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- 2021-05-14 发布
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绝密★启用前
揭阳市2015年高中毕业班第二次高考模拟考试
数学(理科)
本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
参考公式:棱锥的体积公式:.其中表示棱锥的底面积,表示棱锥的高.
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知,则下列表示正确的是
A. B. C. D.
2.已知复数,则
A. 2 B. -2 C. 2i D. -2i
3.命题P:“”的否定为
A. B.
C. D.
4.已知,则
A. B. C. D.
5.设向量,若向量与向量共线,则的值为
A. B. C. D.
6.已知变量满足约束条件,则的最小值是
A.1 B. C. D.0
7.已知点P在抛物线上,那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为
A. B. C. D.
8.连续掷一正方体骰子(各面的点数分别为1,2,3,4,5,6)两次得到的点数分别为m、n,作向量,若,则与的夹角成为直角三角形内角的概率是
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.
(一)必做题(9-13题)
9.已知幂函数的图象过点,则的值为 .
10.展开式中的常数项为 .
11.图1中的三个直角三角形是一个体积为的几何体的三视图,
则侧视图中的h=_________cm.
12.下表记录了某学生进入高三以来各次数学考试的成绩
考试第次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
成绩(分)
65
78
85
87
88
99
90
94
93
102
105
116
将第1次到第12次的考试成绩依次记为.图2是
统计上表中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图.那么
算法流程图输出的结果是 .
13.在△ABC中,已知角所对的边分别为,
且,则= .
(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)
14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线与的交点的极坐标为 .
15.(几何证明选讲选做题)如图3,点P在圆O的直径AB的
延长线上,且PB=OB=3,PC切圆O于C点,CDAB于点D,
则CD的长为 . 图3
三.解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知函数的部分图象如图4示,
其中M为图象与轴的交点,为图象的最高点.
(1)求、的值;
(2)若,,求的值. 图4
17.(本小题满分12分)
某校为了调查“学业水平考试”学生的数学成绩,随机地抽取该校甲、乙两班各10名同学,获得的数据如下:(单位:分)
甲:132,108,112,121,113,121,118,127,118,129;
乙:133,107,120,113,122,114,125,118,129,127.
(1)以百位和十位为茎,个位为叶,在图5中作出甲、乙两班
学生数学成绩的茎叶图,并判断哪个班的平均水平较高;
(2)若数学成绩不低于128分,称为“优秀”,求从甲
班这10名学生中随机选取3名,至多有1名“优秀”的概率;
(3)以这20人的样本数据来估计整个学校的总体成绩,
若从该校(人数很多)任选3人,记X表示抽到“优秀”学生
的人数,求X的数学期望.
18.(本小题满分14分)
已知等比数列满足:,,为其前项和,且成等差数列.
(1)求数列{}的通项公式;
(2)设,求数列{}的前n项和.
19.(本小题满分14分)
如图6,已知四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,
AB∥CD,AD⊥CD,PA=PD=CD=2AB=2.
(1)求证:AB⊥PD;
(2)记AD=,表示四棱锥P-ABCD的体积,
当取得最大值时,求二面角A-PD-B的余弦值.
20.(本小题满分14分)
已知椭圆:的焦点分别为、,为椭圆上任一点,的最大值为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知点,试探究是否存在直线与椭圆交于、两点,且使得?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
21.(本小题满分14分)
已知函数
(1)当时,解不等式;
(2)当时,求函数的单调区间;
(3)若在区间上,函数的图象总在直线是常数)的下方,求的取值范围.
揭阳市2015年高中毕业班高考第二次模拟考试
数学(理科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考 查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数.
一、选择题:DBCD ACBB
解析:8.因m、n均取自1-6,故向量有种取法,由知,,则,这样的共有(个),故所求的概率.
二、填空题:9. 1;10. ;11. 6;12.7;13.;14. ;15..
三、解答题:
16.解:(1)由为图象的最高点知,---------------------1分
又点M知函数的最小正周期,-----------------------3分
∵ ∴,-------------------------------------------------5分
(2)由(1)知,
由得,----------------------------------------6分
∵ ∴----------------------------------------7分
∴-------------------------9分
∵-------------11分
∴------------12分
17.解:(1)甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图如右图示:--3分
乙班的平均水平较高;----------------------------4分
(2)由上数据知:甲班这10人中“优秀”的学生有2名,
则从这10名学生中随机选取3人,至多有1人“优秀”
的概率.----------------------------8分
(3)因样本20名学生中,“优秀”的有4名,故从这20名学生中任选1名,恰好抽到“优秀”的概率为,----------------------------------------------------------------------------------10分
据此可估计从该校中任选1名学生,其为“优秀”的概率为0.2,因,
所以.---------------------------------------------------------------------------12分
18.解:(1)设数列的公比为,
∵成等差数列,-----------------------------------2分
即,化简得,------4分
解得:或 ------------------------------------------------------------------6分
∵,∴不合舍去,
∴.-----------------------------------------7分
(2)∵
=------------9分
,------------------------------------------10分
∴=,-----------------------------------------------------12分
∴
.----------------------------------------14分
19.解:(1)证明:∵AB∥CD,AD⊥CD,∴AB⊥AD,-----------------------------1分
∵侧面PAD⊥底面ABCD,且平面平面,
∴AB⊥平面PAD --------------------------------------------2分
又∵平面PAD,
∴AB⊥PD------------------------------------------------------3分
(2)取AD中点E,连结PE,∵PA=PD,∴PE⊥AD,----4分
又侧面PAD⊥底面ABCD,
且平面平面,
∴PE⊥底面ABCD,-------------------------------------------------------------------------5分
在PEA中,
∴()------7分
∵-------------------------------9分
当且仅当,即时,“=”成立,
即当取得最大值时, -----------------------------------------------------10分
解法1:∵,,∴PD⊥PA ,--------------------11分
又(1)知AB⊥PD,
∴平面,又PB平面
∴PD⊥PB,------------------------------------------13分
∴为二面角A-PD-B的平面角
在中,,
即当取得最大值时,二面角A-PD-B的余弦值为.-------------------14分
[解法2:以点E为坐标原定,EA所在的直线为x轴、PE所在的
直线为轴建立空间直角坐标系如图示:
则E(0,0,0),A(,0,0),
D(,0,0),P(0,0,),
∴,
设平面PDB的法向量为
由得,,
令,则, ∴------------------------12分
又是平面PAD的一个法向量,
设二面角二面角A-PD-B的大小为,则
,
即所求二面角A-PD-B的余弦值为.--------------------------------------------------14分]
20.解:(1)设,由、得
, .
∴,---------------------2分
由得
∴,------------------------4分
∵,∴当,即时,有最大值,
即,---------------------------------------6分
∴,,
∴所求双曲线的方程为.------------------------------------7分
(其它解法请参照给分)
(2)假设存在直线满足题设,设,
将代入并整理得
,------------------------------------------------------------8分
由,得-----------①
又--------------------10分
由可得
化简得------------②------------------------------------------12分
将②代入①得
化简得,
解得或
所以存在直线,使得,此时的取值范围为.-------14分
21.解:(1)当时,不等式即,
显然,当时,原不等式可化为:--------------------------2分
当时,原不等式可化为:或或,∴
综上得:当时,原不等式的解集为---------------3分
(2)∵--------------------------------------4分
若时,∵,由知,在上,,
若,由知,当时,,
当时,,
∴当时,函数的单调增区间为,,单调减区间为.----6分
(其它解法请参照给分)
(3)在区间上,函数的图象总在直线是常数)的下方,
即对都有,对都有,-------7分
显然,
即对,恒成立
对,------------------------------8分
设,,,
则对,恒成立,----9分
∵当时
∴函数在上单调递增,∴------------------------10分
又∵=,
当即时,对于,有
∴函数在上为减函数
∴----------------------------------------------11分
当,即时,当,
当,
∴在上,--------------------------------12分
(或当时,在上,,当时取等号)
又∵当时,要即还需满足
,解得,
∴当时,;---------------------------------------------13分
当时,.-----------------------------------------------------------------14分