝(sin x＋cos x)2＝1＋sin 2x，而sin 2x≤1，故Q≤2，故P>Q.
8.(2019·苏、锡、常、镇四市3月学情调查)已知m，n是正数，证明：＋≥m2＋n2.
证明：因为＋－m2－n2＝＋
＝
＝，
又m，n均为正数，所以＋≥m2＋n2.
9.(2019·辽宁名校预测)已知a，b是不相等的正实数，求证：(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.
证明：因为a，b是正实数，
所以a2b＋a＋b2≥3＝3ab>0，
(当且仅当a2b＝a＝b2，即a＝b＝1时，等号成立)，
同理，ab2＋a2＋b≥3＝3ab>0，
(当且仅当ab2＝a2＝b，即a＝b＝1时，等号成立)；
所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)≥9a2b2(当且仅当ab2＝a2＝b，即a＝b＝1时，等号成立)，
因为a≠b，所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.
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