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新教材高考数学模拟题精编详解第六套试题 一 二 三 题号 1～12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 总分 分数 　　说明：本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分．考试 时间：120 分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 　　一、本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个选 项是符合题目要求的． 　　1．（理）全集设为 U，P、S、T 均为 U 的子集，若 （ ）＝（ ） 则 （　） 　　A． 　　　　　　　 B．P＝T＝S 　　C．T＝U　　　　　　　　　　　　D． ＝T 　 　 （ 文 ） 设 集 合 ， ， 若 U ＝ R ， 且 ，则实数 m 的取值范围是（　） 　　A．m＜2　　　　　　　　　　　　B．m≥2 　　C．m≤2　　　　　　　　　　　　D．m≤2 或 m≤-4 　　2．（理）复数 （　） 　　A． 　　　　　　　B． 　　C． 　　　　　　　 D． 　　（文）点 M（8，-10），按 a 平移后的对应点 的坐标是（-7，4），则 a＝（　） 　　A．（1，-6）　　　　　　　　　　B．（-15，14） 　　C．（-15，-14）　　　　　　　　 D．（15，-14） 　　3．已知数列 前 n 项和为 ，则 的值是（　） 　　A．13　　　　 B．-76　　　　　C．46　　　　　 D．76 　　4．若函数 的递减区间为（ ， ），则 a 的取值范围是（　） 　　A．a＞0　　　　　　　　　　　　B．-1＜a＜0 　　C．a＞1　　　　　　　　　　　　D．0＜a＜1 P TU TU S SSTP = P SU }0|{ ≥+= mxxM }082|{ 2 <−−= xxxN ∅=NMU  =+ −+ i ii 34 )43()55( 3 510i510 −− i510510 + i510510 − i510510 +− M ′ }{ na )34()1(211713951 1 −−++−+−+−= − nS n n  312215 SSS −+ )()( 3xxaxf −−= 3 3− 3 3 　　5．与命题“若 则 ”的等价的命题是（　） 　　A．若 ，则 　　　　 B．若 ，则 　　C．若 ，则 　　　　 D．若 ，则 　　6．（理）在正方体 中，M，N 分别为棱 和 之中点，则 sin （ ， ）的值为（　） 　　A． 　　　　 B． 　　　　C． 　　　 D． 　　（文）已知三棱锥 S-ABC 中，SA，SB，SC 两两互相垂直，底面 ABC 上一点 P 到三个 面 SAB，SAC，SBC 的距离分别为 ，1， ，则 PS 的长度为（　） 　　A．9　　　　　B． 　　　　　C． 　　　　D．3 　　7．在含有 30 个个体的总体中，抽取一个容量为 5 的样本，则个体 a 被抽到的概率为 （　） 　　A． 　　　　B． 　　　　　 C． 　　　　 D． 　　8．（理）已知抛物线 C： 与经过 A（0，1），B（2，3）两点的线段 AB 有公共点，则 m 的取值范围是（　） 　　A． ， [3， 　　　B．[3， 　　C． ， 　　　　　　　　　D．[-1，3] 　　（文）设 ，则函数 的图像在 x 轴上方的充要条件是（　） 　　A．-1＜x＜1　　　　　　　　　　B．x＜-1 或 x＞1 　　C．x＜1　　　　　　　　　　　　D．-1＜x＜1 或 x＜-1 　　9．若直线 y＝kx＋2 与双曲线 的右支交于不同的两点，则 k 的取值范围是 （　） 　　A． ， 　　　　　　 B． ， 　　C． ， 　　　　　　　　D． ， 　　10．a，b，c （0，＋∞）且表示线段长度，则 a，b，c 能构成锐角三角形的充要条件 是（　） 　　A． 　　　　　　　　 B． 　　C． 　　　　　 D． Ma∈ Mb∉ Ma∉ Mb∉ Mb∉ Ma∈ Ma∉ Mb∈ Mb∈ Ma∉ 1111 DCBAABCD − 1AA 1BB CM ND1 9 1 55 4 59 2 3 2 2 6 5 7 30 1 6 1 5 1 6 5 22 ++= mxxy −∞( ]1−  )∞+ )∞+ −∞( ]1− R∈x )1|)(|1()( xxxf +−= 622 =− yx 3 15(− )3 15 0( )3 15 3 15(− )0 3 15(− )1− ∈ 222 cba <+ 222 || cba <− |||| bacba +<<− 22222 || bacba +<<− 　　11．今有命题 p、q，若命题 S 为“p 且 q”则“ 或 ”是“ ”的（　） 　　A．充分而不必要条件　　　　　　B．必要而不充分条件 　　C．充要条件　　　　　　　　　　D．既不充分也不必要条件 　　12．（理）函数 的值域是（　） 　　A．[1，2]　　　　　　　　　　　B．[0，2] 　　C．（0， 　　　　　　　　　 D． ， 　　（文）函数 与 图像关于直线 x-y＝0 对称，则 的单 调增区间是（　） 　　A．（0，2）　　　　　　　　　　B．（-2，0） 　　C．（0，＋∞）　　　　　　　　 D．（-∞，0） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分 答案 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 　　二、填空题：本题共 4 小题，共 16 分，把答案填在题中的横线上 　　13．等比数列 的前 n 项和为 ，且某连续三项正好为等差数列 中的第 1，5， 6 项，则 ________． 　　14．若 ，则 k＝________． 　　15．有 30 个顶点的凸多面体，它的各面多边形内角总和是________． 　　16．长为 l 0＜l＜1 的线段 AB 的两个端点在抛物线 上滑动，则线段 AB 中点 M 到 x 轴距离的最小值是________． 　　三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤． 　　17．（12 分）从一批含有 13 只正品，2 只次品的产品中不放回地抽取 3 次，每次抽取一 只，设抽得次品数为 ． 　　（1）求 的分布列； 　　（2）求 E（5 -1）． xxy 3154 −+−= ]3 1[ ]3 )(xf xxg )67()( −= )4( 2xf − }{ na nS }{ nb =+ ∞→ 1 2lim na Sn n 1)1(lim 2 =−++− −∞→ kxxx n ( ) 2xy = ξ ξ ξ 　　18．（12 分）如图，在正三棱柱 中，M，N 分别为 ，BC 之中点． 　　（1）试求 ，使 ． 　　（2）在（1）条件下，求二面角 的大小． 　　19．（12 分）某森林出现火灾，火势正以每分钟 的速度顺风蔓延，消防站接到警 报立即派消防队员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人 每分钟灭火 ，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟 125 元，另附加每次 救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人 100 元，而烧毁一平方米森林损失费为 60 元．问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？ 　　20．（12 分）线段 ，BC 中点为 M，点 A 与 B，C 两点的距离之和为 6，设 ， ． 　　（1）求 的函数表达式及函数的定义域； 　　（2）（理）设 ，试求 d 的取值范围； 　　（文）求 y 的取值范围． 　　21．（12 分）定义在（-1，1）上的函数 ，（i）对任意 x， （-1，1）都有： 　　 ；（ii）当 （-1，0）时， ，回答下列问题． 　　（1）判断 在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由． 111 CBAABC − 11BA AB AA1 011 =⋅ CBBA MACN −− 1 2m100 2m50 4|| =BC yAM =|| xAB =|| )(xfy = 1−+= xyd )(xf ∈y )1()()( xy yxfyfxf + +=+ ∈x 0)( >xf )(xf 　　（2）判断函数 在（0，1）上的单调性，并说明理由． 　　（3）（理）若 ，试求 的值． 　　22．（14 分）（理）已知Ｏ为△ABC 所在平面外一点，且 a， b， c，OA， OB，OC 两两互相垂直，H 为△ABC 的垂心，试用 a，b，c 表示 ． 　　（文）直线 l∶y＝ax＋1 与双曲线 C∶ 相交于 A，B 两点． 　　（1）a 为何值时，以 AB 为直径的圆过原点； 　　（2）是否存在这样的实数 a，使 A，B 关于直线 x-2y＝0 对称，若存在，求 a 的值，若 不存在，说明理由． 参考答案 1．（理）A　（文）B　2．（理）B　（文）B　3．B　4．A　5．D　 6．（理）B　（文）D　7．B　8．（理）C　（文）D　9．D　10．D　11．C 12．（理）A　（文）A　13．1 或 0　14． 　15．10080°　16． 　　17．解析：（1） 的分布如下 0 1 2 P 　　（2）由（1）知 ． 　　∴　 ． 　　18．解析：（1）以 点为坐标原点， 所在直线为 x 轴， 所在直线为 z 轴， 建立空间直角坐标系，设 ， （a， （0，＋∞）． 　　∵　三棱柱 为正三棱柱，则 ，B， ，C 的坐标分别为：（b，0， 0）， ， ， ， ， ， ，（0，0，a）．　∴　　 ， ， )(xf 2 1)5 1( =f )19 1()11 1()2 1( fff −− =OA =OB =OC OH 13 22 =− yx 2 1 4 2l ξ ξ 35 22 35 12 35 1 5 2 35 14 35 1235 12135 220 ==×+×+×=ξE 115 2515)15( =−×=−=− ξξ EE 1C 11AC CC1 bBA =11 aAA =1 ∈b 111 CBAABC − 1A 1B b2 1( b2 3 )a b2 1( b2 3 )0 BA1 b2 1(−= b2 3 ， ， ， ． 　　（2）在（1）条件下，不妨设 b＝2，则 ， 　　又 A，M，N 坐标分别为（b，0，a），（ ， ，0），（ ， ，a）． 　　∴　 ， ．　　∴　 　　同理　 ． 　　∴　△ 与△ 均为以 为底边的等腰三角形，取 中点为 P，则 ， 为二面角 的平面角，而点 P 坐标为（1， 0， ）， 　　∴　 ， ， ．　同理　 ， ， ． 　　∴　 ． 　∴　∠NPM＝90° 二面角 的大小等于 90°． 　　19．解析：设派 x 名消防员前去救火，用 t 分钟将火扑灭，总损失为 y，则 　　y＝灭火劳务津贴＋车辆、器械装备费＋森林损失费 　　 ＝125tx＋100x＋60（500＋100t） 　　 ＝ 　　 ＝ 　　 ＝ 　　 )a CB1 b2 1(−= b2 3−    = −= ⇒ ⋅ ⋅ .011 2 1 ) 22 11 CBBA baCBBA a 又 ， 2 22 1 ==⇒=⇒ b a AB AAab 2=a b4 3 b4 3 b4 1 b4 3 332|| == bAN 3|| 1 =NC 3|||| 1 == NCAN |||| 1MCAM = NAC1 MAC1 1AC 1AC 1ACNP ⊥ NPMACMP ∠⇒⊥ 1 MACN −− 1 2 2 PN 2 1(−= 2 3 )2 2 PM 2 1(= 2 3 )2 2− PNPM ⋅ ⇒=−+−= 02 1 4 3 4 1 PNPM ⊥ ⇒ MACN −− 1 2 10 10050 1005 −=− ×= xxt 2 60000300001002 10125 −+++− ⋅⋅ xxxx 2 600030000)22(1002 221250 −+++−+− +−⋅ xxx x 2 62500)2(10031450 −+−+ xx 3645062500100231450 =×+≥ 　　当且仅当 ，即 x＝27 时，y 有最小值 36450． 　　故应该派 27 名消防员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为 36450 元． 　　20．解析：（1）当 A、B、C 三点不共线时，由三角形中线性质知 ； 　　当 A，B，C 三点共线时，由 在线段 BC 外侧，由 或 x＝5，因此，当 x＝1 或 x＝5 时，有 ， 　 　 同 时 也 满 足 ： ． 当 A 、 B 、 C 不 共 线 时 ， 定义域为[1，5]． 　　（2）（理）∵　 ．　∴　d＝y＋x-1＝ ． 　　令　t＝x-3，由 ， ， 　　两边对 t 求导得： 关于 t 在[-2，2]上单调增． 　　∴　当 t＝2 时， ＝3，此时 x＝1．　当 t＝2 时， ＝7．此时 x＝5．故 d 的取 值范围为[3，7]． 　　（文）由 且 ， ， 　　∴　当 x＝3 时， ．当 x＝1 或 5 时， ． 　　∴　y 的取值范围为[ ，3]． 　　21．解析：（1）令 ，令 y＝-x，则 在（-1，1）上是奇函数． 　 　 （ 2 ） 设 ， 则 ， 而 2 62500)2(100 −=− xx )|||(|2 22 AMBM +    ≥ −+=⇒−+=+⇒+= 0 )3(5)6()2(2|||| 22 222222 y xyxxyACAB 又 ⇒ 5)3( 2 +−= xy ABCACAB ⇒=>=+ 4||6|||| 14|6| =⇒=−− xxx 6|||| =+ ACAB 2222 ||||)|||(|2 ACABAMBM +=+ 4|||||||| =<− BCACAB 5)3()(51 2 +−==⇒<<⇒ xxfyx 5)3( 2 +−= xy 15)3( 2 −++− xx 2[51 −∈⇒≤≤ tx 25]2 2 +++=⇒ ttd d t dt ⇒>−+≥ + += 0 9 21 5 11 2 mind maxd 5)3( 2 +−= xy 1[∈x ]5 5min =y 3522 max =+=y 5 0)0(0 =⇒== fyx )(0)()( xfxfxf −⇒=−+ )()( xfxf ⇒−= 10 21 <<< xx )1()()()()( 21 21 2121 xx xxfxfxfxfxf − −=−+=− ， ．即　当 时， ． 　　∴　f（x）在（0，1）上单调递减． 　　（3）（理）由于 ， 　　 ， ， 　　∴　 ． 　　22．解析：（理）由 平面 ，连 AH 并延长并 BC 于 M． 　　则　由 H 为△ABC 的垂心．　∴　AM⊥BC． 　　于是　BC⊥平面 OAH OH⊥BC． 　　同理可证： 平面 ABC． 　　又　 ， ， 是空间中三个不共面的向量，由向量基本定理知，存在三个实数 ， ， 使得 ＝ a＋ b＋ c． 　　由　 且 ＝ ＝0 b ＝ c ，　同理 ． 　　∴　 ．　　　　　　　　　　　　① 　　又　AH⊥OH， 　　∴　 ＝0 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ② 　　联立①及②，得 　　③ 　　又由①，得　 ， ， ，代入③得： 　　 ， ， ， 021 <− xx 0)1(0110 21 21 21 21 21 >− −⇒<− −⇒<< xx xxfxx xxxx 21 xx < )()( 21 xfxf > )3 1() 52 11 5 1 2 1 ()5 1()2 1()5 1()2 1( ffffff = ×− − =−+=− )4 1()11 1()3 1( fff =− )5 1()19 1()4 1( fff =− 12 12)5 1(2)19 1()11 1()2 1( =×==−− ffff ⊥⇒    ⊥ ⊥ OAOCOA OBOA ， BCOAOBC ⊥⇒ ⇒ ⊥⇒    = ⊥ OHCBCAC ACOH 又 OA OB OC 1k 2k 3k OH 1k 2k 3k 0=⋅ BCOH ba⋅ ca⋅ ⇒ 2k 2 3k 2 2 2 2 1 ba kk = 02 3 2 2 2 1 ≠=== mkkk cba )()1(0 321321 cbacba kkkkkkOHAH ++++−⇒= ⋅⋅ 2 11 )1( a−⇒ kk 022 3 22 2 =++ cb kk 10 0)1( 321 321 =++⇒    ≠ =++− kkkm mkmkkm ， 21 a mk = 22 b mk = 23 c mk = ∆=⇒++= ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅ 22 1222222 222 cb accbba cba km ∆= ⋅ 22 2 ack ∆= ⋅ 22 3 bak 　 　 其 中 ， 于 是 ． 　　（文）（1）联立方程 ax＋1＝y 与 ，消去 y 得： 　 （*） 　　又直线与双曲线相交于 A，B 两点，　∴ ． 　 　 又 依 题 　 OA ⊥ OB ， 令 A ， B 两 点 坐 标 分 别 为 （ ， ），（ ， ），则 　 ． 　　且　 ， 而 由 方 程 （ * ） 知 ： ， 代 入 上 式 得 ．满足条件． 　　（2）假设这样的点 A，B 存在，则 l：y＝ax＋1 斜率 a＝-2．又 AB 中点 ， 在 上，则 ， 　　又　 ， 　　代入上式知　 这与 矛盾． 　　故这样的实数 a 不存在． 222222 accbba ⋅⋅⋅ ++=∆ OH ∆= 1 )( 222222 cbabacacb ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ++ 13 22 =− yx 022)3( 22 =−−− axxa 660 <<−⇒>∆ a 1x 1y 2x 2y 2121 xxyy −= 212121 2 2121 1)()1)(1( xxxxaxxaaxaxyy −=+++=++= 1 2 21 ()1( xaaxx ++⇒ )2x+ 01 =+ 221 3 2 a axx −=+ 3 2 221 −= axx 11013 2 3 )1(2 2 2 2 2 1 ±=⇒=⇒=+−+− +− aaa a a a 2( 21 xx + )2 21 yy + xy 2 1= )(2 1 2121 xxyy +=+ 2)( 2121 ++=+ xxayy 6 3 2 4)(2 221 2121 =⇒    −=+ +=++ a a axx xxxxa 又 2−=a